Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Вычисление матрицы в MS Excel
Матрицы
Операции с матрицами
Транспонирование
Вычисление определителя матрицы
Нахождение оборотной матрицы
Сложение и вычитание матриц
Умножение матрицы на число
Умножение матриц
Перечень литературы
2
4
4
6
7
9
10
11
14
средства MSExcel оказываются очень полезны в линейной алгебре, до этого всего для операций с сматрицами и решения систем линейных уравнений.
Матрицы
Значимая часть математических моделей разных объектов и действий записывается в довольно обычный и малогабаритной матричной форме. А именно, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними. Что все-таки такое матрица? Как производятся деяния с матрицами?
Матрицей размера
именуется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются строчными (большими) знаками латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, именуются элементами матрицы и обозначаются строчными знаками с двойной индексацией: aij
, где I – номер строчки, а j – номер столбца. к примеру, матрица А размером
быть может представлена в виде:
где i=1, …, m; j=1, …, n.
Две матрицы А и В 1-го размера именуются равными, если они совпадают поэлементно, другими словами aij
=bij
для всех i=1,2, …, m; j=1,2, …, n.
Матрица, состоящая из одной строчки, именуется матрицей (вектором)-строкой:
а из 1-го столбца – матрицей (вектором)-столбцом:
Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу именуют квадратной n-го порядка. к примеру, квадратная матрица 2-го порядка:
Если у элемента матрицы aij
номер столбца равен номеру строчки (i=j), то таковой элемент именуется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы
Квадратная матрица с равными нулю всеми недиагональными элементами именуется диагональной.
Квадратная матрица именуется единичной, если она диагональная, и все диагональные элементы равны единице. Единичная матрица имеет последующий вид:
Различают единичные матрицы первого, второго, третьего и т. д. порядков:
Матрица хоть какого размера именуется нулевой либо нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю:
Операции с матрицами
Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некие из операций являются специфичными.
Транспонирование
Транспонированной именуется матрица (АТ
), в какой столбцы начальной матрицы (А) заменяются строчками с надлежащими номерами.
В сокращённой записи, если А= (aij
), то АТ
= (aji
).
Для обозначения транспонированной матрицы время от времени употребляют знак «’» (A’). Транспонированием именуется операция перехода от начальной матрицы (А) к транспонированной (АТ
).
Из определения транспонированной матрицы следует, что если начальная матрица А имеет размер
то транспонированная матрицаАТ
имеет размер
.
Для воплощения транспонирования в Excel употребляется функция ТРАНСП, которая дозволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и напротив.
Функция имеет вид ТРАНСП (массив). тут массив – это транспонируемый массив либо спектр ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива состоит в том, что 1-ая строчка массива становится первым столбцом новейшего массива, 2-ая строчка массива становится вторым столбцом новейшего массива и т. д. Разглядим это на примере.
Пример 1.1
Представим, что спектр ячеек A1:E2 введена матрица размера 2×5
нужно получить транспонированную матрицу.
Решение.
1. Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопочке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). к примеру, A4:B8.
2. Нажмите на панели инструментов Обычная клавишу Вставка функции.
3. В показавшемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория изберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функции ТРАНСП (рис. 1.1). Опосля этого щелкните на кнопочке ОК.
Рис. 1.1.
Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций
4. Показавшееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от начальной матрицы A1:E2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопочке). Опосля что нажмите сочетание кнопок CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.2).
Рис. 1.2.
Пример наполнения диалогового окна ТРАНСП
5. Если транспонированная матрица не возникла в спектре A4:B8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.
В итоге в спектре A4:B8 покажется транспонированная матрица:
Вычисление определителя матрицы
Принципиальной чертой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на базе значений частей массива. Определитель матрицы А обозначается как |А| либо ∆.
Определителем матрицы первого порядка А = (а11
), либо определителем первого порядка, именуется элемент а11
.
∆1
= |А| = а11
Определителем матрицы второго порядка А = (aij
), либо определителем второго порядка, именуется число, которое рассчитывается по формуле:
Произведения а11
а22
и а12
а21
именуются членами определителя второго порядка.
С ростом порядка матрицы n резко наращивает число членов определителя (n!). к примеру, при n=4 имеем 24 слагаемых. Есть особые правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются характеристики определителей и т. п. При применении компа в использовании этих приемов нет необходимости.
В MSExcel для вычисления определителя квадратной матрицы употребляется функция МОПРЕД.
