Учебная работа. Реферат: Уравнение Дирака

Учебная работа. Реферат: Уравнение Дирака

Спин.

Спин является важной чертой микрообъектов, которая не имеет сколько-нибудь близкого аналога в макроскопическом мире.

Первыми тестами, в каких проявлялось это необыкновенное свойство, были опыты Штерна и Герлаха по взаимодействию владеющих спином объектов с пространственно неоднородным магнитным полем (рис. 27_1). Пучок за ранее никак не нацеленных в пространстве атомов пропускался меж полюсами магнита, в итоге чего же атомы испытывали отличия в направлении магнитного поля, что было весьма похоже на поведении в схожей ситуации маленьких макроскопических магнитиков. наличие снутри атома передвигающихся зарядов, способных вести взаимодействие с магнитным полем, в принципе могло разъяснить такое несколько странноватым смотрелось только то, что начальный пучок не “размывался” в непрерывную полосу (чего же следовало ждать в случае потока произвольно нацеленных относительно поля намагниченных макроскопических частиц), а делился на несколько дискретных составляющих, что на традиционном языке означало бы наличие дискретного набора разрешенных ориентаций частиц. Нерелятивистская квантовая механика растолковала наблюдаемое явление как итог квантования момента импульса и его проекции на направление магнитного поля. Любая из возникающих в магнитном поле компонент пучка соответствует определенному значению магнитного квантового числа m, количество которых определяется величиной момента импульса и равно 2l+1. Аналогичное по природе явление наблюдалось в диапазонах излучения атомов, помещенных в магнитное поле: спектральные полосы расщеплялись на такое же число компонент, соответственных определенному значению m (эффект Зеемана — снятие вырождения энергий при помещении системы в владеющее очень низкой симметрией магнитное поле). Описанные закономерности не производились для атомов с нечетным числом электронов : к примеру, пучки из атомов первой группы в наинизшем s-состоянии расцеплялись на две составляющие, хотя и не владели совершенно никаким моментом.

Для разрешение появившегося противоречия была высказана догадка о существовании у электрона собственного момента количества движения, нареченного спином. Весьма грубая традиционная поверхности обязана превосходить скорость света. Т.о. в нерелятивистскую квантовую механику спин был введен как доп свойство бесструктурных частиц, разъяснение природы появления которого не могло быть получено на основании принципов теории.

Уравнение Паули.

Формальное описание поведения электрона во наружном магнитном поле, обусловленное наличием у него спина, было достигнуто в рамках модификации нерелятивистского уравнения Шредингера, предложенной Паули. Мысль состояла в подмене шредингеровской воновой функции двухкомпонентным вектором

(1) ,

удовлетворяющему несколько видоизмененному уравнению:

(2) ,

где — оператор спина, действие которого переводит составляющие волновой функции друг в друга, определенный вид которого был установлен исходя из анализа результатов опытов Штерна — Герлаха и довольно общих суждений о поведении системы с 2-мя базовыми состояниями при вращениях в пространстве системы координат. Нахождение электрона в одном из вероятных спиновых состояний (при обсуждении концепции традиционной квантовой механики для их использовались обозначения ) отождествляется с описанием его с помощью одной из 2-ух компонент волновой функции.

Уравнение Паули верно обрисовывает Уравнение Дирака.

Предложенное П.Дираком уравнение является обобщением уравнения Паули на вариант движения заряженных частиц со спином 1/2 с релятивистскими скоростями. К его определенному виду можно придти на базе сравнения уравнений Шредингера, Клайна-Гордона и Паули:

——————————————————————————————————————————

********* Спин не учитывается Учет наличия спина

——————————————————————————————————————————

Нерелятивистская теория

(уравнение Шредингера) (Уравнение Паули)

——————————————————————————————————————————

Релятивистская теория

(уравнение Клейна-Гордона) (Уравнение Дирака)

——————————————————————————————————————————

Для сокращения записи уравнения приведены в операторном виде: сами волновые функции отсутствуют (напомним, что содержащие оператор спина уравнения в правом столбце таблицы предполагают наличие 2-ух компонент у волновых функций).

Исходя из убеждений арифметики уравнение Дирака является дифференциальным уравнением второго порядка в личных производных. Чисто тождественными преобразованиями оно быть может сведено к системе из 2-ух уравнений первого порядка. Крайние можно соединить в одно уравнение первого порядка, связывающее четырехкомпонентные волновые функции. Релятивистское обобщение уравнения Паули приводит к необходимости допустить существование 4 допустимых внутренних состояний электрона заместо 2-ух, постулируемых в традиционной теории.

Уравнение Дирака дает правильное количественное описание таковых “тонких” эффектов атомно-молекулярной физики, как спин-орбитальное взаимодействие и дозволяет правильно рассчитывать поправки к энергиям атомных уровней, обусловленные релятивистской зависимостью массы от скорости. Написанные по аналогии с решением задачки для электрона выражения для описания магнитного взаимодействия ядра с электронами (вначале ниоткуда не следует, что томные частички, составляющие ядро должны подчиняться этим же уравнения, что и электроны) дают правильное описание сверх узкой структуры спектральных линий. Уравнение Дирака подчиняется принципу соответствия: его разложение в ряд по малому параметру

(3)

(“неизменная узкой структуры”) в нулевом приближении приводит к уравнению Шредингера, а в первом — к уравнению Паули.

