Учебная работа. Курсовая работа: Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты

Учебная работа. Курсовая работа: Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
Севастопольский государственный технический институт

Кафедра технической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Вычислительные способы» на тему:

«Экспериментальное исследование параметров способов Рунге-Кутты»

Выполнила: студентка гр. А-31д

Воротилова Я.М.

Проверил: Мирянов В.И.

Севастополь

2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА задачки

1.1 Приведение к обычной форме Коши

1.2 Способ Рунге-Кутты второго порядка

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

2.1 Основная программка

2.2 Функция вычисления четкого решения

2.3 Процедура вычисления правых частей системы уравнений в обычной форме Коши

2.4 Процедура RK2

2.5 Процедура RK4

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ исследование МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 Анализ воздействия величины шага на точность интегрирования способами Рунге-Кутты второго и 4-ого порядка

3.2 Проверка догадки Рунге

3.3 исследование поведение ошибки интегрирования как функции независящей переменной для обоих способов Рунге-Кутты при разных значениях шага

3.4 Сравнительный анализ эффективности способов Рунге-Кутты при разных требованиях к точности вычисления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

приложение А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ВВЕДЕНИЕ

Реальная курсовая работа посвящена опытнейшему исследованию параметров способов Рунге-Кутты и реализации на индивидуальных компах численных способов приближенного интегрирования ОДУ, более нередко применяющихся в практике моделирования и проектирования СА и У. Экспериментальные исследования проводятся при помощи составленных и отлаженных программ интегрирования обычных дифференциальных уравнений на ЭВМ .

Задание подразумевает:

a) закрепление теоретических способностей и познаний в вопросце о проблематике интегрирования ОДУ и численного решения задачки Коши способом Рунге-Кутты, исследование их главных параметров (точность, эффективность, устойчивость) и главных черт данных параметров (локальная и глобальная алгоритмические ошибки, порядок способа, ошибка вычисления и т.п.) ;

b) приобретение главных способностей составления и отладки процедур и функций интегрирования на базе способов Рунге-Кутты и программ интегрирования систем дифференциальных уравнений с внедрением все тех же процедур и функций;

c) проведение опытнейших исследовательских работ зависимости точности, эффективности и стойкости алгоритмов интегрирования от величины шага интегрирования и порядка способа Рунге-Кутты на ЭВМ .

В разных сферах технических и даже экономических отраслей приходится довольно нередко сталкиваться с математическими задачками, для которых не представляется вероятным обрисовать четкое решен
ие традиционными способами либо сие решение выражено очень неудобочитаемыми соотношениями,
которые представляют из себя неприемлемую для мозга еду, не говоря уже о применен
ии либо реализации на практике.

Разрабатываемые вычислительной арифметикой числ
енн
ые способы носят в главном приблизительный нрав, но они
разрешают получить итоговый числовой р
езультат со сносной для практических нужд точностью.
Численные способы представляют собой методы вычисления ориентировочных значений искомого решения на определенной сетке значений аргумента. При определенных критериях значения аргумента могут являться точными.

Численные способы не разрешают отыскать общее решение: приобретенное решение является личным. Но одним из бессчетных плюсов данных способов можно именовать высшую степень применимости к широким классам уравнений и всем типам вопросцев и заданий к ним. Почему с возникновением электрических вычислительных машин численные способы стали одними из главных технологий решения определенных практических задач решения ОДУ.

Огромную значимость имеет вопросец о верности вычислений на ЭВМ ,
так как при практической реализации имеет пространство широкий объ
ем обрабатываемой подсчитываемой инфы и погрешности могут довольно очень изуродовать конечный итог, принимаемый нами за действительный с «поправками на ветер». Не считая произнесенного
оцен
ка точности
числ
ен
ного способа важна и поэтому,
что прирастить точность в н
екоторых границах можно за счет роста размеров вычислений, а уменьшить временные з
атраты при решении задачки — за счет снижени
я точности получаемого результата.

