Учебная работа. Распространение волн в нелинейных диспергирующих средах

Учебная работа. Распространение волн в нелинейных диспергирующих средах

Контрольная работа

Распространение волн в нелинейных диспергирующих средах

Содержание

Нелинейная поляризация

способ поочередных приближений и ММА

Генерация 2-ой гармоники

Параметрическая генерация и усиление волн

Литература

Нелинейная поляризация

В мощных электронных полях поляризация среды уже не пропорциональна напряженности электронного поля. Для неизменных полей можно записать:

,

где — тензор третьего ранга квадратичной восприимчивости, — тензор 4-ого ранга кубической восприимчивости. С учетом частотной дисперсии вещественные уравнения следует записывать в виде разложения по линейной, квадратичной, кубической и т. д. поляризациям:

Тогда суперпозиция монохроматических волн

(.1)

возбудит в среде волны линейной и нелинейной поляризации

(.2)

на комбинационных частотах

. (3)

Любая частота j встречается в сумме (3) столько раз, какова степень нелинейности. При всем этом каждую амплитуду Pq(r), в свою очередь, можно поделить на линейную и нелинейную поляризации. Линейная поляризация возбуждается на каждой частоте независимо:

.

Для среды без центра инверсии с квадратичной нелинейностью каждое из полей возбуждает квадратичные поляризации на двойной и нулевой частотах:

,

другими словами имеют пространство генерация 2-ой гармоники и детектирование волны. Не считая того, две электромагнитные волны с различными частотами i и k возбуждают две поляризации среды на суммарной и разностной частотах:

.

Потому что в итоге взаимодействия 2-ух волн возникает 3-я волна на комбинационной частоте, то молвят, что на квадратичной нелинейности происходит трехчастотное взаимодействие. В общем случае выражение для тензора квадратичной восприимчивости как функции частоты имеет вид

. (4)

Если одно из полей является неизменным (k = 0, Ek = E0), то квадратичная поляризация имеет одну частоту:

.

Это линейный электрооптический эффект Поккельса, состоящий в изменении диэлектрической проницаемости кристалла под действием неизменного электронного поля, .

Если среда имеет центр инверсии, то P(-E) = -P(E) и нелинейностью низшего порядка является кубическая нелинейность, при которой может быть четырехволновое взаимодействие. Любая из взаимодействующих волн порождает третью гармонику:

и нелинейную поляризацию на своей частоте

.

Это частотный эффект Керра, с помощью которого диэлектрическая проницаемость кристалла зависит от интенсивности волны:

.

Не считая того, диэлектрическая проницаемость среды может изменяться под действием иной волны:

, .

Такое действие одной волны на другую именуется кросс-модуляцией. Если i = 0, другими словами диэлектрическая проницаемость изменяется под действием неизменного поля Ei = E0, то . Это квадратичный электрооптический эффект.

В общем случае три волны с частотами i, j, k возбуждают в среде волны кубической поляризации на комбинационных частотах q = i j k, соответственная частотная зависимость тензора кубической восприимчивости имеет вид:

. (5)

При наличии нелинейной восприимчивости уравнения Максвелла -можно свести к волновому уравнению вида

. (6)

Подставляя сюда выражение для электронного поля вида (1) и нелинейной поляризации (2) в виде суммы монохроматических волн, можно получить цепочку уравнений Гельмгольца

, (7)

куда нужно подставить выражение для нелинейной поляризации, соответственное исследуемому эффекту. Для решения уравнений Гельмгольца употребляют приближенные способы.

Способ поочередных приближений и ММА

Пусть среда является слабонелинейной, другими словами отношение величины нелинейной поляризации к величине электронного поля на границе среды является малым параметром: |Рнл|/|Е| = 1. Пусть

Ej = Ej(0) + Ej(1) + 2Ej(2) + … , (8)

тогда

. (9)

Подставляя эти разложения в уравнение Гельмгольца (7) и собирая слагаемые 1-го порядка малости по , получим:

(10)

В нулевом приближении системы уравнений (10) волны, падающие на границу среды, распространяются в ней вроде бы в отсутствие нелинейности. Для последующего шага необходимо задаться видом нелинейности, к примеру Р(2) либо Р(3), зависимо от определенной задачки, и, выразив при помощи соотношений (8) и (9) нелинейную поляризацию через Ej(0) и Ej(1), подставить ее во 2-ое уравнение системы (10) и т. д. К примеру, для квадратичной нелинейности при трехчастотном содействии

,

. (11)

Таковым образом, можно отыскать 1-ое приближение по полю из второго уравнения (10) и 1-ое приближение по поляризации из уравнения (11). Дальше по аналогии находится 2-ое и, если необходимо, третье приближение. Практический смысл эта процедура имеет лишь тогда, когда поправки к нулевому приближению малы, другими словами амплитуда возбуждаемых в среде волн мала в сопоставлении с амплитудой падающих волн, и можно ограничиться первыми 2-мя приближениями. При всем этом нереально изучить эффекты самовоздействия, генерации гармоник и т. д. В схожих вариантах применяется способ ММА.

