Учебная работа. Курсовая работа: Существование в геометрии. Анализ категорий модальности

Учебная работа. Курсовая работа: Существование в геометрии. Анализ категорий модальности

Гутнер Г.

Мы лицезрели, что две влиятельные математические школы XX века, которые справедливо рассматриваются как соперничающие меж собой, исходят, в конечном счете, из общего философского основания. Сиим основанием явилась для их Философия Канта. Потому мы имеем право гласить о кантианской (либо, может быть, трансценденталистской) традиции в основаниях арифметики. Обсуждая делему существования и математической онтологии, мы будем подразумевать конкретно эту традицию. совсем разумеется, что она не является единственно вероятной. Ей очевидно противоборствует другая Традиция, сплетенная с именами Фреге и Рассела и обосновывающая математическое рассуждения средствами логического позитивизма (либо аналитической философии). Мы не будем касаться данной традиции в рамках истинной работы. Более естественным для нас на данный момент будет подробное рассмотрение той интерпретации существования математических объектов, которая предлагается самим Кантом.

1 Вероятное и действительное в арифметике

Дискуссировать делему существования, оставаясь в рамках «Критики незапятнанного разума», достаточно комфортно, так как определение существования дано в данной книжке очевидно. «Существование» — одна из 3-х категорий модальности и Кант очень тщательно обрисовывает каким методом рассудок описывает предмет как имеющийся. С иной стороны, но, определение существования (реальности) дается тут в совокупы с определением 2-ух остальных категорий модальности и быть может верно понято только при сравнении с ними. Обратимся к конкретному описанию обсуждаемых категорий: способности, реальности и необходимости. Такое описание приведено в главе «Система всех основоположений незапятнанного рассудка» и названо «Постулаты эмпирического мышления совершенно».

«1. Что согласно с формальными критериями опыта (что касается приятных представлений и понятий), то может быть.

2. Что соединено с вещественными критериями опыта (чувства), то вправду.

3. То, связь что с реальностью определяется согласно общим условиям опыта, существует нужно.» (B266, курсив Канта).

В которой мере категория реальности (т.е. существования в своем смысле этого слова) (См. примечание 1) быть может условием познания о предметах арифметики? Чтоб установить это, обратимся к короткому объяснению Канта по поводу соответственного постулата.

«Постулат реальности вещей просит восприятия, т.е. чувства и сознания, если не конкретно самого предмета, существование которого обязано быть познано, то, по последней мере связи его с любым реальным восприятием согласно аналогиям опыта..» (B272 — курсив Канта).

Чуть ли рассуждение о математическом предмете может основываться на аналогиях опыта, призванных установить «настоящие связи» (т.е. связь согласно законам причинности и взаимодействия). Как следует постулат реальности просит конкретного восприятия предмета для зания его существования. Потому как о реальном можно гласить, до этого всего, лишь о единичном предмете, представленном благодаря чувству. Есть ли совершенно в арифметике такие предметы? Непременно есть, так как всякое математическое рассуждение так либо по другому оставляет след на бумаге либо на доске. Реальным является изображенный и конкретно воспринимаемый математический знак, выписанная формула (конечная последовательность знаков), начерченная геометрическая фигура. Но эти ли предметы представляют для арифметики главный Энтузиазм? Разве, к примеру, в аксиоме о сумме внутренних углов треугольника говорится о неровном карандашном следе, о 3-х попарно пересекающихся на листе бумаги никак не прямых линиях, которые конкретно воспринимаются нами? естественно же нет. Речь идет о треугольнике «совершенно», который нигде и никак не нарисован. Но в таком случае он и не действителен.

Может ли предмет познания не быть реальным (т.е. имеющимся) предметом? Ответ на этот вопросец просто угадывается, благодаря присутствию в таблице категорий иной группы модальности. Предмет познания быть может вероятным предметом. Произнесенного тут уже довольно, чтоб полагать, что конкретно о вероятных предметах и гласит, до этого всего, математика. Математическая онтология есть по преимуществу онтология вероятного. Вообщем, по этому поводу необходимы доп объяснения.

Вот что пишет Кант о первой из категорий модальности: «Постулат способности вещей просит, как следует, чтоб понятия их согласовывались с формальными критериями опыта совершенно. Но опыт совершенно, т.е. беспристрастная форма его, содержит внутри себя весь синтез, нужный для зания объектов» (B267 — курсив Канта).

Итак, вещь вероятна, когда познание о ней содержит весь нужный синтез. Как следует только осуществив этот синтез, т.е. получив полное познание о вещи мы лишь и можем удостовериться в ее способности.

Нашей предстоящей задачей будет выяснение того, что значит для арифметики таковая полнота синтеза. Но до этого обратим внимание на одно принципиальное различение. В «Критике незапятнанного разума» имеется ряд пассажей, в каких указывается на другой смысл слова «возможность». Под возможностью понимается отсутствие противоречия в понятии о вещи. Это, разумеется, не то же самое, что согласие с формальными критериями опыта. Потому Кант различает логическую и настоящую (либо трансцендентальную) возможность. Разумеется, что нас на данный момент будет заинтересовывать крайняя. Любопытно но вспомянуть, что пытаясь установить аспект существования для математических объектов, Пуанкаре, а за ним и Гильберт указывали в качестве такого конкретно свободу от противоречия. Правильно ли то, что они сводили реальность к логической способности, совершая таковым образом своеобразную замену категорий? Проведенный выше анализ гильбертовской интерпретации непротиворечивости указывает, что это не так, так как сама по для себя непротиворечивость оказывается результатом синтеза.

синтез по Канту состоит, до этого всего, в том, что к понятию, выступающему как субъект суждения, присоединяется признак (предикат), не находящийся в понятии. Акт синтеза, таковым образом, приводит к образованию новейшего понятия, содержание которого богаче, чем понятие начального субъекта суждения. Как следует, говоря о настоящей способности, мы должны гласить, до этого всего, о способности понятия. Оно может быть тогда, когда осуществлен его синтез. Но присоединение предиката к субъекту в синтетическом суждении нереально как чисто рассудочное действие. Ему должен соответствовать синтез обилия приятного представления, производимый способностью воображения. Произнесение суждения, описывающего некое реальное (См. примечание 2) положение дел, нужно сопровождается конструированием этого положения дел в пространстве и времени. Крайнее делается сообразно схеме понятия и нужно представлено созерцанию в виде (по последней мере) воображаемого предмета. Эта процедура тщательно описана Кантом в главе о трансцендентальной дедукции категорий. Как следует, «весь синтез«, требуемый для зания настоящей способности вещи, содержит в себе как умственный синтез, так и синтез возможности воображения. Тут уместно уточнить, что может стоять за словом «вещь». Возможность что, фактически, устанавливается. Мы лицезрели уже, что устанавливается возможность понятия. Но конструирование, производимое воображением, согласно условиям эмоциональности, не может происходить без того, чтоб представить образ, воображаемый итог конструирования. Разумеется, что образ, вместе с понятием, также должен фигурировать в качестве вероятного.

Итак есть смысл гласить о способности понятия и способности вида. По правде и то и это во-1-х соответствует формальным условиям опыта, а во-2-х противопоставлено реальному, т.е. представленной в восприятии единичности. Другими словами и понятие, и образ вероятны так как могут быть осуществлены (актуализированы). Вообщем, они вероятны в разном смысле. Можно представить для себя неосуществимое понятие (Кант приводит пример плоской фигуры, ограниченной 2-мя прямыми). Но образ вероятен постоянно, так как является результатом завершенного синтеза. Разберем сейчас все произнесенное на примере геометрии. Тот факт, что евклидова геометрия является главным источником для философии арифметики Канта, принимается почти всеми исследователями. А именно это объяснено в [72], [74], [79], [83], [62]. Потому рассмотрение кантовских категорий на материале «Начал» Евклида можно считать модельным. Это, но, поможет нам узреть некие моменты внедрения обозначенных незапятнанных понятий рассудка, которые оказываются существенны и для остальных областей арифметики, а может быть и для всякого познания совершенно.