Для снижения погрешности способов интегрирования ОДУ, использующего разложения искомого решения в ряд Тейлора, нужно принимать во внимание большее количество членов ряда. При всем при всем этом возникает Потребность аппроксимации производных правых частей ОДУ. Главная мысль способов Рунге-Кутты состоит в том, что производные аппроксимируются через значения функции в точках на интервале , которые выбираются из условия большей близости метода к ряду Тейлора. Зависимо от старшей степени , с коей учитываются члены ряда, построены различные вычислительные схемы Рунге-Кутты различных порядков точности.
Посреди плюсов схем Рунге-Кутты не следует обходить во внимании:

d) удобоваримую точность;

e) одноступенчатость, другими словами чтобы отыскать , нужна информация только о предшествующей точке ;

f) координирование с рядом Тейлора прямо до членов порядка , где степень неодинакова для разных способов и называется порядком способа;

g) отсутствие необходимости вычисления производных от , при этом накладывается требование вычисления всего-навсего самой функции.

Фактически благодаря вышеуказанному свойству c) способы Рунге-Кутты предпочтительней рядов Тейлора для реализации на практике. Тем не наименее поводов для веселья не много, ибо перед нами стоит нелегкая задачка многократного вычисления функции при неодинаковых значениях и для вычисления следующей точки решения. Это Богом дарованное наказание за преподнесенную нам численным способом поблажку, заключающуюся в отсутствии какой бы то ни было надобности вычисления другой раз очень массивных производных, но проблем страшатся кто угодно, лишь не мы.
1 ПОСТАНОВКА задачки

1.1 Приведение к обычной форме Коши

Обычной формой Коши принято именовать общую форму записи ОДУ, другими словами дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

ДУ второго порядка, данное согласно варианту №3 имеет вид:

(2)

Задание подразумевает нахождение решения на интервале при последующих исходных критериях:

(3)

Для решения ДУ его просто нужно представить согласно обычной формы Коши. Для этого руководствуемся последующими обозначениями:

(4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

(5)

Произведя все вышеперечисленные манипуляции над данным в варианте уравнением, получим последующую систему:

(6)

Система (6) есть решение уравнения (2).

1.2 способ Рунге-Кутты второго порядка

В способах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной композицией значений подынтегральной функции, вычисленных при различных значениях аргумента:

(7)

способ Рунге-Кутты представим в виде:

(8)

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы способа Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

(9)

Для определения способа нужно отыскать значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной композицией значений подынтегральной функции, вычисленных при различных значениях аргумента, можно представить как:

(10)

А его, в свою очередь, можно представить Тейлора:

(11)

где — сумма частей ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось отыскать неведомые значения

(12)

В итоге таковых бесхитростных манипуляций получаем разыскиваемый ряд Тейлора:

(13)

Приравняем коэффициенты при схожих степенях в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

(14)

Из параметров системы (14) необходимо подчеркнуть, что она не владеет единственным решением. При , , а (15)

Подставив приобретенные коэффициенты в соотношение (8), получаем последующие формулы способа Рунге-Кутты 2-ого порядка:

(16)

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в процессе курсовой работы программка вычисляет решения дифференциального уравнения, с за ранее данными исходными критериями. Интегрирование происходит согласно двум способам: Рунге-Кутты второго и 4-ого порядков.

Программка состоит из последующих модулей:

1) Основная программка;

2) Процедура вычисления четкого решения ДУ;

3) Процедура вычисления правых частей;

4) Процедура выполняющая шаг интегрирования способом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

5) Процедура выполняющая шаг интегрирования способом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

2.1 Основная программка

Блок программки производит последующие операции:

· запрашивает у недобросовестного юзера величину шага интегрирования и шаг вывода на экран;

· вычисляет количество шагов;

· с данным шагом вызывает процедуры интегрирования способом Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков на отрезке интегрирования;

· вычисляет погрешность и оценку погрешности интегрирования;

· выводит примечательные результаты работы программки с данным шагом вывода на экран.

Для простоты осознания укажем последующие переменные, находящиеся в программке:

· h — шаг интегрирования. Вводится недобросовестным юзером с клавиатуры;

· n – число шагов интегрирования;

· h_screen — шаг вывода результатов на экран. Вводится недобросовестным юзером с клавиатуры;

· i_screen – счётчик вывода результатов на экран. Когда i_screen > h_screen, то происходит вывод результатов и обнуление i_screen;

· i, j – переменные, применяемые циклом;

· e2, e4– ошибки интегрирования для способов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(1):

(1)

· e2max, e4max – оценки погрешностей интегрирования для способов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(2):

(2)

· t – значения независящей переменной;

· t0, tf – пределы интегрирования

· y2, y4 – вектора решения для способов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядка соответственно в узле tk

;

· outfile– переменная файлового типа. Определена для вывода результатов в текстовой файл;

· name – переменная строкового типа. Употребляется для передачи имени файла.

