(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Распространение волн в диспергирующих средах
Реферат
Распространение волн в диспергирующих средах
Содержание
Введение
1. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией
2. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости
3. Соотношение Крамерса-Кронига
4. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике
5. Дисперсия в среде со вольными зарядами
6. Волны в средах с пространственной дисперсией
7. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде
8. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде
Литература
Введение
Вид плоской гармонической волны определяется уравнением вида:
u(r, t) = Aexp(it ikr) = Aexp(i(t k’r) — (k»r)), (1)
где k() = k'() + ik»() — волновое число, совершенно говоря, всеохватывающее. Его действительная часть k'() = vф/ охарактеризовывает зависимость фазовой скорости волны от частоты, а надуманная часть k»() — зависимость коэффициента затухания амплитуды волны от частоты. Дисперсия, как правило, связана с внутренними качествами вещественной среды, обычно выделяются частотная (временная) дисперсия, когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предыдущие моменты времени (память), и пространственная дисперсия, когда поляризация в данной точке зависит от значений поля в некой области (нелокальность).
1. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией
В среде с пространственной и временной дисперсией вещественные уравнения имеют операторный вид
тут предусматривается суммирование по циклическим индексам (правило Эйнштейна). Это — более общая форма линейных вещественных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды вещественные свойства , и должны зависеть лишь от разностей координат и времени R = r — r1, = t — t1:
, (.2)
, (3)
. (4)
Волну E(r, t) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)
, (5)
. (6)
Аналогично можно найти D(k, ), j(k, ). Взяв преобразование Фурье вида (5) от правых и левых частей уравнений (2), (3) и (4), получим с учетом известной аксиомы о диапазоне свертки
, (7)
где тензор диэлектрической проницаемости, составляющие которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, имеет вид
(2.8)
Подобные соотношения получаются и для i j(k, ) и i j(k, ).
2. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости
При учете лишь частотной дисперсии вещественные уравнения (7) принимают вид:
Dj(r, ) = i j()Ei(r, ), (9)
. (10)
Для изотропной среды тензор i j() обращается в скаляр, соответственно
D(r, ) = ()E(r, ), . (11)
Так как восприимчивость () — действительная величина, то
() = ‘() + i»(), ‘(-) = ‘(), «(-) = -«(). (12)
совсем аналогично получаем
j(r, ) = ()E(r, ), . (13)
Вводится также всеохватывающая диэлектрическая проницаемость
. (14)
Интегрируя соотношение (11) по частям и беря во внимание, что () = 0, можно показать, что
.
С учетом формулы (14) уравнения Максвелла (1.16) — (1.19) для всеохватывающих амплитуд принимают вид
. (15)
тут учтено, что 4 = -i4div (E)/ = div (D) = div (E). Соответственно, нередко вводится всеохватывающая поляризация и полный ток
. (16)
3. Соотношение Крамерса—Кронига
Запишем всеохватывающую проницаемость (14) с учетом соотношений (11) — (13) в виде
, (17)
где () — функция Хевисайда, ( < 0) = 0, ( 0) = 1. Но ( < 0) = ( < 0) = 0, потому ()() = (), ()() = (). Как следует,
,
где () — Фурье-образ функции Хевисайда,
. (18)
Таковым образом,
либо
. (19)
Аналогично просто получить
. (20)
Заметим, что интегралы в соотношениях (19) и (20) берутся в основном значении. сейчас с учетом соотношений (17), (19) и (20) получаем:
Приравнивая надуманные и действительные части в правой и левой частях этого равенства, получим соотношения Крамерса-Кронига
, (21)
, (22)
устанавливающие всепригодную связь меж реальной и надуманной частями всеохватывающей проницаемости. Из соотношений Крамерса — Кронига (21), (22) следует, что диспергирующая среда является всасывающей средой.
электромагнитный дисперсия волна энергия
4. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике
Пусть Р = Np = Ner — большая поляризация среды, где N — большая плотность молекул, r — смещение. Колебания молекул под действием наружного электронного поля описываются моделью Друде-Лоренца (гармонический осциллятор), соответственной колебаниям электрона в молекуле. Уравнение колебаний одной молекулы (диполя) имеет вид
,
где m — действенная масса электрона, 0 — частота обычных колебаний, m — коэффициент, описывающий затухание (утраты на излучение), Еd = E + 4P/3 — электронное поле, действующее на диполь в однородном диэлектрике под действием наружного поля Е.
