(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Эрлангенская программа: прежде и теперь
20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков нескончаемое семейство новейших групп и соответственных им геометрий. Чтоб не утопнуть в новеньком хаосе » «газе» из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить различные методы сопоставления групп меж собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура появилась теория представлений групп; скоро она стала важной опорой теоретической физики и новейших геометрий (бесконечномерных, либо неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году.
Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций освеженной физики. Если в обоих вариантах мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода» Можно ли обрисовать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некоторую группу допустимых преобразований каких-либо базовых объектов» Эти трудности мы хотят обсудить.
Вспомним, что система Евклида обхватывала далековато не все факты и объекты греческой геометрии 4 века до н.э. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) не упомянуты в «Началах» ни единым словом. естественно, Евклид был недоволен таковым положением дел. Понятно, что он написал трактат о конических сечениях » но не смог унифицировать его с логической структурой «Начал», потому трактат не сохранился. Скоро Аполлоний повторил (либо затмил) этот труд Евклида; но его книжку о конических сечениях также не удалось стыковать с «Началами».
Унификация этого контраста началась только в Новое время — в трудах Декарта, на базе итальянской алгебры 16 века и новейшей системы числовых координат на плоскости. Этот подход соединил две, чудилось бы, независящие ветки арифметики: геометрию фигур и математику чисел. Понятно, что таковой синтез вызвал экстаз почти всех поколений молодежи: от Ньютона до Галуа, который сформировался как математик под воздействием учебников Лежандра по аналитической геометрии и алгебраической теории чисел.
Итак, меж реформой Евклида и реформой Кляйна геометрия пережила еще один фазовый переход: «координатную революцию» Декарта. В сфере исследовательских работ эта революция совершилась за одно поколение » меж возникновением книжки Декарта (1637) и ньютоновским открытием исчисления флюксий и флюент (1667). Напротив » в учебный процесс идеи Декарта проникали длительно и мучительно. Не случаем Ньютон выложил свои открытия в «Математических Принципах Натурфилософии» (1687) на сложном, но обычном геометрическом языке » заместо новейшей и обычной, но не обоснованной алгебры степенных рядов, которая вела идея Ньютона от 1-го открытия к другому. Только 100 лет спустя, когда новейшие вычислительные способы сделались главным аппаратом арифметики и механики, Адриен Лежандр употреблял эту систему в преподавании геометрии будущим учителям и инженерам в Обычной и Политехнической школах, порожденных Французской революцией.
Опосля этого (сначала 19 века) традиционная геометрия оказалась расщеплена на две половины: «евклидову» и «декартову», которые медлительно развивались, практически ничем не помогая друг другу. Это в особенности приметно в творчестве Карла Гаусса. В молодости, идя по пути Декарта, он достигнул восхитительного фуррора: обосновал невыполнимость почти всех построений циркулем и линейкой. 20 лет спустя (в 1818 году) Гаусс решил испытать путь Евклида: как далековато может завести «узкая хирургия» принятой системы аксиом геометрии» При всем этом зрелый Гаусс как как будто запамятовал те алгебраические способы, которые он удачно использовал в молодости. В итоге длительных интуитивных и логических поисков, не вводя в геометрию либо логику новейших понятий, Гаусс смог только угадать новейшую величавую истин: неполноту хоть какой богатой системы аксиом и правил вывода, неизбежность ветвления каждой формальной теории по следующему постулату, который не удается ни опровергнуть, ни обосновать. Видимо, эта перспектива потрясла Гаусса » и он предпочел умолчать о собственных гипотезах, чтоб не заносить разврат в разумы научной молодежи, не созодать арифметику посмешищем для окружающих невежд.