Текст главный программки приведён в приложении А, схема в приложении Б.

2.2 Функция вычисления четкого решения

function clearsolve (t: real): real

Функция создана для вычисления четкого решения для дифференциального уравнения по формуле (3):

(3)

текст функции приведен в приложении 2, схема в приложение 7.

2.3 Процедура вычисления правых частей системы уравнений в обычной форме Коши

procedure right(t: real; var x,f: Vector_n);

Процедура вычисляет правые части системы однородных дифференциальных уравнений в обычной форме Коши по формуле (4):

(4)

текст процедуры приведен в приложении А, а схема в приложение Б.

2.4 Процедура
RK
2

procedure RK2(t: real; h: real; var x: Vector_n);

Укажем формальные характеристики:

t – независящая переменная ;

h– шаг интегрирования;

x – массив решений. При входе в функцию решение в текущем узле интегрирования, при выходе в последующем.

Процедура RK2 делает шаг интегрирования системы ОДУ способом Рунге-Кутты 2-ого порядка из соотношения (5):

(5)

где

(6)

Процедура обращается к процедуре вычисления правых частей right с разными параметрами для вычисления и (6). Потом с Божьей помощью (5) считает .

текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

2.5
Процедура
RK4

procedure RK4(t: real; h: real; var x_4: Vector_n);

Формальные характеристики:

t – независящая переменная ;

h– шаг интегрирования;

x – массив решений. При входе в функцию решение в текущем узле интегрирования, при выходе в последующем.

Процедура RK4 делает шаг интегрирования системы обычных дифференциальных уравнений (1.1.2) способом Рунге-Кутты 4-ого порядка (7).

(7)

где

(8)

Процедура четыре раза обращается к процедуре вычисления правых частей right с различными параметрами для вычисления ,,,(8). Потом с Божьей помощью (7) считает .

текст процедуры приведен в приложении А, схема в приложение Б.

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ исследование МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 анализ воздействия величины шага на точность интегрирования способами Рунге-Кутты второго и 4-ого порядков

Плоды деятель на ПЭВМ приводятся в приложении В. Итог упрямого труда программки представлены в графическом виде (набросок 1).

Набросок 1 – Зависимость оценки e2 от шага интегрирования

Набросок 2 – Зависимость оценки e4 от шага интегрирования

На рисунках изображены зависимости оценки погрешности интегрирования от величины шага интегрирования для обоих способов. Из него видно, что практические результаты соответствуют теоретическим положениям, но не совершенно.

При шаге от 0.1 до 1 безусловн воздействие погрешности интегрирования как в способе второго, так и в способе 4-ого порядков. Ошибка на данном интервале начинает лавинообразно возрастать, что соединено с нарушением стойкости метода.

С предстоящим уменьшением шага до 0.1 – 0.001 величина погрешности миниатюризируется за компанию, и наблюдается довольно большая точность вычислений.

Предстоящее уменьшение шага (наименее 0.001) вызывает повышение полной ош
ибки, также гнусное её способ 4-ого порядка, но при уменьшении шага, точность способов равномерно выравнивается.

3.2 Проверка догадки Рунге

Согласно догадке, суммарная погрешность метода при интегрировании ДУ с неизменным шагом пропорциональна величине шага в степени, равной порядку способа.

(1)

Результаты вычислений на ПЭВМ приводятся в приложении В. Итог работы программки наглядно представлены в графическом виде (набросок 2).

Набросок 3 – Зависимость дела оценки погрешности к величине шага интегрирования в степени, равной порядку способа от шага интегрирования

догадка Рунге экспериментально подтверждается лишь при таковых значениях шага (1-0.01), где погрешность вычисления ПЭВМ влияет на итог в благоразумных границах. При предстоящем уменьшении шага пропорциональность прячется из виду. Это можно объяснить тем, что предположение Рунге не учитывает воздействия ошибки вычисления ПЭВМ на приобретенный итог.

3.3 исследование поведение ошибки интегрирования как функции независящей переменной для обоих способов Рунге-Кутты при разных значениях шага

Для проведения собственных изысканий нам нужно избрать 3 значения шага сначала, середине и конце спектра конфигурации шага и выстроить графические зависимости решений от независящей переменной и погрешностей интегрирования от независящей переменной.

Результаты вычислений на ЭВМ приводятся в приложении В. Итог работы программки наглядно представлены в графическом виде (набросок 3 и 4).

