Учебная работа. Доклад: Линеаризация без метода наименьших квадратов

Учебная работа. Доклад: Линеаризация без метода наименьших квадратов

способ меньших квадратов так крепко вошел в жизнь экспериментатора, что другие способы линеаризации практически не рассматриваются. Непременно, если существует задачка нахождения одной результирующей прямой, то находить подмену классическому способу меньших квадратов не правильно. Решение наиболее сложной задачки просит доп шагов по усовершенствованию процесса расчетов. Приведем пример. Понятно, что массив экспериментальных результатов может не принадлежать одной прямой. Наиболее того, различные области массива могут принадлежать различным прямым. В этом случае использовать способ меньших квадратов в классическом виде недозволено, потому что его нужно соединять с процедурой исключения точек, не принадлежащих разыскиваемой прямой, что значительно усложняет расчеты.

Цель быть может достигнута наиболее обычным способом! Разглядим один из таковых обычных способов.

В базе способа лежит далековато не свежайшая мысль о вычислении характеристик прямой меж всеми вероятными парами экспериментальных точек. (Следует направить внимание на то, что характеристики рассчитываются не только лишь меж примыкающими точками!) Выбирается, к примеру, какая-либо точка, и рассчитываются характеристики прямых, которые можно провести меж данной для нас точкой и всеми остальными. Потом выбирается последующая точка и с ней проделывается та же операция. В итоге выходит массив данных о параметрах прямых размером в n(n-1)/2 частей, где n — число обрабатываемых экспериментальных точек. Если читатель задумывается, что создатель статьи на данный момент предложит просто усреднить приобретенные результаты, обнаружив их среднее арифметическое, то он глубоко ошибается! Вычисление среднего арифметического ничего новейшего не заносит в математическую обработку, потому что подразумевает, что все экспериментальные точки лежат на одной прямой. До этого чем продолжить изложение материала, договоримся о том, что массивы отысканных характеристик прямых A и B следует конвертировать в один. Вновь образованный массив организуется умножением 1-го параметра прямой на иной, т.е. A*B. Необходимость этого шага будет ясна в предстоящем.

Над новеньким массивом проведем 2 последующие операции. Во-1-х, проведем сортировку массива по возрастанию значений частей массива. Во-2-х, опосля сортировки вычислим разности меж каждыми 2-мя примыкающими элементами массива. Опосля этого следует разглядеть функцию конфигурации разностей от абсолютного значения A*B. График данной для нас функции F(A*B) будет иметь один либо несколько ярко выраженных минимумов. Число этих экстремумов будет соответствовать числу прямых, которые можно провести через экспериментальные точки. к примеру, рис. а) свидетельствует о том, что массив данных допускает линеаризацию одной прямой. Среднее положение минимума функции F(A*B) относительно интервала рассматриваемых значений A*B свидетельствует о том, что периодических отклонений от прямой полосы фактически не существует. Набросок б) гласит о том, что часть точек имеет систематическое отклонение от линейной закономерности, потому что минимум функции сдвинут от середины отрезка значений A*B. На рисунке в) рассмотрен вариант, когда экспериментальные данные линеаризуются 2-мя прямым.

Опосля того, как анализ функции проведен, наступает последующий принципиальный шаг расчетов — определение характеристик линеаризующих прямых. Есть 2 метода. 1-ый метод заключается в том, что во время проведения сортировки и вычисления разностей запоминаются значения A и B. Из этого следует, что любому значению вычисленных разностей соответствуют значения A и B. Тогда, зная значение A*B в минимуме нашей функции (см. рис. а)), можно отыскать значения A и B. Но в выборе точек минимума следует быть усмотрительным, потому что меньшее несколько значений в округи минимума. Развивая тему о случайности неких значений функции F(A*B), нужно отдавать для себя отчет в том, что на фоне минимума организованного большенными группами точек, неминуемы экстремумы из малых групп, которые образованы случайными совпадениями. Для того чтоб их было меньше, создатель и предложил ранее анализ массива из значений A*B, потому что операции лишь со значениями A и B приводят к существенному повышению числа случайных экстремумов.

2-ой метод похож на 1-ый, но заместо запоминания всех характеристик A и B, запоминаются лишь порядковые номера точек. Таковым образом, опосля выделения округи функции F(A*B), делается выделение групп «благонадежных» точек. Их линеаризация дозволяет отыскать разыскиваемые значения A и B. 2-ой метод наиболее выгоден для целей сотворения компьютерных программ, потому что оперативная память экономится эффективнее.

Подведем итоги.

Во-1-х, новейший способ дозволяет не только лишь вычислять характеристики прямой, да и рассматривать экспериментальные результаты на принадлежность нескольким прямым, что для экспериментатора тоже принципиально. Во-2-х, вероятна обработка результатов, которые не могут быть линеаризованы из-за непознаваемого нрава аппроксимирующей функции, к примеру, Y=B*lg(1+A*X). В этом случае еще легче вычислять характеристики по 2-м точкам, чем заниматься выводом личных формул способом меньших квадратов, вычисление по которым необходимо проводить лишь способами вычислительной арифметики.

]]>