(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Природа математических абстракций
Столичный Муниципальный Институт Управления Правительства Москвы
Кафедра Арифметики
Москва
2003 год
Абстрагирование как мыслительный процесс
Для наиболее либо наименее подробного обсуждения предмета арифметики нужно за ранее узнать генезис и индивидуальности ее важных начальных понятий, т.к. математика различается от остальных наук, до этого всего, применяемыми ею абстракциями. Стержневым вопросцем философских заморочек арифметики является отношение ее понятий к действительности, вопросец о беспристрастном содержании математического познания. Чтоб лучше осознать нрав этих отношений, нужно разглядеть главный вопросец – процесс образования математических абстракций.
Процесс абстрагирования есть значимый и нужный прием зания окружающей нас реальности. Если на чувственной ступени зания человек при помощи чувств показывает явления природы, то методом мышления (в обобщенной форме и опосредованно) он просачивается в суть этих явлений. Но было бы ошибкой считать, что тут происходит просто логическая переработка чувственных данных, что в мышлении нет ничего, чего же не было бы в чувствах.
процесс абстрагирования и вытекающий из него процесс анализа являет собой отвлечение от несущественных сторон изучаемого объекта, выделение и рассмотрение лишь существенных параметров. Цель абстрагирования – получение наиболее глубочайшего и «незапятнанного» познания о объекте, чем на чувственной ступени зания. Таковым образом, процесс абстрагирования заканчивается образованием начальных абстракций, но они являют собой нечто неконкретное и однобокое, потому для получения наиболее глубочайших и правильных познаний о изучаемом объекте, нужно учесть и вторую, чувственную ступень зания. нужно провести движение сейчас уже от общего к личному методом синтеза.
Методом созерцания может быть узнать только внешнюю сторону предмета, в то время как абстрагирование дозволяет узнать его суть. Это разъясняет то, почему современная математика часто способна поглубже и адекватнее обрисовать сложные процессы реальности, хотя по мере собственного развития ее понятия имеют меньше сходства с настоящими явлениями окружающего нас мира, утрачивают свою наглядность.
Таковы соответствующие черты и способности приема абстрагирования в его органическом единстве с способами восхождения от абстрактного к определенному, анализа и синтеза. Но в чем все-таки заключается своеобразие математических абстракций?
Специфичность математических абстракций
Как уже отмечалось, процесс абстрагирования в обыденных науках заключается в мысленном отвлечении от несуществующих сторон изучаемого предмета. Но в арифметике все оказывается наиболее сложным. Имеются ли такие начальные понятия, которые показывали бы реально имеющиеся характеристики и стороны предмета, явления, процесса? Подавляющее большая часть ученых дает на этот вопросец отрицательный ответ.
И вот почему. Возьмем, например, такую область арифметики, как геометрию. В вещественной реальности мы, строго говоря, не найдем квадрата, треугольника, прямой полосы и тому схожих объектов. По другому говоря, формирование этих объектов недозволено осознавать как итог выделения человеком каких-либо математических параметров в явлениях наружного мира. Они – итог творческого воображения, логического конструирования, идеализации.
Посреди ученых бытуют обратные взоры, а именно, утверждение о том, что математические характеристики и фигуры есть не что другое, как плод незапятанной фантазии, который ничего общего не имеет с беспристрастной реальностью. Голландский ученый А. Гейтинг писал, что математика «не выражает истин о наружном мире, а связана только с интеллектуальными построениями». Это утверждение ставит исследователя на неверные позиции доверчивого реализма, идеализма, априоризма и конвенционализма. А Энгельс писал: «Понятия и фигуры взяты не откуда-нибудь, а из реального мира. 10 пальцев, на которых люди научились считать, т.е. создавать первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, лишь не продукт вольного творчества разума». Позднее он дополнил свою идея: «мы доходим до товаров вольного творчества и воображения самого разума», т.е. до таковых понятий, связь которых с миром вокруг нас конкретно не просматривается.
Как исторически и логически происходил процесс образования начальных понятий натурального числа в математике и фигуры в геометрии?
Как демонстрируют исследователи старой культуры, в ранешний период развития общества люди не имели понятия числа, хотя типичный счет ими, естественно, осуществлялся: скажем, величину стада овец они выражали при помощи пальцев рук. Со временем количество объектов стали определять методом отождествления их совокупы с равночисленным обилием остальных предметов. к примеру, одна из гипотез о изготовлении циклопических статуй на полуострове Пасхи звучит так: аборигены вытесывали тела из сероватого камня и «парики» из красноватого в различных каньонах и, не умея считать, они были обязаны употреблять камни, сопоставляя их поначалу с телами, а позже с головами.