Набросок 4 – График четкого и приближенных решений (h=0.001, 0.1, 0.5) дифференциального уравнения

На рисунке 3 слегка, но все-же приметны отличия приближённых решений при разной величине шага от четкого, что подтверждает высшую точность получаемого приближенного решения относительно четкого.

Набросок 5 – График зависимости величины ошибки интегрирования от независящей переменной при h=0.001, 0.1, 0.5

При шаге, численно равном 0.5 из рисунка 5 разумеется, что различия меж погрешностями способов 2-ого (E5
) и 4-ого (E6
) порядков достаточно значительны, что разъясняется наиболее высочайшей точностью способа 4-ого порядка.

Разница ошибок интегрирования для обоих способов при шаге интегрирования 0.1 остается довольно высочайшей, но следует подметить, что точность способа Рунге-Кутты 4-ого порядка при данном значении шага выше, чем при наименьшем h=0.001 (это обосновано тем, что алгоритмическая ошибка стремится к нулю, а вычислительная ещё не указывает собственный мерзкий нрав).

При величине шага интегрирования h=0.001 ошибки интегрирования (E1
и E2
), равно как и при огромных h растут с ростом независящей переменной, что слава Богу не противоречит теории, но выслеживается скачкообразный нрав графиков, что соединено с впечатляющей лептой вычислительной ошибки в общую погрешность.

3.4 Сравнительный анализ эффективности способов Рунге-Кутты при разных требованиях к точности вычисления

Для анализа надлежит оценить Издержки машинного времени на интегрирование ДУ зависимо от величины погрешности интегрирования.

Потому что для достаточно непростых уравнений львиная толика времени уходит на вычисление правых частей уравнений, то в качестве оценки издержек машинного времени можно принять количество вычислений правых частей при нахождении решения на всё
м отрезке интегрирования
, что есть произведение количества ш
агов интегрирования на порядок способа. Зависимость оценки ош
ибки интегрирования от количества шагов инт
егрирования о
пределена.

Примечательные результаты вычислений на ПЭВМ приведены все в том же приложении В. Итог работы программки представлены графически (набросок 5).

Набросок 6 – График зависимости величины ошибки интегрирования от количества вычислений правой части

Из близкорасположенного графика фактически определяется способ для разных требованиях к точности и времени работы нашей восхитительной программки.
График наглядно показывает, что наличествует таковой предел шага, ниже которого программка гоняет свои байты напрасно, потому что оценка погрешности растёт из-за ошибки вычисления ПЭВМ. сделалось быть, на практике следует выбиратьопределенный просвет шага, лучше в каком метод устойчив.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При реализации на практике задания для курсовой работы, заключающегося в интегрирования ОДУ, была составлен
а и отлажена программ
а, приведенная в приложении А. При помощи данной программки проведена серия опытнейших исследовательских работ параметров способов Рунге-Кутты второго и четвёртого порядков.

При задании определенного интервала значений шага интегрирования ошибка интегрирования разум
еньшается
с уменьшением шага. доказательство этого факта можно без усилий отыскать в теории. Но недозволено обойти вниманием тот труднооспоримый аргумент, что для достаточно незначимых значений
с уменьшением шага интегрирования ошибке характерно возрастает. Это соединено с лавинообразным ростом числа требуемых для получения решения вычислений и cувеличением ошибки вычислений.

На данном интервале значений
(при условии, что на интервале ошибка вычислений велика
не до бесчинства), при схожих значениях шага интегрирования способ Рунге-Кутты
четвёртого порядка имеет довольно малую ошибку вычисления относительно ошибки способа Рунге-Кутты второго порядка.

Необходимо подчеркнуть, что коэффициент (формула (1) раздела 3) для таковых значений шага интегрирования,
при которых можно скрипя второго порядка. Отсюда мораль: ошибка интегрирования при помощи способа Рунге-Кутты четвёртого порядка меньше ошибки интегрирования при использовании способа Рунге-Кутты второго порядка и обосновано это не только лишь тем, что она назад пропорциональна величине шага в четвёртой, а не во 2-ой степени, да и оттого, что коэффициент пропорциональности при всем этом значительно меньше.

