Учебная работа. Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

Учебная работа. Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

25

МОУ СОШ №21

Реферат по физике

на тему:

«РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

НА МОЛЕКУЛАХ ФУЛЛЕРЕНА»

работу выполнил

ученик 11 «Г» класса

Лыков Владимир Андреевич

Педагог:

Харитонова Ольга Александровна

Нижний Новгород

2008

Содержание

• Цели работы 4
• 2. Теоретическая часть 5
• 2.1. Колебания 5
• 2.1.1. Одномерные колебательные движения 5
• 2.1.2. гармонические колебания 7
• 2.1.3. Сложение колебаний 15
• 2.1.3.1. Сложение 2-ух гармонических колебаний с схожими амплитудами и частотами 15
• 2.2. Волны 17
• 2.2.1. Распространение колебаний в вещественной среде 17
• 2.2.2. Волновая функция 20
• 2.2.3. Электромагнитные волны 24
• 2.2.4. Рентгеновские лучи 26
• 2.3. Дифракция волн 29
• 2.3.1. Дифракция и интерференция волн 29
• 2.3.2. Дифракция рентгеновских лучей 33
• 2.3.3. Интерференционная картина от n источников расположенных на одной прямой 35
• 2.3.4. Атомный фактор 36
• 3.5. Дифракция Фраунгофера рентгеновских лучей на атомах кристалла 38
• 3. Практическая часть 50
• 3.1. Псевдосимметрия 50
• 3.1.1. Поворотная псевдосимметрия дифракционных картин 50
• 3.1.2. Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на молекулах и фрагментах кристаллических структур 55
• 3.1.3. Псевдосимметрия дифракционных картин рассеяния рентгеновских лучей на фрагментах кристаллов фулеритов 61
• 4. Выводы 70
• 5. Перечень применяемой литературы 71
• 6. Приложения 72
• 6.1. приложение 1. Всеохватывающие числа 72
• 6.1.1. Определение всеохватывающего числа 72
• 6.1.2. Геометрическая интерпретация всеохватывающих чисел 73
• 6.1.3. Сопряженные всеохватывающие числа 75
• 6.1.5. Экспоненциальная форма всеохватывающих чисел 75
• 6.2. приложение 2. Определение координат вершин шестидесятигранника 76

Цели работы
1. Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на молекулах фуллерена и фрагментах кристаллов фуллеритов.
2. исследование поворотной псевдосимметрии углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей.
2. Теоретическая часть
2.1. Колебания
2.1.1. Одномерные колебательные движения
Разглядим одномерное периодическое движение вещественной точки. Периодичность движения значит, что координата точки x является повторяющейся функцией времени t:
x = f(t). (1.1)
По другому говоря, для хоть какого момента времени производится равенство
f(t + T) = f(t), (1.2)
где неизменная величина Т именуется периодом колебания.
Значительно, что координата быть может не только лишь декартовой, да и углом и т.д.
Существует огромное количество разновидностей повторяющегося движения. к примеру, таким является равномерное движение вещественной точки по окружности.
Принципиальным типом повторяющихся движений являются колебания, в каких вещественная точка за период T два раза проходит положение равновесия, отклоняясь от него в различные стороны.
Рис.1.1. Шарик, подвешенный на пружине.
Соответствующие примеры физических систем, совершающих колебательные движения, приведены на рисунках 1.1. — 1.6. Следует увидеть, что в примерах на рис.1.1, 1.2. и 1.4. тела совершают колебания вдоль прямых линий. В примере 1.5. одномерные колебания совершает поверхность воды в трубке (либо малая частичка, плавающая на поверхности воды).
Рис.1.2. Брусок с пружиной на гладком столе пружине.
Рис.1.3. Шарик, подвешенный на нити.
Рис.1.4. Поплавок на поверхности воды.

Рис.1.5. U-образная трубка с жидкостью.
Рис.1.6. электронный контур, содержащий конденсатор с емкостью C и катушку с индуктивностью L.
В примере 1.3. временами изменяется угол отличия. В конце концов, в примере 1.6. временами меняется заряд конденсатора и сила тока в катушке. Тем не наименее, все эти физические процессы описываются схожими математическими функциями.
2.1.2. гармонические колебания
Более обычный разновидностью колебаний являются гармонические. Координата вещественной точки с течением времени при гармонических колебаниях меняется по закону
x(t) =A cos(t + 0) (1.3)
где A — амплитуда смещения (наибольшее смещение точки от положения равновесия), — частота, сплетенная с периодом соотношением
= 2 / T. (1.4)
Положением равновесия именуется месторасположение вещественной точки, в каком сумма работающих на нее сил равна нулю.
Аргумент косинуса t + 0 в функции (1.3) именуется фазой колебания. Видно, что фаза является безразмерной величиной и линейной функцией времени. Неизменная величина 0 именуется исходной фазой.
Колебания физических систем, приведенных на рис.1.1. — 1.6. совершали бы строго гармонические колебания при последующих доп критериях:
Система 1.1. — при отсутствии сопротивления воздуха, система 1.2. — при отсутствии терния, система 1.3. — при малых углах и отсутствии сопротивления воздуха, системы 1.4. и 1.5. — при отсутствии вязкости воды, система 1.6. — при отсутствии активного сопротивления катушки и проводов.
Разглядим для простоты поначалу одномерные гармонические колебания, когда вещественная точка сдвигается вдоль одной прямой.
Вычислив производную функции (1.3) по времени получим скорость вещественной точки:
v(t) = A sin(t+0) (1.5)
Видно, что скорость является также повторяющейся функцией времени.
Сейчас возьмем производную от функции (1.5) по времени и получим убыстрение вещественной точки.
a(t) = 2 A cos(t+0) (1.6)
Сравнивая функции (1.3) и (1.6) получим что координата и убыстрение связанны последующим выражением
a(t) = 2 x(t),(1.7)
которое производится в хоть какой момент времени.
По другому говоря, при всех одномерных гармонических колебаниях убыстрение частички прямо пропорционально её координате, при этом коэффициент пропорциональности отрицательный.

