Загрузка...
Учебная работа. Контрольная работа: Кручение упругопластического стержня
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные способы
механики сплошных сред
Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург
2008
Содержание
Содержание. 2
1. Физическая мотивация. 3
2. Математическая правильность. 5
2.1 Существование решения. 5
2.2 Единственность решения. 6
2.3 Устойчивость решения. 6
3. Аппроксимация. 7
4. Численный способ. 8
5. Испытания.. 9
Выводы.. 16
Перечень литературы.. 17
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задачка о кручении упругопластического стержня. Разглядим весьма длиннющий стержень. Выделим участок длины 
из его середины, далековато от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины
– основание стержня, описываемое уравнением 
,
– основание стержня, описываемое уравнением 
,
– боковая поверхность стержня.
Создадим последующие догадки:
1. стержень изготовлен из изотропного материала;
2. на стержень не действуют большие силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4. 
на и ;
5. 
на ;
6. 
на ;
7. 
на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат огромному количеству
(1.2)
Крайние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси 
, где 
– угол закрутки на единицу длины.
В согласовании с принципом Хаара-Кармашка поле 
минимизирует функционал
(1.3)
Можно показать, что решение данной задачки таково, что все составляющие 
, не считая 
и 
, равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается лишь одно:
(1.4)
Введем функцию тока 
и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматом выполнено.
Уравнения 
на части границы 
можно представить в виде:
(1.5)
С иной стороны, 
(1.6)
Как следует, 
, т.е. 
на границе 
. Не умаляя общности, можем положить 
на . означает, 
.
Разглядим условие пластичности Мизеса:
, 
– предел текучести материала. (1.7)
В данном примере, 
. Отсюда, 
практически всюду на . Переформулировав условие Мизеса в определениях 
, получаем
(1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармашка приводит к последующей вариационной задачке:
З1
: Отыскать 
такое, что добивается минимума функционал
,
где 
, (1.9)
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить 
.
Если ввести билинейную форму 
, элемент 
и скалярное произведение 
, то задачка З1
запишется в виде
(1.10)
либо в форме вариационного неравенства: 
(1.11)
2. Математическая правильность
сейчас покажем, что задачка З1
математически корректна.
Задачка именуется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачки безпрерывно зависит от данных задачки (условие стойкости).
Проверим выполнение всех 3-х критерий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается аксиомой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал добивается собственной четкой нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова места.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово место,
Подмножество 
является непустым, замкнутым и выпуклым обилием.
Покажем, что 
– непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть 
: 
в
Тогда 
в 
и 
в , при 
Как следует, 
,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем неровность функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таковым образом, все условия обозначенной выше аксиомы выполнены, и, как следует, задачка З1
имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1.
Билинейная форма 
– V-эллиптическая.
подтверждение: 
(в силу эквивалентности норм в пространстве 
);
Утверждение 2.
Решение задачки З1
единственно.
Подтверждение:
Будем обосновывать это утверждение от неприятного.
Пусть есть разные 
, которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено: 
(2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1) 
заместо 
, в (2.2.2) 
заместо .
Получим 
(2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1: 
Отсюда, 
Форма 
– эллиптическая, 
.
совсем, 
2.3 Устойчивость решения
Решение 
обязано удовлетворять неравенству (2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как 
(2.3.2)
Неравенство (2.3.2) производится для 
: 
(2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)
Тогда 
(2.3.6)
— 1-ое основное неравенство
3. Аппроксимация
, по другому 
Разглядим семейство конечномерных пространств 
, каждое из которых является внутренней аппроксимацией места 
.
Будем строить по схеме способа конечных частей.
Построим триангуляцию области . В итоге получим область
, где 
– число треугольников в разбиении, 
– i-тый треугольник разбиения.
Для всякого узла триангуляции 
построим аффинную функцию 
, владеющую последующими качествами:
1. 
2. 
, где 
– верхушки, смежные с
3. 
, где 
– семейство полиномов первого порядка.
Составим место из построенных функций .
Сейчас нужно аппроксимировать огромное количество 
, данное формулой (1.9).
Пусть 
. Тогда 
.
Покажем, что огромное количество 
аппроксимирует .
1) 
От неприятного:
Пусть 
такие, что 
Но, по свойству предельной плотности
. Как следует, 
, т.е. 
.
Отсюда, по лемме о сохранении серьезных неравенств 
требуемое свойство выполнено.
2) 
слабо.
(конечномерное место), означает 
очень, 
Запишем задачку З1
: отыскать такое, что
вместе с ней сформулируем задачку З2
:
отыскать 
такое, что 
При изготовленных догадках относительно 
.
4. Численный способ
Для решения задачки З2
будем применять способ штрафа.
Начальная вариационная задачка: 
(4.1)
Построим вспомогательный функционал
(4.2)
– функция штрафа. (4.3)
, если 
, если 
Тогда заместо решения задачки (4.1) можем решать задачку 
. По свойствам функционала 
ее решение 
существует и единственно.
Не считая того, 
– выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].
Производная Гато функции 
: 
Тогда задачка эквивалентна решению уравнения
(4.4)
(4.5)
Можно показать, что 
– однообразный оператор и 
, если [3].
Как следует, решение вариационной задачки 
.
Замечания по реализации:
Неведомую функцию решения 
будем находить в виде:
, (4.6) где 
– число узлов триангуляции,
– в i-том узле,
– базовая функция из места .
Тогда задачка минимизации функционала (4.2) перевоплотится в задачку многомерной минимизации по 
:
5. Испытания
метод для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.
Были проведены расчеты для разных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.
В случае если сечение стержня – круг, то понятно аналитическое решение задачки.
1) 
. Четкое решение задачки 
.
На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачки при различных разбиениях .
Рис.2 Число узлов = 29
Рис.3 Число узлов = 146
Рис.4 Число узлов = 270
Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину 
, характеризующую относительную погрешность.
тут 
– четкое решение, 
– численное решение;
, где – число узлов.
В таблице 1 приведены результаты сопоставления численного и четкого решения.
№ теста
Число частей
Число узлов
Относит.погрешность 
1
40
29
0.03035
2
258
146
0.00631
3
490
270
0.01735
4
1032
549
0.00219
Таблица 1 Результаты сопоставления (1).
2) 
. Четкое решение задачки 
.
На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачки при различных разбиениях 
.
Рис.6 Число узлов = 29
Рис.7 Число узлов = 146
Рис.8 Число узлов = 270
Рис.9 Число узлов = 549
Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.
№ теста
Число частей
Число узлов
Относит.погрешность
1
40
29
0.18035
2
258
146
0.08561
3
490
270
0.04981
4
1032
549
0.03484
Таблица 2 Результаты сопоставления (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачки для стержня с квадратным сечением,
Рис.10 Число узлов = 27
Рис.11 Число узлов = 177
4) На Рис.12 изображено численное решение задачки для стержня с треугольным сечением,
Рис.12 Число узлов = 144
Выводы
В процессе выполнения данной работы была исследована задачка о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачки существует и единственно.
Предложен способ численного решения поставленной задачки, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачки к конечномерной, также на применении способа штрафа для минимизации мотивированного функционала.
Проведены разные численные опыты; для варианта, когда понятно аналитическое решение задачки, вычислена относительная ошибка численного решения по сопоставлению с четким.
Перечень литературы
]]>