5 постулатов Евклида представляют собой 5 начальных синтетических суждений, в каких конструируются исходные понятия геометрии. Принципиально то, что четыре из этих 5 постулатов (несколько различается от иных 4-ый постулат, утверждающий равенство всех прямых углов) сущность не сколько утверждения, сколько предписания. Они обрисовывают некие операции, которые, будучи произведены, приведут к созданию начальных геометрических объектов: прямой, окружности, пары параллельных (либо пары пересекающихся) прямых. Постулаты сформулированы, естественно, как общие суждения и речь в их идет о общих понятиях (ровная совершенно либо окружность совершенно). Принципиально но, что самая сущность постулатов заключается в обнаружении способности этих понятий. Они подразумевают наличие схемы прямой либо схемы окружности, сообразно которым могут быть построены надлежащие сиим понятиям объекты. А именно, согласно двум первым постулатам, прямую в принципе можно выстроить. Как выстроить? Карандашом на бумаге либо мелом на доске.

Крайнее утверждение представляется, по-видимому, очень категоричным. Прямую либо окружность можно провести и в воображении. Заметим но, что невзирая на такую возможность практически постоянно, даже при рассмотрении простых понятий предпочитают воспользоваться чертежами. Это событие представляется нам принципиальным, вытекающим из сущности математического дискурса, а никак не из беспомощности нашей памяти. Мы вернемся к данной дилемме позднее, а на данный момент заметим только, что синтетическое суждение, высказываемое в постулате, предполагает не только лишь возможность, да и реальность обсуждаемого объекта. Нам стает не только лишь понятие и образ, но также и чувственно воспринимаемый единичный предмет, который согласуется не только лишь с формальными, да и с вещественными критериями опыта.

Мы будем придерживаться той интерпретации «Начал» Евклида, о которой упоминает, к примеру, Фридман ([72], c. 88-89). Согласно данной интерпретации постулаты вводят ряд простых операций (построений), которые рассматриваются как заранее выполнимые. Хоть какое другое построение будет выполнимым, если оно представляет собой последовательность этих простых операций. (естественно, что при предстоящем изложении геометрии заместо простых операций могут фигурировать и наиболее сложные построения, выполнимость которых показана ранее.) К развертыванию таковой последовательность выполнимых операций сводится не только лишь решение задач на построение, да и подтверждение теорем. Всякое геометрическое предложение формулируется как некое общее утверждение. Это означает, что в нем предполагается возможность какого-нибудь понятия. Принципиально узреть, что в любом предложении (т.е. в синтетическом суждении) речь идет конкретно о одном понятии. Добавляя к субъекту новейший предикат, мы не устанавливаем отношение 2-ух понятий, а создаем одно новое. к примеру, когда мы утверждаем, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, то предполагаем настоящую возможность треугольника, владеющего нареченным признаком, т.е. мы говорим, что понятие «треугольник, сумма внутренних углов которого равна двум прямым» может быть. Выражение в кавычках безуспешно в том смысле, что делает воспоминание как будто равенство суммы углов обозначенной величине есть некоторый различительный признак, выделяющий определенный вид в роде треугольников. Крайнее, естественно же, ошибочно. Синтетическое суждение, являющееся содержанием приведенной аксиомы, делает новое понятие, которое мы попробовали именовать при помощи приведенного тут несколько неловкого выражения. Это понятие нетождественно понятию треугольника, т.к. предикат не выводится из понятия субъекта. Он присоединяется к нему в процессе синтеза.

Проводимое дальше подтверждение, призванное показать действительность способности обсуждаемого понятия, как раз и заключается в развертывании синтеза. Нам нужно предъявить какую-либо построенную по правилам систему, подобающую понятию, настоящая возможность которого доказывается. Система обязана быть сооружена в итоге ряда действий, предписанных постулатами. Последовательность внедрения постулатов составляет схему рассматриваемого понятия, а возможность понятия будет установлена, когда будет завершено построение конструкции. Другими словами, возможность понятия будет установлена, когда мы предъявим соответственный этому понятию единичный предмет, воспринимаемый эмоциями. Чтоб наиболее буквально разглядеть взаимодействие вероятного и реального при подтверждении, нам представляется уместным развернуть функцию подтверждения подробнее, описав ее в тех определениях, которые использовались еще в античности.

2 структура подтверждения у Евклида в связи с категориями модальности

на данный момент при изложении требующих подтверждения предложений в математической литературе очевидно выделяются две части: формулировка предложения и его подтверждение. Для древних создателей дело обстояло по другому. В изложении аксиомы выделялось 5 либо 6 частей.(См. примечание 3)Этот метод структурирования процедуры подтверждения оказывается весьма уместным для правильного осознания соотношения вероятного и реального, также общего и единичного в математическом рассуждении. Хинтикка [74] утверждает, что структура подтверждения у Евклида явилась парадигмой для Канта.

Охарактеризуем коротко эти 6 частей изложения аксиомы, используя в качестве примера упомянутую выше аксиому о внутренних углах треугольника.

1. Утверждение (protasis) дает общую формулировку аксиомы. В нашем случае эта 1-ая часть аксиомы смотрится так: сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым.

2. Экспозиция (ekqesis) показывает на единичный предмет, общее понятие которого дано в утверждении. Для геометрии естественно в данной части аксиомы отдать чертеж.

Пусть ABC — случайный треугольник.

3. Ограничение либо детерминация (diorismos) состоит в переформулировании общего утверждения для представленного в экспозиции единичного предмета: сумма углов 1, 2 и 3 приравнивается двум прямым.

4. Построение (kataskeuh) — это то, что на данный момент обычно именуют доп построением. В нашем случае оно смотрится так:

проведем через верхушку B прямую, параллельную основанию AC.

5. подтверждение (apodeixis) представляет собой последовательность логических выводов о элементах конструкции, представленной в предшествующей части. Эта последовательность обязана закончиться утверждением, представленном в части 3. Для рассматриваемой нами аксиомы имеет пространство последующий ряд заключений.

Угол 1 равен углу 4, а угол 3 равен углу 5 как накрест лежащие при пересечении пары параллельных прямых третьей.

Углы 4, 2, 5 в сумме составляют один развернутый, а поэтому их сумма равна двум прямым.

Из 2-ух этих утверждений следует, что сумма углов 1, 2 и 3 также равна двум прямым.

6. Заключение (sumperasma) обобщает вывод, приобретенный в подтверждении, повторяя формулировку первой части:

итак, сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. В прошлом параграфе мы уже обсудили смысл утверждения аксиомы. Оно содержит общее синтетическое суждение. Вообщем, именовать его в полном смысле синтетическим еще недозволено. Хотя оно и присоединяет предикат к субъекту, создавая тем новое понятие, синтез еще не проведен. У нас нет пока убежденности в том, что нареченное в protasis понятие соответствует формальным условиям опыта. Другими словами мы пока лишь предполагаем возможность понятия.

Ekqesis совершает переход от общего понятия к единичному объекту. С него начинается процедура конструирования. Заместо вероятного треугольника (т.е. треугольника совершенно) нам стает действительный треугольник. Согласно Канту, такое выделение единичности составляет нужный момент математического рассуждения. «..Математика ничего не может добиться средством одних только понятий и тотчас торопится перейти к приятному представлению, рассматривая понятие in concreto, но не в эмпирическом приятном представлении, а в таком, которое a priori установлено ею, т.е. конструировано, и в каком то, что следует из общих критерий конструирования, обязано иметь общее внимание на точность кантовского выражения: «тотчас торопится перейти к приятному представлению». По правде, сходу опосля формулировки общего утверждения начинается конструирование чувственно созерцаемого предмета. Другими словами происходит актуализация того, что в protasis фигурировало лишь как вероятное. В ekqesis она (актуализация) в известном смысле беспроблемна, т.к. конструируется то понятие, возможность которого уже установлена. Тут только воспроизводится синтез, проведенный ранее, потому мы имеем в распоряжении постоянный метод предъявления единичного предмета, соответственного данному понятию (в нашем случае — понятию треугольника).

