Учебная работа. Доклад: Интересные примеры в метрических пространствах

Учебная работа. Доклад: Интересные примеры в метрических пространствах

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную —сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l2
дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е1
=(1, 0, 0, …, 0, 0, …),

е2
=(0, 1, 0, …, 0, 0, …),

…………………………,

еn
=(0, 0, 0, …, 1, 0, …),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn
и ем
(n¹m) равно Ö2. поэтому последовательность {еi
} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

рассмотрим в l2
множество П точек

x=(x1
, x2
, ¼, xn
, …),

удовлетворяющих условиям:

| x1
|£1, | x2
|£1/2, ¼,| xn
|£1/2n
-1
, …

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2
. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n
-1

из П сопоставим точку x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, …)

из того же множества. При этом

r(x,x*)=£<1/2n -1

множество П* точек вида x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, …) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.

доказательство: для «e>0, выберем n так, что 1/2n
-1

«xÎП: x=(x1
, x2
, ¼, xn
, …) сопоставим

x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, …) и x*ÎП. При этом r(x,x*)пространства П выберем x**: r(x*,x**)

Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)

множество П* содержит точки вида x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, …), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)