Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Системы счисления 5
именуется совокупа приемов наименования и записи чисел. В хоть какой системе счисления для представления чисел выбираются некие знаки (их именуют
), а другие числа получаются в итоге каких-то операций над цифрами данной системы счисления.
Система именуется
, если
Число единиц какого-нибудь разряда, объединяемых в единицу наиболее старшего разряда, именуют
. Если количество таковых цифр равно
, то система счисления именуется
-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, применяемых для записи чисел в данной для нас системе счисления.
Запись случайного числа
в
-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = an
Pn
+ an
-1
Pn
-1
1
1
0
0
-1
-1
+ a-m
P-m
Арифметические деяния над числами в хоть какой позиционной системе счисления выполняются по этим же правилам, что и десятичной системе, потому что они все основываются на правилах выполнения действий над надлежащими многочленами. При всем этом необходимо лишь воспользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию
системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием
> 1 обычно употребляют последующий метод:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на
, опосля что запоминается остаток от деления. Приобретенное личное вновь делится на
, остаток запоминается. Процедура длится до того времени, пока личное не станет равным нулю. Остатки от деления на
выписываются в порядке, оборотном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она множится на
, опосля что целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь приобретенная дробная часть множится на
и т.д. Процедура длится до того времени, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются опосля запятой в порядке их получения. Результатом быть может или конечная, или повторяющаяся дробь в системе счисления с основанием
. Потому, когда дробь является повторяющейся, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и наслаждаться приближенной записью начального числа в системе с основанием
.
Кодирование чисел
Чтоб употреблять числа, необходимо их как-то именовать и записывать, нужна система нумерации. Разные системы счёта и записи чисел тысячелетиями сосуществовали и соревновались меж собой, но к концу «докомпьютерной эры» необыкновенную роль при счёте сделалось играться число «10», а самой пользующейся популярностью системой кодировки оказалась позиционная десятичная система.
В данной для нас системе системы: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — всего 10 цифр, таковым образом основание системы счисления — 10. Число записывается как композиция единиц, 10-ов, сотен, тыщ и так дальше. Пример: 1998=8*100
+ 9*101
+ 9*102
+ 1*103
.
В данной для нас системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только лишь цифра, да и пространство, на котором цифра стоит (другими словами ее позиция). Самая правая цифра числа указывает число единиц, 2-ая справа — число 10-ов, последующая — число сотен и т.д.
Пример:
33310
= 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Заметим, что выбор числа 10 в качестве основания системы счисления разъясняется традицией, а не какими-то восхитительными качествами числа 10. Совершенно, N=an
*pn
+an-l
*pn-l
+…+al
*pl
+ao
,
где
а
¹
0,
а
i
Î
{0, 1, 2, …,
а
i
}.
В Вавилоне, к примеру, использовалась 60-ричная система счисления, алфавит содержал числа от 1 до 59, числа 0 не было, таблицы умножения были весьма массивными, потому весьма скоро она была позабыта, но отголоски её былой распространённости можно следить и на данный момент — деление часа на 60 минут, деление круга на 360 градусов.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления была выдумана математиками и философами ещё до возникновения компов (XVII — XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц гласил: «Вычисление при помощи двоек… является для науки главным и порождает новейшие открытия… При сведении чисел к простым началам, каковы 0 и 1, всюду возникает расчудесный порядок«. Позднее двоичная система была позабыта, и лишь в 1936 — 1938 годах южноамериканский инженер и математик Клод Шеннон нашёл примечательные внедрения двоичной системы при конструировании электрических схем. Разглядим пример представления числа в двоичной системе счисления:
Пример 2.1.1.
2000:2=1000(0 — остаток),
1000:2=500(0),
500:2=250(0),
250:2=125(0),
125:2=62(1),
62:2=31(0),
31:2=15(1),
15:2=7(1),
7:2=3(1),
3:2=1(1)
200010
==111110100002
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
210
29
28
27
26
25
24
23
22
2’
2°
2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на подобающую степень числа 2 (см. 0*20
+0*21
+0*22
+0*23
+l*24
+0*25
+l*26
+l*27
+l*28
+l*29
+l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Есть системы счисления, схожие двоичной. При работе с компами время от времени приходится иметь дело с двоичными числами, потому что двоичные числа заложены в систему компа. Двоичная система комфортна для компа, но неудобна для человека — очень длинноватые числа неловко записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, схожие двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная.