Детерминация выделяет в структуре единичной конструкции, предъявленной в экспозиции, определенные конструктивные элементы — те, о которых речь пойдет в следующем рассуждении. Эта часть аксиомы вроде бы повторяет protasis. Она также носит гипотетичный нрав. Но предполагается в ней не возможность понятия, а реальность конструкции. сейчас мы говорим лишь о единичном предмете, который уже начали конструировать. Принципиально, что, формулируя интересующее нас свойство, мы уже имеем перед очами часть создаваемой конструкции. Говоря, «сумма углов 1, 2 и 3 приравнивается двум прямым,» мы лицезреем то, о чем говорим. тут мы имеем в виду конкретно представленный, данный в восприятии, т.е. действительный объект. Этот объект — след деяния, произведенного нами ранее (в экспозиции).

Построение есть прямое продолжение экспозиции. К уже существующему (нами сделанному) объекту мы добавляем новейшие конструктивные элементы. Любой новейший элемент добавляется в согласовании с уже известной аксиомой либо постулатом. (Крайние, напомним, можно разглядывать как простые выполнимые операции либо правила построения.) В нашем случае, вообщем, построение сводится к единственному акту — проведению через верхушку B прямой, параллельной основанию. Но сколь ординарна ни была бы проводимая нами операция, она имеет ключевое на данный момент мы произвели систему, на сто процентов соотносительную понятию, возможность которого требуется установить. Единичный объект, приобретенный в процессе построения и представленный на рисунке (в тексте реального параграфа), есть актуализация этого понятия. На этом рисунке сумма внутренних углов треугольника изображена так, что ее равенство двум прямым становится конкретно видимым.

Есть один весьма принципиальный момент, отличающий доп построение от экспозиции. Построение треугольника в согласовании со схемой понятия треугольника означало подведение единичного объекта под общее правило. Если это общепринятое правило (понятие треугольника) задано рассудком, то подведение предполагает действие определяющей возможности суждения. Но для той конструкции, которая была сотворена при доп построении, у нас еще не было соответственного понятия. То понятие, возможность которого предполагается в утверждении аксиомы, не имеет еще под собой никакой схемы, никакого определенного правила построения. Это правило нужно изобрести, при этом изобрести так, чтоб из него выводилось утверждение аксиомы. Другими словами, доп построение просит деяния рефлектирующей возможности суждения. Создаваемая система (равно как и правило, по которому она создается) есть обобщающая гипотеза, есть та общая структура, в рамках которой стают ясными интересующие нас дела ранее построенных объектов. Они все находят свое пространство в объединяющей их конфигурации и конструирование всякого отдельного элемента становится целесообразным. Как следует, лишь благодаря рефлектирующей возможности суждения вероятен синтез понятия в аксиоме.

Если построение есть конкретное продолжение экспозиции, то подтверждение вроде бы продолжает детерминацию. Оно представляет собой речь по поводу проведенного построения, описывая полученную в процессе его систему. подтверждение, как и детерминация, имеет дело со следом. Хинтикка утверждает, что эта часть аксиомы чисто аналитическая, так как, в отличии от экспозиции и построения, не вводит никаких новейших единичных предметов. Все подтверждение можно развернуть в виде цепочки силлогизмов.

1. Накрест лежащие углы равны.

Углы 1 и 4 — накрест лежащие.

____________________________________

углы 1 и 4 — равны.

2. Накрест лежащие углы равны.

Углы 2 и 5 — накрест лежащие.

___________________________________________

Углы 2 и 5 — равны.

3. Смежные углы в сумме равны двум прямым.

Углы 1 и 3+5 — смежные.

___________________________________________

Углы 1 и 3+5 — в сумме равны двум прямым

4. Если слагаемые равны меж собой, то их суммы равны .

Слагаемые в суммах 4+5+2 и 1+3+2 равны меж собой. ______________________________________________________

4+5+2 и 1+3+2 равны меж собой.

5. Если две величины порознь равны третьей, то они равны меж собой.

1+2+3 и p порознь равны 4+5+2

___________________________________________

1+2+3 и p равны меж собой.

Обратим внимание на то, что наименьшими посылками этих силлогизмов являются единичные синтетические суждения. (Потому и заключение всякого силлогизма — единичное суждение.) Сиим они (наименьшие посылки) значительно различаются, к примеру, от огромных посылок либо от утверждения аксиомы. В их не содержится никакого синтеза понятий. Как следует они не устанавливают (и не подразумевают) способности. Их роль совсем другая. Они фиксируют реальность предмета, описывая животрепещущий, уже сделанный единичный объект. Все, что говорится по ходу подтверждения относится к имеющемуся в наличии предмету. Это присутствие в наличии (которое, совершенно, и есть реальность) представляет собой нужное условие подтверждения. Крайнее постоянно относится к следу проведенного построения. Если при разговоре о теоремах либо постулатах требование наличия следа (на доске либо бумаге) чудилось лишним, то сейчас конкретно этот след и является изучаемым объектом. Заключительная фраза подтверждения в точности повторяет детерминацию. Но если тогда она произносилась гипотетически, то на данный момент является описанием уже построенного объекта, т.е. констатацией факта. Сущность данной констатации заключается в том, что она показывает на актуализацию того понятия, возможность которого предполагалась в protasis. Коль скоро нами построена система, сообразная схеме этого понятия, то оно (понятие) реально. Вероятен его настоящий синтез согласно формальным условиям опыта. Поточнее не только лишь вероятен, но уже произведен. Потому можно возвратиться к начальному утверждению аксиомы, произнеся его уже в качестве заключения. Заключение представляет собой общее суждение, указывающее на настоящую возможность понятия, как на установленную. В переходе от подтверждения к заключению можно усматривать логическую трудность. Исходя из убеждений формальной логики таковой переход нелегален, т.к. является заключением от единичного к общему, т.е. переходом от наиболее слабенького утверждения к наиболее сильному. Проведенное рассмотрение дозволяет, но, посмотреть на дело по другому. В подтверждении мы гласили о реальном объекте. Заключение касается только способности такого же объекта совершенно. То, что вправду, естественно также и может быть. Обоснование законности заключения, таковым образом, состоит в рассмотрении не количества суждений, а их модальности. Мы совершаем переход от наиболее мощной модальности к наиболее слабенькой, чем и удостоверяем истинность утверждения аксиомы.

3 Необходимость и случайность

Пока что мы не касались третьей из категорий модальности — необходимости. Воззвание к ней просит от нас доп объяснений, ибо возникает подозрение, что все предшествующее рассуждение содержит какую-то неурядицу с категориями. По правде, разве подтверждение аксиомы устанавливает возможность суждения? Не лучше ли сказать, что она устанавливает его необходимость? совсем естественно и безоговорочно, а именно, что сумма внутренних углов треугольника нужно приравнивается двум прямым. Утверждение, что упомянутая сумма может быть равна двум прямым, звучит по наименьшей мере удивительно. До этого всего, укажем на два разных (хотя и близких) осознания способности. Допустимо (и полностью естественно) гласить о вероятном, как о горизонте всех явлений, которые могут при определенных критериях появиться. к примеру, речь может идти о диапазоне разных параметров, которыми может владеть вещь (поточнее о диапазоне признаков, которые могут быть присоединены к данному понятию). Треугольник быть может равнобедренным либо вписанным в окружность. Но может и не быть. Но сумма его внутренних углов равна двум прямым постоянно. Этого не может не быть. Это — нужное свойство. В противоположность ему два остальных — случайные. Может так случиться, к примеру, что треугольник вписан в окружность.

Как, но, удостовериться в способности, понимаемой в нареченном лишь что смысле? Как, уж если мы обратились к такому примеру, узнать, что треугольник можно вписать в окружность. Процедура выяснения, оказывается, ничем не будет различаться от той, которая производилась при установлении нужного характеристики. Мы должны будет установить, что понятие «треугольник, вписанный в окружность,» согласуется с формальными критериями опыта, т.е. предъявить нужный синтез реального понятия. Говоря наиболее непосредственно, необходимо, сформулировав поначалу общее суждение о способности (protasis), мы должны будем потом начертить треугольник (ekqesis). Опосля этого общее суждение о способности будет переформулировано применительно к единичному предмету (diorismos — вокруг построенного треугольника ABC быть может описана окружность l). Опосля этого мы проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника (kataskeyh), докажем, что точка их пересечения — центр окружности, проходящей через верхушки треугольника (apodeixis), и создадим окончательный вывод о истинности начального утверждения (sumperasma).

