Загрузка...
Учебная работа. Контрольная работа: Численные методы расчетов в Exel
Государственное образовательное учреждение высшего проф образования
Северо-Западный муниципальный заочный
технический институт
Институт управления производственными и
инноваторскими программками
Кафедра информатики
Тема: “ Численные способы и расчеты в EXCEL.”
задачка 1.
задачка 2.
Задачка 3.
Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна
ИУПиИП
Курс: II
Специальность: 80502.65
Шифр: 578030493
Педагог: Ходоровская Валентина Сергеевна
Подпись педагога:
Санкт-Петербург
2007
Тема .
Численные способы и расчеты в EXCEL.
Задачка 1.
Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
анализ и прогнозирование в EXCEL.
I. Написать выражение для
.
II. Составить программку для вычисления значения функции в данных точках
x1
; x2
; x3
; x4
:
с помощью
для реализации ее в EXCEL
;
с помощью функций, осуществляющих прогноз вычислений
.
Функция задана таблицей с
:
x1
= 0.149
x2
= 0.240
x3
= 0.430
x4
= 0.560
Главные понятия.
научиться воспользоваться программкой EXCEL
для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и исследование режимов экстраполяции данных в EXCEL
.
задачка интерполяции
сводится к требованию четкого совпадения в узловых
точках функции и ее приближения, где число определяемых характеристик аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выбирании данного аспекта задачка сводится к построению
.
По определению интерполяция — это отыскание промежных значений величины по неким известным ее значениям.
Само слово
происходит от латинского
, что в переводе означает “изменение, переделка”
.
Экстраполяция — это процедура подобная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0
, xn
)
. Происходит от
и латинского
, что означает
.
Аппроксимация — это подмена одних математических объектов (к примеру, чисел либо
функций) иными, наиболее ординарными и в том либо ином смысле близкими к начальным(к примеру, кривых линий близкими к ним ломаными).
слово происходит от латинского
, что означает
.
Графически задачка
состоит в том, чтоб выстроить такую
, которая бы проходила через все узлы
Почаще всего в качестве
употребляются
Pn
(x).
задачка заключается в том, чтоб подобрать многочлен Pn
(x),
обеспечивающий требуемую
.
Более удачно для
употребляется
, для записи которого в случае
функции с
употребляются
.
термин
имеет то же значение, что и слово
и происходит от
часть сложных слов, указывающая на огромное количество, всесторонний охват либо различный состав чего-либо (от греческого
– многий, бессчетный, широкий) и латинского
, т.е.
.
именуется разность:
Дyi
= yi + 1
— yi
, i
= 0,1, …. , n
– 1
Аналогично определяются
и
Интерполяционный полином Ньютона.
записывается в виде:
Pn
(x) = y0
+ (x-x0
) · Дy0
/1!h + (x-x0
)(x-x1
) · ДІy0
/2!hІ+….+ (
0
1
xn
-1
n
0
hn
Решение.
Выполнение задания I.
Напишем выражение для
для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице.
указаны в
.
Из таблицы видно, что значения
являются равноотстоящими узлами, потому что растут умеренно с шагом
= 0,05
.
Степень
определяется числом
( в данном случае их девять ).
Pn
(x
) = P9
(x)= y0
+ (x-x0
) Дy0
/ 1!h + (x-x0
) (x-x1
) ДІy0
/2!h2
+..
..+ (x-x0
)
(x-x1
) (x-x2
) (x-x3
) (x-x4
) (x-x5
) (x-x6
) (x-x7
) (x-x8
) (x-x9
)
9
y0
/ 9!
h9
=
0,05 2
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3
+(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6
+
· 0,05 8
+
· 0,05 9
.
Выполнение задания II.
1)Составление программки для вычисления значений функции в данных точках с помощью полинома Ньютона.
Шаг 1-ый:
Подготовка начальных данных электрической таблицы в EXCEL
:
)
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).
)
Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.
)
Введем начальные данные в ячейки B5 : C14.
Таковым образом подготовлена таблица для выполнения работы.
Шаг 2-ой:
Ввод формул:
)
Ввод формул для вычисления
:
в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 =
y1
– y0
,
которая воспримет вид: =C6–C5
;
копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В итоге в ячейке D6
получаем формулу =C7-C6
(т.е.Дy1
=y2
— y1
= 0,779 – 0,819 = -0,040
),в ячейке D7
получаем формулу =C8-C7
(т.е. Дy2
= y3
– y2
= 0,741 – 0,779= -0,038
) и т.д. до ячейки D13, где
получаем формулу
=C14-C13
(т.е. Дy8
= y9
– y8
= 0,549 – 0,577= -0,028
)
Ввод формул для вычисления
:
в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 покажется формула
=D6-D5
(т.е. ДІy0
= Дy1
— Дy0
= -0,040 — ( -0,041) = 0,001
). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.