Если среда является слабонелинейной и слабодиссипативной, то амплитуда распространяющейся в ней плоской монохроматической волны будет не много изменяться на расстоянии порядка длины волны, тогда пространственные гармоники поля и поляризации в разложениях (1) и (2) соответственно можно представить в виде волн ММА:

Ej(r) = ejAj(kjr)exp(ikjr), Pq(r) = eqPq(kpqr)exp(ikpqr), || << 1, (12)

. (13)

Отметим, что коэффициенты mj в сумме (13) такие же, как и в сумме (3) для фиксированного номера q гармоники нелинейной поляризации.

Разглядим однородное неизотропное полупространство z > 0. Отметим, что ММА-волна (12) совсем подобна волне вида (3.14), лишь в нашем случае амплитуда волны изменяется вдоль волнового вектора kj, а не поперек его, как в случае волнового пучка, но для математических выкладок это не значительно. Соответственно, уравнение Гельмгольца (7) различается от волнового уравнения (3.1) для линейной среды лишь наличием нелинейной поляризации в правой части. Тогда, полагая , перепишем уравнение (3.12) для варианта малых утрат в виде

. (14)

Уравнение (3.17) при всем этом воспринимает вид

В силу соотношения (14) выражение в фигурных скобках равно нулю. Домножая уравнение скалярно слева на вектор ej, получим по аналогии с выводом соотношения (3.18):

. (15)

В п. 3.2 было показано, что вектор [ej [kj ej]] ориентирован вдоль лучевого вектора sj j-й гармоники. Обозначим bj = [ej [kj ej]] = bjsj/sj. Беря во внимание, что

sjej = 0, получим bj = bjsj/sj = {kj — ej(kjej)}sj/sj = kjcos(j), где j — угол меж волновым и лучевым векторами j-й гармоники, kj — волновое число j-й гармоники. В однородном полупространстве амплитуда волны может зависеть лишь от координаты z. Тогда градиент амплитуды ориентирован вдоль нормали к поверхности среды и уравнение (15) воспринимает вид

, (16)

где — коэффициент поглощения на частоте j, j — угол преломления j-й гармоники, другими словами угол меж ее лучевым вектором sj и нормалью к поверхности падения.

В правой части укороченного уравнения (16) содержится осциллирующий множитель exp[i(kpj — kj)r], который очень влияет на нрав взаимодействия волн, потому что конкретно он описывает работу наружной силы (волны нелинейной поляризации) по возбуждению поля. Если этот множитель равен единице, то работа имеет неизменный символ на всем протяжении нелинейной среды и взаимодействие более отлично. С учетом соотношения (14) этот вариант имеет пространство при выполнении условия фазового синхронизма, либо фазового согласования:

, (17)

волна гармоника поляризация частота

значащего, что фазовая скорость волны нелинейной поляризации равна фазовой скорости электромагнитной волны на той же самой частоте.

Если условие синхронизма (17) заранее не производится, то множитель exp[i(kpj — kj)r] стремительно осциллирует при распространении волны в среде, и нелинейная поляризация слабо влияет на распространение волны. В диспергирующей среде условию синхронизма (167) могут удовлетворять 3 — 4 волны, которые и участвуют в нелинейном содействии, амплитудами же остальных волн на комбинационных частотах можно пренебречь.

В средах без дисперсии с малым затуханием все волны имеют схожую скорость и условие синхронизма (17) производится для всех гармоник, при всем этом нелинейные эффекты скапливаются с расстоянием, и даже при малой нелинейности на довольно огромных расстояниях появляются мощные нелинейные преломления начального профиля волны. А именно, в таковой среде гармоническая волна может перевоплотиться в разрывную ударную волну. Этот вариант характерен для акустики.