Таковым образом, возможность и необходимость оказываются категориями довольно близкими. Вообщем, речь пока что обязана, по-видимому, идти о 2-ух различных пониманиях способности. Когда мы обсуждали категорию способности в прошлом параграфе, мы гласили о способности в противопоставлении реальности. Мы указывали, что треугольник (с суммой внутренних углов равной p) является вероятным понятием, так как быть может построен. Мы постоянно можем предъявить соответственное ему созерцание, т.е. сделать систему согласно определенной схеме. Сиим нареченное понятие ничем не различается от таковых, как «равнобедренный треугольник», либо «треугольник, вписанный в окружность». Каждое из их обнаруживает себя как реальное тогда, когда проведена процедура синтеза и предъявлена соответственная актуализация. тут мы потому говорим о несколько другой интерпретации той же самой группы. Принципиально, вообщем, что для обеих интерпретаций требуется проведение всей полноты синтеза.

Так что устанавливая необходимость какого-нибудь положения дел, мы сразу показываем возможность некого понятия. С иной стороны, выясняя возможность чего-либо, мы обнаруживаем нужную связь актуализируемых при всем этом понятий. Так, когда мы проводим функцию, призванную показать возможность понятия «треугольник, вписанный в окружность,» мы сразу доказываем, к примеру, такое (нужное) утверждение: «Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, есть центр описанной вокруг него окружности».

Возможность и необходимость инсталлируются при схожих обстоятельствах, но относятся к различному. Возможность относится к одному понятию, тому, которое конструируется в синтетическом суждении. Необходимость относится к связи понятий. понятие либо предмет не могут быть необходимыми. Нужным быть может некое положение дел: связь понятий либо отношение объектов.

Говоря о вероятном, мы постоянно подразумеваем случайность. То, что может быть, может и не произойти. Треугольник быть может и не вписан в окружность, хотя такое может быть. К чему относится это указание на случайность? Оно относится к некому событию, а конкретно событию актуализации данного понятия, т.е. событию построения. Поточнее, тут необходимо гласить о ряде событий, опосля которых возникают на свет какие-то новейшие конструкции. Что такое событие не одно, следует из структуры аксиомы, в какой различены ekqesis и kataskeuh. Вероятное может быть, так как оно может случиться. Но к этому моменту случайности относится и указание на необходимость. Некое положение дел нужно, если возникает каждый раз, когда нечто случится. Каждый раз, когда треугольнику случится быть вписанным в окружность, центр данной описанной окружности совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. установление необходимости просит указания варианта.

Обратим внимание, что выражение способности и необходимости просит, строго говоря, разных суждений. Возможность фиксируется категорическим суждением, конструирующим новое понятие. Необходимость фиксируется гипотетичным суждением, указывающим на условие, при котором безизбежно наступает некое положение дел.

Произнесенное просто проследить на примере аксиомы о сумме внутренних углов. Внутренние углы треугольника нужно составляют в сумме два прямых, но для этого треугольнику еще необходимо случиться. Треугольник — вероятное понятие. Его можно нарисовать, а можно и не отрисовывать. Необходимость нареченного равенства находится только при условии пришествия определенного действия.

В нашем рассмотрении на данный момент оказалось задействовано три элемента математического дискурса. (Вообщем, по-видимому, не только лишь математического.) Эти элементы сущность понятие, единичный предмет и событие. Рассматриваемые нами группы модальности относятся, совершенно говоря к различным из нареченных частей. Возможность (по последней мере, до сего времени) постоянно предполагала понятие. Реальность — единичный предмет. Необходимость обрисовывает отношение понятий, а случайность — событие. Крайнее представляет собой единичность другого рода, чем предмет (либо объект). В нашем рассуждении в качестве событий выступали экспозиция и построение. Конкретно они случаются. Конкретно относительно их не быть может предъявлено никаких гарантий — они могут и не произойти. Зание необходимости просит, таковым образом достаточно узкого перехода от общего к единичному, так как в нужном суждении фиксируется связь общих понятий, но как условие данной связи выступает единичное (случайное) событие. Смысл этого перехода раскрывается Кантом в коротком замечании о схеме необходимости (B184): «Схема необходимости есть существование предмета во всякое время» (курсив наш). Необходимость, таковым образом, устанавливается вследствие произвольности момента действия. Она заключается в том, что когда бы ни вышло событие, ему непременно будет сопутствовать некое (при этом постоянно одно и то же) положение дел.

Эта одинаковость при неоднократном повторении, фактически, составляет определение общности. понятие является общим поэтому, что задает схему, согласно которой строятся почти все единичные объекты. Оно — общее для почти всех различных объектов. Оно много раз актуализируется, будучи вероятным. Актуализация есть событие возникновения единичного объекта и это событие каждый раз случаем.

Происшедшее вправду. Действительное возникает в итоге происшедшего действия. До этого всего, в итоге экспозиции, а потом и построения. Необходимость, как мы лицезрели, показывает на положение дел, которое безизбежно устанавливается вследствие этого построения, т.е. проведенного сообразно условиям опыта синтеза. Так, видимо, необходимо осознавать крайний из постулатов эмпирического мышления: «То, связь что с реальностью определяется согласно общим условиям опыта, существует нужно.» (B266).

В Главе 1 нами была применена еще одна категория — факт. На самом деле это то же самое, что мы окрестили тут «положением дел». Связь факта с объектом соотносительна связи необходимости с реальностью. установление факта есть установление связи частей в данной конструкции. Другими словами факт выражается общим суждением, которое формулируется, к примеру, в качестве утверждения аксиомы. Но установить необходимость факта можно только построив ту систему, связь частей которой он обозначает. Другими словами факту должен соответствовать объект. Установление факта и построение объекта — это одна и та же процедура — буквально также, как выяснение способности понятия и необходимости связи понятий.

Завершая наше рассуждение о необходимости, мы должны возвратиться к тому выводу, которым заключили предшествующий параграф. Там мы увидели, что переход от единичного суждения к общему при подтверждении аксиомы допустим поэтому, что таковым образом осуществляется переход от наиболее мощной модальности к наиболее слабенькой (от реальности к способности). Тут полностью можно узреть ошибку, состоящую в том, что произведена замена разных категорий. Можно сказать, что в заключительной части аксиомы делается переход от реальности к необходимости, т.е. к наиболее мощной модальности, а поэтому таковой переход все таки неправомерен. Ответом на такое возражение может служить обнаруженное нами разграничение сферы деяния категорий способности и необходимости. Все рассуждения предшествующего параграфа касались лишь понятий и единичных объектов и не касались их отношений. Потому там не могло идти речи о необходимости. Мы указали, что symperasma аксиомы устанавливает возможность понятия, тогда как apodeixis приводит к выводу о реальности соответственного этому понятию предмета. В таком переходе нет ничего нелегального. Единственное, о чем не было сказано, это о произвольности момента построения нареченного предмета, которая и обуславливает необходимость дела понятий, устанавливаемую аксиомой. Мы уже упоминали, что обнаружение способности непременно оказывается связано с установлением необходимости. Чтоб установить возможность, необходимо выстроить действительный объект. Но построение реального объекта (сообразно общим условиям опыта) предполагает необходимость связи его частей.

тут возникает очередное недоразумение. Можно нарисовать на бумаге какой-либо завиток совсем случайной конфигурации. Коль скоро он построен, он, непременно, вероятен. Не могли же мы изобразить неосуществимый предмет. Но никакой нужной связи частей в нашей конструкции нет. тут налицо очевидное несовпадение категорий способности и необходимости. Следует, но, держать в голове, что мы гласили о способности понятия. Уместно задать вопросец: какое понятие было актуализировано при рисовании лишенной всякой регулярности загагулины? Даже, если мы и имели нечто в виду, до этого, чем изобразили ее, совсем нереально узнать в которой мере действительный предмет соответствует нашему плану. Если же таковая возможность есть, то означает есть возможность и неоднократного проигрывания, т.е. можно уже гласить о существовании некой схемы. Крайнее же значит нужную связь частей.