Как мы лицезреем, сначало человек не отделял количество вещей от их самих, используя так именуемые «именованные числа» — две руки, три пальца т т.п. Человек не абстрагировал понятие числа от понятия вещи. Этому он научился существенно позднее. человек начал воспользоваться рядом натуральных, порядковых и количественных чисел.
абстракция отождествления и понятие числа
Это был огромный скачок в совершенствовании представлений человека о мире, как писал Д. Гильберт. При всем этом в сложном процессе становления понятия натурального числа главное далековато не ограничивается областью арифметики, как писала С.А. Янковская. Значительно, что выявление тождества не только лишь не исключает, но, напротив, подразумевает различия меж сопоставляемыми объектами. Без единства этих противоположностей сопоставление как таковое теряет всякий смысл.
Эта абстракция использовалась Карлом Марксом в научной теории цены.
Итак, практические потребности в счете и измерениях, связанные с развитием публичного производства и совершенствованием экономики, явились предпосылкой такового революционного акта, как появление понятия натурального числа, что, в свою очередь, послужило исторически начальным пт предстоящего развития арифметики. А так как решающую роль сыграла абстракция отождествления, то логическое определение понятия числа осуществляется с неотклонимым ее внедрением.
По воззрению известного ученого Г.Фрёге, число есть не что другое, как общее свойство класса эквивалентных множеств – совокупностей предметов независимо от их высококачественной определенности и природы. Принципиально, что сравниваемые огромного количества владели изоморфизмом, когда любому члену 1-го соответствует единственный член другого.
вместе с внедрением абстракции отождествления, в период зарождения математического познания применялась операция сопоставления, которая допускает оценку в суждениях типа «больше», «меньше», «равно». В предстоящем огромную роль сыграла также операция косвенного измерения, когда фокус людского внимания сдвигался в сторону отношений меж числами, в каких отражались настоящие связи меж объектами, что свидетельствовало о возрастании активности познающего субъекта. Благодаря косвенному измерению появились три остальные простые арифметические операции – вычитание, умножение и деление. В.Вундт писал, что без косвенного измерения величин «никогда бы не развилось математическое мышление».
понятие фигуры
Способ соотнесенности, который выявляет идентичные черты в сравниваемых предметах, лежит в базе формирования понятия фигуры, так как при всем этом употребляется принцип подобия, выражающий важное общее свойство разных геометрических тел. понятие фигуры, в отличие от понятия числа, складывалось без его четкого прообраза в реальности, потому человек обязан был воспользоваться не только лишь абстракцией отождествления, да и приемом идеализации в чистом виде.
Суть данного приема заключается в образовании таковых абстракций, которые отражают не только лишь реально имеющиеся характеристики объекта, а, как писал Н.А. Шанин, существенно отклоняющиеся либо даже воображаемые. Как уже отмечалось, в природе не существует линий, точек, правильных треугольников, квадратов и остальных геометрических фигур. Но, тем не наименее, без этих начальных, начальных понятий в арифметике не обойтись. И ученые обязаны были логически конструировать такие объекты, имея только в некий мере схожую внешнюю форму предметов в окружающей нас реальности. Для примера лучше всего взять астрономию. Земля и остальные планетки Солнечной системы, включай само Солнце, человеку издавна представлялись в виде шара, но мы сейчас отлично знаем, что это не совершенно верные, а поточнее – совсем неправильные представления. Так, наша планетка вроде бы сплюснута в районе полюсов и потому является эллипсоидом вращения. Не считая того, на ней находятся выпуклости.
Начальные начальные понятия математики и геометрии не могут быть определены традиционным методом (т.е. подведены под наиболее обширное родовое понятие с указанием на видовое отличие), поэтому что не существует наиболее широких базовых категорий математического нрава. По данной для нас причине определения точки, прямой и остальных начальных понятий даны Евклидом на интуитивном уровне и при предстоящем подтверждении теорем практически не использовались. Геометрическая точка (по Евклиду) это то, что не имеет частей; у полосы нет толщины, она является следом передвигающейся точки; плоскость – итог движения прямой полосы и т.д. Вообщем, и существенно позднее почти все ученые обязаны были давать определение начальных математических понятий на интуитивном уровне.
количество и свойство в арифметике
Итак, объекты реальности представляют собой единство дискретного и непрерывного (недизъюнктивность). Если в натуральном числе фиксируется дискретность и в связи с сиим устойчивость наружной стороны явлений реальности, то в понятии фигуры – непрерывность и тоже устойчивость.