Генерация 2-ой гармоники

Пусть на среду с квадратичной нелинейностью падает нормально плоская монохроматическая волна частоты . Будем считать, что самовоздействием, генерацией высших гармоник и детектированием можно пренебречь, тогда в среде распространяются лишь две волны: на главный и двойной частоте, 1 = , 2 = 2, j = 1, 2. При содействии волн первой и 2-ой гармоник в среде возбуждаются волны квадратичной поляризации. Для изотропной среды с учетом соотношений (3) и (13) получаем:

(18)

Подставим эти выражения в укороченные уравнения (16) и, полагая, что волны затухают слабо, пренебрежем слагаемым jAj в сопоставлении со слагаемым dAj/dz. Тогда уравнения для всеохватывающих амплитуд главный волны А1 и 2-ой гармоники А2 принимают вид:

(19)

тут k = k2 — 2k1 = 2(n2 — n1)/с — малая расстройка волновых векторов, — показатель преломления на частоте j, , .

При отсутствии затухания ( = 0, 0″ = 0) и потока энергии снаружи полная энергия волны обязана сохраняться, другими словами s1 + s2 = const. Беря во внимание формулу (1.36) для потока энергии в плоской волне , получим:

n1|A1|2 + n2|A2|2 = const. (20)

Продифференцировав соотношение (20) по координате z и подставив в него значения производных из уравнений (19), получим, что коэффициенты нелинейности среды должны быть равны: 1 = 2 = . Не считая того, всеохватывающие амплитуды волн удовлетворяют еще одному закону сохранения

, (21)

которое можно обосновать, дифференцируя соотношение (21) по z и беря во внимание формулы (19).

На входе в нелинейную среду при z = 0 естественно задать граничные условия в виде А1(0) = Е01, А2(0) = 0. Если |А2| << |А1|, то можно пренебречь слабеньким оборотным воздействием 2-ой гармоники на основную волну и положить в первом уравнении системы (19) dA1/dz = 0. Тогда А1(z) = Е01 = const, а 2-ое уравнение системы (19)

имеет с учетом граничного условия решение в виде

. (22)

Если производится условие фазового синхронизма (17), другими словами k2 = 2k1,

n2 = n1, k = 0, то ,

другими словами амплитуда 2-ой гармоники вырастает пропорционально пройденному волной расстоянию, но в силу наложенного ограничения обязано производиться условие |А2| << E01. Это ограничение справедливо на расстоянии

. (23)

При рассогласовании фазовых скоростей, другими словами при n2 n1, уравнение (22) обрисовывает пространственные биения 2-ой гармоники |А2| ~ |sin(kz/2)| с первым максимумом на расстоянии длины когерентного взаимодействия

. (24)

Соответственно, максимум амплитуды 2-ой гармоники на данной нам длине равен

,

и условию малости 2-ой гармоники в сопоставлении с первой отвечает мощная дисперсия нелинейной среды:

|n2 — n1| >> E01/n2, Lког << Lнл. (25)

Если условие (25) нарушено, к примеру за счет большенный амплитуды поля либо слабенькой дисперсии, может быть действенное возбуждение 2-ой гармоники с большенный амплитудой порядка амплитуды главный волны. Для этого варианта введем действительные амплитуды и фазы гармоник:

Aj(z) = A0j(z)exp[ij(z)], j = 1, 2.

Подставляя это выражение в уравнения (19), (20) и (21) и отделяя надуманную и действительную части, получим:

, (26)

, (27)

, (28)

, (29)

, (30)

где Ф = 21(z) — 2(z) + kz.

При фазовом синхронизме из условия (17) следует, что k = 0, в этом случае из уравнения (30) следует, что cos(Ф) = 0, в свою очередь, из уравнения (28) следует, что Ф = const = /2. Из уравнения (27) вытекает, что физический смысл имеет

(31)

В критериях фазового синхронизма n2 = n1 и законсохранения энергии (29) воспринимает вид , что дозволяет просто проинтегрировать систему уравнений (31):

,

где Lнл определена соотношением (23). Несложно созидать, что А02(Lнл) = 0,76Е01.

Таковым образом, при четком согласовании фазовых скоростей главный волны и 2-ой гармоники можно, в принципе, получить практически полное преобразование энергии волны во вторую гармонику. Обычно таковая синхронизация достигается в одноосном отрицательном кристалле, в каком есть направления синхронизма, вдоль которых скорость обычной волны главный гармоники равна скорости необычной волны 2-ой гармоники.