4 Вероятное и действительное в отношении ко времени

В главе «О схематизме незапятнанных понятий рассудка» Кант, рассматривая условия внедрения категорий к явлениям, установил, что таковое может быть при посредстве «трансцендентального определения времени». Определение времени есть схема категорий, при помощи которой явление подводится под понятия рассудка (B178). Ниже мы попытаемся подробнее разглядеть, что значит определение времени в математическом рассуждении. Объяснения самого Канта по этому поводу кажутся чрезвычайно короткими. В особенности это относится к категориям модальности. По поводу реальности он ограничивается единственной фразой: «Схема реальности есть существование в определенное время» (B184). Не претендуя на подробный комментарий кантовского текста, попробуем все таки ответить на вопросец: как и чем определено время существования реального предмета?

Действительный предмет явлен нам при экспозиции либо при построении. Экспозиция постоянно сопровождается фразой типа: «Пусть ABC — треугольник». Так как речь идет о единичном треугольнике обязано быть совсем ясно — какой конкретно треугольник назван ABC. Ответ на этот вопросец быть может лишь один: «Вот этот, тут и на данный момент нарисованный треугольник». Даже, если треугольник был нарисован ранее, указание на него происходит на данный момент, в тот момент дискурса, когда появилась Потребность (либо желание) предъявить его как имеющийся, действительный объект. Потому время, определяемое схемой реальности, есть истинное время. Естественно, действительный объект, будучи один раз построен, продолжает существовать и далее. Но выяснить о его реальности можно лишь при актуализации, т.е. при определенном событии дискурса. Животрепещуще событие, происходящее на данный момент. Поточнее, животрепещущ (действителен) объект, являющийся в происходящем сейчас событии. Событие, происшедшее в прошедшем, не сохраняет собственной реальности, но оставляет след.

Принципиально подразумевать, что время определяется (в этом случае как истинное время, как сейчас) конкретно дискурсом. Проводимое (животрепещуще) построение и проваждающее его выражение («Вот этот треугольник») выделяют истинное по отношению к прошлому. Это выделение реального получается благодаря наличности прошедшего. До этого всего это находится тогда, когда мы приступаем к описанию объекта, как это делается, к примеру, при проведении подтверждения (apodeixis). Произнося определенное суждение, мы адресуемся к чертежу, как результату проведенного построения. Суждение, произносимое при подтверждении, также произносится сейчас, но для него есть нечто, к чему оно относится как к уже происшедшему. Это происшедшее есть событие, оставившее след и так как мы имеем возможность обратится к нему опять, т.е. вторично опосля построения, мы определяем его как прошедшее по отношению к произносимому сейчас суждению. объект при всем этом должен быть вновь воспринят, т.е. вновь стать реальным. Будучи в первый раз актуализирован при построении, он повторно актуализируется при подтверждении. ясно, что таковая актуализация может происходить неоднократно. То, что остается опосля построения, т.е. то, что подлежит актуализации при подтверждении мы и называем следом.

Выше мы гласили, что многократность проигрывания фактически и значит общность. След, таковым образом, есть общее для почти всех актуализаций. Он также есть вероятное — он быть может актуализирован и потому находится в согласии с формальными критериями опыта. Но он не совпадает с понятием, хотя бы поэтому, что понятие может актуализироваться при другом построении и произвести еще один след. Вообщем, актуализация следа просит воззвания к понятию, так как при ней обязана быть задействована та же самая схема, сообразно с которой происходило построение. Потому математический дискурс носит частично герменевтический нрав: смотря на данную графическую конфигурацию, мы воспроизводим ее смыслы, т.е. пытаемся прочитать ее. Под смыслом тут предполагается конкретно понятие. Всякий раз узреть в следе одно и то же означает воспроизвести одно и то же построение, т.е. актуализировать общее для всех этих построений понятие, действуя сообразной одной и той же схеме.

5 Дискретность и непрерывность в структуре дискурса

сейчас мы можем разглядеть как устроен дискурс, проводимый в геометрии. В нем, до этого всего, можно узреть последовательность событий, сопряженных с актуализацией чего-либо (понятия либо следа). Но всякая актуализация есть синтез, в каком определенное (понятием) построение сопровождается произнесением соответственного синтетического суждения. Крайнее быть может и единичным суждением, но произносится постоянно, хотя бы в качестве указания на проведенное построение («пусть ABC — треугольник»). В подтверждении, как мы лицезрели, делается то же самое действие: суждение сопрягается с построением, хотя, в данном случае, и неявным. Это, естественно, не построение, предъявляющее новейший объект, а проигрывание прежнего. Но действие, производимое при всем этом, также является синтезом, соотнесением некой конструкции с формальными критериями опыта. Благодаря такому действию, система, пребывавшая в виде следа, вновь становится реальной.

Таковым образом дискурс есть ряд последующих один за остальным синтетических актов. Любой из их связан с определенным событием и обусловят некий момент сейчас. Совершение синтетического акта подразумевает наличие действий, совершенных ранее, т.е. неких моментов прошедшего. Как мы уже гласили ранее, статус прошедшего создается наличием следа, с которым так либо по другому связано совершение сегодняшнего синтетического акта. Последовательность дискурса дискретна, так как каждое совершаемое действие (равно как и каждое событие) завершимо и все деяния различимы, т.е. разделены друг от друга. Последовательность и дискретность дискурса описывает последовательность времени, как ряд отличимых друг от друга моментов ‘сейчас‘. Любой акт, отнесенный к моменту прошедшего, быть может актуализирован, т.е. воспроизведен в реальном.

Различимость синтетических актов и связанных с ними моментов времени предполагает, что, следуя один за остальным, они должны быть кое-чем разбиты. Предполагается некое меж, т.е. некий просвет, отделяющий один момент от другого. Проще всего этот просвет находится в процедуре деления отрезка прямой. Разглядим подробнее эту незамудреное, на 1-ый взор, действие.

Заметим, до этого всего, что, прочертив отрезок прямой, мы, непременно, произвели некоторый синтез, т.е. сделали некий синтетический акт. Но — и в следующем мы еще изучим все следствия этого наблюдения — этот акт недозволено свести к одному моменту времени. В нем обязано выделить по последней мере два ясно различимых действия: начало и конец прочерчивания отрезка. Мы ставим две точки, совершая тем два поочередных синтетических акта. Но отрезок — это не две точки. Отрезок — это то, что их делит, т.е. лежит меж ними. Но с сиим «меж» еще не соединено никакого синтеза. Можно удовлетвориться первым постулатом Евклида, чтоб удостовериться в обоснованности нашего деяния, но этого недостаточно, чтоб связать построенный предмет с любым понятием. А именно у нас пока отсутствует аспект для опознания прямой, т.е. для обнаружения ее отличия от хоть какой иной полосы, соединяющей две точки. Чтоб изучить структуру прямой, нам необходимо изучить разные лежащие на ней точечные конфигурации. Конкретно это, меж иным, было изготовлено при попытках изучить геометрию прямой полосы и выстроить аксиоматику прямой. Вариант таковой аксиоматики, также историю препядствия можно отыскать книжках [25] и [26].