Функция имеет вид МОПРЕД(массив).
тут массив – это числовой массив, в каком хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При всем этом массив быть может задан как интервал ячеек, к примеру, А1:С3; либо как массив констант, к примеру, {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3×3), определитель рассчитывается последующим образом:
Разглядим пример нахождения определителя матрицы.
Пример 1.2.
Представим, что в спектр ячеек А1:С3 введена матрица:
нужно вычислить определитель данной для нас матрицы.
Решение
1. Табличный курсор поставьте в ячейку, в которую требуется получить
2. Нажмите на панели инструментов Обычная клавишу Вставка функции.
3. В показавшемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория изберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МОПРЕД. Опосля этого щелкните на кнопочке ОК.
4. Показавшееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте от начальной матрицы и введите спектр начальной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопочке) Нажмите клавишу ОК (рис. 1.3).
Рис. 1.3.
Пример наполнения диалогового окна МОПРЕД
В ячейке А4 покажется значение определителя – 6.
Нахождение оборотной матрицы
Для всякого числа а≠0 существует оборотное число а-1
, и для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Оборотные матрицы обычно употребляются для решения систем уравнений с несколькими неведомыми.
Матрица А-1
именуется оборотной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении данной для нас матрицы на данную как слева, так и справа выходит единичная матрица:
как надо из определения, оборотная матрица является квадратной такого же порядка, что и начальная матрица.
Нужным и достаточным условием существования оборотной матрицы является невырожденность начальной матрицы. Матрица именуется невырожденной либо неособенной, если её определитель отличен от нуля (|А|≠0); в неприятном случае (|А|=0) матрица именуется вырожденной либо особой.
Есть особые довольно сложные методы для ручного вычисления оборотных матриц. В качестве примера того, как рассчитывается оборотная матрица, разглядим квадратную матрицу второго порядка
Тогда оборотная матрица рассчитывается последующим образом:
В MSExcel для нахождения оборотной матрицы употребляется функция МОБР, которая вычисляет оборотную матрицу для матрицы, лежащей в таблице в виде массива.
Функция имеет вид МОБР(массив).
тут массив – это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив быть может задан как спектр ячеек, к примеру А1:С3; как массив констант, к примеру, {1;2;3;4;5;6;7;8;9} либо как имя спектра либо массива.
Разглядим пример нахождения оборотной матрицы.
Пример 1.3.
Пусть в спектр ячеек А1:С3 введена матрица
нужно получить оборотную матрицу.
Решение
1. Выделите блок ячеек под оборотную матрицу, к примеру блок ячеек А5:С7 (указателем мыши при нажатой левой кнопочке).
2. Нажмите на панели инструментов Обычная клавишу Вставка функции. В показавшемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория изберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МОБР. Опосля этого щелкните на кнопочке ОК.
3. Показавшееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте от начальной матрицы и введите спектр начальной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопочке).
4. Нажмите сочетание кнопок CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.4).
Рис. 1.4.
Пример наполнения диалогового окна МОБР
5. Если оборотная матрица не возникла в спектре А5:С7, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.
В итоге в спектре А5:С7 покажется оборотная матрица:
Сложение и вычитание матриц
Ложить (вычитать) можно матрицы 1-го размера. Суммой матриц А = (aij
) и В = (bij
) размера m×n именуется матрица C = A + B, элементы которой cij
= aij
+ bij
для i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n (другими словами матрица складывается поэлементно). к примеру, если:
то С = А + В:
В личном случае А + 0 = А.
Аналогично определяют разность 2-ух матриц С = А – В.
В MSExcel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть применены формулы, вводимые в надлежащие ячейки.
Пример 1.4.
Пусть матрица А из рассмотренного примера, введена в спектр А1:С2, а матрица В – в спектр А4:С5. нужно отыскать матрицу С, являющуюся их суммой.
Решение.
1. Табличный курсор установите в левый верхний угол результирующей матрицы, к примеру в А7.
2. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = А1 + А4
3. Скопируйте введённую формулу в другие ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку А7; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки так, чтоб указатель принял вид узкого крестика; при нажатой левой кнопочке мыши протяните указатель до ячейки С7; потом так же протяните указатель мыши до ячейки С8.
В итоге в ячейках А7:С8 покажется матрица, равная сумме начальных матриц. Схожим образом рассчитывается разность матриц, лишь в формуле для вычисления первого элемента заместо знака «+» ставят символ «-».