Параметрическая генерация и усиление волн

Разглядим в среде с квадратичной дисперсией трехволновое взаимодействие волн с частотами 1 2 3. В силу соотношений (3) и (13)

3 = 2 + 1, kp1 = k3 — k2, kp2 = k3 — k1, kp3 = k2 + k1, соответственно

(32)

Подставляя эти выражения в правые части укороченных уравнений (16) для варианта обычного падения на плоскую границу изотропной среды без утрат, получим:

(33)

тут обозначено: , , , k = k3 — k2 — k1,.

законсохранения энергии для 3-х волн в бездиссипативной среде имеет вид, аналогичный соотношению (29)

. (34)

Продифференцировав это равенство по z и подставив в него производные из уравнений (33), получим, что коэффициенты нелинейности должны быть равны 1 = 2 = 2 = . С учетом этого умножим 1-ое уравнение системы (33) на , а 2-ое уравнение — на , а потом сложим приобретенные уравнения друг с другом и со своими всеохватывающими сопряжениями:

.

Проделав подобные операции с первым и третьим уравнениями и беря во внимание граничные условия А0j(0) = E0j, j = 1, 2, 3, получим соотношения Менли — Роу:

. (35)

Из уравнения (35) видно, что если амплитуда волны на высшей частоте 3 миниатюризируется, то энергия перебегает сразу в обе низкочастотные волны, и напротив. Разглядим вариант, когда одна из волн еще сильнее 2-ух остальных. В случае сильной низкочастотной волны из уравнений Менли — Роу (35) следует, что ее плотность энергии (квадрат амплитуды) изменяется в границах . Так как по предположению на входе среды E01 >> E02, E03, то амплитуда сильной волны при распространении изменяется некординально.

Аналогично для амплитуд «слабеньких» волн 2 и 3 получим

, .

Так как поле сильной волны 1 можно считать неизменным, а полями волн 2 и 3 можно пренебречь, то, подставляя в правую часть первого уравнения системы (33) значения А2 = А3 = 0, получаем А1(z) = const = Е01. Подставляя это

|A02,3(z)| = |E02,3cos(z/Lб) + B2,3sin(z/Lб)|,

где константы В2 и В3 определены из граничных критерий и введена длина биений

.

Таковым образом, в поле сильной низкочастотной волны слабенькие волны на остальных частотах не усиливаются, а их амплитуды испытывают пространственные биения с соответствующим масштабом Lб, при этом возникновение либо исчезновение расстройки k не влияет на нрав процесса, изменяется лишь период биений.

Другое — в случае сильной частотной волны 3. Из соотношений Менли — Роу (35) следует, что , другими словами мощная частотная волна может дать всю свою энергию слабеньким низкочастотным волнам. Это эквивалентно распадению сильной частотной волны в среде с квадратичной нелинейностью вследствие синхронного трехволнового взаимодействия на две низкочастотные волны — распадная неустойчивость. На исходном шаге взаимодействия ВЧ (Высокие частоты)-поле можно считать данным, другими словами

A03(z) E03 >> A01(z), A02(z). При всем этом третье уравнение системы (33) воспринимает вид dA3/dz = 0, другими словами A3(z) = const = E03, а 1-ые два уравнения образуют систему связанных линейных дифференциальных уравнений.

Если добавочно учитывать в левых частях системы уравнений (33) слабенькую диссипацию по типу уравнения (16), получим

Решение этих уравнений вместе с законом сохранения энергии (34) дает

|A01,2(z)| = |E01,2ch(Гz) + B1,2sh(Гz)|exp(-z),

где введен коэффициент параметрического усиления

, .

Несложно созидать, что экспоненциальное нарастание амплитуд низкочастотных волн происходит только при условии , другими словами если мощность ВЧ (Высокие частоты)-поля превосходит порог параметрического усиления

. (36)

Чем больше утраты в среде и рассогласование волновых векторов k, тем выше порог параметрического усиления. Если же условие (36) не выполнено, то имеют пространство пространственные биения амплитуд низкочастотных волн.

Литература

Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2007.

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009.

Иродов И.Е. задачки по общей физике. М.: Двучлен, 2008.

Иродов И.Е. Механика. Главные законы. М.: Лаборатория базисных познаний, 2009.

Иродов И.Е. Электромагнетизм. Главные законы. М.: Лаборатория базисных познаний, 2009.

Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1- М.: Наука, 2006-2008.

Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1- М.: Высшая школа, 2006-2008.

Трофимова Т.И. Лаконичный курс физики. М.: Высшая школа, 2007.

Яворский Б.М., Пинский А.А. Базы физики, т.т. 1-2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

]]>