Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Система счисления 2
Что такое система счисления?
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Почему люди пользуются десятичной системой, а компы — двоичной?
Почему в компах употребляются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Сложение в разных системах счисления
Вычитание в разных системах счисления
Умножение в разных системах счисления
Деление в разных системах счисления
Что такое система счисления?
Система счисления — это совокупа приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Есть позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления
вес числа (т. е. тот вклад, который она заносит в
В позиционных системах счисления
вес каждой числа меняется зависимо от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. к примеру, в числе 757,7 1-ая семерка значит 7 сотен, 2-ая — 7 единиц, а 3-я — 7 10-х толикой единицы.
Сама же запись числа 757,7 значит сокращенную запись выражения:
Неважно какая позиционная система счисления характеризуется своим основанием
.
Основание позиционной системы счисления
— количество разных цифр, применяемых для изображения чисел в данной системе счисления.
За основание системы можно принять хоть какое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Как следует, может быть бессчетное огромное количество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления числа упорядочены в согласовании с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением
числа
именуют подмену её последующей по величине.
Продвинуть цифру 1 означает поменять её на 2, продвинуть цифру 2 означает поменять её на 3 и т.д. Продвижение старшей числа (к примеру, числа 9 в десятичной системе) значит подмену её на 0. В двоичной системе, использующей лишь две числа — 0 и 1, продвижение 0 значит подмену его на 1, а продвижение 1 — подмену её на 0.
Для образования целого числа, последующего за хоть каким данным целым числом, необходимо продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра опосля продвижения стала нулем, то необходимо продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем 1-ые 10 целых чисел
· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Не считая десятичной обширно употребляются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а конкретно:
Двоичная система
Четверичная система
Восьмеричная система
Десятичная система
Шестнадцатиричная система
1
1
1
1
1
10
2
2
2
2
11
3
3
3
3
100
10
4
4
4
101
11
5
5
5
110
12
6
6
6
111
13
7
7
7
1000
20
10
8
8
1001
21
11
9
9
1010
22
12
10
A
1011
23
13
11
B
1100
30
14
12
C
1101
31
15
13
D
1110
32
16
14
E
1111
33
17
15
F
10000
40
20
16
10
Почему люди пользуются десятичной системой, а компы — двоичной?
люди предпочитают десятичную систему, возможно, поэтому, что с старых времен считали по пальцам, а пальцев у людей по 10 на руках и ногах. Не постоянно и не всюду люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, к примеру, длительное время воспользовались пятеричной системой счисления.
А компы употребляют двоичную систему поэтому, что она имеет ряд преимуществ перед иными системами
:
· для ее реализации необходимы технические устройства с 2-мя устойчивыми состояниями
(есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, к примеру, с 10, — как в десятичной;
· инфы;
· двоичная математика намного проще десятичной.
Недочет двоичной системы
— резвый рост числа разрядов, нужных для записи чисел.
Почему в компах употребляются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, комфортная для компов, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и напротив делает машинка. Но, чтоб мастерски употреблять комп, следует научиться осознавать слово машинки. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются практически так же просто, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, 3-я и 4-ая степени числа 2).
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Количество
разных цифр, употребляемых в позиционной системе описывает заглавие системы счисления и именуется основанием
системы счисления – «p
«
. Хоть какое число
в позиционной системе счисления с основанием
быть может представлено в виде полинома от основания
:
N = an
pn
+an-1
pn-1
+ … +a1
p+a0
+a-1
p-1
+a-2
p-2
+ …
(1.1)
тут
– число, aj
– коэффициенты (числа числа),
– основание системы счисления (
). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
an
an
-1
1
0
-1
-2
Перевод чисел в десятичную систему
осуществляется методом составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Потом подсчитывается
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему
счисления осуществляется поочередным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до того времени, пока не получится личное наименьшее этого основания. Число в новейшей системе записывается в виде остатков деления, начиная с крайнего.
Пример:
Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ:
7510
= 1 001 0112
= 1138
= 4B16
.
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь нужно поочередно множить на основание той системы, в которую она переводится. При всем этом множатся лишь дробные части. Дробь в новейшей системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример.
Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Для перевода неверной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием
нужно раздельно перевести целую часть и раздельно дробную. Перевести 23.12510
2 с.с.
1. Переведем целую часть:
2. Переведем дробную часть:
3. Таковым образом:
2310
= 101112
;
0.12510
= 0.0012
.
Итог:
23.12510
= 10111.0012
.
системы счисления именуются кратными
, если производится соотношение: S = RN
, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).
Для перевода числа из системы счисления
R
в кратную ей систему счисления
S
поступают последующим образом: двигаясь от точки на лево и на Право, разбивают число на группы по N
разрядов, дополняя по мере необходимости нулями последние левую и правую группы. Потом группу подменяют соответственной цифрой из системы счисления S
.
Таблица
Перевести 1101111001.11012
«8» с.с.
Перевести 11111111011.1001112
«16» с.c.
Для перевода числа из системы счисления
S
в кратную ей систему счисления
R
довольно поменять каждую цифру этого числа подходящим числом из системы счисления R
, при всем этом отбрасывают незначащие нули в старших (00
512) и младших (15,124000
) разрядах.
Перевести 305.48
«2» с.с.
Перевести 7B2.E16
«2» с.с.
Если требуется выполнить перевод из системы счисления S
в R
,
при условии что они не являются кратными
, тогда необходимо испытать подобрать систему счисления K
, такую что: S =
K
N
и R
=
K
N
.
Перевести 175.248
«16» с.с.
Итог: 175.248
= 7D.516
.
Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежной десятичную
систему счисления.
Для всего этого примеры
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
весьма прост: довольно каждую цифру поменять эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) либо тетрадой (четверкой цифр).
к примеру:
Чтоб перевести число из двоичной системы в восьмеричную либо шестнадцатеричную,
его необходимо разбить на лево и на Право от запятой на триады (для восьмеричной) либо тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу поменять соответственной восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. к примеру:
Сложение в разных системах счисления
Таблицы сложения просто составить, используя правило Счета.
Вычитание в разных системах счисления
Умножение в разных системах счисления
Выполняя умножение неоднозначных чисел в разных позиционных системах счисления, можно употреблять обыденный метод перемножения чисел в столбик, но при всем этом результаты перемножения и сложения конкретных чисел нужно заимствовать из соответственных рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Деление в разных системах счисления
Деление в хоть какой позиционной системе счисления делается по этим же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление производится в особенности просто, ведь еще одна цифра личного быть может лишь нулем либо единицей.
]]>