Учебная работа. Реферат: Счётные множества

Учебная работа. Реферат: Счётные множества

Курсовая работа по математическому анализу

Выполнил студент 104 группы Стенин В. В.

Мордовский муниципальный институт имени Н.П.Огарёва

Cаранск-2002.

I. Введение

На любом шагу нам приходиться сталкиваться с тем тяжело определяемым понятием, которое выражается словом совокупа. К примеру, можно гласить о совокупы людей присутствующих в данный момент времени в данной комнате, о совокупы гусей плавающих на деревенском пруду, страусов живущих в Сахаре и тому схожее.

В любом из этих случаев можно было бы заместо слова совокупа употребить слово огромное количество. Итак, под словом огромное количество предполагается совокупа, блок, собрание каких-либо частей объединенных определенными качествами либо свойством.

В арифметике повсевременно приходиться иметь дело с разными огромными количествами: к примеру огромное количество точек прямой, являющихся верхушками какого-либо многоугольника, огромное количество перестановок n элементного огромного количества, огромное количество сочетаний из 15 частей по 7 и так дальше. Так что огромного количества играют необыкновенную, даже можно сказать важную роль в арифметике а именно, и в жизни человека в целом.

Исследование множеств и их параметров занимается таковой раздел арифметике как «теория множеств» Этот раздел имеет сравнимо маленькую историю. 1-ые серьёзные работы в данной нам области, принадлежащие Г. Кантору, возникли в конце прошедшего века. Тем немение, в истинные время теория множеств представляет собой очень необъятную область арифметики.

Одним из важных понятий теории множеств является понятие счетного огромного количества. Но до этого чем ввести это понятие, нужно усвоить и объяснить некие простые понятия и определения.

Определение 1. Огромное количество именуется конечным, если количество частей этого огромного количества есть конечное число. Если же количество частей огромного количества есть число нескончаемое, то огромное количество именуется нескончаемым.

Так же для сопоставления 2-ух безграничных множеств нужно последующие определения.

Определение 2. Пусть А и В два огромного количества. правило j которое любому элементу а огромного количества А соотносит один и лишь один элемент b огромного количества В, при этом любой элемент bВ оказывается соотнесенным одному и лишь одному аА, именуется взаимно конкретным соответствием меж обилием А и обилием В.

Определение 3. Если меж обилием А и обилием В можно установить взаимно однозначное соответствие, то молвят, что эти огромного количества эквивалентны либо, что они имеют схожую мощность, и обозначают данный факт последующим образом

А ~ В.

Итак, мы обладаем математическим аппаратом нужным для ввода и усвоения понятия счетного огромного количества. К чему и приступаем.

II.Определение 1.Пусть N огромное количество всех натуральных чисел

N={1, 2, 3, . . .},

тогда всякое огромное количество А эквивалентное огромному количеству N будет называться исчислимым, либо счётным обилием.

Таковым образом, если огромное количество А счетное, то меж обилием А и обилием натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, либо, как молвят, можно занумеровать элементы огромного количества А, понимая под номером всякого элемента а Î А соответственное ему при обозначенном согласовании натуральное число.

Так же из определения счётного огромного количества следует очевиднейший вывод, что все счётные огромного количества эквивалентны меж собой.

Вот несколько примеров счётных множеств:

А={1, 4, 9, 16, . . . ,n, . . .};

B={3, 6, 9, 12, . . . ,3n, . . . };

C={,};

D={1, 8, 27, 64, . . . ,n, . . . };

Аксиома 1. Для того чтоб огромное количество Х было счётным нужно и довольно, чтоб его можно было «перенумеровать», другими словами представить в форме последовательности:

Х={x, x, x, . . . ,x, . . . } .

подтверждение необходимости: Пусть огромное количество Х счетное, то из определения счётного огромного количества следует существование взаимно конкретного соответствия j меж обилием Х и обилием натуральных чисел N. Довольно обозначить через х, тот из частей огромного количества Х, который в согласовании с j отвечает числу n,чтоб получить .

подтверждение достаточности: Если огромное количество Х представлено в форме

, то довольно любому его элементу х, сопоставить индекс n этого элемента, чтоб получить взаимно конкретного соответствия j меж обилием Х и обилием натуральных чисел N, так что из определения счётного огромного количества следует, что огромное количество Х счётное.

Последующая аксиома даёт увлекательный пример счётного огромного количества.

Аксиома 2. Оптимальные числа R образуют счётное огромное количество.

подтверждение: Разглядим поначалу оптимальные неотрицательные числа. Расположим их в нескончаемую таблицу последующим образом: в первую строку поместим в порядке возрастания в целые числа 0, 1, 2, . . . ; во вторую – все положительные несократимые дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине числителя; совершенно в n-ую строку, n=1, 2, 3, …, — все положительные оптимальные числа, записывающиеся несократимой со знаменателем n, упорядоченные по величине числителя. Разумеется, что каждое рациональное неотрицательное число попадёт на некое пространство в получившейся таблице;

1 2 3 4 . . .