Броско, что натуральные числа и фигуры оказываются схожими с чувственными видами в том отношении, что в данных понятиях отображается наружная сторона предметов реальности. Конкретно это имел в виду развития в понятии числа отвлекались от высококачественных особенностей настоящих объектов, позднее – от определенных чисел и величин в итоге сотворения алгебры и введения буквенной символики. В конце концов, на современном шаге отвлекаются даже от определенного содержания зависимостей, так что, к примеру, обыденные арифметические деяния (сложение, вычитание, умножение и деление), осуществляемые с абстрактными объектами математических структур, стают уже в виде абстрактных операций.
Абстракции современной арифметики в значимой степени различаются от начальных понятий. Они выражают не только лишь количественную сторону настоящих действий беспристрастной реальности. В неприятном случае тяжело разъяснить изумительную, непостижимую «эффективность арифметики в естествознании», как писал Ю. Вигнер, т.е. тот факт, что ее сегодняшние модели часто обрисовывают достаточно хорошо сложные процессы вещественной реальности.
К слову, позиция приверженцев количественной концепции, т.е. тех, кто подразумевает, что математика изучит только количественную сторону действий реальности и убеждены в том, что определения количества (и свойства, соответственно) в арифметике должны быть отличны от философских, смотрится искусственной, неправомерной. понятие количества и свойства должны быть схожи для всех наук.
количество – это и наружное, и внутреннее, и различное в схожих по качеству объектах, и, вкупе с тем, схожее в разных по собственному качеству вещах. Это таковая определенность предметов, явлений, которая охарактеризовывает их величину, форму, интенсивность параметров, темпы развития и т.п.
Пробы в прошедшем отдать два понятия материи (философское и естественнонаучное) были признаны неверными.
Математика в некий мере обрисовывает и доброкачественную сторону явлений вещественной реальности (правда, отчасти, косвенно, опосредованно и своеобразно, при помощи особенного искусственного языка), тем наиболее, что существует неразрывная связь количества и свойства.
Уже начальные группы арифметики количественную сторону явлений реальности показывают дизъюнктивно и в этом смысле неадекватно, огрублено. В предстоящем употребляются понятия наиболее больших уровней общности (абстракции от абстракций), часто не имеющие никакого референта в внешнем мире (к примеру, хоть какой тройке реальных чисел соответствует точка в настоящем пространстве 3-х измерений, а для четверки, пятерки и т.п. чисел адекватны уже так именуемые многомерные, параметрические места). Тем не наименее, современная математика поточнее, полнее обрисовывает настоящие явления, чем ранее. Это происходит, разумеется, благодаря возможным способностям аксиоматического способа и возможностям развитой арифметики выражать в некий мере и доброкачественную сторону процесса реальности. При всем этом количество не сводится к величинам либо выражающим их числам, как это было до 2-ой половины XIX в.
Заключение
Рассматриваемые абстракции владеют специфичностью. Их соответствующей индивидуальностью является последующее: отвлечение начальных категорий от высококачественной стороны объектов реальности, наличие частей идеализации, значимая относительная самостоятельность этих понятий, ведущая к необходимости сотворения «безупречных частей», не имеющих прообраза в беспристрастном мире (к примеру, квадратный корень из -1), иерархия математических абстракций.
Принципиальное в методологическом отношении событие – начальные понятия фиксируют момент стойкости явлений мира вокруг нас, которые по сути представляют собой, как понятно, единство стойкости и изменяемости, так что любой объект есть и итог, и процесс, и то и не то, движущееся тело и находится в данном месте, и вкупе с тем его там нет. Если натуральное число можно разглядывать как инвариант класса эквивалентных множеств, то фигуру – как инвариант наружной формы схожих тел.
Итак, в начальных понятиях простой арифметики показываются или дискретность и устойчивость наружной количественной стороны явлений реальности, или (в случае понятия фигуры) непрерывность и снова-таки устойчивость наружной природы предметов вещественного мира.
И в заключение привожу определение арифметики исходя из убеждений рассматриваемой темы. Математика – типичный, формальный метод теоретического описания реальности, область познания, имеющая особенный статус в системе наук; с ее помощью можно, в принципе, обрисовать хоть какой процесс беспристрастной реальности. Для арифметики наиболее характерен способ, чем предмет, в качестве же собственных объектов она разглядывает пространственные формы и количественные дела реальности, поточнее, идеализированные объекты, начиная с натурального числа и фигуры и кончая типичными структурами.
Перечень литературы
Жуков «Специфичность математических абстракций», Минск, 1986.
Бурбаки Н. «Очерки по истории арифметики», Москва, изд. Наука, 1963.
Энциклопедия молодого математика
]]>