(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Век 17: от Кеплера до Ньютона
Устранение всякого противоречия просит суровой перестройки в системе математических понятий. Что-то обычное мы обязаны отторгнуть, как заблуждение; остальные знакомые слова получают новейший смысл. Начиная с 17 века, это «понятийное землетрясение» сделалось в науке обыденным явлением: все к нему привыкли и терпят его, а почти все радуются таковой неспокойной жизни. Но войти в этот режим работы нелегко даже в наши деньки; как же сложнее было первопроходчикам! Не умопомрачительно, что у истока новейшей науки собрались люди с необычными нравами. Всех их соединяло воединыжды бескрайнее любопытство, безграничное трудолюбие и буйная фантазия.
Первым в этом ряду богатырей оказался германец Иоганн Кеплер (1571-1630) — неутомимый наблюдающий и неугомонный вычислитель. Он вошел в огромную науку в 1600 году — когда императорский астролог Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Кропотливо следя за движением планет посреди звезд в течение 30 лет, Браге накопил большой припас четких данных — но не мог привести их в единую систему. Он стремительно отторг давнишнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в какой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы настоящие линии движения полета планет в пространстве » В котором режиме они движутся по сиим кривым» Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно наиболее всего противоречит здравому смыслу, ибо периодически Марс вдруг останавливается посреди планет и пятится вспять.
Кеплер сходу додумался: если орбита Марса не быть может окружностью, то, быстрее всего, она — эллипс. Кажущееся движение Марса назад можно разъяснить просто: солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда» Быстрее всего, в фокус эллипса — самую восхитительную точку, связанную с данной кривой. Но в котором режиме движется Марс по собственному эллипсу — это можно узнать лишь методом массивных расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отторг около 20 различных гипотез, пока не отыскал (в 1609 году) настоящую: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади.
Чтоб совладать с большущим объемом вычислений, Кеплеру пришлось создать два восхитительных изобретения. Во-1-х, он научился подменять умножение неоднозначных чисел сложением их логарифмов. Во-2-х, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планеткой за данное время, по известной (переменной) скорости планетки.
Переход от чисел к их логарифмам и назад просит массивных и четких таблиц. Поначалу Кеплер составлял их сам; но в 1614 году возникли подробные таблицы логарифмов Чарльза Непира. За 20 лет упрямого труда этот шотландец высчитал не только лишь логарифмы чисел, да и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они повсевременно встречаются в астрономических расчетах. Таблицы Непира открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала обычная нам логарифмическая линейка.
Ее изобрел в 1622 году британец Вильям Оутред. При всем этом он употреблял десятичные логарифмы: они наиболее комфортны в расчетах, чем натуральные логарифмы, с которыми работал Непир. Последующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (в 1642 году) и германец Вильгельм Лейбниц (в 1671 году). Паскаль выстроил 1-ый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание неоднозначных чисел. Арифмометр Лейбница дозволил также множить и разделять неоднозначные числа. Последующий принципиальный шаг в развитии вычислительной техники был изготовлен лишь в 20 веке — когда развитие физики позволило сделать электрические вычислительные машинки (компы).
Успехи Кеплера в расчете пройденного планеткой пути по известной скорости ее движения стали первым шагом в новейшей науке — интегральном исчислении. Сам Кеплер принимал его просто: как метод вычисления площади фигуры, ограниченной плоской кривой, или размера тела, ограниченного данной поверхностью. В 1615 году Кеплер опубликовал книжку со странноватым заглавием: «Новенькая стереометрия винных бочек, по преимуществу — австрийских». Это был 1-ый сборник задач на вычисление интегралов; он содержал около 100 различных примеров с подробными решениями. А именно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком (у = х..), осью (Х) и отрезками (х=а) и (х=в), равна (в…-а…)/(к+1) — если к = -1. Если же к = -1, то эта площадь равна разности логарифмов ln(в) — ln(а).