Если наружное поле изменяется по гармоническому закону E(t) = Eexp(-it), то для всеохватывающей амплитуды поляризации получаем алгебраическое уравнение
Либо
.
Потому что D = E = E + 4P, то
. (23)
тут обозначено . Иная форма соотношения (23):
. (24)
Из формулы (23) следует, что при 0 . В газах, где плотность молекул невелика, можно принять , тогда
.
Отсюда в силу формулы (1.31) для характеристик преломления и поглощения получаем, беря во внимание, что tg() = «/’ << 1:
.
График этих зависимостей приведен на рис. 1. Отметим, что при 0 выходит аномальная дисперсия dn/d < 0, другими словами фазовая скорость волны растет с частотой.
5. Дисперсия в среде со вольными зарядами
Примерами среды со вольными зарядами являются сплав и плазма. При распространении в таковой среде электромагнитной волны томные ионы можно считать недвижными, а для электронов записать уравнение движения в виде
.
В отличие от диэлектрика тут нет возвращающей силы, потому что электроны числятся вольными, а — частота соударений электронов с ионами. В гармоническом режиме при E = Eexp(-it) получим:
,
Тогда
, (25)
где — плазменная, либо ленгмюровская частота.
Проводимость таковой среды естественно найти через надуманную часть проницаемости:
. (26)
В сплаве << , p << , () 0 = const, () чисто надуманная, , поле в среде существует лишь в скин-слое шириной d (kn)-1 << , R 1.
Рис. 1. Дисперсия поглощения и
Рис. 2 Дисперсия в плазме
В разреженной плазме ~ (103 … 104) c-1 и при >> проницаемость () чисто действительная, , другими словами
— (27)
дисперсионное уравнение, его график приведен на рис. Отметим, что при > p коэффициент преломления n действительный и волна свободно распространяется, а при < p коэффициент преломления n надуманный, другими словами волна отражается от границы плазмы.
В конце концов, при = p получаем n = 0, другими словами = 0, означает, D = E = 0. Соответственно, в силу уравнений Максвелла (1.16) и (1.19) rot H = 0, div H = 0, другими словами Н = const. В этом случае из уравнения (1.17) следует, что rot Е = 0, другими словами
E = -grad — возможное поле. Как следует, в плазме может быть существование продольных (плазменных) волн.
6. Волны в средах с пространственной дисперсией
При учете и пространственной, и временной дисперсии уравнение электромагнитного поля для плоских волн имеет вид (7) с вещественными уравнениями вида (8):
Соответственно, для плоских гармонических волн при = 1 уравнения Максвелла (15) с учетом соотношения (1.25) принимают вид:
(28)
Умножим 2-ое из соотношений (28) слева векторно на k и, беря во внимание 1-ое соотношение, получим:
.
В тензорных обозначениях с учетом соотношения (7) это значит
(29)
тут, как и раньше, предполагается суммирование по циклическому индексу, в данном случае по j.
Нетривиальные решения системы уравнений (29) есть при равенстве нулю ее определителя
.
Это условие задает в неявном виде закондисперсии (k). Для получения очевидного вида нужно высчитать тензор диэлектрической проницаемости.
Разглядим вариант слабенькой дисперсии, когда ka << 1, где а — соответствующий размер неоднородности среды. Тогда можно считать, что i j(R, ) непревзойденно от нуля только при |R| < a. Экспоненциальный же множитель в уравнении (8) приметно изменяется только при |R| ~ 2/k = >> a, другими словами экспоненту можно разложить в ряд по степеням R:
exp(-ikR) = 1 — iklxl — klkmxlxm/2 + … , l, m = 1, 2, 3.
Подставляя это разложение в уравнение (8), получим
(30)
Так как при слабенькой дисперсии интегрирование по R в уравнении (30) производится в области размером порядка а3, то
Введем вектор n = k/c и перепишем уравнение (30) в виде:
, (31)
где обозначено .
