Загрузка...
Учебная работа. Курсовая работа: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов
Строительный факультет
Кафедра строительной механики и вычислительной техники
Курсовая работа
по дисциплине
ИНФОРМАТИКА
Тема:
Вычисление площадей эпюр с внедрением численных способов
работу выполнил:
Работу принял:
г. Пермь, 2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
1.2 Уточнение корня
1.2.1 Способ Ньютона
2 Численное интегрирование
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Введение
Часто решение неких строй задач сводится к решению довольно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачку (к примеру, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные характеристики процесса чистки являются почаще всего нелинейными) либо являться составной частью наиболее сложных задач (к примеру, частью расчета сооружения на устойчивость). Корешки таковых уравнений сравнимо изредка удается отыскать точными способами. Не считая того, в неких вариантах и коэффициенты уравнения, приобретенные в процессе опыта либо как результаты подготовительных расчетов, известны только примерно. означает, сама задачка о четком определении корней уравнения теряет смысл, и принципиальное
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и непознаваемыми.
Хоть какое нелинейное уравнение с одним неведомым можно представить в виде
где функция 
определена и непрерывна в неком конечном либо нескончаемом интервале А <
< В.
Всякое х*
, обращающее уравнение в тождество, именуется корнем этого уравнения, т.е. 
.
С геометрической точки зрения задачка нахождения корней уравнения эквивалентна задачке нахождения нулей функции
либо абсцисс точек пересечения графика функции с осью
, т.е. значений
i
, для которых производится условие 
(для
=1, 2,……).
способы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (четкие) и итерационные (приближенные).
Прямые способы разрешают записать корешки уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некой формулы. На практике класс таковых уравнений очень невелик.
(
) способы – это способы поочередных приближений.
метод нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из 2-ух шагов.
1-ый шаг
— отделение либо локализация корней. На этом шаге нужно решить последующие задачки:
· изучить количество, нрав и размещение корней;
· отыскать их приближенные значения (нулевые итерации).
2-ой шаг
— уточнение приближенного корня до данной степени точности
1.
Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
Отделить (локализовать) корешки — это означает выделить из области допустимых значений функции
отрезки, в любом из которых содержится единственный корень. Отделить корешки можно различными методами: построением таблицы значений функции
; графическим способом; исходя из физического смысла задач. Разглядим наиболее тщательно графический способ. Построим график функции 
Х
у=е^х+lnx-10*x
1,000000
-7,281718
1,200000
-8,497562
1,400000
-9,608328
1,600000
-10,576964
1,800000
-11,362566
2,000000
-11,917797
2,200000
-12,186529
2,400000
-12,101355
2,600000
-11,580751
2,800000
-10,525734
3,000000
-8,815851
3,200000
-6,304319
3,400000
-2,812125
3,600000
1,879168
3,800000
8,036186
4,000000
15,984444
4,200000
26,121416
4,400000
38,932473
4,600000
55,010372
4,800000
75,079033
5,000000
100,022597
Аксиома 1.
Если непрерывная на отрезке [
] функция
воспринимает на концах его обратные знаки, т.е.
, то снутри этого отрезка содержится по наименьшей мере один корень уравнения
. Корень заранее будет единственным, если производная f/
(x)
существует и сохраняет неизменный символ снутри интервала (
), т.е. если f/
(x)
>0 (либо f/
(x<0)
) при
.
Разыскиваемый корень уравнения находится в интервале (3;4).
1.2 Уточнение корня
Итерационный процесс состоит в поочередном уточнении исходного приближения корня х0
. В итоге этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения
:
х1
, х2
, …, хп
Если эта последовательность имеет предел
,
то молвят, что итерационный процесс сходится и сходится к четкому решению уравнения
[3;4].
На практике необходимо ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций)
. количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.
Для прекращения итерационного процесса используются разные аспекты, зависящие от вида функции
в округи корня.
Существует несколько итерационных способов решения нелинейных уравнений: способ половинного деления (бисекций), способ хорд, способ Ньютона (способ касательных), измененный способ Ньютона.
Разглядим наиболее тщательно способ хорд.