Таковым образом, одна строка в таблице интегралов от функций соответствует большой таблице логарифмов чисел. Из этого видно, что для будущей арифметики исчисление функций еще важнее обычной математики и алгебры чисел. В новеньком мире функций, не считая математики и алгебры, действуют особенные операции. 1-ые две из их — проведение касательной прямой к данной кривой и вычисление площади, которую ограничивает кривая — угадал еще Архимед. сейчас Кеплер разработал комфортную технику решения 2-ой задачки. Но исчислять кривые так же просто и непосредственно, как числа, Кеплер не умел. Революцию в этом ремесле произвел в 1637 году иной величавый математик — француз Рене Декарт (1596-1650).
В отличие от Кеплера, Декарт не обожал длительных расчетов. Он предпочитал наглядно-геометрические рассуждения и желал работать сиим способом с хоть какими сложными кривыми — а не только лишь с прямыми и окружностями, как делал Евклид. Для данной работы полезно уметь ложить, вычитать и множить кривые меж собой — так же, как мы это делаем с числами. Может быть ли это»
Декарт изобрел таковой метод, заметив, что почти все кривые на плоскости задаются ординарными уравнениями — опосля того, как мы введем на плоскости координаты, изобразив каждую точку ПАРОЙ чисел (х,у). к примеру, параболу можно задать уравнением (у = х..), либо (х = у..).
Окружность задается уравнением (х.. + у.. = а..), а эллипс — схожим уравнением (х../а.. + у../в.. = 1).
Уравнение гиперболы может иметь вид (ху = 1), либо (х../а.. — у../в.. = 1). И совершенно: каждое уравнение с 2-мя неведомыми F(x,y) = 0 задает на координатной плоскости некоторую кривую! Но над уравнениями просто проделывать любые арифметические операции. Они все получают геометрический смысл, когда мы чертим либо на уровне мыслей воображаем кривую, подобающую данному уравнению.
Таковым образом, плоские кривые можно обрисовывать на одном из 2-ух эквивалентных языков: наглядно-геометрическом, либо аналитическом (через формулы). Двухсторонний «словарь», переводящий фразы 1-го из этих языков в равнозначные фразы другого языка, Декарт именовал аналитической геометрией.
Он увидел, что способы данной науки несложно перенести и в место. Для этого довольно изобразить всякую точку места ТРОЙКОЙ чисел (х,у,z). Опосля этого хоть какое уравнение с 3-мя неведомыми F(x,y,z) = 0 задает в пространстве некоторую поверхность, а пересечение 2-ух поверхностей задает кривую в пространстве. правда, не ясно: всякую ли кривую в пространстве можно задать системой из 2-ух уравнений с 3-мя неведомыми»
Положительный ответ на этот вопросец арифметики получили лишь в 20 веке. Для этого потребовались сложные расчеты и введение почти всех новейших понятий, которые не приходили в умную голову Декарта. Сам он ограничился систематизацией тех кривых на плоскости, которые задаются многочленами степени 2. Оказалось, что новейших кривых в этом классе нет: лишь эллипс, парабола и гипербола. Систематизировать все плоские кривые степени 3 Декарт поленился: это добивалось сложных вычислений, которые позже сделал Ньютон.
Декарт не стал серьезно развивать аналитическую геометрию трехмерного места: он не мог предвидеть, какие задачки окажутся там более увлекательны и полезны. И естественно, Декарт ни словом не оговорился о четырехмерном либо многомерном пространстве, точки которого изображаются наборами из 4 либо наиболее чисел: (x,y,z,t,…). Аналитический подход более комфортен для исследования многомерных пространств; но посреди 17 века хоть какое упоминание о таковой способности было бы расценено как ересь либо как ложь. Декарт обожал актуальные удобства и не желал поделить судьбу Галилея, осужденного церковью за очень смелые мысли о научном зании природы.
