(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Доклад: Кто открыл множество Мандельброта?
Огромное количество названо в честь Бенуа Р.Мандельброта, математика из Исследовательского центра им.Томаса Уотсона компании IBM. Он стал известен в главном опосля того, как ввёл термин «фрактал» для описания объектов, структура которых неоднократно повторяется при переходе ко всё наиболее маленьким масштабам (примерами могут служить очертания береговых линий, снежинок, горных хребтов и веток дерева).
Мандельброт утверждал, что он и лишь он открыл это огромное количество, владеющее фрактальными качествами, около 10 лет вспять. О изображении огромного количества он гласил как о собственной «подписи».
Трое остальных математиков оспаривают его утверждение. Двое настаивают на том, что они открыли и обрисовали огромное количество примерно в то же самое время, что и Мандельброт. 3-ий же гласит, что его работа над обилием не только лишь предшествовала исследованиям Мандельброта, да и посодействовала крайнему в его исследовательских работах. Эти утверждения длительное время циркулировали в математических кругах, но только не так давно в первый раз возникли в печати.
У математиков изредка появляются споры относительно того, кто является первооткрывателем, но Мандельброт, который сам себя именует «чёрной овечкой», нередко вступает в конфликты со своими сотрудниками. «Если б не его личные свойства, — увидел Р.Л.Дивейни из Бостонского института, который, меж иным, восторгается исследовательскими работами Мандельброта, — то и не появилось бы никаких противоречий».
В данном случае «ставки» научного престижа довольно значительны. Даже те, кто похихикивает над широкой популярностью огромного количества, всё же признают его гласит он.
Привлекательность этого огромного количества частично заключается в простоте порождающего его уравнения: z2
+c. тут z и c — всеохватывающие числа, состоящие из надуманного числа (сомножителем которого является корень квадратный из –1) в сочетании с реальным числом. Поначалу величине c присваивается фиксированное молвят, итерируется, и всякий раз его итог присваивается переменной z. Некие значения c, подставляемые в эту итерационную формулу, дают результаты, стремительно нарастающие до бесконечности. При остальных же значениях c результаты всё время скачут в определённых границах. Эта крайняя группа значений c, либо всеохватывающих чисел, и составляет огромное количество Мандельброта.
Нанесённые на плоскость, которую образуют все всеохватывающие числа, точки, принадлежащие огромному количеству, образуют кластер типичного очертания. Издалече объект как как будто не представляет собой ничего особого, его ассоциируют с изображением сердца, на котором образовались неоплазия, с жуком, зажаренным цыплёнком, неловкой восьмёркой, лежащей на боку.
При наиболее близком рассмотрении можно найти, что границы огромного количества не образуют чётких линий. Они несколько размыты и слегка «мелькают». При всё бóльших и бóльших повышениях видно, как границы погружаются в нескончаемую фантасмагорию причудливых орнаментов. Некие формы, а именно серцевидные, всё время повторяются, но каждый раз с чуть видными вариантами.
на данный момент фактически любой, кто владеет индивидуальным компом, может сам «открыть» огромное количество (см. статью в рубрике «Занятный комп» в журнальчике «В мире науки», №10 за 1985г.). Но 11 лет вспять компы были существенно наименее сильными, и немногие арифметики ложили на их надежду как на средство, способное посодействовать в решении сложных научных задач.
Даже сам Мандельброт в 1979г. охарактеризовал свои 1-ые пробные шаги по исследованию огромного количества как «глупую забаву». Он начал воспользоваться компом, чтоб получать изображения множеств Жюлиа, которые рассчитываются путём подстановки всеохватывающего числа в итерационные функции. Необыкновенные характеристики этих множеств были описаны ещё в 1906г. французским математиком Пьером Фату. Огромного количества были позднее названы в честь Гастона Жюлиа, который обосновал, спустя десятилетие, что его исследования множеств имели наиболее принципиальное научное лет вспять в Польше, читал работы обоих учёных, а позже обучался у Жюлиа в 40-х годах.
Уже 1-ые компьютерные изображения подтвердили подозрения Мандельброта, что огромного количества Жюлиа владеют фрактальными качествами. По его словам, он начал получать изображения огромного количества (позднее нареченные его именованием), которые в определённом смысле являются обобщением всех множеств Жюлиа, в конце 1979г. Потом Мандельброт опубликовал изображения огромного количества и подчёркивал его работы в области фракталов обширно освещались в прессе, в бессчетных книжках (а именно, в бестселлере «Хаос», который был написан бывшим репортером «Нью-Йорк таймс» Дж.Глейком), также в маркетинговых изданиях компании IBM.
Никто не опровергает, что изображения и описания Мандельброта стимулировали Энтузиазм остальных математиков к огромному количеству. В качестве 2-ух ярчайших примеров можно привести Дж.Хаббарда из Корнеллского института и Э.Дуади из Парижского института. Сначала 80-х годов доказывая, что крохотные «островки», окружающие тело огромного количества, соединены с ним нескончаемо тонкими отростками, они окрестили его обилием Мандельброта. «Мандельброт был первым, кто получил изображение огромного количества на мониторе компа и обрисовал его в литературе», — писал не так издавна Дуади.