В ячейке E12 получаем формулу =D13 — D1
(т.е. ДІy7
= Дy8
— Дy7
= — 0,028 — ( -0,029) = 0,001
).
Ввод формул для вычисления
:
для вычисления всех
нужно ввести лишь одну формулу(в ячейке D5), все
другие будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.
Отображение в режиме формул см. в
Отображение в режиме значений см. в
.
Шаг 3-ий:
Ввод формул:
Ввод формул для вычисления
для вычисления первого промежного коэффициента (x-x0
/1!h)
в ячейку M5 введем формулу
=($N$2 — B5) / (A5 + 1) / $F$2
. В ячейке N2 находится текущее
. При копировании адресок данной нам ячейки изменять недозволено, потому мы используем абсолютный адресок (значок $). В ячейке F2 находится
, адресок данной нам ячейки тоже абсолютный (значок $).
для вычисления
(x-x0
) (x- x1
)/2!h
= (x-x0
)/1·h · (x-x1
)/ 2·h = a · b,
где
коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0
)/1h,
коэффициент, на который необходимо помножить M5, b = (x-x1
) / 2h,
вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2
.
опосля ввода данных в M5 и M6, для вычисления других
копируем формулу из M6 в другие 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:
=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 ,
в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2
и
т.д.
Шаг 4-ый:
Ввод формул:
Ввод формул для вычисления
для вычисления
, который равен (x-x0
) · Дy0
/ 1!h = (x-x0
) / 1h ·Дy0
,
содержимое ячейки M5 нужно помножить на содержимое ячейки D5, где хранятся
. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5
. символ $
перед номером строчки нужен, т.к. в
находятся лишь
с индексом ноль, т.е. все
берутся лишь из строчки с номером 5;
для ввода
копируем формулу из N5 в другие 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5
, в N7 формулу =M7*F$5
, в N8 формулу =M8*G$5
и т.д. до ячейки N13.
Шаг 5-ый
Ввод формул:
Ввод формул для вычисления
объединим ячейки A16 : M16, потом в объединенные ячейки введем комментарий
в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13)
. сейчас в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, не считая y0
.
При
в ячейке N16 выходит число
Шаг 6-ой:
Ввод формул:
Ввод формул для вычисления
объединим ячейки A18 : M18, потом в объединенные ячейки введем комментарий «
;
в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5
. В ячейке N18 покажется число
, которое и есть
Шаг седьмой:
Вычисление
и
при
;
;
0,560.
в ячейку N2 вводим
. Итог:
в ячейке N16 —
в ячейке N18 —
в ячейку N2 вводим
. Итог:
в ячейке N16 —
в ячейке N18
в ячейку N2 вводим
. Итог:
в ячейке N16 —
в ячейке N18 —
Шаг восьмой:
Для удобства приобретенные данные занесем в нашу таблицу.
Таблицы прилагаются. Режим формул —
Режим значений —
2)Составление программки для вычисления значений функции в данных точках с помощью функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Экстраполяция (прогнозирование) при помощи функции аппроксимации кривой.
Табличный машина — комплекс технических средств, предназначенных для автоматической обработки информации в процессе решения вычислительных и информационных задач) (либо вычислительной системы) которое делает арифметические и логические операции данные программкой преобразования инфы управляет вычислительным действием и коор EXCEL
предоставляет возможность
с внедрением
Пусть в узлах x0
, x1
, …, x n
известны значения f(x0
), f(x1
), … ,f(x n
).
Нужно выполнить
(прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1
), f(x n+2
В группы
для этого употребляются две функции:
и
, осуществляющие
x (x0
, x1
, … , x n
)
и y (y0
,y1
, … , y n
)
способом меньших квадратов.
Функция
имеет структуру:
ТЕНДЕНЦИЯ (
массив,
массив,
перечень)
массив ,
массив
— даны из условия.
перечень
— это те значения
, для которых требуется сосчитать значения функции
Функция
имеет структуру:
ПРЕДСКАЗАНИЕ (
;
массив;
массив)
Опосля
эта функция возвращает лишь одно прогнозируемое
(для 1-го из данных значений аргументов.
Работа с функцией
Шаг 1-ый:
Сделаем электрическую таблицу в
, используя начальные данные.
