Учебная работа. Реферат: Показатели надежности восстанавливаемого объекта

Учебная работа. Реферат: Показатели надежности восстанавливаемого объекта

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

1. Постановка задачки. Общая расчетная модель

При расчете характеристик надежности восстанавливаемых объектов и систем более всераспространено

• экспоненциальное распределение выработки меж отказами;
• экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение почти во всем справедливо, так как во-1-х, экспоненциальное распределение выработки обрисовывает функционирование системы на участке обычной эксплуатации, во-2-х, экспоненциальное распределение обрисовывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления дозволяет при простых независящих отказах представить анализируемые системы в виде

При экспоненциальном распределении выработки меж отказами и времени восстановления, для расчета надежности употребляют

Случайный процесс в которой или физической системе
, именуется
если он владеет
для хоть какого момента
0

возможность состояния системы в дальнейшем (
0

) зависит лишь от состояния в реальном (
0

) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (по другому: при фиксированном реальном будущее не зависит от предыстории процесса — прошедшего).

0

0

Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошедшего» лишь через «истинное», т. е. будущее протекание процесса зависит лишь от тех прошедших событий, которые воздействовали на состояние процесса в реальный момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не значит полной независимости от прошедшего, так как оно проявляется в реальном.

При использовании способа, в общем случае, для системы
, нужно иметь
в виде огромного количества состояний системы
1
, S
2
, … , S
n

, в каких она может находиться при отказах и восстановлениях частей.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

— отказавшие элементы системы (либо сам рассматриваемый объект) немедля восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

— отсутствуют ограничения на число восстановлений;

— если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским действием с непрерывным временем и дискретными состояниями
1
, S
2
, … , S
n

.

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

1
, S
2
, … , S
n
)
– вероятные состояния системы
, возникающие при отказах частей;

– вероятные направления переходов из 1-го состояния Si

в другое Sj

.

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

– работоспособное состояние;

– состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том либо ином состоянии S0 и S1 надлежащие:

— исправное состояние длится;

— состояние отказа длится (в предстоящем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число вероятных состояний системы
1
, S
2
, … , S
n
.
Любая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) используют вероятности состояний

(t), … , Pi
(t), … , P


,

где Pi
(t)
– возможность нахождения системы в момент
в
-м состоянии, т. е.

Pi
(

Разумеется, что для хоть какого

(1)

(нормировочное условие, так как других состояний, не считая
1
, S
2
, … , S
n

нет).

3. По графу состояний составляется система обычных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

(2)

В общем случае, интенсивности потоков ij
и ij
могут зависеть от времени
.

а) в левой части – производная по времени
от Pi
(t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с иными состояниями;

в) любой член правой части равен произведению интенсивности перехода на возможность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) символ произведения положителен, если стрелка заходит (ориентирована острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

4. Чтоб решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний
1(t), Pi
(t), … , P

нужно задать изначальное

1(0), Pi
(0), … , P

, при
,

сумма которых равна единице:

Если в исходный момент
состояние системы понятно, к примеру, S(t=0) = Si, то Pi
(0) = 1,
а другие равны нулю.

2. характеристики надежности восстанавливаемых систем

Все состояния системы
можно поделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в каких система работоспособна;

SM
S – подмножество состояний z = , в каких система неработоспособна.

S = SK
SM
,

SK
SM
= 0.

1.

описывает возможность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент

где
– возможность нахождения системы в работоспособном
-м состоянии;

– возможность нахождения системы в неработоспособном
-м состоянии.

2.

3.

определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается
, в процессе которого система перебегает из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не изменяются

Коэффициент готовности
можно высчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi
(t)/dt = 0,
т.к. Pi
=

при t . Тогда система уравнений (2) преобразуется в систему алгебраических уравнений вида:

(3)

и коэффициент готовности:

есть предельное .

4.

системы

(4)

где jz
– интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5.

(5)

6.

на интервале

(6)

При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка меж отказами

0

где () = .

В качестве
, у которого поток отказов простой (пуассоновский) с параметром потока

0
,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

В
,

где

– средняя наработка меж отказами;

В

– среднее время восстановления.

0
(t)
– возможность работоспособного состояния при
;

1
(t)
– возможность неработоспособного состояния при

(7)

Исходные условия: при

0
(t = 0) = P
0
(0) = 1; P
1
(0) = 0,
так как состояния
0

и
1

представляют полную группу событий, то

0

(t) +
1

(t) = 1.

(8)

Выражая
0
(t) = 1 — P
1
(t)
, и подставляя в (7) выходит одно дифференциальное уравнение относительно
1

(
):

d
1

(t)/dt = (1 –
1

(t)) —
1

(t).

(9)

Решение уравнения (9) делается с внедрением преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi
(t):

т. е. Pi
(S) = L{Pi
(t)}
– изображение вероятности Pi
(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi
(t)/dt:

Опосля внедрения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где




.

При
1

S
1

(S) +
1

(S)( + ) = /S.

1

(S)( S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на простые составляющие приводит к:

Применяя оборотное преобразование Лапласа, с учетом:

e-

at
,

определяется:

(11)

Тогда
, равна

(12)

При помощи приобретенных выражений можно высчитать возможность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в хоть какой момент
.

системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при всем этом Pi
(t) = Pi
= const
, потому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, так как

dPi
(t)/dt = 0.

Потому что kг.с есть возможность того, что система окажется работоспособной в момент
при t , то из приобретенной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

(13)

Доп уравнение:
1
= 1.

Выражая
1

= 1 —
0

, получаем 0 =
0

— (1 —
0

), либо =
0

( + ), откуда

(14)

Другие характеристики надежности восстанавливаемого элемента:

-

0





1


.

—
(t) по (4)

0
(t) = Г(t).

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

—
(t )

—
(t )

t0
= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 1

анализ конфигурации
0
(t)
дозволяет создать выводы:

1) При моментальном (автоматическом) восстановлении работоспособности (= )

/ = 0 и P0(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

/ = и P0(t) = e-t
,

и возможность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

способ дифференциальных уравнений быть может применен для расчета характеристик надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «всасывающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

Система дифференциальных уравнений:

Исходные условия:
0


1
(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

Опосля группировки:

откуда

Используя оборотное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке
:

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

Переход от логической схемы к графу состояний нужен:

1)при смене способов расчета надежности и сопоставлении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Разглядим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются оборотные стрелки, надлежащие интенсивностям восстановлений .

]]>