Но сейчас, по словам Дуади, остальные арифметики стали считать, что Мандельброт присвоил для себя очень огромные награды в том, что было изготовлено иными, а конкретно в исследовательских работах, посвящённых этому огромному количеству и связанных с ним областям теории хаоса. «Он обожал цитировать самого себя, — гласил Дуади, — и весьма без охоты цитирует остальных, ещё не погибших исследователей».
Прошлой в осеннюю пору С.Кранц из Вашингтонского института затронул данную тему в статье, размещенной в журнальчике «Mathematical Intelligencer». Основной его вывод заключался в том, что фракталы, графика, генерируемая компом, и остальные «пользующиеся популярностью» математические явления, связанные с обилием Мандельброта, не занесли сколько-нибудь существенного вклада в арифметику, в особенности на фоне завоёванной ими популярности.
Это Мировоззрение — вообщем, как и обратное, согласно которому «обширно известные» исследования Мандельброта послужили стимулом для предстоящего прогресса в арифметике, — высказывались и ранее. Но Кранц привнёс в эти дебаты новейший нюанс, утверждая, что огромное количество Мандельброта не было открыто Мандельбротом и упоминалось очевидно в литературе ещё за два года до того, как родился термин «огромное количество Мандельброта». И он именовал работу Р.Брукса и Дж.Мателски, размещенную в докладах конференции, состоявшейся в 1978г. в Стоун-Бруке (шт. Нью-Йорк).
И вправду, статья содержит известную формулу z2
+c и не совершенно чёткую, но всё же безошибочную компьютерную распечатку основного изображения огромного количества Мандельброта. Брукс и Мателски молвят, что в реальности они не представили эту работу на конференцию 1978г., но распространили её в качестве препринта сначала 1979г. Брукс, работающий на данный момент в Калифорнийском институте в Лос-Анджелесе, представил статью также в Гарвардском институте в весеннюю пору такого же года (Мандельброт, в то время посетивший Гарвард, гласит, что не слышал доклада Брукса и в первый раз узрел статью только спустя пару лет.) Но статья так и не была размещена до начала 1981г.
Огромное количество Мандельброта может порождаться разными методами и принимать разные формы. Изображение, опубликованное Р.Бруксом и Дж.Мателски в 1981г. (слева) было получено по обычной формуле z2
+c. Статья, написанная Мандельбротом в 1980г., содержит изображение, приобретенное при помощи несколько отличающейся функции (в центре). Дж.Хаббард несколькими годами позднее установил, что при помощи итерационного процесса, именуемого способом Ньютона, можно также получить отчётливое изображение огромного количества Мандельброта (справа).
Опровергая статью Кранца, озаглавленную «Некие «факты», испаряющиеся при внимательном рассмотрении», Мандельброт отметил, что он «довольно много опубликовал» информацию о огромном количестве Мандельброта до того, как это сделал Брукс и Мателски. (В статье Мандельброта, размещенной 26декабря 1980г. в сборнике «Annals of the New York Academy of Sciences», представлены функция и изображение, являющиеся одной из разновидностей того огромного количества Мандельброта, которое он в первый раз обрисовал в печати в 1982г.)
Мандельброт гласил также, что даже если публикация Брукса и Мателски предшествовала его публикациям, то их всё же недозволено считать первооткрывателями огромного количества, так как они не сообразили его настоящего значения. «Они были весьма близки к тому, что позднее окажется принципиальным, но не задумались над приобретенным изображением».
В последующем номере журнальчика «Intelligencer» Брукс дал ответ: «Я не понимаю, как он может так уверенно судить, о чём мы думали и о чём не думали». Брукс заявил, что относится с почтением к деятель Мандельброта в качестве популяризатора и не возражает, чтоб огромное количество носило его имя. «Наверняка, это будет лучше, чем именовать его «большенный кардиоидой», — произнес он, памятуя, как он и Мателски сначало окрестили огромное количество. — Просто хотелось бы , чтоб Мандельброт вёл себя повежливее».
Мателски из Хартфордского центра по подготовке аспирантов в Коннектикуте отмечает, что ни он, ни Брукс не просили Кранца защищать их права на открытие огромного количества Мандельброта. (Кранц подтвердил, что его внимание к их статье привлёк иной математик.) Но сейчас, когда этот вопросец стал достоянием общественности, Мателски настаивает, чтоб его и Брукса признали соавторами открытия вместе с Мандельбротом.
«Совершенно не непременно на сто процентов освоить все минеральные ресурсы материка, чтоб быть его первооткрывателем». Это выражение Мателски было приведено в газете «Hartford Courant», опубликовавшей в декабре прошедшего года статью, посвящённую этому спорному вопросцу. «Довольно опуститься на колени и поцеловать сберегал».
несколько другое утверждение о авторском приоритете было изготовлено Хаббардом, который в истинное время считается одним из ведущих в мире профессионалов по огромному количеству Мандельброта. По его словам, в 1976г. он начал воспользоваться компом для получения карты множеств всеохватывающих чисел, генерируемых в процессе итерационных действий, узнаваемых как способ Ньютона. Хаббард гласит, что хотя в то время и не понимал этого, ему удалось отыскать иной метод порождения огромного количества Мандельброта.