Выход из этого кризиса геометрии был вероятен только при помощи алгебры » и Феликс Кляйн отыскал этот выход, как новенькая алгебра (теория групп) достигнула нужной понятийной зрелости в трудах Камилла Жордана. Вспомним, что создавать теорию групп перестановок S(n) начал Огюстен Коши в 1810-е годы. Скоро молодой Эварист Галуа с блеском применил алгебраические характеристики групп S(n), доказав неразрешимость уравнений-многочленов степени n>4 в радикалах. Но рання погибель Галуа не дозволила ему (в отличие от Ньютона либо Гаусса) выложить свои открытия на общепонятном языке. Этот труд был завершел Жорданом только к 1870 году, когда Кляйну исполнилось 20 лет и он прибыл в Париж.
Слушая лекции Жордана, молодой Кляйн испытал такое же потрясение, какие до этого посещали Евклида и Ньютона, Гаусса и Галуа. Группы перестановок конечных множеств оказались могучим рабочим средством для геометрии и алгебры. Можно ждать такого же от групп взаимно-однозначных преобразований геометрических фигур! Эти группы различны в 3-х узнаваемых геометриях: Евклида, Лобачевского и Римана. возможно, они различают любые вероятные геометрические миры! Так родилась в 1872 году Эрлангенская программка 23-летнего доктора Кляйна » 1-ый манифест новейшей синтетической арифметики, не расщепленной на алгебру и геометрию. Скоро Георг Кантор огласил 2-ой манифест освеженной арифметики: общую теорию множеств, которая стремительно переросла в топологию метрических пространств и совсем срастила исчисление функций с исчислением фигур либо чисел. Кляйн жарко приветствовал эту новинку, предлагая считать функцию (и ее знак » график) настолько же всепригодным «иероглифом» математической науки, какими давно служили числа и фигуры.
Весьма принципиально, что (подобно Ньютону и Гауссу, но в отличие от Евклида либо Галуа) Кляйн смолоду получил не плохое образование в области теоретической физики, считал ее сестрой и союзницей «незапятанной» арифметики. Выдвигая Эрлангенскую программку, Кляйн не мог не задуматься о той группе преобразований евклидова места, которая соответствует ньютоновой механике мощных точек и жестких тел. Тем наиболее, что в эти же 1870-е годы Джемс Максвелл сделал теорию электромагнитного поля (вторую главу единой математической физики), а Джозайя Гиббс распространил математическую термодинамику в область хим реакций.
Успехи Максвелла уверили Кляйна, что Эрлангенская программка безизбежно включит геометрические исследования новейших физических миров » с внедрением той же теории групп. Но научный талант Кляйна очевидно уступал таланту Ньютона либо Гаусса. Понимая это, Кляйн не пробовал стать законодателем мод в рождающейся геометрической физике, предоставив эту честь друзьям и ученикам » до этого всего Максу НTтеру, который в 1918 году установил взаимно-однозначное соответствие меж геометрическими и физическими мирами. НTтер обосновал, что всякий законсохранения в физике соответствует симметрии физической среды относительно некой группы ее преобразований » одной из вероятных групп Ли. Так теория групп соединила, в конце концов, математическую физику с геометрией и алгеброй; основная издавна понятые и по достоинству оцененные мировой научной общественностью. Но для абсолютного большинства школьников (даже в математическом классе) это » Terra Incognita, о открытии которой не прочтешь ни в каком учебнике арифметики, физики либо истории. Выяснят ли русские юноши 21 века о надеждах и опасениях, фортунах и ошибках научных Колумбов и Магелланов 17-20 веков » это зависит лишь от решимости и эрудиции того учителя, с которым их столкнула судьба. Не принципиально, какова узенькая специальность такового учителя. Создателю этих строк доводилось удачно излагать драму мыслях, завязанную Евклидом и развязанную Кляйном, в рамках различных учебных курсов, перед различными аудиториями » от математиков до гуманитариев.