1.2.1 Способ Ньютона
Геометрически способ Ньютона эквивалентен подмене маленького участка дуги кривой
касательной, проведенной в некой точке данной для нас кривой.
Пусть функция у=ех
+
на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям аксиомы 1.
Положим для определенности 
для 
и
(5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х0
=5, для которого производится условие
>0.
Проведем касательную к кривой
в точке В0
[х0
;
0
]. В качестве первого приближения корня х1
возмем абсциссу точки пересечения данной для нас касательной с осью
. Через точку В1
[х1
;
1
] опять проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью
даст нам 2-ое приближение корня х2
и т.д.
Уравнение касательной в точке В1
[х1
;
1
] (
) к нашей кривой записывается
Пологая
, х=хп+1
, получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность
.
способ касательных отлично реализуется на ЭВМ
способ Ньютона
f(x)=е^х+lnх-10*х
0
5,00000
100,02260
138,61316
100,02260
1
4,27840
30,79482
62,35902
30,79482
2
3,78457
7,50210
34,28113
7,50210
3
3,56573
0,97941
25,64582
0,97941
4
3,52754
0,02541
24,32372
0,02541
5
3,52650
0,00002
24,28827
0,00002
6
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
7
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
8
3,52650
0,00000
24,28824
0,00000
Вывод: к данной точности 
более близка 5-я итерация.
, 
.
Проверим решение данного уравнения способом надстройки:
Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0
Х0
Xn
F(Xn)
3,5265
3,5265
0,00005
2 Численное интегрирование
При решении довольно огромного круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.
Весьма нередко используют формулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы именуют
.
Мысль численного способа заключается в подмене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой рассчитывается довольно просто.
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [
] разбиваем на
равных отрезков и получаем
равноудаленных точек: х0
=а, хп
=
i
+1
xi
, где
шаг разбивки. При всем этом обозначим
i
i
.
Площадь каждой простой криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием
и высотой 
, где 
,
.
Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».
В нашем случае разглядим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда 
.
Произведём разбивку для n=5 и n=10:
a=
3,0000
Численное интегрирование
b=
3,5265
n=
5
=
h=
0,1053
Номер
Способ
узла
узла
ср.прямоуг
1
3,0000
-8,8159
0,0000
2
3,1053
-7,6040
-0,9228
3
3,2106
-6,1456
-1,7179
4
3,3159
-4,4131
-2,3595
5
3,4212
-2,3759
-2,8187
6
3,5265
0,0000
-3,0633
a=
3,0000
b=
3,5265
n=
10
h=
0,0527
Номер
Способ
узла
узла
ср.прямоуг
1
3,0000
-8,8159
0,0000
2
3,0527
-8,2391
-0,4628
3
3,1053
-7,6040
-0,8952
4
3,1580
-6,9073
-1,2941
5
3,2106
-6,1456
-1,6564
6
3,2633
-5,3154
-1,9786
7
3,3159
-4,4131
-2,2571
8
3,3686
-3,4346
-2,4880
9
3,4212
-2,3759
-2,6675
10
3,4739
-1,2325
-2,7912
11
3,5265
0,0000
-2,8547
a=
3,5265
Численное интегрирование
b=
4,0000
n=
5
=
h=
0,0947
Номер
Способ
узла
узла
ср.прямоуг
1
3,5265
0,0000
0,0000
2
3,6212
2,4572
0,0045
3
3,7159
5,2492
0,2417
4
3,8106
8,4093
0,7433
5
3,9053
11,9743
1,5441
6
4,0000
15,9844
2,6825
a=
3,5265
b=
4,0000
n=
10
h=
0,0474
Номер
Способ
узла
узла
ср.прямоуг
1
3,5265
0,0000
0,0000
2
3,5739
1,1887
0,0011
3
3,6212
2,4572
0,0585
4
3,6686
3,8093
0,1760
5
3,7159
5,2492
0,3575
6
3,7633
6,7810
0,6072
7
3,8106
8,4093
0,9294
8
3,8580
10,1388
1,3287
9
3,9053
11,9743
1,8099
10
3,9527
13,9211
2,3780
11
4,0000
15,9844
3,0382
]]>