Загрузка...
Учебная работа. Контрольная работа: Основная задача механики
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. учитывая сопротивление качению тела 3
, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1
в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным
s
.
В задании приняты следующие обозначения: m1
, m2
, m3,
m4
– массы тел 1, 2, 3, 4; R3
– радиус большой окружности; δ
– коэффициент трения качения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Таблица 1.
m
1
,
кг
m
2
, кг
m
3
, кг
m4
,
кг
R
3
δ
, см
s
, м
m
1/2m
5m
4m
25
0,20
2
Решение
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
(1)
где T0
и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; 
— сумма работ внешних сил, приложенных к системе; 
— сумма работ внутренних сил системы.
Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,
Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0
=0.
следовательно, уравнение (1) принимает вид:
(2)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1
, 2
, 3
и 4
:
Т = Т1
+ Т2
+ 4Т3
+ Т4
. (3)
Кинетическая энергия груза 1
, движущегося поступательно,
(4)
Кинетическая энергия барабана 2
, совершающего вращательное движение,
, (5)
где J2
x
– момент инерции барабана 2
относительно центральной продольной оси:
, (6)
w2
– угловая скорость барабана 2
:
.(7)
после подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2
принимает вид:
. (8)
Кинетическая энергия колеса 3
, совершающего плоскопараллельное движение:
, (9)
где VC
3
– скорость центра тяжести С3
барабана 3
, J3
x
– момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:
, (10)
w3
– угловая скорость барабана 3
.
мгновенный центр скоростей находится в точке СV
. поэтому
, (11)
. (12)
Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:
. (13)
Кинетическая энергия груза 4
, движущегося поступательно
. (14)
Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):
Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:
или
. (15)
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).
Работа силы тяжести 
:
(16)
Работа силы тяжести 
:
(17)
Работа пары сил сопротивления качению 
:
(18)
где
(19)
(20)
(21)
Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:
(22)
Работа силы тяжести 
:
(17)
Работа силы тяжести 
:
(23)
Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):
.
Подставляя заданные значения, получаем:
Или
. (24)
Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):
,
откуда выводим
м/с.
Дано:
R2
=30; r2
=20; R3
=40; r3
=40
X=C2
t2
+C1
t+C0
При t=0 x0
=7 
=0
t2
=2 x2
=557 см
X0
=2C2
t+C1
C0
=7
C1
=0
557=C2
*52
+0*5+7
25C2
=557-7=550
C2
=22
X=22t2
+0t+7
=V=22t
a=
=22
V=r2
2
R2
2
=R3
3
3
=V*R2
/(r2
*R3)
=(22t)*30/20*40=0,825t
3
=3
=0,825
Vm
=r3
*3
=40*(0,825t)=33t
at
m
=r3
=0,825t
at
m
=R3
=40*0,825t=33t
an
m
=R3
2
3
=40*(0,825t)2
=40*(0,825(t)2
a=
***********************************
Дано :R2
=15; r2
=10; R3
=15; r3
=15
X=C2
t2
+C1
t+C0
При t=0 x0
=6 =3
t2
=2 x2
=80 см
X0
=2C2
t+C1
C0
=10
C1
=7
80=C2
*22
+3*2+6
4C2
=80-6-6=68
C2
=17
X=17t2
+3t+6
=V=34t+3
a==34
V=r2
2
R2
2
=R3
3
3
=V*R2
/(r2
*R3)
=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3
3
=3
=3,4
Vm
=r3
*3
=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5
at
m
=r3
=3,4t
at
m
=R3
=15*3,4t=51t
an
m
=R3
2
3
=15*(3,4t+0,3)2
=15*(3,4(t+0,08)2
a=
Решение второй задачи механики
Дано:
m=4.5 кг; V0
=24 м/с;
R=0.5V H;
t1
=3 c;
f=0.2;
Q=9 H; Fx
=3sin(2t) H.
определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС
Решение:
1) рассмотрим движение на промежутке АВ
учитывая, что R=0.5VH;
Разделяем переменные и интегрируем
2) рассмотрим движение на промежутке ВС (V0
=VB
)
Дано:
m
=36 кг
R
=6 см=0,06 м
H
=42 см=0,42 м
yC
=1 см=0,01 м
z
С
=25 см=0,25 м
АВ=52 см=0,52
М=0,8 Н·м
t
1
=5 с
найти реакции в опорах А
и В
.
Решение
Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:
(1)
Для определения углового ускорения ε
из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z
по формуле
, (2)
где Jz
1
− момент инерции тела относительно центральной оси С
z
1
, параллельной оси z
; d
– расстояние между осями z
и z
1
.
Воспользуемся формулой
, (3)
где α
, b
, g
— углы, составленные осью z
1
с осями x
, h
, z
соответственно.
Так как α=90º
, то
. (4)
Определим моменты инерции тела 
, 
как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h
, z
;
.
Вычисляем
;
.
Определяем угол g
из соотношения
;
;
.