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число k именуется матрица В = kA, элементы которой bij
= kaij
для I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n. По другому говоря, при умножении матрицы на постоянную любой элемент данной для нас матрицы множится на эту постоянную: k*Aij
= (k*aij
).
к примеру, для матриц А и В из предшествующего примера:
А именно, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, другими словами 0 × А = 0.
В MSExcel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть применены формулы, вводимые в надлежащие ячейки.
Пример 1.5.
Пусть, как и в прошлом примере матрица А введена в спектр А1:С2. Нужно получить матрицу С = 3 × А.
Решение
1. Табличный курсор поставить в левый верхний угол результирующей матрицы, к примеру в Е1.
2. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = 3*А1.
3. Скопируйте введённую формулу в другие ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки так, чтоб указатель принял вид узкого крестика; при нажатой левой кнопочке мыши протяните указатель до ячейки G1; потом так же протяните указатель мыши до ячейки G2.
В итоге в ячейках E1:G2 покажется матрица, равная начальной матрице, умноженной на постоянную – 3.
Умножение матриц
Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк 2-ой.
Пусть А = (aij
) m×n, B = (bij
) n×p, тогда размерность произведения А×В равна m×p. При всем этом матрица С именуется произведением матриц А и В, если любой её элемент cij
равен сумме произведений частей i-й строчки матрицы А на надлежащие элементы j-го столбца матрицы В:
Таковым образом, перемножение матриц осуществляется по последующему правилу:
Пусть, к примеру,
Почти все характеристики, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц.
Для матриц верны общие характеристики операции умножения.
1. А(ВС) = (АВ)С – ассоциативность.
2. А(В+С) = АВ + АС – дистрибутивность.
3. (А + В)С + АС + ВС.
4. (αА)В = А(αВ) = α(АВ), α – константа.
Но имеются и специальные характеристики операций умножения матриц.
5. Умножение матриц некоммутативно – АВ ≠ ВА.
В личном случае коммутативным законом владеет произведение хоть какой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, при этом это произведение равно А.
6. Если Е – единичная матрица, то ЕА = А; ЕВ = В.
Таковым образом, единичная матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
7. Из того, что А × В = 0, не следует, что А = 0 либо В = 0.
В алгебре матриц нет деяния деления. Выражение А/В не имеет смысла. Его подменяют два разных выражения В-1
× А и А × В-1
, если существует В-1
.
Для квадратных матриц вероятна операция возведения в степень. По определении. считают, что А0
= Е и А1
= А. Целой положительной степенью Am
(m>1) квадратной матрицей А именуется произведение m матриц, равных А, другими словами:
Для нахождения произведения 2-ух матриц в Excel употребляется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц.
Функция имеет вид МУМНОЖ(массив1;массив2).
тут массив1 и массив2 – это перемножаемые массивы. При всем этом количество столбцов аргумента массив1 обязано быть таковым же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать лишь числа. Результатом является массив с таковым же числом строк, как массив1 и с таковым же числом столбцов, как массив2.
Массив С, который является произведением 2-ух массивов А и В, определяется последующим образом:
где I – номер строчки, а j – номер столбца.
Разглядим пример умножения матриц.
Пример 1.6.
Пусть матрица А из примера 1.2 введена в спектр А1:D3, а матрица В – в спектр А4:В7. нужно отыскать произведение этих матриц С.
Решение
1. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется отыскать размер матрицы-произведения. Её размером будет mp, в данном примере 32. к примеру, выделите блок ячеек F1:G3.
2. Нажмите на панели инструментов Обычная клавишу Вставка функции.
3. В показавшемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория изберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МУМНОЖ. Опосля этого щелкните на кнопочке ОК.
4. Показавшееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте от начальной матрицы и введите спектр начальной матрицы А — А1:D3 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопочке), а спектр матрицы В – А4:В7 введите в рабочее поле Массив2 (рис. 1.5). Нажмите сочетание кнопок CTRL+SHIFT+ENTER.
Рис. 1.5.
Пример наполнения рабочих полей диалогового окна МУМНОЖ
5. Если произведение матриц А×В не возникло в спектре F1:G3, то следует щёлкнуть указателем мыши в строке формул и ещё раз надавить комбинацию кнопок CTRL+SHIFT+ENTER.
В итоге в спектре F1:G3 покажется произведение матриц:
Перечень литературы:
1
.
www.office.microsoft.com
2. В. Я. Гельман «Решение математических задач средствами
Excel
», стр. 49-60
]]>