способ Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет существенно наименьшую ошибку вычисления, нежели способ Рунге-Кутты второго порядка
(при условии схожих машинных издержек).
При постоянной требуемой точн
ости дл
я способа
Рунге-Кутты
четвёртого порядка
необх
оди
мы наименьшие Издержки машинного
времени относительно способа
Рунге-Кутты
второго порядка
, отчего при
корректном выборе шага интегрирования м
етод Рунге-Кутты четвёртого порядка существенно результативнее, чем способ Рунге-Кутты второго порядка.

БИБЛИОГРАФИЯ

1 Самарский А.А., Гулин А.В. Численные способы .М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.- 432с.

2 Бахвалов Н.С. Численные способы. М.: Наука, ГРФМЛ,1987.-600 с.

3 Ляшко И.И., Макаров В.Л. Интегральные способы вычислений. Киев, 1977, 408с.

4 Мантуров О.В. Курс высшей арифметики М.:В.Ш.-1991.-448с.

5 Маликов В.Т. Вычислительные способы и применение Киев: В.Ш.-1989.-213 с.

приложение А

(Справочное)

Основная
программка

program DU(input,output);

uses crt;

type Vector_n = array [1..2] of real;

var t0, tf, k, j, n: integer;

t, yt, h, h_screen, e2, e4, e2max, e4max, i_screen: real;

y2, y4: Vector_n;

name: string;

outfile: text;

begin

clrscr;

writeln(‘Please enter file name’);

readln(name);

writeln(‘Please enter h,h_screen’);

readln(h,h_screen);

clrscr;

writeln;

assign(outfile,name);

rewrite(outfile);

t0:=0;

tf:=10;

n:=round((tf-t0)/h);

y2[1]:=1;

y2[2]:=0;

y4:=y2;

e2:=0;

e4:=0;

e2max:=0;

e4max:=0;

t:=t0;

i_screen:=h_screen;

for k:=0 to n do

begin

yt:=clearsolve(t);

e2:=абс(yt-y2[1]);

e4:=абс(yt-y4[1]);

if e2>e2max then e2max:=e2;

if e4>e4max then e4max:=e4;

if i_screen>h_screen-0.00001 then

begin

yt:=clearsolve(t);

e2:=абс(yt-y2[1]);

e4:=абс(yt-y4[1]);

if e2>e2max then e2max:=e2;

if e4>e4max then e4max:=e4;

if i_screen>h_screen-0.00001 then

begin

writeln(‘ t=’,t:6:3,’; yt=’,yt:9:3,’; y2=’,y2[1]:9:3,’; y4=’,y4[1]:9:3,’; e2=’,e2:6:3,’; e4=’,e4:8:6);

writeln(outfile,’ t=’,t:10:6,’; yt=’,yt:10:6,’; y2=’,y2[1]:10:6,’; y4=’,y4[1]:10:6,’; e2=’,e2:12:9,’; e4=’,e4:12:9,’.’);

i_screen:=0;

end;

if t+h>tf-0.000001 then

begin

h:=tf-t;

t:=tf-h;

i_screen:=h_screen;

end;

RK2(t,h,y2);

RK4(t,h,y4);

t:=t+h;

i_screen:=i_screen+h;

end;

writeln;

writeln(‘ h=’,(h):8:5,’; e2max=’,e2max:16:8,’; e4max=’,e4max:16:8,’ ‘,n:8);

writeln(outfile);

writeln(outfile,’ h=’,h:6:5,’; e2max=’,e2max:10:8,’; e4max=’,e4max:10:8,’.’);

close(outfile);

readkey;

end.

Функция вычисления четкого решения

function clearsolve(t:real):real;

begin

clearsolve:=exp(-t)*(cos(t)+sin(t)+t*sin(t));

end;

Процедура вычисления правых частей системы уравнений в обычной форме Коши

procedure right(t:real;var x,f:Vector_n);

begin

f[1]:=x[2];

f[2]:=2*exp(-t)*cos(t)-2*x[1]-2*x[2];

end;

Процедура
RK2

procedure RK2(t:real;h:real;var x:Vector_n);

var h4, h23: real;

f1, f2, xr: vector_n;

begin

h4:=0.25*h;

h23:=0.66666667*h;

right(t,x,f1);

for j:=1 to 2 do xr[j]:=x[j]+h23*f1[j];

right(t+h23,xr,f2);

for j:=1 to 2 do x[j]:=x[j]+h4*(f1[j]+3*f2[j]);

end;