. . .

. . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Занумеруем сейчас элементы получившейся таблицы согласно последующей схеме (в кружочках стоят номера соответственных частей, стрелка показывает направление нумерации).

. . .

. . . .

. . . . .

. . . . . .

В итоге все оптимальные неотрицательные числа оказываются занумерованными, другими словами мы обосновали, что они образуют счётное огромное количество.

Чтоб удостоверится, что и огромное количество всех оптимальных чисел также счётно, довольно их записать в схожую же таблицу. Это можно создать, к примеру, поместив в написанную выше таблицу опосля всякого положительного оптимального числа х в туже строку число — х.

1 -1 2 -2 . . .

——. . .

——. . .

. . . . . . . . . . .

—. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Перенумеровав элементы таблицы этим же методом, что и выше, мы получили, что огромное количество всех оптимальных чисел является счётным огромное количество.

III. Сформулируем и докажем несколько теорем характеризующих счетные огромного количества.

Аксиома 3. Из всякого нескончаемого огромного количества Х можно выделить счетное огромное количество Y.

подтверждение: Пусть огромное количество Х нескончаемое огромное количество. Выделим из огромного количества Х случайный элемент и обозначим его х1
. Так огромное количество Х нескончаемо, то оно не исчерпывается выделение этого элемента х1
.и мы можем выделить элемент х2
из оставшегося огромного количества Х{ х1
}. По этим же суждениям огромное количество Х{ х1
, х2
} не пусто, и мы можем и из него выделить элемент х3
. Ввиду бесконечности огромного количества Х мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в итоге что получим последовательность выделенных частей х1
, х2
, х3
, . . . , хn
, . . . , которая и образует разыскиваемое подмножество Y огромного количества Х.

Данная аксиома может наткнуть на увлекательный вопросец. А в свою очередь можно ли из счётного огромного количества выделить нескончаемое подмножество, которое было так же счётным? На этот вопросец отвечает последующая аксиома.

Аксиома 4. Всякое нескончаемое подмножество счётного огромного количества так же является счётным обилием.

подтверждение: Пусть огромное количество Х счётное огромное количество, а огромное количество Y его нескончаемое подмножество. Как следует, огромное количество Х быть может представлено в виде

Х={а1
, а2
, а3
, . . . , аn
,. . .}.

Будем перебирать один за иным элементы огромное количество Х в порядке их номеров, при всем этом мы время от времени будем встречать элементы огромного количества Y, и любой из частей огромного количества Y рано либо поздно повстречается нам. Соотнося любому элементу огромного количества Y номер «встречи» с ним, мы перенумеруем огромное количество Y, причём в силу бесконечности его, нам придется на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа. Как следует, огромное количество Y является счётным обилием.

Приведем пример конкретно относящийся к данной нам аксиоме.

Пример: Огромное количество Х={1, ,} как понятно, является счётным обилием, а потому что огромное количество Y={,} является подмножеством огромного количества Х, то по доказанной выше аксиомы 3, огромное количество Y так же является счётным.

Из выше изложенной аксиомы вытекает последующие следствие.

Следствие: Если из счётного огромного количества Х удалить конечное подмножество Y, то оставшееся огромное количество ХY будет счётным обилием.

IV. Аксиома 5. Объединение конечного огромного количества и счётного огромного количества без общих частей есть счётное огромное количество.

подтверждение: Пусть дано

А={а1
, а2
, . . . , аn
} и В={b1
, b2
, b3
, . . . },

при этом АÇВ = О.

Если огромное количество С=АÈВ, то С можно представить в форме

С={а1
, а2
, . . . , аn
, b1
, b2
, b3
, . . . },

опосля что становиться тривиальной возможность перенумеровать огромное количество, как следует по аксиоме 1 получаем, что огромное количество С счетно.

— 4 —

Аксиома 6. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное огромное количество.

подтверждение: Проведем подтверждение для варианта объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения.

Пусть А, В, С три счётных огромного количества:

А={а1
, а2
, а3
, . . .}, В={b1
, b2
, b3
, . . . } и

С={с1
, с2
, с3
, . . .}.

Тогда огромное количество D = АÈВÈС можно представить в форме последовательности:

D={а1
, b1
, c1
, а2
, b2
, c2
, а3
, . . .},

и счётность огромного количества D явна.

Аксиома 7. Объединение счётного огромного количества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное огромное количество.

подтверждение: Пусть Аk
(k=1, 2, 3, . . . ) сущность попарно не пересекающихся конечных множеств:

А1
={ . . . , };

А2
={. . . , };

А3
={ . . . ,};

. . . . . . . . . . . . . . .

Для того чтоб расположить объединение их С в форме последовательности, довольно выписать попорядку все элементы огромного количества А1
, а потом элементы огромного количества А2
и так дальше.

Аксиома 8. Объединение счётного огромного количества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное огромное количество.