Рис.1.7. Зависимости от времени координаты (кружочки), скорости (квадратики) и убыстрения (треугольники) частички, совершающей одномерные гармонические колебания. Амплитуды А=2, период Т=5, исходная фаза 0=0.
Как понятно, убыстрение частички (по основному закону динамики) прямо пропорционально силе, работающей на частичку. Как следует, если сила прямо пропорциональна координате с оборотным знаком, то частичка будет совершать гармоническое качание. Такие силы именуются возвращающими.
Принципиальным примером возвращающей силы является сила Гука (упругая сила). Таковым образом, если на вещественную точку действует сила Гука, то точка совершает гармонические колебания.
Потому что мы рассматриваем одномерные колебания, то для анализа задачки довольно спроецировать вектор силы Гука на ось, параллельную данной нам силе. Если ноль отсчета координаты x избран в точке, в какой возвращающая сила равна нулю, то законНьютона, получим принципиальное выражение для частоты колебаний:
2 = k / m(1.9)
Это значит, что частота колебаний описывается параметрами физической системы, а не зависит от исходных критерий. А именно, выражение (1.9) описывает частоту гармонических колебаний систем, показанных на рис.1.1. и 1.2.
В качестве менторски примера разглядим одномерные движения, которые совершают грузы, прикрепленные к пружинам (см. рис.1.8).

Рис.1.8. Грузы на пружинах.
Пусть массы пружин пренебрежимо малы по сопоставлению с массами грузов.
Грузы рассматриваются как вещественные точки.
Поначалу разглядим систему, изображенную на рис.18. а. Представим, что сначало груз был сдвинут на лево и, как следствие пружина растянулась. При всем этом на груз (вещественную точку) действуют 3 силы: сила тяжести mg, сила упругости F и сила обычной реакции опоры N. Трением в данной задачке мы пренебрегаем (см. рис.1.9).
Рис.1.9. Силы на груз, лежащий на гладкой опоре, при растяжении пружины.
Запишем 2-ой законНьютона для тела, изображенного на рис.1.9.
ma = mg + F + N(1.10)
Сила упругости при маленьких деформациях пружин описывается законом Гука
F = — k d(1.11)
где d — вектор деформации пружины, k — коэффициент жёсткости пружины.
Заметим, что при движении груза растяжение пружины может сменяться сжатием. При всем этом вектор деформации d будет поменять свое направление на обратное, как следует, то же будет происходить с силой Гука (1.11). Из этого, а именно, следует, что при исходном сжатии пружины векторное уравнение движение (1.10) будет иметь этот же вид:
ma = mg — k d + N(1.12)
Выберем начало координат в точке расположения груза при недеформированной пружине. Ось X направим горизонтально, ось Y -вертикально, т.е. перпендикулярно опоре (см. рис.1.9).
Потому что груз движется вдоль опоры по горизонтали, то времени. Как следует, одномерное уравнение движения (1.16) можно переписать в виде
(1.17)
По другому говоря, символ.
Уравнение (1.17) является дифференциальным второго порядка, общая теория решения таковых уравнений изучается в курсе математического анализа. Но просто обосновать конкретной подстановкой, что функция гармонических колебаний (1.3) удовлетворяет уравнению (1.17). Как уже было подтверждено ранее, частота колебаний выражается формулой (1.9).
Амплитуда A и исходная фаза 0 колебаний определяются из исходных критерий.
Пусть сначало груз был сдвинут на Право от положения равновесия на расстояние d0, а исходная скорость груза равна нулю. Тогда используя функции (1.3) и (1.5), запишем для момента времени t=0 последующие уравнения:
d0 =A cos(0) (1.18)
0 = A sin(0) (1. 19)
Решением системы (1.18) — (1. 19) являются последующие значения A = d0 и 0= 0.
Для остальных исходных критерий величины A и 0, естественно приобретут остальные значения.
Сейчас разглядим систему, изображенную на рис.1.8. б. На груз в этом случае действуют лишь две силы: сила тяжести mg и сила упругости F (см. рис.1.10). ясно, что в положении равновесия эти силы возместят друг друга, как следует, пружина растянута.
Пусть груз несколько сдвигается по вертикали. Тогда векторное уравнение движение будет иметь вид, аналогичный уравнению (1.12)
ma = mg — k d(1. 20)
при этом независимо от направления вертикального смещения (ввысь либо вниз).
Все векторы в уравнении (1. 20) ориентированы вертикально, потому это уравнение целенаправлено спроецировать на вертикальную ось координат. Направим ось вниз, а начало координат выберем в точке, где тело находится в состоянии равновесия (см. рис.1.10).