Процедура
RK4

procedure RK4(t:real;h:real;var x:Vector_n);

var h2,h6:real;

f,fs,xr:vector_n;

begin

h2:=0.5*h;

h6:=0.166666667*h;

right(t,x,fs);

for j:=1 to 2 do xr[j]:=x[j]+h2*fs[j];

right(t+h2,xr,f);

for j:=1 to 2 do

begin

xr[j]:=x[j]+h2*f[j];

fs[j]:=fs[j]+2*f[j];

end;

right(t+h2,xr,f);

for j:=1 to 2 do

begin

xr[j]:=x[j]+h*f[j];

fs[j]:=fs[j]+2*f[j];

end;

right(t+h,xr,f);

for j:=1 to 2 do

x[j]:=x[j]+h6*(f[j]+fs[j]);

end;

приложение Б

(Справочное)

Схема главный программки

Схема функции вычисления четкого решения

Схема процедуры вычисления правых частей системы уравнений в обычной форме Коши

Схема процедуры
RK2

Схема процедуры
RK
4

приложение В

(Справочное)

Результаты тестов

t= 0.000000; yt= 1.000000; y2= 1.000000; y4=1.000000; e2=0.000000; e4=0.000000

t= 0.400000; yt= 0.982855; y2= 0.983425; y4= 0.982856; e2=0.000570; e4=0.000001

t= 0.800000; yt= 0.893242; y2= 0.893209; y4=0.893244; e2=0.000033; e4=0.000001

t= 1.200000; yt= 0.726735; y2= 0.725954; y4= 0.726735; e2=0.000781; e4=0.000001

t= 1.600000; yt= 0.518812; y2= 0.517695; y4=0.518812; e2=0.001117; e4=0.000000

t= 2.000000; yt= 0.312861; y2= 0.311906; y4= 0.312860; e2=0.000955; e4=0.000001

t= 2.400000; yt= 0.141446; y2= 0.140967; y4=0.141444; e2=0.000479; e4=0.000001

t= 2.800000; yt= 0.020112; y2= 0.020173; y4= 0.020111; e2=0.000062; e4=0.000001

t= 3.200000; yt= 0.050686; y2=-0.050207; y4=-0.050687; e2=0.000480; e4=0.000001

t= 3.600000; yt=-0.080123; y2=-0.079431; y4=-0.080123; e2=0.000692; e4=0.000001

t= 4.000000; yt=-0.081279; y2=-0.080573; y4=-0.081279; e2=0.000705; e4=0.000000

t= 4.400000; yt=-0.066862; y2=-0.066283; y4=-0.066862; e2=0.000579; e4=0.000000

t= 4.800000; yt=-0.046829; y2=-0.046441; y4=-0.046829; e2=0.000388; e4=0.000000

t= 5.200000; yt=-0.027632; y2=-0.027436; y4=-0.027632; e2=0.000196; e4=0.000000

t= 5.600000; yt=-0.012539; y2=-0.012497; y4=-0.012538; e2=0.000042; e4=0.000000

t= 6.000000; yt=-0.002468; y2=-0.002527; y4=-0.002468; e2=0.000058; e4=0.000000

t= 6.400000; yt= 0.003083; y2= 0.002977; y4= 0.003083; e2=0.000106; e4=0.000000

t= 6.800000; yt= 0.005261; y2= 0.005147; y4= 0.005261; e2=0.000113; e4=0.000000

t= 7.200000; yt= 0.005313; y2= 0.005217; y4= 0.005313; e2=0.000096; e4=0.000000

t= 7.600000; yt= 0.004292; y2= 0.004223; y4= 0.004292; e2=0.000068; e4=0.000000

t= 8.000000; yt= 0.002938; y2= 0.002898; y4= 0.002938; e2=0.000040; e4=0.000000

t= 8.400000; yt= 0.001690; y2= 0.001673; y4= 0.001690; e2=0.000017; e4=0.000000

t= 8.800000; yt= 0.000742; y2= 0.000741; y4= 0.000742; e2=0.000001; e4=0.000000

t= 9.200000; yt= 0.000131; y2= 0.000139; y4= 0.000131; e2=0.000008; e4=0.000000

t= 9.600000; yt=-0.000192; y2=-0.000181; y4=-0.000192; e2=0.000011; e4=0.000000

t=10.000000; yt=-0.000310; y2=-0.000299; y4=-0.000310; e2=0.000010; e4=0.000000

h=0.00000; e2max=0.00111851; e4max=0.00000132.

]]>