Угол b
равен
;
.
По формуле (4), вычисляем
.
момент инерции тела относительно оси вращения z
вычисляем по формуле (2):
,
где d
=
yC
;
.
Из последнего уравнения системы (1)
;
.
Угловая скорость при равноускоренном вращении тела
,
поэтому при ω0
=0
и t
=
t
1
=5
c
.
Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции 
и 
тела. 
, так как ось х
, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А
.
Центробежный момент инерции тела определим по формуле
,
где 
, т.е.
.
Тогда
.
Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства
Отсюда
Ответ: 
, 
, 
, 
.
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Задание:
по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
x=5cos(pt2
/3); y= -5sin(pt2
/3); (1)
t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).
Решение:
Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.
x2
+ y2
= (5cos(pt2
/3))2
+ (-5sin(pt2
/3))2
;
Получаем x2
+ y2
= 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.
Вектор скорости точки
(2)
Вектор ускорения точки
Здесь Vx
, Vy
,
ax
, ay
– проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)
(3)
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
V=Ö(Vx
2
+ Vy
2
); (4)
и модуль ускорения точки:
а =
Ö(ах
2
+ау
2
). (5)
Модуль касательного ускорения точки
аt
=|dV/dt|, (6)
аt
= |(Vx
ax
+Vy
ay
)/V| (6’)
Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ — “ — что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки
ап
= V2
/p; (7)
p – радиус кривизны траектории.
Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:
an
=Ö(а2
-at
2
); (8)
После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
p=V2
/ an
.
(9)
Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Координаты
см
Скорость
см/с
ускорение, см/с2
Радиус
см
х
у
Vx
Vy
V
ax
ay
a
at
an
p
2.5
-2.5Ö3
-5p/Ö3
-5p/3
10p/3
-20.04
13.76
24.3
10.5
21.9
5
Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.
Дополнительное задание:
z=1.5tx=5cos(pt2
/3); y= -5sin(pt2
/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).
Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения
По найденным проекциям определяем модуль скорости:
V=Ö(Vx
2
+ Vy
2
+Vz
2
);
и модуль ускорения точки:
а =Ö(ах
2
+ау
2
+ аz
2
).
V=
;
a=24.3 см/с;
Касательное ускорение точки
аt
= |(Vx
ax
+Vy
ay
+ Vz
az
)/V|
at
=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с
Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:
an
=Ö(а2
-at
2
);
an
=21.98 см/с2
.
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
p=V2
/ an
.
р=5.1 см
Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Координаты
см
Скорость
см/с
ускорение, см/с2
Радиус
см
x
y
z
Vx
Vy
Vz
V
ax
ay
az
a
at
an
p
2.5
-4.33
1.5
-9.07
-5.24
1.5
10.58
-20.04
13.76
0
24.3
10,36
21.98
5.1
Задание:
точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.
Дано:
ОМ=Sr=120pt2
см;
jе
=8t2
– 3t рад ;
t1=1/3 c; R=40 см.
Решение:
1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr
=ОМ
при t=1/3 cSr
=120p/9=41.89 см.
При t=1/3с Vr
=80p=251.33 см/с.
ar
t
=d2
Sr
/dt2
ar
t
=240p=753.98 см/с2
ar
n
=Vr
2
/R ar
n
=(80p)2
/40=1579.14 см/с2
2) Ve
=we
r , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.
a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.
wе
=dje
/dt=16t-3 при t=1/3 wе
=7/3=2.33 с-1
Ve
=80.83 см/с.
ае
ц
=we
2
r ае
ц
=188.6 см/с2
.
ае
в
=eе
reе
= d2
je
/dt2
=16 с-2
ае
в
=554.24 см/с2
.
3) 
ас
=2*wе
Vr
sin(wе
, Vr
) sin(wе
, Vr
)=90-a=p/6 ac
=585.60 см/с2
4) 
V=Ö(Ve
2
+Vr
2
) V=264.01 см/с
Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.
ax
=aе
в
+ас
ay
=arn
cos(p/3)+ar
t
cos(p/6)
az
=-ае
ц
— arn
cos(p/6)+ar
t
cos(p/3)
а=Ö(ax
2
+ay
2
+az
2
)
Результаты расчетов сведены в таблицу
w
e
,
c-1
Скорость см/с
e
е
с-2
ускорение , см/с2
Ve
Vr
V
ае
ц
a
е
в
arn
аr
t
ас
ax
ay
az
а
2.33
80.8
251.3
264
16
188.6
554
1579
754
586
1140
1143
-1179
1999
Определение реакций опор твердого тела
Дано
:
Q=10 kH;
G=5 kH;
a=40 см; b=30 см; c=20 см;
R=25 см; r=15 см.
Задание:
найти реакции опор конструкции.
Решение:
Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.
Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.
Силы, кН
Р
ХА
ZA
XB
ZB
5.15
-0.17
2.08
-3.34
2.92
Проверка.
Составим уравнения относительно точки В.