1-ое действие, которое обязано быть произведено, состоит, как следует, в делении отрезка на две части. Ясно, что, строя новейшие точки на отрезке прямой, мы можем связывать с этими точками определенные суждения. Наиболее того, по поводу выстраиваемых точечных конструкций должен быть развернут доказательный дискурс, содержащий те же самые части, которые были рассмотрены нами ранее, при исследовании структуры древней аксиомы. Но всякая новенькая точка, появляющаяся на отрезке, будет появляться меж 2-мя ранее построенными точками. Этот акт несколько отличен от тех, которые мы обсуждали. Это не есть актуализация следа — происходит новое построение, в итоге которого возникает не существовавший ранее объект. Но оно все таки не полностью новое, поэтому что присутствующий тут след некоего построения (прочерченный отрезок) значительно описывает то, как будет поставлена точка. Ставя третью точку меж 2-мя построенными, мы, с одной стороны, совершаем действие, последующее за 2-мя уже совершенными. Но с иной стороны мы как бы возвращаемся к прошлому по отношению по последней мере к одному из 2-ух нареченных событий. Если две точки определяют начало и конец отрезка, то точка, поставленная меж ними, вроде бы извлекает нечто из предыдущего концу, но последующему опосля начала. В нашем дискурсе всякое событие соединено с поставленной точкой. Но поставить точку меж 2-мя иными, означает обратиться ко времени, когда ничего не происходило. Мы будто бы извлекаем событие из незапятанной потенциальности следа и определяем еще один момент меж 2-мя уже бывшими моментами.

Таковым образом, вместе с дискретной структурой времени, определяемой дискретной последовательностью событий дискурса, мы обнаруживаем к тому же непрерывную его составляющую, то что «протекает» меж событиями. Если дискретное время, состоящее из поочередных моментов, наполнено событиями либо синтетическими актами (пока мы не различили одно от другого, но непременно создадим это в следующем), то непрерывное время есть время чисто потенциального пребывания следа, такового следа, который еще не был связан ни с какой актуализацией. Потому след, подобно времени, имеет как непрерывную, так и дискретную часть. Проигрывание (незапятнанный повтор) вероятен только по отношению к дискретной части следа. Непрерывная его часть оказывается некоторой средой, в какой происходят другие действия и которая «заполняет» промежутки меж дискретными точками, составляющими следы синтетических действий.

Не только лишь деление отрезка на части дозволяет различить непрерывную и дискретную составляющие в дискурсе. Для всех 2-ух событий постоянно найдется некое разделяющее их непроясненное «меж», определяющее но ход событий дискурса. В аксиоме о внутренних углах треугольника, мы можем (хотя это и не полностью буквально) указать два действия: построение треугольника (в экспозиции) и проведение прямой (в доп построении). Меж 2-мя этими действиями ничего не происходит. Но можем ли мы гласить, что их ничего не делит? Проведение прямой на определенном расстоянии от основания (которому она параллельна) значит определенность временного промежутка меж 2-мя событиями. Если б ровная была проведена поближе к основанию, просвет был бы другим. Можно апеллировать к обычному психо-физиологическому обстоятельству: чем далее друг от друга размещены две изображаемые на бумаге фигуры, тем больше времени необходимо, чтоб перенести карандаш либо проследить это расстояние очами. Даже если считать таковой аргумент неприемлимым в философском рассуждении, то все таки нужно согласиться, что структура расстояний, определяющая обоюдное размещение разных частей конфигурации, соотносительна длительностям временных промежутков, разделяющих моменты построения этих частей. Расстояния отсчитываются по прямой. Потому, определяя удаленность 1-го объекта от другого, мы так либо по другому должны, хотя бы на уровне мыслей соединить их отрезком прямой полосы. Но чем длиннее отрезок, тем больше времени проходит меж событиями построения его начала и конца — естественно в масштабе 1-го дискурса. Точка, поставленная на отрезке при его проведении, была ранее, чем конец этого отрезка.

Вернемся сейчас к нашему рассуждению о отрезке прямой. Мы лицезрели, что его построение с самого начала предполагает два синтетических акта, в итоге которых возникает начало и конец отрезка. То, что происходит меж этими 2-мя действиями не есть полностью синтетический акт, так как не прояснено понятие прямой. Оно проясняется по мере построения новейших точечных конфигураций меж началом и концом отрезка. Но тогда подлинным событием построения мы можем считать только поставленную точку. Лишь такое действие быть может соединено с моментом ‘сейчас’, т.е. с реальным. Другими словами, лишь точка реальна. Неважно какая непрерывная линия, а означает и неважно какая геометрическая фигура, постоянно есть след, то непроясненное нечто, что находится меж точками, делается меж событиями. Можно, естественно, узреть в непрерывном прочерчивании полосы синтез, проводимый согласно определенной схеме, т.е. сообразно некому понятию. Конкретно это дает создать Кант, разъясняя понятие экстенсивной величины (B203): «Экстенсивной я называю всякую величину, в какой могу представить полосы, вроде бы мала она ни была, не проводя ее на уровне мыслей, т.е. не проводя поочередно всех ее частей, начиная с определенной точки и таковым образом в первый раз начертая приятное одной стороны, описанная тут процедура составления целого из схожих друг другу частей обязана быть принята как процедура синтеза прямой полосы, конструирующая также и понятие прямой. Но с иной стороны, приведенное объяснение может показаться странноватым, так как превращает проведение прямой полосы в животрепещуще нескончаемый процесс. Ведь любая часть также состоит из частей, которые должны быть проведены до этого. Потому, завершив построение отрезка, мы должны будем «методом поочередного синтеза» окончить нескончаемый ряд построений. В подтверждении тезиса первой антиномии сам Кант показывает на невозможность такового акта (B454).

Но гласить о прямой как итоге присоединения друг к другу наиболее маленьких отрезков только опосля того, как проведено построение ряда точечных конфигураций и изучена структура прямой полосы. Такое исследование дает возможность сконструировать понятие прямой, которое, но, отсутствовало в момент ее проведения. Кантовское определение полосы, как последовательности частей, есть потому итог уже проведенного дискурса, при этом такового, в процессе которого был совершен конечный ряд синтетических актов. Все наши выводы о прямой полосы, о обоюдном расположении на ней точек и отрезков изготовлены опосля построения на ней конечного числа точек, т.е. опосля того, как она разбита на конечное число частей. Конкретно такое деление и является синтезом в полном смысле слова. Проведение непрерывной полосы таковым синтезом считать недозволено, так как при таком построении не создается еще никакого понятия. Поточнее, мы не знаем, какое понятие актуализируется.

Все произнесенное приводит к несколько странноватым выводам. В любом геометрическом построении совершается два рода действий: проведение линий и выставление точек. Настоящий синтез связан лишь с крайним. Мы уже гласили, что только точка по-настоящему животрепещуща, лишь она быть может построена либо воспринята в момент ‘сейчас’, т.е. в реальном. Неважно какая наиболее непростая конфигурация здесь же уходит в прошедшее и обращается в след. Но если это так, то синтетические акты, составляющие последовательность дискурса, ничем содержательно друг от друга не различаются. Мы не можем указать ничего, чем одна точка различается от иной, не считая места в пространстве и времени.

Таковым образом принципиальным элементом выстраивания дискурса является факт незапятнанного различия его частей. Для природы дискурса определяющим оказывается не содержательное различие каких-либо сущностей (понятий либо объектов), а различие {само по себе}, различие того, что неразличимо по содержанию.

Как следует определенность создаваемого в дискурсе объекта может появиться лишь как структура отношений меж точечными актами. Эти дела и определяются пространственно-временной локализацией всякого из их. «пространство в пространстве и времени» — это не сущностная черта объекта, но указание на его положение относительно остальных, хороших от него объектов. То, что составляет суть сложной конфигурации (геометрического объекта), сводится к системе отношений меж ординарными элементами (точками), о которых принципиально знать лишь то, что они различаются друг от друга. Мы но лицезрели, что пространственное взаиморасположение точек соотносительно их временной последовательности. Дискурс, разложимый на дискретный ряд последующих друг за другом событий, может содержать лишь временные дела. Но эти дела могут быть определены только длительностями временных интервалов меж событиями. Таковым образом структура геометрического объекта обязана быть определена темпоральной структурой дискурса.

Темпоральная структура, вообщем, не есть время дискурса. Дискурс о определенном предмете быть может повторен в хоть какое время, которое в процессе дискурса организуется сообразно разворачиваемой темпоральной структуре. Темпоральная структура, таковым образом, сама независима от времени. Она неоднократно воспроизводится в протекающем во времени дискурсе и фиксируется в виде пространственных конфигураций. Сама она, но, остается вне всякой фиксации. Эта невидимая и неслышимая структура последовательности разворачиваемых во времени точечных событий содержит внутри себя принцип взаимодействия дискретных моментов непрерывного временного «заполнения». Другими словами она содержит принцип «определения времени», производимого дискурсом.