Рис.1.10. Силы, действующие груз, висячий на пружине.
Спроецировав (1.18) на ось X получим:
a = g — (k/m) d(1.21)
где a — тела пружина вправду растянута, потому что вектор d0 ориентирован параллельно вектору g, т.е. вниз.
сейчас поместим начало координат в точке равновесия груза на пружине, тогда и уравнение (1.21) воспримет вид:
a = g — (k/m) (x+ d0) (1.24)
где d0 -модуль вектора деформации пружины d0.
Подставив в уравнение (1.24) величину d0, полученную из соотношения (1.23), получим:
a = g — (k/m) (x+ (m/k) g)
либо
a = — (k/m) x (1.25)
Приобретенное уравнение вполне совпадает с уравнением (1.16). Таковым образом, тело, изображенное на рис.1.8. б, совершает также гармоническое осциллирующее движение, описываемое функцией (1.3), как и груз в системе, изображенной на рис.1.8. а. Частота колебаний Отличие заключается только в направлении колебаний (вертикальное заместо горизонтального). Но частота колебаний как и раньше определяется жесткостью пружины и массой груза формулой (1.9).
Типично, что исходная деформация пружины в системе на рис.1.8. б не влияет на частоту колебаний.
2.1.3. Сложение колебаний
2.1.3.1. Сложение 2-ух гармонических колебаний с схожими амплитудами и частотами
Разглядим пример звуковых волн, когда два источника делают волны с схожей амплитудами A и частотами ?. На расстоянии от источников установим чувствительную мембрану. Когда волна «пройдёт» расстояние от источника до мембраны, мембрана придёт в осциллирующее движение. Действие каждой из волн на мембрану можно обрисовать последующими соотношениями, воспользовавшись колебательными функциями:
x1(t) = A cos(?t + ?1),
(1.26)
x2(t) = A cos(?t + ?2).
Для того, чтоб сосчитать качание, с которым будет колебаться мембрана, просуммируем функции (1.26):
x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A [cos (?t + ?1) + cos (?t + ?2)] (1.27)
Выражение, которое находится в скобках, можно записать по другому, воспользовавшись тригонометрической функцией суммы косинусов:
(1.28)
Для того чтоб упростить функцию (1.28), введём новейшие величины A0 и ?0, удовлетворяющие условию:
A0 = ?0 = (1.29)
Подставим в функцию (1.28) выражения (1.29), получим
(1.30)
Таковым образом, сумма гармонических колебаний с схожими частотами ? есть гармоническое качание той же частоты ?. При всем этом амплитуда суммарного колебания A0 и исходная фаза ?0 определяются соотношениями (1.29).
2.1.3.2. Сложение 2-ух гармонических колебаний с схожей частотой, но различными амплитудой и исходной фазой
сейчас разглядим такую же ситуацию, изменив в функции (1.26) амплитуды колебаний. У функции x1 (t) заменим амплитуду A на A1, а у функции x2 (t) А на A2. Тогда функции (1.26) запишутся в последующем виде
x1 (t) = A1 cos(?t + ?1), x2 (t) = A2 cos (?t + ?2); (1.31)
Найдем сумму гармонических функций (1.31)
x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1.32)
Выражение (1.32) можно записать по другому, воспользовавшись тригонометрической функцией косинуса суммы:
x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) — (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1.33)
Для того чтоб упростить функцию (1.33) введём новейшие величины A0 и ?0, удовлетворяющие условию:
(1.34)
Возведём каждое уравнение системы (1.34) в квадрат и сложим приобретенные уравнения. Тогда мы получим последующее соотношение для числа A0:
(1.35)
Разглядим выражение (1.35). Докажем, что величина под корнем не быть может отрицательной. Потому что cos(?1 — ?2) ? -1, означает, это единственная величина, которая может воздействовать на символ числа под корнем (A12 > 0, A22 > 0 и 2A1A2 > 0 (из определения амплитуды)). Разглядим критичный вариант (косинус равен минус единице). Под корнем оказывается формула квадрата разности, что является величиной постоянно положительной. Если мы начнём равномерно наращивать косинус, то слагаемое, содержащее косинус тоже начнёт расти, тогда величина, стоящая под корнем не изменит собственный символ.
сейчас рассчитаем соотношение для величины ?0, разделив 2-ое уравнение системы (1.34) на 1-ое и вычислив арктангенс:
(1.36)
А сейчас подставим в функцию (1.33) значения из системы (1.34)
x = A0(cos(?0) cos?t — sin(?0) sin?t) (1.37)
Преобразуя выражение, стоящее в скобках по формуле косинуса суммы, мы получим:
x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1.38)
И снова вышло, что сумма 2-ух гармонических функций вида (1.31) является также гармонической функцией такого же вида. Поточнее говоря, сложение 2-ух гармонических колебаний с схожими частотами ? представляет собой также гармоническое качание с той же частотой ?. При всем этом амплитуда результирующего колебания определяется соотношением (1.35), а исходная фаза — соотношением (1.36).
2.2. Волны
2.2.1. Распространение колебаний в вещественной среде
Разглядим колебания в вещественной среде. Одним из примеров является качание поплавка на поверхности воды. Если в роли наблюдающего выступит птица, пролетающая над поплавком, то она увидит, что поплавок образует вокруг себя окружности, которые, что умопомрачительно, с течением времени, удаляясь, наращивает радиус. Но если в роли наблюдающего будет человек, стоящий на берегу, то он увидит «горбы» и «впадины», которые, чередуясь, приближаются к берегу. Это явление именуют бегущей волной.
Для того чтоб разобраться в свойствах волны, пренебрежем сопротивлением воздуха, вязкостью воды и воздуха, т.е. диссипативными силами. Тогда механическую энергию капелек воды можно считать сохраняющейся. В этом случае движение волны схематически можно изобразить так, как показано на рисунке 1, заменив капельки воды пронумерованными шариками. Обозначим за поплавок шарик №1.
Рис. 2.1. Схематичное изображение поперечной волны.
Мы лицезреем, что предпосылкой движения является шарик №1, т.е. поплавок. Он при помощи взаимодействия вовлекает в движение шарик №2, шарик №2 вовлекает №3 шарик, и т.д. Но взаимодействие меж частичками происходит не одномоментно, потому шарик №2 будет отставать по времени. Также можно увидеть, что шарик №13 колеблется так же, как и №1. Тогда можно прийти к выводу, что шарик №2 будет отставать от №1 на 1/12 периода.
Отсюда периодом волны(T) можно именовать период колебаний шарика №1, амплитудой волны(A) — наибольшее отклонение шарика от горизонтальной оси, а длиной волны (?) — малое расстояние меж максимумами ближайших горбов либо минимумами ближайших впадин.
В ранее рассмотренном примере волна распространялась перпендикулярно колебаниям источника, по другому говоря, была рассмотрена поперечная волна.
Продольные волны — волны, распространяющиеся параллельно движению источника. Если разглядывать продольные волны схематически (рис.2.2), то можно увидеть, что с течением времени источник колебаний (шар №1) колеблется влево-вправо и вовлекает в такое же осциллирующее движение другие частицы. Тогда, для продольной волны, определение периода волны, описанное выше, остается постоянным, а определения длины волны и амплитуды будут смотреться по другому. Обобщенные понятия будут смотреться так: длина волны — малое расстояние меж шариками, двигающихся с схожими фазами; амплитуда волны — наибольшее отклонение от положения равновесия.