Шаг 2-ой:
Для того, чтоб поместить итог в перечень итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.
Шаг 3-ий:
Дальше нужно щелкнуть по пиктограмме
.
Шаг 4-ый:
В первом окне выберем категорию
, функцию
потом щелкнем по
В окне “Известные значения
y”
введем адресок блока ячеек C3:L3.
В окне
x”
введем адресок блока ячеек C2:L2.
В окне
x”
укажем адресок блока ячеек C5:F5.
Шаг 5-ый:
Для доказательства данной нам функции сразу нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.
В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)
в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)
в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)
в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)
В режиме значений: в ячейке C6 —
в ячейке D6 —
в ячейке E6 —
в ячейке F6 —
Таблицы прилагаются.
Режим формул —
.
Режим значений
Работа с функцией
Шаг 1-ый:
Сделаем электрическую таблицу в
, используя начальные данные.
Шаг 2-ой:
Для размещения результата активизируем ячейку С6.
Шаг 3-ий:
С помощью
вызовем функцию
категория
В окне
укажем адресок ячейки C6.
В окне
y”
укажем адресок блока ячеек C3:L3.
В окне
x”
укажем адресок блока ячеек C2:L2.
Шаг 4-ый:
Для доказательства данной нам функции щелкнем по
. В ячейке C6 покажется итог. Для возникновения результата в других ячейках, проделаем все то же самое, попеременно активизируя ячейки D6, E6, F6.
В итоге мы увидим:
В режиме формул:
в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)
В режиме значений: в ячейке C6 —
в ячейке D6 —
в ячейке E6 —
в ячейке F6 —
Таблицы прилагаются. Режим формул —
Режим значений —
Итоговая сравнительная таблица.
Для сопоставления значений функции в точках:
x 1
=
x 2
=
x 3
=
x 4
=
приобретенных с помощью 3-х различных методов:
сделаем сравнительную таблицу,
0,861
*
0,861
*
0,8506
*
0,787
*
0,795
*
0,7877
*
0,651
*
0,658
*
0,6564
*
0,573
*
0,564
*
0,5665
*
*
Результаты вычислений округлены до 2-ух символов опосля запятой.
Вывод:
совершенно схожие. Но но в целом, отличия в значениях в границах 0,01 , что полностью допустимо для наших данных. Для того, чтоб получить наиболее четкие значения функции в определенной точке, нужно, чтоб начальные данные были представлены наиболее широким диапазоном узлов.
задачка 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.
Решить заданную
способом
способом
0,1 x1
+ 4,6 x2
+ 7,8 x3
= 9,8
2,8 x1
+ 6,1 x2
+ 2,8 x3
= 6,7
4,5 x1
+ 5,7 x2
+ 1,2 x3
= 5,8
научиться решать в EXCEL
системы конечных уравнений способом оборотной матрицы и обычных итераций.
Главные понятия.
Уравнение
— это
математическая запись задачки о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, именуются неведомыми, а значения неведомых, при которых значения функций равны, именуются решениями (корнями).
Матрица
— это прямоугольная таблица каких-то частей aik
(чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица именуется квадратной.
Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сравнить квадратной матрице А.
Минором некого элемента аij
определителя n-го порядка именуется определитель n первого порядка, приобретенный из начального методом вычеркивания строчки и столбца, на пересечении которых находится избранный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента аij
определителя именуется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.
Итерация
— это повторное применение каких-то математических операций.
Происходит от латинского
,что в переводе означает
Решение.
Математический расчетрешения системы уравнений
способом
оборотной матрицы.
Дана система 3-х
с 3-мя
.
Разглядим
—
(составлена из коэффициентов при
)
0,1 4,6 7,8
А = 2,8 6,1 2,8
4,5 5,7 1,2
—
x1
X =x2
x3
9,8
B = 6,7
5,8
Найдем детерминант
(определитель)
А.
Поопределению:
A = a11
· A11
+ a12
· A12
+ a13 ·
A13
где a11
, a12
, a13
—
элементы первой строчки
,
A11
, A12
, A13
— их
.
— если
то оборотной матрицы не существует
;
— если
то оборотная матрица существует
.
Для того, чтоб отыскать
нужно сосчитать
По определению: Aik
= (-1)i+k
· Mik
,
где
— номер строчки
— номер столбца
— минор.
