Учебная работа. Реферат: Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

Учебная работа. Реферат: Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении,
или уравнении Болъцмана.
Мы рассматриваем функцию fk
(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция fk
(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk
— скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t
носители заряда в этом состоянии пройдут путь t
vk
. следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t
равно числу их в окрестности точки r – t
vk
в момент времени 0:

fk
(r, t
) = fk
(r – t
vk
, 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии
есть

¶fk
/¶t
]diff
= – vk
׶fk
/¶r = – vk
×Ñfk
. (36)

2. внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей
функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение ¶fk
/¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñk
).

3. влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk
меняется со скоростью

¶fk
/¶t
]scatt
= ∫{ fk’
(1 – fk
) – fk
(l – fk’
)}Q(k, k’) dk’. (40)

процесс рассеяния из состояния k в состояние k’ приводит к уменьшению fk
. вероятность этого процесса зависит от величины fk
— числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk
‘
) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k’ в k, который ведет к увеличению функции fk
; он пропорционален величине fk
‘
(1 – fk
). очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k’. Для каждой пары значений k и k’ существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q
(k, k’), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k’ вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости,
та же функция дает и скорость перехода из k’ в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk
(r) равна нулю, т. е.

¶fk
/¶t
]scatt
+ ¶fk
/¶t
]field
+ ¶fk
/¶t
]diff
= 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное,
но не обязательно равновесное состояние.
Для последнего функция распределения обозначается через f0
k
, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

gk
= fk
– f0
k
. (42)

где

f0
k
= 1/{exp[(E k
– z)/kT] + 1} (43)

здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0
k
в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r),
и положим

gk(r)=fk
(r) – f0
k
{3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

ògk
(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– vk
׶fk
/¶r – e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶fk
/¶k = – ¶fk
/¶t]scatt
, (46)

или

– vk
׶fk
/¶T ÑT – e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶ f0
k
/¶k = – ¶fk
/¶t]scatt
+ vk
׶gk
/¶r + e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶gk
/¶k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(¶f0
/¶E)vk
×{( E (k) – z) / T×ÑT + e (E – 1/e×Ñz)} = – ¶fk
/¶t]scatt
+ vk
׶gk
/¶r + e /ħc[vk
´ H] ׶gk
/¶k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E׶gk
/¶k) порядка E2
, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk
[vk
´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk
(r) к функции распределения. Функция gk
(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– ¶f0
/¶E)vk
×eE = – (¶f0
/¶t)]scatt
= ò(fk
– fk
¢
)Q(k,k¢)dk¢= ò(gk
– gk
¢
)Q(k,k¢)dk¢ (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk
.

вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

– ¶fk
/¶t]scatt
= gk
/t (50)

Тем самым мы вводим время релаксации
t. При выключении поля любое отклонение gk
от равновесного распределения будет затухать по закону

– ¶gk
/¶t = gk
/t, (51)

или

gk
(t) = gk
(0)e – t /
t
. (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

gk
= (– ¶f0
/¶E) tvk
×eE (53)

чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

òf0
k
evk
(r)dk º 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– ¶f0
/¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = s×E, (56)

где s – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности
сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х,
подынтегральное выражение в (55) есть

(vk
vk
× E) = v2
x
E, (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2

E.
поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

L = tv. (60)

Это есть основная формула для электропроводности.

интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk
, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk
велика только вблизи поверхности Ферми.

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk
×eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

(61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (et/ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости t). Эта же формула справедлива при T
= 0,
когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

fk
= f0
(Ek
+ etvk
E), (62)

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

dEk
= etvk
E. (63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk
двигался в поле E в течение интервала времени t. Это замечание лежит в основе кинетического метода
решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости
dv в направлении поля; именно

dv(¶E/¶v) = evEt, (64)

или для классической частицы массы m

dv(¶E/¶v) = evEt / mv. (65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = nedv, (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

s = ne2
t/m. (7.33)

легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п
следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

s = n|е|m (68)

где

m = |e|t/m (69)

есть подвижность
носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

s = nh
|е| mh
+ ne
|е| me
. (70)

нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение

(71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. таким образом,

me
= |e|te
/me
(7.38)

где те
—
эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T
распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение t (EF
).