Все, что мы произнесли тут о темпоральной структуре объекта, полностью относится к тому, что у Канта названо трансцендентальной схемой. Это — «правило синтеза возможности воображения в отношении незапятнанных форм в пространстве» (B180). Заметим но, что это правило есть управление для построения объекта (порядок, последовательность действий), но не словесно озвучиваемая инструкция либо описание. Крайнее поближе к понятию и конкретно к согласию с ним схема призвана привести конструируемый в пространстве объект. (См. примечание 4)

Мы, как следует, сталкиваемся тут с некий загадочной частью мышления, которая, не имея никакого наружного выражения, быть может описана только очень примерно. На что бы мы ни указали, пытаясь указать на трансцендентальную схему (либо на темпоральную структуру дискурса), это в любом случае будет не она, а или понятие, или образ, или предмет. Сам Кант по этому поводу писал: «Этот схематизм нашего рассудка в отношении явлений и незапятанной формы их есть заветное в недрах людской души Искусство, истинные приемы которого нам чуть ли когда-либо получится проследить и вывести наружу» (B181). В чем либо трансцендентальная схема сходна с музыкальным ритмом. Крайний представляет собой структуру, организующую последовательность звуков и пауз, т.е. дискретную последовательность звучаний в неком незвучащем континууме. Ритм не звучит и конкретно не выражается в нотной записи. Звучащая музыка есть только единичное развертывание данной ритмом структуры. Нотная запись именует ритм, т.е. ведает о нем либо обрисовывает его. Сам он остается вне звука и вне записи. (См. примечание 5)

6 Различие и тождество в дискурсе

Выше мы указали, что простые объекты, возникающие в итоге синтетических актов (событий дискурса), различаются друг от друга лишь местом и временем. Но структура сложного объекта, конструируемого в процессе дискурса, определяется схемой, т.е. вневременной структурой, при актуализации которой лишь и возникает различие частей во времени. Не следует ли из этого, что животрепещущему (пространственно-временному) различию частей обязано быть предположено некое вневременное различие? естественно полагать, что схема оказывается структурой отношений каких-либо предметов, о которых понятно только, что они отличны друг от друга.

Таковой поворот дает, до этого всего, возможность уточнить, что, фактически говоря, значит одинаковость объектов. Выше мы гласили, что простые действия дискурса ничем содержательно друг от друга не различаются. Слово «содержательно» может означать только то, что возникающие при нареченных событиях объекты схожи. ясно, что эту одинаковость мы не можем найти через сравнение и выделение общих параметров. Для точек она быть может определена лишь негативно. Заметим, что указывая на их различие в месте и времени, мы не обнаруживаем никаких остальных оснований для различения. Другими словами, мы не можем указать специфичных различий меж точками. Отсутствие каких-то оснований для различения, не считая различия места и времени, и следует, по-видимому, именовать тождеством объектов.

Различие, предопределенное схемой, уже не подразумевает никакого тождества, поэтому что тут не может идти речи о объекте. В ней задана структура незапятнанного различия, реализуемая (и актуализируемая) в пространственно-временном различии объектов. Очень проблемно разъяснить, в чем состоит эта структура различий, так как всякий доступный дискуссии предмет не может — как мы уже указывали — быть схемой конкретно в силу данной доступности. На наш взор, мы можем только упоминать о ней, обнаруживая в наших собственных построениях развернутый во времени процесс конструирования объекта, составляемого из различимых частей.

7 Трудности рассматриваемого подхода и классические философские препядствия

Реализуемый тут нами подход к рассмотрению математического дискурса (либо хоть какого дискурса совершенно) сталкивается с проблем, разрешение которых представляется достаточно проблематическим. Мы, тем не наименее, считаем нужным по способности ясно сконструировать их, так как на наш взор их возникновение не только лишь обнаруживает недочеты нашего рассуждения, но частично воспроизводит давнешние философские препядствия, которые по-разному воспроизводились в различных философских построениях, но изредка (либо никогда) удовлетворительно разрешались. Можно потому полагать, что тут мы имеем дело с принципными затруднениями, характерными самой природе мысли.

Мы обязаны, до этого всего, констатировать, что в дискурсе никогда не представлен целый объект. Мы лицезрели, что наше рассуждение о любом предмете представляет собой попытку его поочередной актуализации. Но в котором виде существует актуализированный предмет? Лишь в виде следа. Оказавшись в прошедшем, он теряет статус реального и должен быть вновь актуализирован, чтоб вновь стать предметом рассуждения. Таковым образом предметом рассуждения быть может лишь один объект, тот который конструируется на данный момент. Животрепещуще то, что соединено с реальным временем. Да и тот предмет, который на данный момент конструируется никак не является предметом дискурса. Он не может находиться в дискурсе как целый объект, так как создается как последовательность частей. Всякая построенная часть преобразуется в след и ее также необходимо вновь актуализировать, чтоб возвратить ей ее предметность. Животрепещуще находится в дискурсе лишь точка — только она может существовать на данный момент, в реальном. Лишь точка быть может не следом, а животрепещущим объектом. Пытаясь извлечь предмет нашего рассуждения из прошедшего, мы также можем извлечь только точку. Мы будем поочередно обращать внимание на одну точку за иной, но всякая точка, сплетенная с прошедшим моментом будет здесь же вновь обращаться в след и ускользать от нас.

тут можно узреть нежданную аналогию меж математическим дискурсом и восприятием музыки. Оценить плюсы произведения можно только услышав его как нечто целое. Даже простая мелодия представляет собой последовательность звуков. Но только один звук воспринимается животрепещуще, лишь одна нотка либо аккорд может звучать на данный момент. Все произведение остается в прошедшем и его актуализация еще наиболее затруднительна, чем актуализация математического предмета, который по последней мере представлен перед очами.

Описанная трудность была предметом очень обширного рассуждения Бл. Августина, который, пытаясь разглядеть темпоральную природу восприятия, пришел к выводу, что существует лишь истинное ([1], с. 297). Августин недоумевает, как можно ассоциировать по продолжительности разные промежутки времени, когда любой таковой просвет относится к прошлому либо к будущему и не быть может полностью представлен сравнивающему (с. 293-294). Он также задается вопросцем, как можно гласить о прошедших и будущих событиях: ведь гласить о их, означает гласить о том, что нет. Как к примеру, можно, видя зарю, предвещать восход солнца и даже представлять его. Крайнее, объясняет Августин, может быть, лишь если ясно сейчас одно: ни грядущего, ни прошедшего нет, и некорректно гласить о существовании 3-х времен: прошедшего реального и грядущего. Правильней было бы, пожалуй гласить так: есть три времени — истинное прошедшего, истинное реального и истинное грядущего. Некоторые три времени эти есть в нашей душе и нигде в другом месте я их не вижу: истинное прошедшего — это память; истинное реального — его конкретное созерцание; истинное грядущего — его ожидание» (с. 297, курсив мой — Г.Г.).