— если сумма i+k
четная, то Aik
= 1 · Mik
A11
=
6,1 · 1,2 — 5,7 · 2,8 = 7,32 — 15,96 = — 8,64
A12
=
2,8 · 1,2 — 4,5 · 2,8 = 3,36 — 12,6 = 9,24
A13
2,8 · 5,7 — 4,5 · 6,1 = 15,96 — 27,45 = -11,49
сейчас мы можем сосчитать
= 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 — 89,622 = — 47,982
существует и можно продолжать вычисления.
Найдем оборотную матрицу А-1
.
Поопределению:
A11
A21
A31
A-1
= A12
A22
A32
· 1/ detA ,
A13
A23
A33
где А11
, …, А33
— алгебраические дополнения матрицы А
.
Для нахождения оборотной матрицы А-1
, поначалу сосчитаем все
дополнения матрицы А
:
A21
= 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 — 7,8 · 5,7 = 5,52 — 44,46 = +
38,94
5,7 1,2
A22
= 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 — 7,8 · 4,5 = 0,12 — 35,1 = — 34,98
4,5 1,2
A23
= 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 — 4,6 · 4,5 = 0,57 — 20,7 = + 20,13
4,5 5,7
A31
= 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 — 7,8 · 6,1 = 12,88 — 47,58 = — 34,7
6,1 2,8
A32
= 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 — 2,8 · 7,8 = 0,28 — 21,84 = + 21,56
2,8 2,8
A33
= 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 — 4,6 · 2,8 = 0,61 — 12,88 = — 12,24
2,8 6,1
сейчас мы можем сосчитать оборотную матрицу А-1
, подставив в формулу приобретенные данные:
= 1 / — 47,982 = — 0,0208411
— 8,64 38,94 — 34,7 0,1800675 — 0,8115543 0,72318786 A-1
= — 0,0208411 · 9,24 — 34,98 21,56 = — 0,1925722 0,7290234 0,44933516
— 11,49 20,13 — 12,27 0,2394647 — 0,4195323 0,25572089
Чтоб выяснить верно ли мы отыскали
, нужно создать проверку. Если производится равенство:
A-1
· A = E,
где
, то
найдена правильно.
0,1800675 — 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A-1
· A
= — 0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 ·
2,8 6,1 2,8
0,2394647 — 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Произведем промежные вычисления:
С11
= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C12
= 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0
C13
= 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0
C21
= (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0
C22
= (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C23
= (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0
C31
= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0
C32
= 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0
С33
= 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
1
0 0
A-1
· A
= 0 1
0 =
0 0 1
отыскали правильно.
Найдем матрицу X
(матрицу неведомых).
По определению: X = A-1
· B
,
где B — начальная матрица B
(матрица вольных членов).
0,1800675 — 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
= — 0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 ·
6,7 = 0,391105
0,2394647 — 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
Матрицу X
отыскали, соответственно
:
x1
= 0,521737
x2
=
x3
=
Проверка. Подставим в
приобретенные значения:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8
способом
решена правильно.
Составление программки для решения
в EXCEL.
Шаг 1-ый:
Для решения
нужно приготовить таблицу с
данными:
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).
Шаг 2-ой:
нужно направить матрицу А
.
Используемая для воззвания
МОБР возвращает массив значений, который вставляется сходу в целый столбец ячеек.
Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена
.
С помощью
вызовем функцию МОБР, категория
В окне
укажем адресок массива
A6:C8.
Для того, чтоб вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем сразу клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В ячейках A11:C13 покажется:
— в режиме формул — =МОБР(А6:C8)
;
— в режиме значений — массив
.
Шаг 3-ий:
Для умножения
на столбец
:
Выделим ячейки E11:E13.
С помощью
выберем функцию МУМНОЖ, категория
.
В окно
введем адресок массива
A11:C13.
В окно
введем адресок массива
E6:E8.
Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем сразу клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В ячейках E11:E13 покажется:
— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8)
;
— в режиме значений — составляющие векторов решения x1
, x2
, x3
.
Таблицы прилагаются. Режим формул —
Режим значений —
Проверка — сопоставление результатов, приобретенных различными методами.
Для наглядности сделаем сравнительную таблицу:
x1
x2
x3
Вывод.
Поначалу предложенную нам
мы решили
. Потом в
составили специальную программку, позволяющую решить
методом
.
Для наглядности приобретенные результаты внесли в сравнительную таблицу.
Из таблицы видно, что результаты вышли фактически схожими. Отличия в значениях расползаются в настолько малых границах, что являются допустимыми для нашего варианта. Но это вышло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.
Таковым образом, мы выявили, что в
результаты получаются наиболее четкие
.