Так как все составляющие i j тензора восприимчивости — действительные величины, то из уравнения (8) следует свойство эрмитовой сопряженности тензора диэлектрической проницаемости . Для среды с центром симметрии тензор диэлектрической проницаемости так же симметричен: i j(k, ) = j i(k, ) = i j(-k, ), при всем этом разложение i j(k, ) по k содержит лишь четные степени k. Такие среды именуются оптически неактивными либо негиротропными.
Оптически активной быть может лишь среда без центра симметрии. Таковая среда именуется гиротропной и описывается несимметричным тензором диэлектрической проницаемости i j(k, ) = j i(-k, ) = *j i(k, ).
Для изотропной гиротропной среды тензор i j() является скаляром, i j() = ()i j, а антисимметрические тензоры второго ранга i j l nl и gi j l nl в соотношении (31) — псевдоскалярами, другими словами i j l() = ()еi j l, gi j l() = g()еi j l, где еi j l — единичный стопроцентно антисимметричный тензор третьего ранга. Тогда из соотношения (31) получаем для слабенькой дисперсии (a << ):
i j(k, ) = ()i j — i()еi j l nl.
Подставляя это выражение в уравнение (29), получим:
,
либо в координатной форме, направляя ось z вдоль вектора k,
тут n = nz, k = kz= n/c.
Из третьего уравнения системы следует, что Ez = 0, другими словами волна поперечная (в первом приближении для слабо гиротропной среды). Условие существования нетривиальных решений первого и второго уравнений системы — равенство нулю определителя: [n2 — ()]2 — 2()n2 = 0. Так как a << , то и 2/4 << , потому
. (32)
Двум значениям n2 соответствуют две волны с правой и левой радиальный поляризацией, из соотношения (1.38) следует, что . При всем этом, как надо из соотношения (32), фазовые скорости этих волн различны, что приводит к повороту плоскости поляризации линейно поляризованной волны при распространении в гиротропной среде (эффект Фарадея).
7. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде
Носителем инфы (сигналом) в электронике является модулированная волна. Распространение плоской волны в диспергирующей среде описывается уравнением вида:
, (33)
Для электромагнитных волн в среде с временной дисперсией оператор L имеет вид:
.
Пусть диспергирующая среда занимает полупространство z > 0 и на ее границе задан входной сигнал u(t, z = 0) = u0(t) с частотным диапазоном
. (34)
Потому что линейная среда удовлетворяет принципу суперпозиции, то
. (35)
Подставляя соотношение (35) в уравнение (33), можно отыскать закондисперсии k(), который будет определяться видом оператора L(u). С иной стороны, подставляя соотношение (34) в уравнение (35), получим
. (36)
Пусть сигнал на входе среды является узкополосным действием, либо волновым пакетом u0(t) = A0(t)exp(-i0t), |dA0(t)/dt| << 0A0(t), другими словами сигнал является ММА-процессом. Если << 0, где F(0 ) = 0,7F(0), то
(37)
и волновой пакет (36) можно записать в виде u(z, t) = A(z, t)exp(i(k0z — 0t)), где
. (38)
В первом приближении теории дисперсии ограничиваются линейным разложением . Тогда внутренний интеграл по в уравнении (38) преобразуется в дельта-функцию:
u(z, t) = A0(t — zdk/d)exp(i(k0z — 0t)), (39)
что соответствует распространению волнового пакета без преломления с групповой скоростью
vгр = [dk(0)/d]-1. (40)
Из соотношения (39) видно, что групповая скорость — это скорость распространения огибающей (амплитуды) A(z, t) волнового пакета, другими словами скорость передачи энергии и инфы в волне. Вправду, в первом приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка:
. (41)
Умножая уравнение (41) на А* и складывая его с всеохватывающим сопряжением уравнения (41), умноженным на А, получим
,
другими словами энергия волнового пакета распространяется с групповой скоростью.
Несложно созидать, что
.
В области аномальной дисперсии (1 < 0 < 2, рис. 1) вероятен вариант dn/d < 0, что соответствует vгр > c, но при всем этом существует настолько мощное затухание, что не применимы ни сам способ ММА, ни 1-ое приближение теории дисперсии.