подтверждение: Пусть огромного количества Аk
(k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти огромного количества последующим образом:

А1
={ . . . };

А2
={. . . };

А3
={ . . . };

. . . . . . . . . . . .

Если мы выпишем элемент , потом оба элемента и у каких сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, потом элементы у каких эта сумма равна 4, и так дальше, то огромное количество С= окажется представленной в форме последовательности:

С = { . . . },

Откуда и следует счётность огромного количества С.

Замечание: Условие отсутствия общих частей в аксиомах 5-8 могло быть опущено.

— 5 —

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое подтверждение аксиомы 2 хорошее от предшествующего.

Подтверждение аксиомы 2: Огромное количество дробей вида с данным знаменателем q, другими словами огромное количество . . . , разумеется счётное. Но знаменатель может принять также

счётное огромное количество натуральных значений 1, 2, 3, . . . . означает в силу аксиомы 8, огромное количество дробей вида является счётным обилием; удаляя из него все сократимые дроби и применяя аксиому 4, убеждаемся в счётности огромного количества всех положительных оптимальных чисел R+
. Потому что огромное количество R-
отрицательных оптимальных чисел разумеется эквивалентно огромному количеству R+
, то счетным является и оно, а тогда счётно и огромное количество R, ибо R= R+
R-
{0}.

Из аксиомы 2 вытекает последующие явное следствие.

Следствие. Огромное количество оптимальных чисел хоть какого сектора [a, b] является счётным обилием.

Сформулируем в виде аксиомы еще один пример счётного огромного количества.

Аксиома 9. Огромное количество Р всех пар натуральных чисел является счетным обилием.

Отступление: Под парой натуральных чисел соображают два натуральных числа данных в определённом порядке.

подтверждение: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Разумеется, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, конкретно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому обозначая через Рk
огромное количество всех пар высоты k, лицезреем что огромное количество Р есть объединение счётного огромного количества конечных множеств Рk
, а отсюда по аксиоме 7 получаем что огромное количество Р является счётным обилием.

Аксиома 10 также даёт любознательный пример счетного огромного количества.

Аксиома 10. Огромное количество S всех конечных последовательностей, составленных из частей данного счётного огромного количества D, есть счётное огромное количество.

подтверждение: (посредствам полной математической индукции) Из предшествующей аксиомы вытекает, что огромное количество пар, составленных из частей счётного огромного количества D, есть счётное огромное количество. Представим, что подтверждена счётность огромного количества Sm
всех последовательностей, состоящих из m частей данного счётного огромного количества D. Докажем, что огромное количество Sm
+1
всех последовательностей, состоящих из m+1 частей огромного количества D также счётно. По правде, пусть

D={d1
, d2
, . . . , dk
, . . .}.

Каждой последовательности S(
m
+1)
=(di
, . . , di
, dk
)ÎSm
+1
соответствует пара (S(
m
)
, dk
), где S(
m
)
= (di
, . . , di
)ÎSm
, при этом разным парам соответствуют разные пары этого вида. Потому что огромное количество Sm
всех S(
m
)
счётно, и быть может записано в виде S, . . . , S, . . . , то счётно и огромное количество всех пар (S, dk
) (взаимно совершенно точно соответственных парам натуральных чисел индексов i, k), а означает, и огромное количество всех S(
m
+1)
.

Потому что каждое Sm
счётно, то счётно и огромное количество S, что и обосновывает аксиому.

В заключении докажем последующую, очень общую аксиому:

— 6 —

Аксиома 11. Если элементы огромного количества А определяются n значками, любой из которых независимо от остальных пробегает счётное огромное количество значений

А={a,, . . . ,} (xk
=x, x, . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),

то огромное количество А счётно.

подтверждение: Докажем аксиому способом математической индукции.

Аксиома явна, если n=1, другими словами имеется лишь один значок. Допустим, что аксиома верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.

Итак пусть А={a,, . . . ,, }.

Обозначим через Ai
огромное количество тех частей А, для которых , где одно из вероятных значений (m+1)-го значка, т. е. положим Ai
=={a,, . . . ,, }.

В силу изготовленного допущения огромное количество Ai
счётно, а потому что А=, то счётно и огромное количество А.

Вот несколько предложений, вытекающих из данной нам аксиомы:

Огромное количество точек (x, y) плоскости, у каких обе координаты рациональны, счётно.

Но наиболее увлекательным является последующий факт:

Огромное количество многочленов с целыми коэффициентами счётно.

По правде, это конкретно следует из аксиомы 11, если лишь разглядывать многочлены фиксированной степени n, и для окончания подтверждения следует применить аксиому 8.

Перечень литературы

1.Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – Ленинград, 1948.

Никольский С.М. Курс математического анализа. – Москва, 1983.

Кудрявцев Л.Д. Математический анализ (том 1). – Москва, 1973.

Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. – Москва, 1988.

Куратовский К. и Мастовский А. Теория множеств. – Москва, 1970.

Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в 19 веке. – Москва, 1965.

]]>