2.2.2. Волновая функция
Разглядим источник, совершающий гармонические колебания в материальной среде с частотой . Тогда его движение описывается функцией вида [Acos(t + ?0)]. Пусть исходная фаза 0 равна нулю. Тогда координата источника является последующей функцией времени.
x = A cos(t) (2.1)
Из-за взаимодействия частички окружающей среды вовлекаются в движения, которое также будет являться гармоническими колебаниями. Но межчастичное взаимодействие происходит не одномоментно, потому колебания примыкающих частиц будут происходить со сдвигом во времени. Из-за конечной и неизменной скорости передачи взаимодействия этот сдвиг колебаний во времени прямо пропорционален расстоянию очередной частички от источника.
Из прошлых примеров следует, что в итоге в среде будут распространяться возмущения, именуемые волновыми. В случае поверхностных волн это возмущение представляет собой отклонение частиц воды от поверхности в умеренном состоянии. В случае звуковых волн возмущением является отклонение плотности воздуха от средней плотности воздуха в умеренном состоянии. Независимо от вида волн (продольных либо поперечных) это возмущение обязано описываться некой функцией времени и координат.
В точке источника возмущение является функцией времени, совпадающей с (2.1)
(0, t) = A cos(t). (2.2)
Разглядим распространение гармонического возмущения в направлении, данном осью координат 0Z. Согласно вышеизложенному, частички вещественной среды, находящиеся на расстоянии z от источника, совершают гармонические колебания с запаздыванием по времени (из-за конечной скорости распространения взаимодействия). Как следует, возмущение в точке z и в случайный момент времени t совпадает с возмущением в точке z = 0 источника в некий предшествующий момент времени t
(z, t) = (0, t) (2.3)
Скорость распространения возмущения в данной среде наглядно выражается скоростью движения горба (либо впадины) у поверхностных волн либо скоростью движения уплотнения (либо разрежения) у звуковой волны. Эту скорость vf именуют фазовой скоростью волны. Таковым образом горб, впадина либо хоть какой иной вид возмущения среды пробегает расстояние z за время z/vf.
Фазовая скорость дозволяет связать моменты времени t и t последующим соотношением
(2.4)
Используя соотношения (2.2) — (2.4), получим выражение для функции возмущения в последующем виде:
(2.5)
Приобретенное выражение именуется гармонической волновой функцией либо короче — гармонической волной.
В вариантах однородных сред и малых возмущений фазовая скорость является неизменной величиной.
Введем новейшую величину, именуемую волновым числом, последующим отношением:
k = ? / vf(2.6)
При помощи волнового числа гармоническая волновая функция (2.5) запишется в виде:
(z, t) = A cos(?t — kz) (2.7)
Разглядим величину A. Эта величина является амплитудой волны. Как уже было сказано, амплитудой волны именуется наибольшее отклонение частички от положения равновесия. Амплитуда волны может изменяться с течением времени (из-за действия наружных сил).
Фазой волны будет называться величина, стоящая под знаком тригонометрической функции. Зависимо от исходных критерий фаза волновой функции может содержать неизменное слагаемое 0 0. Фазой волны является функцией 2-ух аргументов времени и координаты.
Заметим, что функция (2.8) обрисовывает волновой процесс нескончаемый в пространстве и во времени.
Разглядим физический смысл величины k. Выберем момент времени t=0. Волновая функция (2.8) воспримет вид:
A cos(k z) (2.8)
Функция (2.9) может интерпретироваться как моментальная фото волнового процесса. Видно, что эта функция периодична в пространстве.
Согласно определению периода, последующее равенство производится при всех значениях координаты z
A Cos(k (z + )) = A Cos(k z)
Величина именуется длиной волны. Она представляет собой малое расстояние меж точками с схожей фазой (горбами, впадинами и т.п.).
Если косинусы равны, то из аргументы различаются на 2?
k (z+) = k z +2? (2.9)
Методом легких преобразований получим последующее выражение:
? = 2?/k(2.10)
Отсюда следует, что величина k назад пропорциональна длине волны ?.
Разглядим огромное количество точек места, в каких фаза волны остается равной нулю.
t — kz = 0(2.11)
Алгебраическое преобразование дает:
z/t = /k(2.12)
Отношение z/t, стоящее слева, выше было определено как фазовая скорость. Согласно (2.13), фазовая скорость плоской гармонической волны приравнивается
vF. = /k(2.13)
Из соотношения (2.15) также видно, что для гармонической бегущей волны в фиксированный момент времени скорость возрастания фазы на единицу длины и есть величина k (волновое число) равная
k = / vF(2.14)
Выше были рассмотрены пример гармонических волн. Но в природе такие волны встречаются весьма изредка. Почаще встречаются волны затухающие, т.е. волны, у каких скорость (из-за сопротивления воздуха, сил трения либо остальных диссипативных сил) с течением времени обращается в ноль. Функции, приобретенные нами ранее, недействительны для затухающих волн.
Выше рассматривались волны, распространяющиеся вдоль границы раздела 2-ух сред, и волны, распространяющиеся в размерах вещества. к примеру, в воздухе могут распространяться лишь продольные звуковые волны, а в сплаве и продольные, и поперечные.
Не считая того, волны можно различать по форме поверхности неизменной фазы. Необходимыми личными вариантами являются плоские и сферические волны.
2.2.3. Электромагнитные волны
Понятно, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое. Если представить, что меняющееся электронное поле порождает магнитное поле, то можно представить, как это сделал Максвелл, что из-за этого будет создаваться электромагнитная волна. И только позже, в 1886 году, Герцем было экспериментально подтверждено, что Максвелл был прав. Герц в собственных опытах, понижая число витков катушки и площадь пластинок конденсатора, также раздвигая их, сделал переход от закрытого осциллирующего контура к открытому колебательному контуру (вибратору Герца), представляющему из себя два стержня, разбитых искровым промежутком. Если в закрытом колебательном контуре переменное электронное поле сосредоточено снутри конденсатора, то в открытом оно заполняет окружающее контур место, что значительно увеличивает интенсивность электромагнитного излучения. Колебания в таковой системе поддерживаются за счет э. д. с источника, присоединенного к обкладкам конденсатора, а искровой просвет применяется для того, чтоб прирастить разность потенциалов, до которой сначало заряжаются обкладки. Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца 8 подключался к индуктору. Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значении, возникала искра, и в вибраторе появлялись вольные затухающие колебания. При исчезновении искры контур размыкался, и колебания прекращались. За тем индуктор опять заряжал конденсатор, возникала искра, и в контуре снова наблюдались колебания и т.д. Для регистрации электромагнитных волн Герц воспользовался остальным вибратором, имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т.е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электронная искра.
При помощи описанного вибратора Герц достигнул частот порядка 100 МГц и получил волны, длина которых составляла приблизительно 3 м.П.Н. Лебедев, применяя маленький вибратор из тонких платиновых стержней, получил миллиметровые электромагнитные волны с длиной волны ? = 6-4мм. Так были экспериментально открыты электромагнитные волны. Так же Герц обосновал, что скорость электромагнитной волны равна скорости света:
(2.15)
Потом было подтверждено, что электромагнитные волны — поперечные. Источником электромагнитных волн являются колеблющиеся заряды. В окружающем заряд пространстве возникает система электронных и магнитных полей. «Мгновенный снимок» таковой системы полей изображен на рис.2.3.
Доброкачественную характеристику электромагнитных колебаний можно давать как в виде частоты колебаний, выраженной в герцах, так и в длинах волн. Чем выше частота колебаний, тем меньше длина распространяемой волны. Весь диапазон этих волн условно принято разделять на последующие 16 диапазонов:

Длина волны

Заглавие

Частота

наиболее 100 км

Низкочастотные электронные колебания

0-3 кГц

100 км — 1 мм

Радиоволны

3 кГц — 3 ТГц

100-10 км

мириаметровые (весьма низкие частоты)

3 — 3-кГц

10 — 1 км

километровые (низкие частоты)

30 — 300 кГц

1 км — 100 м

гектометровые (средние частоты)

300 кГц — 3 МГц

100 — 10 м

декаметровые (высочайшие частоты)

3 — 30 МГц

10 — 1 м

метровые (весьма высочайшие частоты)

30 — 300МГц

1 м — 10 см

дециметровые (ультравысокие)

300 МГц — 3 ГГц

10 — 1 см

сантиметровые (сверхвысокие)

3 — 30 ГГц

1 см — 1 мм

миллиметровые (очень высочайшие)

30 — 300 ГГц

1 — 0.1 мм

децимиллиметровые (гипервысокие)

300 ГГц — 3 ТГц

2 мм — 760 нм

Инфракрасное излучение

150 ГГц — 400 ТГц

760 — 380 нм

Видимое излучение (оптический диапазон)

400 — 800 ТГц

380 — 3 нм

Ультрафиолетовое излучение

800 ТГц — 100 ПГц

10 нм — 1пм

Рентгеновское излучение

30 ПГц — 300 ЭГц

<=10 пм

Палитра-излучение

>=30 ЭГц

Одним из самых распространённых видов электромагнитных волн являются световые волны. Но в нашей работе будет рассматриваться иной вид электромагнитных волн — рентгеновские лучи.