к примеру, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предусмотрены 10 арабских цифр и буковкы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтоб записать число в данной для нас системе счисления, комфортно пользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число — 2000 либо 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки символов, двигаясь справа влево, в крайней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтоб количество символов в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод — числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (710
=1*20
+1*21
+1*22
), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*20
+ 0*21
+ 1*22
+ 1*23
), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, в конце концов, число 0000 — в хоть какой системе счисления 0. Запишем сейчас итог:
111110100002
= 7D016
.
ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ системы СЧИСЛЕНИЯ
Хотя десятичная система счисления является более обширно применимой, это никак не значит, что она самая наилучшая. Обширное распространение почти во всем разъясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по 10 пальцев. Что все-таки касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным фуррором могут быть адаптированы к системе счисления с хоть каким основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 либо какому-нибудь другому целому положительному числу, не считая единицы. к примеру, подставив в полиномиальное x
можно подставить и хоть какое другое целое положительное число. Заместо числа 10 в качестве основания системы счисления почаще остальных предлагалось употреблять числа 8 и 12. системы, получающиеся при таковых подменах, известны под заглавием восьмеричной и двенадцатеричной. В восьмеричной системе заместо переменной
в полиномиальном представлении следует подставить 8, тогда и число, равное в десятичной системе 765,43, в восьмеричной системе окажется равным (8 2
) + 6(8 1
) + 5(8 0
) + 4(8 –1
) + 3(8 –2
), т.е. числу. В двенадцатеричной системе то же самое полиномиальное наших обыденных обозначениях. Что касается вычислений, то они во всех 3-х системах счисления, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной, выполняются фактически идиентично и с одной и той же легкостью. Различие в главном заключается в таблицах сложения и умножения, так как они меняются от одной системы счисления к иной. К примеру, сумма семь плюс семь равна сумме восемь плюс 6 в восьмеричной системе, 10 плюс четыре – в десятичной и двенадцать плюс два – в двенадцатиричной. Символически эти суммы и произведения можно записать последующим образом:
Мы лицезреем, что переход от десятичной системы к восьмеричной либо двенадцатиричной вправду просит полного пересмотра таблиц сложения и умножения; это разъясняет, почему предложения о переходе к сиим системам счисления не получили широкого признания. Достоинства, которые сулит этот переход, сводятся на нет сопряженными с ним трудностями. Главные достоинства восьмеричной и двенадцатиричной систем счисления соединены с делимостью их оснований. Рассматривая лишь целые числа, наименьшие половины основания (так как ни одно число не быть может делителем основания, если это число больше половины основания, но меньше его), несложно осознать, что число 10 имеет два неделителя – числа 3 и 4, тогда как в восьмеричной системе единственный неделитель, наименьший половины основания, есть число 3, а в двенадцатиричной системе единственный неделитель основания равен числу 5. По другому говоря, преимущество числа 12 как основания системы счисления состоит в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. Число 8 имеет делителями лишь числа 2 и 4, но его основное преимущество перед иными в том, что непрерывное деление напополам постоянно приводит к «одноместному» дробному представлению в полиномиальной форме. к примеру, если 8 поделить на 210
, то итог окажется в точности равным (0,004)8
, тогда как если 12 поделить на 210
, то получится (приближенно) (0,0183)12
, а при делении на 210
числа 10 итог (также приближенный) будет равным (0,0097656)10
.
В метрологии огромное время делится на 12 и значительно употребляет деление единиц на 60 частей. Особенная роль числа 60 в наших измерениях времени и углов связана с тем, что около 4 тыщ лет вспять древнейшие вавилоняне поняли, что число 60 имеет много делителей, и избрали его не только лишь за базу собственных весов и мер, да и собственной системы счисления. Позиционный принцип вошел в обиход в связи с шестидесятиричной, а не десятичной системой. Но основание 60 владеет одним суровым недочетом: оно очень велико для того, чтоб его можно было употреблять в современной цифровой полиномиальной форме, т.к. для этого потребовалось бы 60 разных знаков, которые обозначали бы 1-ые шестьдесят неотрицательных целых чисел. Не считая того, таблицы сложения и умножения включали бы числа от 1 до 59, что потребовало бы чрезвычайно большенный перегрузки на память. Сиим же недочетом владеет и хоть какое другое основание большее 12, потому двенадцатиричная система является большим фактически вероятным основанием. Сама двенадцатиричная система просит введения 2-ух новейших цифр – для обозначения чисел 10 и 11. Для данной для нас цели были предложены буковкы
и
. Преимущество двоичной системы в том, что для нее нужно всего только две числа, но она размещается на другом конце шкалы относительно шестидесятиричной системы, для большинства практических целей основание ее очень не достаточно и потому число символов при записи чисел в двоичной системе оказывается очень огромным. (
.