Решение данной
Для того, чтоб решить
3-х
нужно ее конвертировать так, чтоб диагональные коэффициенты
x1
, x2
, x3
были наивысшими по модулю. Сиим производится
.
Данная нам система имеет вид:
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
Довольно отлично видно, что для преобразования нам довольно лишь поменять местами
. Получится система вида:
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
Для решения
нужно представить полученную
в
, записав каждое из 3-х
в виде решения относительно той неведомой переменной, которая имеет больший по модулю коэффициент.
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
x1
= — 5,7x2
/ 4,5 — 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
x2
= — 2,8x1
/ 6,1 — 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
x3
= — 0,1x1
/ 7,8 — 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7
В
получили
x1
= — 5,7x2
/ 4,5 — 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
x2
= — 2,8x1
/ 6,1 — 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
x3
= — 0,1x1
/ 7,8 — 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7
При использовании
решения нужно непременно проверить два условия
способа для данной системы.
у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1
, x2
, x3
в приобретенной системе являются наивысшими по модулю).
Сейчас нужно проверить условие
(обозначается ║C
║), т.е. нужно оценить
, которая зависит лишь от
[ C ].
лишь в этом случае,если
[ С ]
меньше единицы
, т.е.
║C║=√Σaaj
2
<1
В
имеем систему:
x1
= — 5,7x2
/ 4,5 — 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
x2
= — 2,8x1
/ 6,1 — 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
x3
= — 0,1x1
/ 7,8 — 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 7,8
либо
x1
= 0 — 5,7x2
/ 4,5 — 1,2x3
/ 4,5 + 1,288889
x2
= 2,8x1
/ 7,8 — 0 — 2,8x3
/ 6,1 + 1,0983607
x3
= 0,1x1
/ 7,8 — 4,6x2
/ 7,8 — 0 + 1,2564103
Проверка выполнения
:
0 — 5,7 / 4,5 — 1,2 / 4,5
[C] = — 2,8 / 6,1 0 — 2,8 / 6,1
— 0,1 / 7,8 — 4,6 / 7,8 0
║C║ = √ У aij
2
< 1
║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2
+ (-1,2 / 4,5)2
+ (-2,8 / 6,1 )2
+ (-2,8 / 6,1)2
+ (-0,1 / 7,8)2
+ (-4,6 / 7,8)2
║C║= √ (-1,2666667)2
+(-0,2666667)2
+(-0,4590164)2
+(-0,4590164)2
+(-0,0128205)2
+(-0,5897436)2
║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)
║C║ =√ 2,4449144
║C║ = 1,5636222 > 1
Таковым образом, условие “НОРМА” не выполнено.
потому что2-ое условие сходимости итерационного процесса не
выполнено
, то решение данной системы уравнений не быть может
получено способом обычных итераций.
задачка 3.
Всеохватывающие числа.
Даны два
, записанные в
.
z1
= 3e -(р/4) i
z2
= е (р/4) i
1). Записать эти числа в
;
2). Отыскать
z1
+ z2
и
z1
· z2
, переведя их в
записи;
3). Изобразить на всеохватывающей плоскости
.
Главные понятия.
Всеохватывающим числом именуется выражение вида
z = x + iy , где
“x” и “y” — действительные числа,
“i” — знак, именуемый надуманной единицей и удовлетворяющий условию i2
= -1.
в процессе выполнения программки вычислений.
Решение.
Положение точки
на всеохватывающей плоскости совершенно точно определяется не только лишь декартовыми координатами
,
, да и полярными координатами
,
Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи всеохватывающего числа
где
= ei
ц
При всем этом
именуют модулем, а
— аргументом всеохватывающего числа.
z1
= 3 · (cos
z2
= r · ei
ц
Сумма.
Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то
z1
+ z2
= (x1
+ iy1
) + (x2
+ iy2
) = (x1
+ x2
) + i (y1
+ y2
)
z1
+ z2
Произведение.
Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то
z1
· z2
= (x1
+ iy1
) · (x2
+ iy2
) = (x1
x2
y1
y2
) + i (x1
y2
+ x2
y1
)
z1
·z2
Для упрощения преобразуем значения
и
из обычных дробей в десятичные.
x1
= 3√2/2 = 2,1 y1
= — 3√2/2 = -2,1
x2
= √2/2 = 0,7 y2
= √2/2 = 0,7
x3
= 2√2 = 2,8 y3
= -√2 = -1,4
x4
= 3 y4
= 0
Z2
2,1
2,8
Z4
Z3
Z1
— Z1
иZ2
— Z1
+Z2
= Z3
Z1
·Z2
= Z4
]]>