Вывод прост: осознать сущность дела способны все пытливые дети, хотя любая их категория гласит на собственном диалекте и задает вопросцы особенного рода. Современных подростков соединяет воединыжды еще одна черта: справедливо считая начало 20 века «старой историей», они требуют от учителя связать высшие заслуги Эйнштейна, Гильберта либо ГTделя с наукой и бытом наших дней. Кляйн предугадал такую ситуацию в 1910-е годы, когда он боролся за еще одну реформу математического и общенаучного образования в «традиционных» (другими словами, застывших на уровне Евклида либо Лежандра) германских гимназиях. Как досадно бы это не звучало » даже наилучшие гимназии и лицеи современной Рф схожим образом застыли на уровне Резерфорда и Бора, Менделя и Моргана, Ключевского и Моммзена, и в конце концов » самого Кляйна, который не одобрял перевоплощения Эрлангенской программки в нескончаемую икону.
Если оказалось, что миром чисел либо фигур управляют группы симметрий, то что может управлять самими группами Ли» В природе такое управление наблюдается на любом шагу » от фазовых переходов в физике твердого тела, через перестройку ценозов и ветвление таксонов в биологии, до переворотов в русской либо глобальной истории 20 века. Ради объединения настолько различных и принципиальных взглядов на природу учителю арифметики стоит потрудиться! Тем наиболее, что путь этого объединения был намечен топологом Пуанкаре сначала нашего века, а скоро физики-теоретики проверили этот путь.
Он ведет через узнаваемый принцип меньшего деяния в его квантовой формулировке, отысканной Фейнманом: в природе наблюдаются все те и лишь те линии движения движения тел либо систем, которые соответствуют экстремальным значениям функционала Деяния. Если эти линии движения » малые (как в механике), то движение по ней вызывает фазовый переход в системе » будь то тающий лед, осенний лес либо русское общество 1917 года.
Согласно топологической теории Морса (сделанной в 1930 году), совокупа всех экстремальных траекторий задает клеточное разбиение гладкого обилия с 2-мя краями, либо БОРДИЗМА, заменяющего в новейшей физике традиционное понятие мировой полосы. В 1950-е годы Рене Том сделал теорию бордизмов хоть какой размерности. Опосля этого топологи и физики начали учить бордизмы случайных фигур, в особенности групп Ли » и к 1970 году алгебро-геометрический аппарат общей теории эволюции был, в главном, сотворен (хотя биологи и социологи не сходу увидели это). Вспомним, как 3-мя веками ранее Ньютон сделал на базе дифференциальных уравнений единую математическую теорию механических действий, не вызывающих эволюции. Осмысление и улучшение механики Ньютона затянулось на полтораста лет — до эры Лагранжа и Лапласа, которые смогли разъяснить все, не считая происхождения Солнечной системы.
На данный момент Эрлангенской программке Кляйна исполнилось 125 лет. Видно, как 25 годов назад арифметики окончили ее осознание, создав топологическую теорию управления симметриями природных систем. Опосля 1967 года началось проникновение данной теории в физику простых частиц и вакуума. на данный момент, поколением позднее, пора начинать экспорт новейшей модели физического мира в разумы школьников! 1-ые опыты этого рода в ведущих физматшколах Рф прошли удачно. Старшеклассники стремительно привыкают к тому, что программка Кляйна обхватывает всю природу » включая биоэволюцию, социальные катаклизмы и деятельность людей-творцов, чьи биографии изображаются траекториями наибольшего деяния. естественно, вычислительные трудности на этом пути громадны » но ведь и школьный курс математического анализа включает далековато не все, что умел созодать Ньютон!
необходимо укреплять наметившуюся связь, наводя все новейшие мосты меж школьными курсами арифметики и различных веток естествознания » включая историю науки, неделимо сплетенную с историей населения земли. Чем больше учителей различного профиля увлечется данной мечтой, тем наиболее зрелым и уверенным вступит в 21 век сегодняшнее поколение молодых россиян. Феликс Кляйн, Давид Гильберт и Николай Лузин решали схожую задачку сначала 20 века. Опыт развития русской науки в нашем столетии показал, что эти труды не пропали даром. Весьма охото, чтоб через полста лет либо через век потомки произнесли нечто схожее о наших усилиях…
]]>