В конце 1978г. один из студентов-дипломников Хаббарда, Ф.Кочмен, подошёл на конференции к Мандельброту и показал ему изображения Хаббарда. Мандельброт, «чудилось бы, не показал к ним огромного энтузиазма», вспоминает Кочмен. Но скоро опосля этого Мандельброт написал письмо Хаббарду, пригласив его к для себя в IBM, чтоб обсудить его исследования. В письме, которое Хаббард сохранил, Мандельброт писал: «Читая работы Фату и Жюлиа, я подумывал о том, чтоб заняться сиим самому, но так и не собрался с духом. Тем не наименее я могу сказать, что весьма длительно ожидал этих изображений…»
Хаббард утверждал, что он сначала 1979г. поехал в IBM и там сказал Мандельброту, как можно составить компьютерную программку для отображения результатов итерационного процесса. Хаббард признаёт, что не понимал полностью значения собственного изображения и что оно демонстрировало только отдельные участки огромного количества Мандельброта. Он также не опровергает, что Мандельброт нашёл наиболее действенный метод порождения изображений. Тем не наименее Хаббард заявил, что его «не перестаёт возмущать» тот факт, что Мандельброт не упомянул о нём ни в собственной статье в 1980г., ни в наиболее поздних публикациях. «Это было нарушением математической этики», — гласит он.
Мандельброт вспоминает, что в один прекрасный момент лицезрел «достаточно преждевременное изображение огромного количества Жюлиа», принадлежавшее Хаббарду, но опровергает, что это содействовало его собственному открытию. В ответ на обвинения Хаббарда и Дуади, что он без охоты признаёт награды остальных, Мандельброт отвечает, что в то же время его винили и в очень нередком цитировании. Наиболее того, он гласил, что придание большей известности работе Брукса и Мателски могло бы только привести к «издевкам» по поводу того, что «они так ничего и не смогли создать со своими плодами».
Ну как следует отнестись к предложению Хаббарда, Мателски и Брукса считать реальным первооткрывателем огромного количества Фату, который в первый раз обусловил огромное количество Мандельброта и заинтересовался его качествами? Брукс гласит даже, что «если б Фату имел доступ к современной вычислительной технике, он непременно получил бы по существу те же изображения, которые были получены Мателски, Мандельбротом и мной». Мандельброт именует это бесплодными измышлениями и настаивает на том, что определение огромного количества Мандельброта, изготовленное Фату, не является его открытием. «{Само по себе} определение ещё ничего не значит, — гласит он. — Вы должны сказать, почему это принципиально».
Остальные арифметики, понимающие о этих спорах, слегка надоумевают: «Лично мне весь этот шум кажется странноватым», — гласит Дж.Милнор из Принстонского института. Он утверждает, что ни Брукс, ни Мателски, ни Мандельброт не сделали ничего, что имело бы принципиальное значение в арифметике. «Хаббард и Дуади были первыми, кто вправду получил некие достойные внимания результаты, — заявил он, — и они первыми поведали нам кое-что существенное о этом огромном количестве».
Споры о приоритете, по воззрению Милнора, может быть объясняются столкновением разных математических традиций. «В незапятанной арифметике, — разъясняет он, — существует Традиция предоставлять остальным хвалить ваши работы». Мандельброт же, отмечает он, работает в сфере прикладной арифметики.
«Прогресс в арифметике не достигается в одиночку, — отмечает У.Тёрстон из Принстонского института, — достаточно нередко теории не именуются в честь первого человека, открывшего их. Так было и с обилием Мандельброта». Тем не наименее, с его точки зрения, никто бы не стал возражать против признания достижений Мандельброта, если б он, в свою очередь, несколько больше уважал награды остальных. «Ему следовало бы проявить чуть-чуть больше щедрости», — считает Тёрстон.
Салливен, также узнаваемый своими исследовательскими работами огромного количества Мандельброта, именует себя «заступником Мандельброта». Мандельброт заслуживает того, чтоб огромное количество было названо его именованием, утверждает Салливен, поэтому что благодаря его усилиям оно завлекло внимание как любителей, так и проф математиков.
Тот факт, что «по чистому совпадению» огромное количество позднее оказалось математически принципиальным объектом, гласит Салливен, ни в коей мере не преуменьшает награды Мандельброта. «Это одна из восхитительных особенностей арифметики, — добавляет он. — Даже любители время от времени заносят принципиальный вклад в её развитие».
Так кто же всё-таки открыл огромное количество Мандельброта? Салливен гласит, что это глупый вопросец. Может быть, он прав. Ш.Акслер, редактор журнальчика «Intelligencer», планирует опубликовать письмо, из содержания которого следует, что венгерский математик Ф.Рисс опубликовал работу, имеющую отношение к огромному количеству Мандельброта, в 1952г.
Окончательный ответ, похоже, подобно фракталу, пропадает в нескончаемых замудренных узорах.
]]>