Распространение волнового пакета происходит без преломления лишь в первом порядке теории дисперсии. Беря во внимание в разложении (37) квадратичное слагаемое, получим интеграл (38) в виде:
. (42)
тут обозначено = t — z/vгр, k» = d2k(0)/d2 = d(1/vгр)/d — дисперсия групповой скорости. Прямой подстановкой можно показать, что амплитуда волнового пакета A(z, t) вида (42) удовлетворяет диффузионному уравнению
(43)
с надуманным коэффициентом диффузии D = -id2k(0)/d2 = -id(1/vгр)/d.
Отметим, что даже если дисперсия весьма слаба, а диапазон сигнала весьма узенький, так что в его границах 3-ий член в разложении (37) много меньше второго, другими словами d2k(0)/d2 << dk(0)/d, то на неком расстоянии от входа в среду искажение формы импульса стают довольно большенными. Пусть на входе в среду сформирован импульс A0(t) продолжительностью и. Раскрыв скобки в показателе экспоненты в соотношении (42), получим:
.
Переменная интегрирования изменяется тут в границах порядка и, потому если (далекая зона), то можно положить , тогда интеграл воспримет вид преобразования Фурье:
,
где — диапазон входного импульса,
.
Таковым образом, импульс в среде с линейной дисперсией групповой скорости в далекой зоне преобразуется в спектрон-импульс, огибающая которого повторяет диапазон входного импульса. При предстоящем распространении форма импульса не изменяется, но возрастает его продолжительность при одновременном уменьшении амплитуды.
Из уравнения (43) можно получить некие полезные законы сохранения для волнового пакета. Если проинтегрировать по времени выражение
A*L(A) + AL(A*), где ,
то получим законсохранения энергии:
.
Если проинтегрировать по времени выражение L(A)A*/ — L(A*)A/ = 0, то получим 2-ой законсохранения:
.
Проинтегрировав же по времени само уравнение (43), получим 3-ий законсохранения:
.
При выводе всех законов сохранения учитывалось, что A() = dA()/d = 0.
8. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде
При наличии утрат законсохранения электромагнитной энергии (1.33) воспринимает вид:
W/t + div S + Q = 0, (44)
где S — вектор Пойтинга вида (1.34), Q — мощность термических утрат, которые приводят к уменьшению со временем амплитуды волны. Разглядим квазимонохроматические ММА-волны.
(45)
Используя выражение для дивергенции векторного произведения и уравнения Максвелла (1.16), (1.17), получаем:
.
Подставляя сюда выражения (45) для ММА-полей и усредняя его по периоду колебаний электромагнитного поля Т = 2/, что уничтожает стремительно осциллирующие составляющие exp(-2i0t) и exp(2i0t), получим:
. (46)
Будем разглядывать немагнитную среду с = 1, другими словами B0 = H0, и используем вещественное уравнение вида (2), связывающее вектора D и E, чтоб получить связь меж медлительно меняющимися амплитудами полей вида (45) для варианта однородной и изотропной среды без пространственной дисперсии
.
В слабо диспергирующей среде () — практически дельта-функция, другими словами за время запаздывания поляризации поле практически не изменяется и его можно разложить по степеням , беря во внимание лишь 1-ые два слагаемые:
.
Заметим, что величина в квадратных скобках, как надо из соотношения (11), равна диэлектрической проницаемости среды на частоте 0, потому
.
Для узкополосного процесса производная D0/t с той же точностью имеет вид D0/t = (0) Е0/t + ….
Тогда соотношение (46) воспринимает вид:
(47)
Для чисто монохроматической волны неизменной амплитуды dW/dt = 0, тогда из уравнений (44) и (47) получаем:
. (48)
Если пренебречь диссипацией, другими словами положить в уравнении (44) Q = 0, а в уравнении (47) в силу соотношения (48) » = 0,то получим:
,
откуда для средней плотности энергии электромагнитного поля следует
. (49)
Литература
1. Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. — 256 с.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. — 464 с.
3. Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. — 598 с.
4. Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 — 608 с,
5. Иродов И.Е. задачки по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. — 416 с.
6. Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. — 685 с.
7. Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009. — 159 с.
8. Рымкевич П.А. Учебник для инж.- эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. — 552 с.
9. Савельев И.В. Сборник вопросцев и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. — 288 с.
10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. — 551 с.
11. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. — 432 с.
12. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007. — 510 с.
13. Шепель В.В. Грабовский Р.И. Курс физики Учебник для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа , 2008. — 614 с.
14. Шубин А.С. Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. — 575 с.
]]>