Еще спокойнее прожил свою жизнь величавый современник и соотечественник Декарта — Пьер Ферма из Тулузы (1601-1665). По главный профессии он был юрист, а арифметикой занимался на досуге — читая книжки классиков либо современников и размышляя о тех задачках, которые те не увидели либо не смогли решить. Понятно, что при таком методе работы Ферма ни в какой области науки не был первым. В математический анализ он вошел вослед за Архимедом и Кеплером, в аналитическую геометрию — вослед за Декартом, в теорию вероятностей — вослед за Паскалем, в теорию чисел — вослед за Диофантом. Но в любом случае Ферма добавлял в уже готовую либо лишь рождающуюся науку настолько принципиальные открытия, что затмить его результаты могли лишь гении — порою много десятилетий спустя.
к примеру, Ферма заинтересовался обычной задачей: при каких критериях функция добивается минимума либо максимума в данной точке » Оказалось, что нужно обычное условие: производная от функции в данной точке обязана быть равна нулю. В наши деньки данный факт известен любому старшекласснику: он помогает строить графики достаточно сложных функций. Но Ферма попробовал распространить свое открытие на функции, зависящие от почти всех переменных — и пришел к восхитительному физическому открытию. Оказалось, что свет движется по таковой линии движения, на которой производная по времени равна нулю. Означает, время движения света вдоль данной линии движения — малое! Только 100 лет спустя Пьер Мопертюи и Леонард Эйлер открыли аналог принципа Ферма в механике; это сделалось первым шагом к объединению механики с оптикой в рамках квантовой теории.
Теорию чисел Ферма строил практически в одиночестве: из всех его современников лишь британец Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел принципиальное преимущество перед Валлисом и перед своим древним предшественником — Диофантом. Он отлично знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами. Потому он просто обосновал «малую теориму Ферма» и вызнал, что есть конечные поля вычетов — системы чисел, устроенные (в смысле математики) еще удобнее, чем огромное количество целых чисел.
Развивая этот фуррор, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел — целыми решениями уравнения (х.. + у.. = z..). Есть ли целые решения уравнений (х.. + у.. = z..) при n>2″ Диофант не отыскал ни 1-го решения для n=3; Ферма обосновал, что таковых решений не быть может. Оставалось обобщить способ Ферма для остальных обычных характеристик: 5, 7, 11… К огорчению, Ферма не стал проводить в этих вариантах подробные расчеты — и потому не увидел умопомрачительных алгебраических препятствий на собственном пути. к примеру, при n=5 нужно применять всеохватывающие числа: это первым увидел в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь колебался в полезности таковых чисел! Дальше, при n=23 подтверждение «большенный аксиомы Ферма» наткнулось на многозначное разложение всеохватывающих чисел определенного вида на обыкновенные множители. Эту новейшую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер посреди 19 века…
В целом, деятельность Ферма (как и деятельность Архимеда) можно сопоставить с работой настоящей академии. Но как досадно бы это не звучало — при жизни Ферма таковых академий еще не было! Не было и научных журналов для публикации новейших открытий. Потому все большие ученые Европы узнавали о новейших достижениях собственных коллег из обоюдной переписки. Некие любители арифметики (как аббат Мерсенн в Париже) сделали такую переписку своим основным вкладом в науку. Они часто докладывали всем своим корреспондентам о том, какие факты открыли их дальние коллеги. Если новейший факт завлекал чье-то внимание, то от создателя добивались письменного подтверждения. В неприятном случае сообщение повисало в воздухе. Так случилось со почти всеми объявлениями Ферма в теории чисел; оттого две его ошибки в данной области (с уравнением х.. + у.. = z.. и с ординарными числами вида 2….+1) остались не увидены.
Таковой «любительский» стиль коллективной работы в науке был неизбежен и даже комфортен, пока во всей Европе сразу работали два-три 10-ка больших ученых. Как их сделалось больше — общую работу пришлось организовать при помощи научных учреждений. Этот перелом произошел в 1660-е годы. В 1662 году объявило о собственном рождении Королевское общество в Лондоне, а в 1666 году по его эталону появилась Парижская Академия Наук. Оба эти содружества ученых сходу начали публиковать отчеты о собственных собраниях и о тех открытиях, которые там дискуссировались. Отныне научный интернационал европейцев начал развиваться стремительно и неудержимо. В год погибели Ферма в науку вошел самый прославленный ученый 17 века — Исаак Ньютон…
]]>