Загрузка...
Учебная работа. Курсовая работа: Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ университет
Математический факультет
Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания
КУРСОВАЯ РАБОТА
взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.
Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.
Казань – 2007
Содержание
Введение
1. Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости
2. Математическая модель взаимодействия пузырьков
3. методика решения
4. Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
5. Заключение
6. Литература
7. приложение. (Программа расчета).
Введение
К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.
В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).
созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.
Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости
Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями
, 
. (1)
Здесь 
– время эйлеровых (неподвижных) систем координат 
, 
, 
(нижний индекс означает частную производную), 
– вектор скорости, 
– плотность жидкости, 
– давление, 
, 
, 
, 
–направляющие векторы пространственных координат. здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).
Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси 
неподвижной декартовой системы координат 
(рис.1). 
На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:
кинематическое
, (2)
и динамическое
. (3)
Здесь 
– скорость точки поверхности пузырька, 
– нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.
Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)
, (4)
где 
– начальное давление газа в пузырьке, 
– текущий и начальный объемы пузырька, 
– постоянная, 
– показатель адиабаты.
На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости 
совершает гармонические колебания
, (5)
где 
– статическое давление в жидкости, 
, 
– амплитуда и частота колебаний.
Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.
Математическая модель взаимодействия пузырьков
В пятом приближении относительно 
уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков 
, координат их центров 
;
;
;
;
методика решения
Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:
Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.
;
(
)/
;
/;
/;
/;
/;
/
;
;
(
)/
;
(
)/;
(
)/;
/;
/;
(
)/
;
;
/
;
0;
(
)/;
(
)/;
/;
(
)/;
;
/
;
0;
(
)/;
(
)/;
/;
(
)/
;
Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:
Решим уравнение методом последовательных приближений.
В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.
Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:
В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.
Исходя из этого, можем записать следующую систему:
Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (программа приведена ниже).
Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).
1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:
;
;
Решение для нулевого приближения для одного пузырька
;
Вводим замены
:
; 
; 
;;
=
=
;
— начальное давление газа в пузырьке;
; —давление газа в пузырьке.
А — константа Ван-дер-Ваальса;
— коэффициент поверхностного натяжения;
— давление газа в пузырьке;
— статическое давление в жидкости;
— начальный радиус пузырька;
R
— Радиус пузырька;
— Центр пузырька;
u
— Вектор скорости жидкости;
-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где
— амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний (
).
— Плотность жидкости;
— Скорость звука в жидкости;
— Кинематический коэффициент вязкости
— расстояние между пузырьками
.
;
;
Обозначим слагаемые и сомножители через: 
, 
,
,
,
:
; 
; 
;
; 
;
;
;
Добавляем второе уравнение: 
=0 =>
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
; 
; 
; =
=
;
;
;
; 
; 
;
; 
;
;
;
Добавляем второе уравнение: 
=0 =>
;
;
Решение для первого приближения одного пузырька
;
;
;
;
(
);
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
Решение для второго приближения одного пузырька
;
/
;
;
(
);
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
Решение для третьего приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
Решение для четвертого приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Решение для пятого приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
2. Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:
;
;
где 
, (j
= 1, i
= 2);
— Кинематический коэффициент вязкости;
,
, 
, 
, 
Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:
Для первого уравнения:
;
=
;
;
;
;
0;
;
;
;
;
Для второго уравнения:
;
=
;
;
;
;
0;
;
;
;
;
Рис.1. Изменение радиуса пузырька и положения его центра во времени.