2.2.4. Рентгеновские лучи
Одним из ярчайших примеров электромагнитных волн, можно считать рентгеновские лучи.
В 1895 году В.К. Рентген (1845 — 1923) проводил исследования электронного тока в очень разреженных газах. К электродам, впаянным в стеклянную трубку, из которой за ранее был выкачен воздух до давления 10-3 мм рт. ст., прикладывалась разность потенциалов в несколько киловольт. Оказалось, что при всем этом трубка становится источником лучей, которые Рентген именовал «икс-лучами». Главные характеристики «икс-лучей» исследовал сам Рентген в итоге 3-х летней работы, за какую в 1901 году был удостоен Нобелевской премии — первым посреди физиков. Открытые им лучи потом справедливо были названы рентгеновскими.
Рис.2.3. Схемы рентгеновских трубок.
а) одна из первых трубок Рентгена, б) рентгеновская трубка конца XX века.
K — термо катод, А — высоковольтный анод, T — накал термокатода, Э — пучки ускоряемых электронов (штрихпунктирные полосы), Р — потоки рентгеновских лучей (штриховые полосы), О — окна в корпусе трубки для выхода рентгеновских лучей.
Согласно современным исследованиям, рентгеновские лучи — это невидимое глазом электромагнитное излучение с длиной волны, принадлежащей спектру с примерными границами 10-2 — 10 нанометров.
Рентгеновские лучи испускаются при торможении стремительных электронов в веществе (при всем этом образуют непрерывный диапазон) и при переходах электронов с наружных электрических оболочек атома на внутренние (и дают линейчатый диапазон).
Важными качествами рентгеновских лучей являются последующие характеристики:
Лучи проходят через все материалы, в т. ч. непрозрачные для видимого света. Интенсивность проходящих лучей I миниатюризируется экспоненциально с шириной x слоя вещества
I(x) = I0 exp(-/x),(2.16)
где I0 — интенсивность лучей, падающих на слой облучаемого материала.
Коэффициент охарактеризовывает ослабление потока рентгеновских лучей веществом и зависит от плотности материала и его хим состава. Бессчетные опыты проявили, что в первом приближении наблюдается зависимость
Z4(2.17)
Потоки рентгеновских лучей проходят через толстые доски, железные листы, человеческое тело и т.д. Значимая проникающая способность рентгеновских лучей в истинное время обширно употребляется в дефектоскопии и медицине.
Рентгеновские лучи вызывают люминесценцию неких хим соединений. к примеру, экран, покрытый солью BaPt(CN) 4 при попадании рентгеновских лучей сияет желто-зеленым цветом.
Рентгеновские лучи, попадая на фотоэмульсии, вызывают их почернение.
Рентгеновские лучи ионизируют воздух и остальные газы, делая их электропроводными. Это свойство употребляется в сенсорах, позволяющих найти невидимые рентгеновские лучи и измерить их интенсивность.
Рентгеновские лучи владеют мощным физиологическим действием. Долгое облучение {живых} организмов интенсивными потоками рентгеновских лучей приводит к появлению специфичных болезней (т. н. «лучевая болезнь») и даже к смертельному финалу.
Как уже было сказано ранее, рентгеновские лучи испускаются при торможении стремительных электронов в веществе и при переходах электронов с наружных электрических оболочек атома на внутренние (и дают линейчатый диапазон). Сенсоры, регистрирующие рентгеновские лучи базируются на свойствах рентгеновских лучей. Потому почаще всего в качестве сенсоров употребляются: фотоэмульсии на пленке и пластинках, люминесцентные экраны, газонаполненные и полупроводниковые сенсоры.
2.3. Дифракция волн
2.3.1. Дифракция и интерференция волн
Обычными волновыми эффектами являются явления интерференции и дифракции.
Сначало дифракцией именовалось отклонение распространения света от прямолинейного направления. Это открытие было изготовлено в 1665 году аббатом Франческо Гримальди и послужило основой для разработки волновой теории света. Дифракцией света представляла собой огибание светом контуров непрозрачных предметов и, как следствие этого, проникновение света в область геометрической тени.
Опосля сотворения волновой теории выяснилось, что дифракция света является следствием явления интерференции волн, испущенных когерентными источниками, находящимися в разных точках места.
Волны именуются когерентными, если разность их фаз остается неизменной с течением времени. Источниками когерентных волн являются когерентные колебания источников волн. Синусоидальные волны, частоты которых не меняются с течением времени, являются постоянно когерентными.
Когерентные волны, испущенные источниками, находящимися в разных точках, распространяются в пространстве без взаимодействия и образуют суммарное волновое поле. Строго говоря, сами волны не «складываются». Но если в какой-нибудь точке места находится регистрирующий устройство, то его чувствительный элемент будет приведен в осциллирующее движение под действием волн. Любая волна действует независимо от остальных, и движение чувствительного элемента представляет собой сумму колебаний. По другому говоря, в этом процессе складываются не волны, а колебания, вызванные когерентными волнами.
Рис. 3.1. Система 2-ух источников и сенсора. L — расстояние от первого источника до сенсора, L’ — расстояние от второго источника до сенсора, d — расстояние меж источниками.
В качестве базисного примера разглядим интерференцию волн, испускаемых 2-мя точечными когерентными источниками (см. рис.3.1). Частоты и исходные фазы колебаний источников совпадают. Источники находятся на определенном расстоянии d друг от друга. Сенсор, регистрирующий интенсивность образованного волнового поля, размещается на расстоянии L от первого источника. Вид интерференционной картины зависит от геометрических характеристик источников когерентных волн, от размерности места, в каком распространяются волны и т.д.
Разглядим функции волн, которые являются следствием колебаний, испускаемых 2-мя точечными когерентными источниками. Для этого пустим ось z так, как показано на рис.3.1. Тогда волновые функции будут смотреться так:
(3.1)
Введём понятие разности хода волн. Для этого разглядим расстояния от источников до регистрирующего сенсора L и L’. Расстояние меж первым источником и сенсором L различается от расстояния меж вторым источником и сенсором L’ на величину t. Для того чтоб отыскать t разглядим прямоугольный треугольник, содержащий величины t и d. Тогда можно просто отыскать t, воспользовавшись функцией синуса:
(3.2)
Эта величина и будет называться разностью хода волн. А сейчас помножим эту величину на волновое число k и получим величину, именуемую разность фаз. Обозначим её, как ??
(3.3)
Когда две волны «дойдут» до сенсора функции (3.1) воспримут вид:
(3.4)
Для того чтоб упростить закон, по которому будет колебаться сенсор, занулим величину (-kL + 1) в функции x1(t). Величину L’ в функции x2(t) распишем её по функции (3.4). Методом легких преобразований получаем, что
(3.5)
где
(3.6)
Можно увидеть, что соотношения (3.3) и (3.6) схожи. Ранее эта величина была определена, как разность фаз. Исходя из ранее произнесенного, Соотношение (3.6) можно переписать последующим образом:
(3.7)
Сейчас сложим функции (3.5).
(3.8)
Воспользовавшись способом всеохватывающих амплитуд, мы получим соотношение для амплитуды суммарного колебания:
(3.9)
где ?0 определяется соотношением (3.3).
Опосля того, как была найдена амплитуда суммарного колебания, можно отыскать интенсивность суммарного колебания, как квадрат амплитуды:
(3.10)
Разглядим график интенсивности суммарного колебания при различных параметрах. Угол ? меняется в интервале [0; ] (это видно из рисунка 3.1), длина волны меняется от 1 до 5.

