Учебная работа. Лабораторная работа: Кристаллографические символы

(Пока оценок нет)

Загрузка...

Учебная работа. Лабораторная работа: Кристаллографические символы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ символы

Цель работы
: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;

2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;

3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.

важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.

символы граней

Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a
0

,
b
0

,
c
0

). Осевыми единицами называют отрезки a
0

,
b
0

,
c
0

, отсекаемые единичной гранью на координатных осях x
,
y
,
z
соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).

Таблица 1.

Сингония
Угловые соотношения
Осевые единицы

Кубическая
a
=
b
=
g
=
90°
a0
=b0
=c0

Тетрагональная
a
=
b
=
g
=
90°
a0
=b0

¹
c0

Ромбическая
a
=
b
=
g
=
90°
a0

¹
b0

¹
c0

Моноклинная
a
=
g
=
90°¹b

a0

¹
b0

¹
c0

Триклинная
a
¹
b
¹
g
¹
90°
a0

¹
b0

¹
c0

Гексагональная
a
=
b
=
90°, g
=120°
a0
=b0

¹
c0

В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a
,
b
,
c
, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a
0

,
b
0

,
c
0

(рис. 1) a
=
OA
/
a
0

,
b
=
OB
/
b
0

,
c
=
OC
/
c
0

.

Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань — за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a
0

,
b
0

,
c
0

.

Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.

В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексовh
,
k
,
l
, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOYбудет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).

В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.

Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.

символы ребер

Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.

Если осевые единицы единичной грани равны a
0

,
b
0

,
c
0

, а точки А (x
1,

y
1

,
z
1

) и В (x
2,

y
2

,
z
2

) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:

(AB)x
=x2
-x1
, (AB)y
=y2
-y1
, (AB)z
=z2
-z1

.

Тогда символ направления [rst] определится как

Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r
,
s
,
t
,
записываемых в квадратных скобках [rst]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[xyz]] можно записать.

Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.

заданное направление может быть определено и с помощью углов a
,
b
,
g
,
которые оно образует с координатными осями x
,
y
,
z
. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:

В кубических кристаллах:

несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани (
h
k
l
)
пропорционально отношению индексов:

отсюда:

таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).

основные кристаллографические соотношения

1. Угол между двумя направлениями
.

чтобы найти угол между двумя направлениями [r1
, s1
, t1
], [r2
, s2
, t2
] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов .

Если .

(Здесь — тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:

Откуда

2) Угол между направлением и плоскостью

Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (hkl) изображаются как [h
k
l
], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r
s
t
].

Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как

3) Условие зональности.

Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (hkl) принадлежала зоне, ось которой [rst] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (hkl) и осью зоны [rst] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как

Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r
s
t
] , образованного двумя гранями (h
1

k
1

l
1

) и (h
2

k
2

l
2

) из совместного решения уравнений:

Решение данной системы уравнений можно представить в виде:

Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.

Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h
k
l
), в которой лежат два заданных направления [r
1

s
1

t
1

] и [r
2

s
2

t
2

]. В этом случае решение системы уравнений

Дает индексы искомой грани (h
k
l
).

4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.

При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния dс индексами (hkl) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:

— для ромбической сингонии;