Целостность предмета (либо ситуации) восстанавливается, как следует, благодаря памяти и воображению. Вспомним, что нечто схожее подразумевал и Брауэр: рассматривая когнитивную деятельность человека, он представлял ее в виде последовательности дискретных актов. Принципиальной чертой мысли была для него при всем этом не только лишь способность продолжить последовательность, совершив очередной акт, да и способность «задерживать довольно длинноватую цепь ‘вещей’ с тем, чтоб иметь возможность перейти на уровне мыслей от крайней к наиболее ранешней.» тут но нет еще решения препядствия. Воззвание к памяти не дозволяет сделать целое, так как актуализируя прошедшее, мы обращаем в след (либо в память) истинное (которое, вообщем, здесь же становится прошедшим). Если воспользоваться примером Августина, то воображаемый восход солнца, как животрепещущее и явленное в реальном времени, сопоставляя их вместе, так как в душе на данный момент находится память о их. «В для тебя, душа моя, измеряю я время… Воспоминание от проходящего мимо остается в для тебя, и его-то, на данный момент имеющееся, я измеряю, а не то, что оставило» (с. 305). Как следует, вместе с протекающим обязано быть некое странноватое вневременное на данный момент‘, в реальном. При этом не к нему одному, но к нескольким сопоставляемым интервалам сразу. Но буквально также, как о интервале времени, можно гласить о любом предмете, который, будучи представлен как последовательность точечных актуализаций, должен также находиться как целое, в хоть какой момент животрепещущее представление. Но такое представление не быть может реальным объектом. Мы определяем время последовательностью синтетических актов, в итоге которых возникает ряд реальных объектов. Целое, строящееся из этих объектов как частей, быть может лишь следом и никогда не находится животрепещуще. В хоть какой момент присутствующее быть может лишь вне времени, но это не есть реальность. Действителен только единичный воспринимаемый объект, а то, что представлено в хоть какой момент не единично. Оно или вещественно, или в воображении быть может воспроизведено неоднократно, а поэтому является общим для почти всех актуализаций. Другими словами, речь тут может идти о трансцендентальной схеме, вневременной структуре конструируемого в дискурсе объекта. Если что и может посодействовать нам задерживать вопросец состоит в последующем: почему, воспроизводя 2-ой раз некую систему, мы знаем,что строим конкретно эту систему, а не какую-либо другую? Почему, к примеру, доказав один раз аксиому о внутренних углах треугольника и произведя при всем этом соответственное построение, мы не сомневаемся в способности создать это самое построение снова, доказав вновь эту же аксиому. Мы имеем весомые основания для различения построенных конфигураций (они отличны по времени), но основания для их отождествления остаются пока проблематическими.

Возможность отождествления хороших по времени единичных конструкций эквивалентна общности суждения либо синтезируемого сиим суждением понятия. Суждение является общим так как справедливо для хоть какого предмета, построенного сообразно данному понятию. Но должны быть основания для того, чтоб считать данное понятие общим для почти всех объектов. Любой из этого огромного количества объектов конструируется сообразно одному и тому же понятию, т.е. сообразно одной и той же трансцендентальной схеме. Но что означает «одна и та же»? Отождествляя построенные по одной и той же в различное время объекты, мы ссылаемся на тождественность схемы как на аспект. Но тогда мы должны владеть каким-то аспектом для отождествления использованных в различное время схем, что здесь же обеспечивает регресс в дурную бесконечность. Даже если мы будем считать, что схема остается одной и той же в смысле нумерического единства, как одна и та же вещь, то неувязка отождествления не решается, так как мы не имеем каких-то оснований для утверждения, что в очередной раз обратились к той же схеме (подобно, к примеру, тому, как всякий раз, забивая очередной гвоздь, мы берем этот же самый молоток).

понятие о нумерическом единстве (либо единстве по числу) только принципиально для нашего рассуждения и обязано быть соответствующим образом уточнено. Боэций ([9] с. 45) пишет о «различии по числу» как о «различии при перечислении». «Когда мы говорим: ‘Вот это — один‘ — о Сократе, ‘Очередной’ — о Платоне, мы перечислили бы две различные единицы». Из этого отрывка следует, что единство по числу предполагает индивидуацию при помощи конкретного указания. Заметим, что конкретно это происходит в экспозиции аксиомы, где конкретно предъявляется единичный объект построенный тут и на данный момент. Сама единичность, таковым образом, эквивалентна конкретному указанию («Вот это»), которое есть не что другое как актуализация объекта, сплетенная с данным моментом времени, с реальным. Из этого следует, что ни о каком нумерическом единстве схемы не быть может и речи.

Ситуация необычным образом воспроизводит делему универсалий. вопросец о том, как общие понятия находятся в единичных вещах приводит ровно к этим же затруднениям. Вид присутствующий в различимых индивидумах быть может или един, или множествен. 1-ый вариант неосуществим из-за того, что в этом случае нумерически одно обязано находится сходу в почти всех местах. 2-ой же приводит к нескончаемому умножению видов, ибо у всего огромного количества, именуемого одним видом, обязано быть нечто общее, что фактически и делает вид одним. Поэтому что — как пишет один и этот же вид бытия, то у их было бы лишь имя общее, и было бы похоже на то, как если б кто называл человеком и Каллия и кусочек дерева, не усмотрев никакойобщности меж ними» (Метафизика I,9).(См. примечание 6)

Крайняя трудность, на которую мы должны направить внимание, связана с принципом «темпоральности», лежащем в базе разрабатываемого тут подхода к дискурсу. Мы лицезрели, что основой всякого различия меж животрепещущими объектами является различие во времени. Конкретно структура таковых различий задана схемой. Крайняя не может определять ничего, не считая соотношения длительностей временных интервалов меж точечными синтетическими актами. Дискурс оказывается последовательностью действий по конструированию простых (различимых только по времени) объектов. Но тогда мы можем разъяснить лишь одномерную систему, прямую линию. Понятая так трансцендентальная схема исключает одновременность и многомерность в восприятии объекта. Кант указывал на абсурдность описанной ситуации, находя в ней аргумент против «проблематичного идеализма» ([30], с. 626-630). Он отмечал, что время) владеет одним измерением и, делая упор лишь на него, недозволено мыслить пространственные конфигурации. Кант лицезреет тут резон против скепсиса Декарта сущность которого он излагает так: «Проблематичный идеалист признает, что мы воспринимаем конфигурации средством нашего внутреннего чувства, но он опровергает, что на этом основании можно заключать о существовании наружных предметов в пространстве» (с. 626-627). Нам, но, представляется, что обозначенная сложность присуща также и самой кантовской философии конкретно в силу центральной роли схематизма для познавательной возможности. Схема дает правило для определения времени и совсем нереально осознать, как она быть может прототипом либо правилом конструирования пространственного объекта. тут остается только вновь сослаться на цитированное уже пространство из «Критики незапятнанного разума» о «заветном в недрах людской души искусстве» (B181).

Примечания

1. Во всяком случае в таблице категорий, приводимой в «Аналитике понятий», 2-ой из категорий модальности названо конкретно «существование» (B106), тогда как в «Аналитике основоположений» бытует термин «реальность».

2. В [76], с. 96-99 совсем буквально указывается на необходимость различать «реальное» и «действительное». В неприятном случае выражение «настоящая возможность» окажется оксюмороном. Реально то, что получено в итоге синтеза, совершенного сообразно условиям опыта. Все действительное реально. Но настоящим быть может и вероятное. Совершенно введение термина «настоящий» представляется оправданным конкретно в смысле противопоставления настоящей и логической способности.

3. Рассматриваемая дальше структура древней аксиомы была описана Проклом в «Комментах к первой книжке начал Евклида». См. комментарий к первому предложению в [78], c. 180-181. Увлекательная интерпретация данной, установленной у Прокла структуры имеется в статье А.Родина «Аксиома» [49]. Родину принадлежит перевод на российский язык определений, применяемых Проклом для обозначения частей аксиомы.

4. В [76] приведена достаточно широкая литература по вопросцу трансцендентального схематизма. Там же обозначено на бессчетные (и на наш взор полностью оправданные) жалобы почти всех исследователей на трудность и мглу данной препядствия.

5. неувязка взаимодействия звучащего и незвучащего в музыке тщательно рассмотрена в книжке М. Аркадьева [3]. В ней музыкальное произведение представлено как развертывание звучания в непрерывной незвучащей среде, нареченной создателем «музыкальным временем«. Крайнее не является безразличным вместилищем для звуков, но находится с ними в сложном содействии. Схожее описание музыкального произведения оказывается нежданно близким к нашему представлению математического дискурса.

6. Рассуждение указывающее на трудность в рассмотрении общих понятий, связанную с их нескончаемым умножением, была в первый раз указана у Платона в «Пармениде», а потом у Аристотеля в «Метафизике» (I,9). В обоих вариантах, вообщем, аргументация несколько отлична от приводимой тут, так как речь в нареченных книжках идет о самостоятельном (либо, как выражается в [35] Г.Г. Майоров, «субсистентном») существовании мыслях. Наше рассуждение поближе к рассуждению Боэция ([9], c.25).

]]>