Разглядим личный вариант, когда L>>d. Обычно таковой вариант встречается в опытах по рассеянию рентгеновских лучей. В этих опытах обычно сенсор растерянного излучения размещается на расстоянии много огромным, чем размеры исследуемого эталона. В этих вариантах в сенсор попадают вторичные волны, которые с достаточной точностью можно приближенно считать плоскими. При всем этом волновые векторы отдельных волн вторичных волн, испущенных различными центрами растерянного излучения, параллельны. Считается, что при всем этом производятся условия дифракции Фраунгофера.
2.3.2. Дифракция рентгеновских лучей
Дифракция рентгеновских лучей — процесс, возникающий при упругом рассеянии рентгеновского излучения и состоящий в возникновении отклоненных (дифрагированных) лучей, распространяющихся под определенными углами к первичному пучку. Дифракция рентгеновских лучей обоснована пространственной когерентностью вторичных волн, которые появляются при рассеянии первичного излучения на электронах, входящих в состав атомов. В неких направлениях, определяемых соотношением меж длиной волны излучения и межатомными расстояниями в веществе, вторичные волны складываются, находясь в схожей фазе, в итоге что создается интенсивный дифракционный луч. Иными словами, под действием электромагнитного поля падающей волны заряженные частички, имеющиеся в любом атоме, стают источниками вторичных (рассеянных) сферических волн. Отдельные вторичные волны интерферируют меж собой, образуя как усиленные, так и ослабленные пучки излучения, распространяющиеся в различных направлениях.
Можно считать, что рассеяние не сопровождается дисперсией, и, как следует, частота рассеянных волн совпадает с частотой первичной волны. Если рассеяние является упругим, то не меняется также и модуль волнового вектора.
Разглядим итог интерференции вторичных волн в точке, удаленной от всех рассеивающих центров на расстояние много большее, чем межатомные расстояния в исследуемом (облучаемом) образчике. Пусть в данной нам точке находится сенсор и складываются колебания, вызванные пришедшими в эту точку рассеянными волнами. Потому что расстояние от рассеивателя до сенсора существенно превосходит длину волны растерянного излучения, то участки вторичных волн, приходящих в сенсор, можно с достаточной степенью точности считать плоскими, а их волновые векторы — параллельными. Таковым образом, физическую картину рассеяния рентгеновских лучей по аналогии с оптикой можно именовать дифракцией Фраунгофера.
Зависимо от угла рассеяния (угла меж волновым вектором первичной волны и вектором, соединяющим кристалл и сенсор), амплитуда суммарного колебания будет достигать минимума либо максимума. Интенсивность излучения, регистрируемая сенсором, пропорциональна квадрату суммарной амплитуды. Как следует, интенсивность зависит от направления распространения рассеянных волн, достигающих сенсора, от амплитуды и длины волны первичного излучения, от числа и координат рассеивающих центров. Не считая того, амплитуда вторичной волны, образованной отдельным атомом, (а означает и суммарная интенсивность) определяется атомным фактором — убывающей функцией угла рассеяния , зависящей от электрической плотности атомов.
2.3.3. Интерференционная картина от n источников расположенных на одной прямой
Разглядим распределение интенсивности излучения, создаваемого n когерентными точечными источниками монохроматических волн. Геометрия системы, состоящей из n когерентных точечных источников монохроматических волн и сенсора, который может передвигаться вдоль прямой полосы, представлена на рис.5.1.
Рис.3.3. Геометрия системы n источников.
Цифрами 1,2,3,4,…,n обозначены положения точечных источников.
Ось X ориентирована вдоль полосы перемещения сенсора. Где Z1,Z2, Z3, Z4,…, Zn, — расстояния от первого, второго, третьего, …, некоторого источников до приёмника, вдоль оси X происходит сложение интенсивностей колебаний, L — расстояние от оси X до полосы соединяющей источники.
Для того чтоб отыскать интенсивность n источников, используем соотношение (3.10). Амплитуды сложим векторным методом. Тогда для n источников функция (3.10) воспримет вид:
(3.11)
Это уравнение расчета интенсивности излучения n источников, где
(3.12)
при
(3.13)
тут быть может вычислено последующим образом:
(3.14)
Подставив (3.12), (3.13) и (3.14) в (3.11) получим:
(3.15)
2.3.4. Атомный фактор
Атомным фактором именуется величина, характеризирующая способность изолированного атома либо иона когерентно рассеивать рентгеновское излучение, электроны либо нейтроны (соответственно различают рентгеновский, электрический либо нейтронный атомный фактор). Атомный фактор описывает интенсивность излучения, растерянного атомом в определенном направлении.
Разглядим взаимодействие рентгеновской волны с отдельным атомом. Электронное поле волны порождает повторяющиеся силы, действующие на все заряженные частички, входящие в состав атома — на электроны и на ядро. Убыстрение, которое получает частичка, назад пропорционально массе частички. Любая частичка становится источником вторичной (т.е. рассеянной) волны. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату убыстрения, потому рассеянное излучение порождается фактически лишь электронами, потому рентгеновский атомный фактор зависит от распределения в атоме электрической плотности.
Электроны рассредоточены снутри атома, а размер атома соизмерим с длиной рентгеновской волны. Потому вторичные волны, сделанные отдельными электронами атома, владеют разностью фаз. Этот фазовый сдвиг ? зависит от направления распространения рассеянной волны относительно направления волнового вектора первичной волны. Как следует, амплитуда излучения, растерянного атомом, зависит от угла рассеяния.
Атомный фактор f (либо функция атомного рассеяния) определяется как отношение амплитуды волны, рассеянной одним атомом к амплитуде волны, рассеянной одним вольным электроном. Величина атомного фактора зависит от угла рассеяния и длины волны излучения . В качестве аргумента функции атомного фактора в рентгеноструктурных исследовательских работах употребляют величину = sin() / .
Если полярный угол = 0, то
3.5. Дифракция Фраунгофера рентгеновских лучей на атомах кристалла
Пусть на кристаллический эталон ориентирован поток рентгеновских лучей с определенной длиной волны . В физических исследовательских работах (при расшифровке атомной структуры рентгенодифракционным способом, рентгеноспектральном элементном анализе и т.д.) обычно реализуется геометрическая схема опыта со последующими геометрическими чертами (см. рис.1).

