Учебная работа. Учебное пособие: Вихровий характер магнітного поля

Скористаємось рівнянням Максвелла для циркуляції вектора напруженості магнітного поля

, (1.1)

де j – густина струму провідності вільних електричних зарядів; — струм зміщення, не пов’язаний з наявністю вільних електричних зарядів; Н – напруженість магнітного поля.

У провідниках, в яких є вільні електричні заряди, струм зміщення відсутній (він може існувати лише у діелектричному середовищі), тобто

.

У цьому випадку рівняння (1.1) набуває вигляду:

. (1.2)

Рівняння (1.2) називається законом повного струму. Для написання закону повного струму через індукцію магнітного поля слід замінити Н у формулі (1.2) на

.

закон

. (1.3)

Рівняння (1.3) формулюється так:

Циркуляція вектора індукції магнітного поля уздовж довільного замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі всіх струмів, охоплених цим контуром і помноженій на 0
.

Як видно з рівняння (1.3)

.

Таке магнітне поле називається вихровим. Силові лінії магнітного поля є завжди замкнутими.

Скористаємось законом повного струму (1.3) для розра-хунку магнітного поля соленоїда і тороїда.

а) знайдемо циркуляцію вектора В вздовж замкнутого контуру ABCD (рис.1). У нашому випадку витки в соленоїді щільно прилягають один до одного. Соленоїд має довжину, значно більшу за діаметр.

Рис.1

.

На ділянках DA і BC ; тут а

На ділянці CD ; Цю ділянку можна вибрати досить далеко від соленоїда, де магнітне поле відсутнє.

Тому з урахуванням цих зауважень маємо:

. (1.4)

де N – число витків, які вкладаються в інтервалі довжини соленоїда АВ; І – струм, який протікає в цих витках.

Але , де l = AB. закон

. (1.5)

Звідки індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда буде дорівнювати:

. (1.6)

Вираз (13.1.6) показує, що на осі довгого соленоїда зі струмом І індукція магнітного поля дорівнює:

В = 0
nI.

б) магнітне поле на осі тороїда.

Розглянемо тороїд, який має вигляд довгого соленоїда, кінець і початок якого збігаються (рис.13.2).

Рис.2

Витки в такій котушці щільно прилягають один до одного, а радіус осьової лінії R. Знайдемо циркуляцію вектора вздовж осьової лінії тороїда

,

де N — число витків у тороїді; І — струм у витках.

Але — довжина кола вздовж осьової лінії, тому

,

де — число витків на одиницю довжини осьової лінії тороїда.

таким чином, індукція магнітного поля на осі тороїда визначається такою ж формулою, що і для довгого соленоїда, тобто

В = 0
nI . (1.7)

2. Магнітний потік. теорема Гаусса для магнітного поля

Потоком магнітної індукції або магнітним потоком називають скалярну величину, яка дорівнює:

, (2.1)

де — вектор індукції магнітного поля у напрямку нормалі до площадки dS (рис.13.3)

Рис.13.3

Повний магнітний потік через поверхню S знаходять шляхом інтегрування.

Магнітному потоку в 1 Вб відповідає 108
силових ліній індукції магнітного поля крізь площадку в 1 м2
.

У випадку замкнутої поверхні слід відрізняти між собою такі особливості:

— силові лінії, які входять у поверхню, мають від’ємний потік, тому в цьому випадку

— силові лінії, які виходять з поверхні мають

— у загальному випадку

. (2.2)

Вираз (2.2) є теоремою Гаусса для магнітного поля. суть цієї теореми полягає в тому, що силові лінії магнітного поля не пов’язані з магнітними зарядами. Магнітних зарядів у природі не існує. Описане явище показане на рис. 4.

Рис.4

. (2.3)

3. робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом у магнітному полі

Знайдемо роботу, яку слід виконати для переміщення провідника із струмом І у магнітному полі, як це показано на рис. 13.5

Рис.13.5

Провідник, що має довжину l і струм І виготовлений у вигляді коточка і має можливість переміщуватись. На рухому частину провідника з сторони магнітного поля діє сила Ампера, напрям якої визначається правилом лівої руки.

Для переміщення такого коточка вздовж направляючих дротів слід прикладати силу F, яка має бути рівною силі Ампера. робота в цьому випадку буде дорівнювати:

. (13.3.1)

де FA
=IBl – величина сили Ампера, яка діє на рухомий коточок, тому:

A = -Ibldx = -IbdS = -Id (3.2)

знак мінус показує, що робота виконується проти сили Ампера.

Якщо роботу виконує сила Ампера, то

A= Id (3.3)

де А – позитивна робота, виконана силою Ампера.

Після інтегрування одержуємо роботу сили по переміщенню провідника із струмом у магнітному полі.

A = -I,

або

A =I. (3.4)

У випадку контуру із струмом, який рухається у магнітному полі, слід враховувати як позитивну роботу, так і негативну роботу переміщення двох частин цього контуру (рис.13.6)

Рис.6

При русі частини контуру АС (зліва) робота виконується позитивна. Тому в цьому випадку

A1
= I(d1
+ d0
), (3.5)

де dФ1
– потік, який визначається площею лівої частини контуру АС (заштрихована площа),

dФ0
— потік, який визначається площею самого контуру з струмом.

При переміщенні правої сторони цього контуру робота буде дорівнювати

A2
= -I(d2
+ d0
), (3.6)

де dФ2
– потік, який утвориться переміщенням правої частини контуру; dФ0
– потік за рахунок площі самого контуру.

Ця площа перекривається площею правої сторони контуру. робота А2
– від’ємна

У загальному випадку робота переміщення контуру з струмом у магнітному полі буде дорівнювати

A = I(d1
— d2
)= Id. (3.7)

Після інтегрування одержимо

А=ІФ. (3.8)

Висновок. робота переміщення провідника із струмом і контуру із струмом визначається однаковою формулою.

4. Енергія магнітного поля

Розглянемо замкнуте коло, в якому є резистор R, котушка L і джерело струму  (рис.7)

Рис.7

Скористаємось другим правилом Кірхгофа для замкнутого контуру, показаного на рис.7.

У цьому випадку

, (4.1)

або

, (4.2)

де — електрорушійна сила самоіндукції, діє лише в момент замикання або розмикання кола.

З рівняння (13.4.2) визначимо електрорушійну силу джерела

. (4.3)

Зведемо цей вираз до спільного знаменника

dt = Irdt + LdI . (4.4)

Помножимо вираз (13.4.4) на струм І, одержимо

Idt = I2
rdt + LIdI , (4.5)

де I2
rdt — джоулевe тепло; Idt — робота сторонніх сил джерела струму; LIdI — енергія магнітного поля, локалізована в котушці зі струмом.

Тому

dWм
= LIdI . (4.6)

Інтегруємо цей вираз у межах зміни енергії магнітного поля від 0 до Wм
, а струму від 0 до І, одержимо

,

або

. (4.7)

Вираз (13.4.7) визначає енергію магнітного поля котушки зі струмом.

Для довгого соленоїда L=0
n2
V. Підставимо це значення L у (13.4.7), одержимо

. (4.8)

де 2
0
2
n2
І2
=В2
– квадрат індукції магнітного поля соленоїда.

З урахуванням цього зауваження одержуємо:

. (4.9)

При діленні енергії магнітного поля на об’єм одержимо об’ємну густину енергії магнітного поля, локалізованого в котушці

,

або

. (4.10)