.) Числа 8, 10 и 12 весьма близки к хорошей величине основания системы счисления, и вычисления в восьмеричной, десятичной и двенадцатиричной системах производятся сравнимо просто.
Аргументы в пользу двенадцатиричной системы счисления не следует путать с аргументами в защиту двенадцатиричной монетарной и метрологической систем. Уже вавилоняне отлично соображали желательность согласованности системы счисления и метрологической системы. Но длительное внедрение десятичной системы вкупе с двенадцатиричными и шестидесятидесятиричными единицами измерения затушевало делему их несогласованности. Наиболее того, появилась тенденция гиперболизировать те трудности, которые могла бы породить неважно какая попытка их унифицировать. Внутренняя согласованность, по-видимому, играет наиболее важную роль, чем хоть какой выбор одного основания систем, будь то 8, 10 либо 12. Во времена Величавой французской революции, на заседаниях Революционной комиссии по весам и мерам, высказывались представления о введения двенадцатиричных систем мер и весов, но окончательное решение склонилось в пользу унификации мер и весов на базе десятичной системы счисления. Результатом такового решения стала метрическая система, получившая сейчас практически всеобщее признание.
В тех вариантах, когда вкупе с десятичной системой счисления параллельно употребляются двенадцатиричные и остальные единицы измерения, безизбежно возникает сложная задачка перевода из одной системы единиц в другую.
Следует подразумевать, что трудности перехода от одной системы счисления к иной не имеют никакого дела к преимуществам либо недочетам выполнения арифметических операций полностью в рамках одной системы, будь то восьмеричная, десятичная либо двенадцатиричная система. Десятичная система не может не признать маленьких преимуществ 2-ух остальных систем: восьмеричная система имеет наименьшие по размеру таблицы сложения и умножения и в особенности отлично адаптирована к делению на 2, а двенадцатиричная удобнее для выполнения операции деления и представления обычных дробей. Достаточны ли эти достоинства для того, чтоб настаивать на придании всепригодного нрава той либо другой системе счисления, – вопросец довольно спорный, но основанное в 1944 Двенадцатиричное общество Америки сделалось центром, объединяющим активную деятельность тех, кто желал бы, чтоб число 12 игралось настолько же важную роль, какую в почти всех цивилизациях в протяжении прошедших полдюжины 1000-летий игралось число 10.
Восьмеричная система счисления.
восьмеричная система счисления
1
2
3
4
5
6
7
двоичная система счисления
000
001
010
011
100
101
110
111
к примеру, 5028
= 101 000 0102
Довольно прост и оборотный переход от двоичной с/с к восьмеричной. Для этого в двоичной записи числа необходимо выделить триады (на лево и на Право от десятичной точки) и поменять каждую триаду соответственной восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.
к примеру, 1 111 1102
= 001 111 1102
= 1768
Восьмери́чная систе́ма счисле́ния
— позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней употребляются числа 0 до 7.
Восьмеричная система нередко употребляется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и назад, путём подмены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее обширно использовалась в программировании и совершенно компьютерной документации, но в истинное время практически вполне вытеснена шестнадцатеричной. В восьмеричной системе указываются права доступа для команды chmod в Unix-подобных операционных системах.
Одними из самых первых индивидуальных компов таковых компаний, как Apple II, Commodore 64, TRS-80, Motorola и IBM употребляли 8 — битные
процессоры, которые могли обрабатывать по восемь битов
инфы за один такт. Для обработки наиболее 8 битов
они делали доп операции.
Битом
именуют отдельную цифру в двоичной системе исчисления, тетрадой – группу из 4 бит
. Группа из 8 битов
, именуемая б
, вошла в «плоть и образованная жидкой соединительной тканью. Состоит из плазмы и форменных элементов: клеток лейкоцитов и постклеточных структур: эритроцитов и тромбоцитов»>кровь
» логической архитектуры микропроцессоров всех следующих поколений процессоров (в том числе 16, 32 и 64 разрядных). б
может представлять спектр десятичных значений от 010
(000000002
) до 25510
(111111112
). Де факто б
стали представлять главный единицей обработки количества инфы.
В состав хоть какого процессора заходит аккумулятор, разрядность которого обычно совпадает с разрядностью процессора (микропроцессора). Сначала батареи были 8-ми разрядными, в их один б составлял одно слово (длина слова в этом случае – 8 бит). Совершенно, слово – одна группа обрабатываемых бит, единое выражение либо одна команда процессора (микропроцессора). Восьмиразрядный микропроцессор переносит и помещает все данные группами из 8 бит, которые передаются восемью проводниками, составляющими шину данных, 16-ти разрядный – группами по 16 бит (у него длина слова 2 б), и т.д.
]]>