25

Рис.3.5. Геометрическая схема облучения малеханького эталона узеньким пучком рентгеновских лучей.
1 — генератор рентгеновских лучей (к примеру, рентгеновская трубка), 2 — коллиматор, 3 — исследуемый эталон. Штриховые стрелки изображают потоки рентгеновских лучей.
При помощи коллиматора формируется узенький пучок рентгеновских лучей. Облучаемый кристаллический эталон размещается от выхода из коллиматора на расстоянии существенно больше размера эталона. В рентгеноструктурных исследовательских работах эталоны подготавливаются размером наименьшим поперечного сечения пучка. Как молвят, эталон «купается» в пучке падающих рентгеновских лучей (см. выноску на рис.3.5).
Тогда можно с неплохой точностью считать, на исследуемый эталон падает плоская электромагнитная волна с длиной . По другому говоря, все атомы эталона подвергаются действию когерентных плоских волн с параллельными волновыми векторами k0.
Рентгеновские лучи представляют собой электромагнитные волны, которые являются поперечными. Если ось координат Z навести вдоль волнового вектора k0, то составляющие электронного и магнитного полей плоской электромагнитной волны могут быть записаны в последующем виде:
EX = EX0 cos(t — k0 z + 0) EY = EY0 cos(t — k0 z + 0)
(3.16)
BX = BX0 cos(t — k0 z + 0) BY = BY0 cos(t — k0 z + 0)
где t — время, — частота электромагнитного излучения, k0 — волновое число, 0 — исходная фаза. Волновое число представляет собой модуль волнового вектора и назад пропорционально длине волны k0 = 2?/. Численное времени t0=0. Величины EX0, EY0, BX0, BY0 являются амплитудами соответственных компонент (3.16) электронного и магнитного полей волны.
Таковым образом, все составляющие (3.16) плоской электромагнитной волны описываются простыми гармоническими функциями вида:
= A0 cos(t — kz+ 0) (3.17)
Разглядим рассеяние плоской монохроматической рентгеновской волны на огромном количестве атомов исследуемого эталона (на молекуле, кристалле конечных размеров и т.п.). Взаимодействие электромагнитной волны с электронами атомов приводит к генерированию вторичных (рассеянных) электромагнитных волн. Согласно традиционной электродинамике, рассеяние на отдельном электроне происходит в телесный угол 4 и владеет значимой анизотропией. Если первичное рентгеновское излучение не поляризовано, то плотность потока растерянного излучение волны описывается последующей функцией
(3.18)
где I0 — плотность потока первичного излучения, R — расстояние от точки рассеяния до места регистрации растерянного излучения, — полярный угла рассеяния, который отсчитывается от направления волнового вектора плоской первичной волны k0 (см. рис.3.6). Параметр
2,818106 нм(3. 19)
исторически именуется традиционным радиусом электрона.

25

Рис.3.6. Полярный угол рассеяния плоской первичной волны на небольшом исследуемом образчике Cr.
Определенный угол задает в пространстве коническую поверхность. Коррелированное движение электронов снутри атома усложняет анизотропию растерянного излучения. Амплитуда рентгеновской волны, рассеянной атомом выражается при помощи функцией длины волны и полярного угла f(, ), которая именуется атомной амплитудой.
Таковым образом, угловое распределение интенсивности рентгеновской волны, рассеянной атомом, выражается формулой
I = (3. 20)
и владеет аксиальной симметрией относительно направления волнового вектора первичной волны k0. Квадрат атомной амплитуды f 2 принято именовать атомным фактором.
Как правило, в экспериментальных установках для рентгеноструктурных и рентгеноспектральных исследовательских работ сенсор рассеянных рентгеновских лучей размещается на расстоянии R существенно превосходящем размеры рассеивающего эталона. В таковых вариантах входное окно сенсора вырезает из поверхности неизменной фазы рассеянной волны элемент, который, можно с высочайшей точностью считать плоским.

25

Рис.3.8. Геометрическая схема рассеяния рентгеновских лучей на атомах эталона 1 в критериях дифракции Фраунгофера.
2 — сенсор рентгеновских лучей, k0 — волновой вектор первичной рентгеновской волны, штриховые стрелки изображают потоки первичных рентгеновских лучей, штрих-пунктирные — потоки рассеянных рентгеновских лучей. Кружками обозначены атомы исследуемого эталона.
Не считая того, расстояния меж примыкающими атомами облучаемого эталона на несколько порядков меньше поперечника входного окна сенсора.
Как следует, в данной геометрии регистрации сенсор принимает поток плоских волн, рассеянных отдельными атомами, при этом волновые векторы всех рассеянных волн можно с высочайшей точностью считать параллельными.
Перечисленные выше индивидуальности рассеяния рентгеновских лучей и их регистрации исторически получили заглавие дифракции Фраунгофера. Эта приближенное описание процесса рассеяния рентгеновских лучей на атомных структурах дозволяет высчитать дифракционную картину (угловое распределение интенсивности растерянного излучения) с высочайшей точностью. Подтверждением служит то, что приближение дифракции Фраунгофера лежит в базе рентгеноструктурных способов исследования вещества, которые разрешают определять характеристики простых ячейках кристаллов вычислять координаты атомов, устанавливать наличие разных фаз в образчике, определять свойства дефектности кристаллов и т.д.
Разглядим кристаллический эталон маленького размера, содержащий конечное количество N атомов с определенным хим номером.
Введем прямоугольную систему координат. Ее начало совместим с центром 1-го из атомов. Положение всякого центра атома (центра рассеяния) задается 3-мя координатами. xj, yj, zj, где j — порядковый номер атома.
Пусть исследуемый эталон подвергается действию плоской первичной рентгеновской волны с волновым вектором k0, направленным параллельно оси Oz избранной системы координат. При всем этом первичная волна представляется функцией вида (3.17).
Рассеяние рентгеновских лучей на атомах быть может как неупругим, так и упругим. Упругое рассеяние происходит без конфигурации длины волны рентгеновского излучения. При неупругом рассеянии длина волны излучения возрастает, а вторичные волны являются некогерентными. Дальше рассматривается только упругое рассеяние рентгеновских лучей на атомах.
Обозначим L — расстояние от начала координат до сенсора. Положим, что производятся условия дифракции Фраунгофера. Это, а именно, значит, что наибольшее расстояние меж атомами облучаемого эталона на несколько порядков меньше, чем расстояние L. При всем этом чувствительный элемент сенсора подвергается действию плоских волн с параллельными волновыми векторами k. Модули всех векторов равны модулю волнового вектора k0 = 2?/.
Любая плоская волна вызывает гармоническое качание с частотой
(3.21)
Если первичная волна удовлетворительно аппроксимируется плоской гармонической, то все вторичные (рассеянные атомами) волны являются когерентными. Разность фаз рассеянных волн зависит от разности хода этих волн.
Проведем из начала координат в точку расположения входного окна сенсора вспомогательную ось Or. Тогда каждую вторичную, распространяющуюся в направлении данной нам оси можно обрисовать функцией
= A1 f cos(t — kr+ 0) (3.22)
где амплитуда A1 зависит от амплитуды первичной волны A0, а исходная фаза 0 схожа для всех вторичных волн.
Вторичная волна, испущенная атомом, находящимся сначала координат, создаст качание чувствительного элемента сенсора, описываемое функцией
]]>