Кроме удачного разъяснения узнаваемых из тестов фактов уравнение Дирака предвещало ряд неведомых в то время эффектов, очень странноватых даже исходя из убеждений квантовой механики.

Дираковский вакуум. наличие четырехкомпонентной волновой функции в уравнении Дирака означало возможность 4 разных состояний вольного электрона в данной точке места, два из которых интерпретировались как разные ориентации спина. С иной стороны, записанное для вольной частички уравнение предвещало возможность 2-ух различающихся знаком значений энергии:

(4) .

Отрицательные энергии появлялись и в неквантовой теории, но отбрасывались как на физическом уровне глупые решения. Опосля того, как в решении уравнения Дирака эти состояния возникли “вровень” с экспериментально зарегистрированными спиновыми, мысль их обычного отбрасывания стала непрезентабельной.

Если в случае вольной частички разрешенные по Дираку энергии представляли собой две полубесконечные непрерывные полосы, разбитые интервалом , то для частиц в ограниченном пространстве появлялись дискретные энерго уровни (рис. 27_2). Признание наличия нижних состояний ставило вопросец о причинах, запрещающих “падение” на их реально имеющихся электронов. Таковой процесс был должен бы сопровождаться выделением колоссальной по масштабам микромира энергии, превосходящей .

Дирак высказал предположение, что нескончаемая группа уровней с отрицательными энергиями вполне заполнена электронами, существование которых нами никак не регится. Это означало перевоплощение “пустого” вакуума Ньютона в очень сложную систему, содержащую “половину всего сущего” — в вакуум Дирака.

Антивещество. При передаче находящемуся на “отрицательном уровне” электрону достаточной энергии (к примеру, от электромагнитного поля) он может перейти в состояние с положительной энергией и стать наблюдаемым. При всем этом на нижнем уровне остается незаполненное свободное пространство — “дырка”, пространство, где ее нет — {перемещается} наверх).

Сначало предполагалось, что дырками в дираковском вакууме являются протоны, единственные известные в то время простые частички с обратным электрическому зарядом и спином 1/2. Различие масс разъяснялось мощным взаимодействием меж заполняющими нижние уровни электронами. Данной соблазнительной модели (очередное “величавое объединение”) не судьба было выжить: на опыте процесс перехода электрона на нижний уровень, воспринимаемый как обоюдное ликвидирование (аннигиляция) электрона с протоном

(5)

ни кем никогда не наблюдался.

Спустя маленькой просвет времени опосля того, как был поставлен вопросец настоящем существовании и физическом смысле дырок К.Андерсон, занимавшийся фотографированием треков приходящих из вселенной частиц в магнитном поле нашел след неведомой ранее частички, по всем характеристикам тождественной электрону, но имеющей заряд обратного знака. Частичка была названа позитроном. При сближении с электроном позитрон аннигилирует с ним на два фотона высочайшей энергии (гамма-кванта), необходимость появления которых обоснована законами сохранения энергии и импульса:

(6) .

Потом оказалось, что фактически все простые частички (даже не имеющие электронного заряда) имеют собственных “зеркальных” двойников — античастицы, способные аннигилировать с ними. Исключение составляют только немногие поистине нейтральные частички, к примеру фотоны, которые тождественны своим античастицам.

Интерпретация Фейнмана. Роскошная интерпретация античастиц была предложена Р.Фейнманом, заного взглянувшим на отлично узнаваемый факт гармонической зависимости стационарных состояний системы от времени:

(7) .

В случае античастиц стоящий в выражении для энергии символ минус быть может перенесен на время. Это дозволяет разглядывать позитроны как простые электроны, перемещающиеся во времени в обратную сторону. На рис. 27_3 изображены мировые полосы аннигилирующих на два фотона электрона и позитрона в пространстве Минковского. Так как рождение электрон-позитронных пар и их аннигиляция могут происходить параллельно в сходу нескольких точках места — времени, возникает соблазнительная возможность соединить их всех одной мировой линией (рис. 27_4), что значит рассмотрение всего огромного количества имеющихся в данный момент частиц как одной частички с “изломанной мировой линией”. Каждое пересечение горизонтальной прямой с таковой мировой линией соответствует или электрону, или позитрону. Модель Фейнмана успешно подчеркивает превосходный факт абсолютной эквивалентности всех электронов в мире: они все являются одной и той же простой частичкой.

Космологический нюанс трудности антивещества. В связи с полной физической симметрией меж частичками и античастицами возникает космологическая неувязка разъяснения обстоятельств неравномерной плотности вещества и антивещества во Вселенной. С одной стороны, наличие равных концентраций частиц и античастиц означал бы невозможность устойчивого существования вещества из-за аннигиляции. С иной, остается неясным, “куда делись” надлежащие “непарным” электронам позитроны. Справедливости ради необходимо подчеркнуть, что на нынешний денек мы не обладаем достоверной информацией о том, из чего же состоят остальные звезды: излучаемый атомами вещества и антивещества схож.

По-видимому все до сего времени прилетающие из вселенной метеоры состояли из “обычного” вещества, так как процессы выделения энергии, соответственной аннигиляции макроскопического тела, к счастью не наблюдались. Из этого не следует вывод о том, что во всем мироздании преобладает обычное вещество: большая часть метеоров приходит к нам из близкого вселенной и имеют схожее происхождение с объектами солнечной системы.

]]>