Учебная работа. Контрольная работа: Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Учебная работа. Контрольная работа: Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»

Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0
, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V0
= 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V2
, Н

L = 2.5, м

Fx
= -8cos(4t), Н

определить:

Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).

Решение:

1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

далее находим:

Учитывая, что Vx
= V:

или

Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и интегрируя:

По Н.У. при x = 0: V = V0
, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

и

В результате:

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB
:

2. рассмотрим движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V0
= V). Изобразим , , и .

или , где

При t=0; V = V0
= VB
= 8.29 м/с:

С2
= VB
= 8.29 м/с.

К-3 Вариант 18

авр

А

aA
Cv

авр

ac

ацс

Eoa
aцс
C

aB

Woa

aB
О В

Y

aB

X

Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa
=2 EOA
=6

найти: Ускорения во всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/21/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=21/2
2*BC/2ctg45=521/2
/2

aA
bp
= Eoa
*OA=60

aA
цс
=WOA
2
*OA=40

aB
цс
= WOA
2
*AB=80

aB=
aA
bp
+aA
цс
+aAB
ЦС
+aAB
bp

X: 21/2
/2*aB=
aA
цс
+aAB
BP

Y: 21/2
/2*aB=
aA
BP
+aAB
ЦС

aAB
BP
=========== ==MOI===KOI0-U=140-40=100

EAB
=100/10=10

aB=
aA
вp
+aA
цс
+aAC
ЦС
+aAC
вp

aAC
вp
= EAB
*АВ=50

aAC
ЦС
= WAВ
2
*АС=40

X: 21/2
/2*ac=
aA
цс
+aAB
BP

Y: 21/2
/2*ac=
aA
BP
+aAB
ЦС

aC
=( acx
2
+acy
2
)1/2

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

исходные данные:

Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

— траектория точки в координатной форме.

траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1
= 1 c):

Координаты (см)
Скорость (см/с)
ускорение (см/с2
)
кривизны (см)

x
y
Vx
Vy
V
Wx
Wy
W
Wτ
Wn

2.5
5.6
-5.4
3.2
6.3
-12
-8.3
14.6
5.5
13.5
2.922

найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.

исходные данные:

Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:

— траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1
= 1 c):

Координаты (см)
Скорость (см/с)
ускорение (см/с2
)
кривизны (см)

x
y
z
Vx
Vy
Vz
V
Wx
Wy
Wz
W
Wτ
Wn

2.5
5.6
3.5
-5.4
3.2
3.5
7.2
-12
-8.3
0
14.6
5.3
15.5
3.6

«Определение реакций опор твердого тела».

Задание: найти реакции опор конструкции.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Силы, кН

S
XA

YA

ZA

XB

ZB

1.15
-6.57
0.57
-1
-12.57
2

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.

В 18. Д – 1.

Дано: VA
= 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. найти: h и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1
: = G×sina — F , (F = f×N = fG×cosa) Þ= g×sina — fg×cosa,

дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina — f×cosa)×t + C1
, x1
= g×(sina — f×cosa)×t2
/2 + C1
t + C2
,

По начальным условиям (при t = 0 x10
= 0 и = VA
= 0) находим С1
и С2
: C1
= 0 , C2
= 0,

Для определения VB
и t используем условия: в т.B (при t = t) , x1
= ℓ , = VB
. Решая систему уравнений находим:

x1
= ℓ = g×(sina — f×cosa)×t2
/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×t2
/2 , Þt = 0,99 c ,

= VB
= g×(sina — f×cosa)×t VB
= 9,81×(sin30° — 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,

рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X , Y : = 0 , = G ,

дважды интегрируем уравнения: = С3
, = gt + C4
,

x = C3
t + C5
, y = gt2
/2 + C4
t + C6
,

Для определения С3
, C4
, C5
, C6
, используем начальные условия (при t = 0): x0
= 0 , y0
= 0 , = VB
×cosa , = VB
×sina ,

Отсюда находим : = С3
, ÞC3
= VB
×cosa , = C4
, ÞC4
= VB
×sina

x0
= C5
, ÞC5
= 0 , y0
= C6
, ÞC6
= 0

Получаем уравнения : = VB
×cosa , = gt + VB
×sina

x = VB
×cosa×t , y = gt2
/2 + VB
×sina×t

Исключаем параметр t : y = gx2
+ x×tga ,

2V2
B
×cos2
a

В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB
и d , находим h: h = 9,81×32
+ 3×tg30° = 5,36 м ,

2×4,032
×cos2
30°