Учебная работа. Курсовая работа: Программирование математических объектов

(Пока оценок нет)

Загрузка...

Учебная работа. Курсовая работа: Программирование математических объектов

СОДЕРЖАНИЕ

ВСТУПЛЕНИЕ

1. Математические объекты

1.1 Группы

1.2 Графы

2. Справка по работе с программкой

2.1 Предназначение программного продукта

2.2 Обучение работе с программным продуктом

2.3 Ограничения внедрения 10

3. Нереализованные способности

4. Основная форма

5. Способы сотворения программки

5.1 Матричные преобразования

5.2 Создание одноцветного треугольника

6. программка

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВСТУПЛЕНИЕ

Любой вещественный объект, имеющий форму, является большим, как следует, его положение в пространстве можно задать при помощи трёх координат X, Y, Z. Итог хоть какого вещественного производства, дома, авто, станки, можно представить как 3-х мерную модель и показать эту модель на мониторе компа при помощи соответственной программки.

Нет необходимости создавать раздельно программку для сотворения моделей раздельно домов, раздельно станков и их устройств, раздельно для каров и т. д. Еще разумней сделать одну программку, которая может учесть специфику хоть какой отрасли и создавать, фактически любые 3-х мерные модели.

Программирование уже издавна не стало быть уделом энтузиастов. Современный программер — не писатель либо ученый, а квалифицированный рабочий. Прошли те времена, когда, удавалось «удовлетворять свой Энтузиазм за счет страны«: месяцами изучить начальный код какой-либо совсем никчемной в практическом плане утилиты, забираться в недра начальных текстов оригинально изготовленных компонент.

естественно, маленькому проценту разрабов по долгу службы необходимы глубочайшие специальные познания, но от подавляющего большинства программистов сейчас требуется, до этого всего, умение писать программки очень стремительно и без ошибок. К примеру программка, представленная в этом проекте просит малое количество интеллектуальных издержек и времени юзера либо программера высочайшего уровня для заслуги результата. Программер высочайшего уровня — это программер, составляющий свои программки на базе разработок остальных программистов. Под разработками остальных программистов будем осознавать разработанные ими средства программирования: (язык программирования, функции, процедуры, утилиты, библиотеки, модули, составляющие, драйвера и т. д.

1. Математические объекты

1.1 Группы

Группа — оперативное огромное количество, в каком действует процедура умножения и которое подчинено последующим условиям:

1) замкнутости: для каждой пары g1g2=g3, при этом g3 должен принадлежать группе G: g1g2 ÎG; g1g2 = g3 ÎG;

2) наличия тождественного элемента e: посреди огромного количества частей группы G справедливы равенство eg = g; ge = g; e,gÎG;

3) наличие оборотных частей: для всякого g из G должен отыскаться единственный ему оборотный элемент g, принадлежащий G, при умножении на который вышел тождественный элемент e. e = q×q; e,g,gÎG;

4) ассоциативности: для всех трёх частей g1, g2, g3 из G справедливо равенство: g1(g2g3) = (g1g2)g3. Условия ассоциативности производится для квадратных матриц.

Линейное преобразование A вектора x в вектор c осуществляется при помощи квадратной матрицы y = Ax.

Если есть прямое преобразование, то обязано быть и оборотное, при условии, что A имеет A. y = Ax;

x = Tx ;y = Tx ; Как следует Ty = ATx; Умножим с лева на T , получим y = TATx;

Отсюда следует формула прямого преобразования подобия.

Формулу оборотного преобразования подобия можно получить, умножив на T с права:

Если Ax = lx; то ненулевой вектор x является своим вектором. Для нахождения собственных векторов употребляют формулу

где E — единичная матрица.

Корешки многочлена P(l) = det(A — lE) = 0 подставляют в формулу
и получают собственные векторы x.

Группы, лишившись собственной предметной области, не нужны в истинное время. Хотя ранее, приблизительно 40 лет вспять, теория групп была всераспространена из-за того, что группы тесновато увязывалась с базовыми областями естествознания — физикой простых частиц, квантовой механикой, физикой твёрдого тела и кристаллографией.

В данной программке все объёмные фигуры состоят из треугольных граней, любая из которых содержит три верхушки. Задав положение объёмного тела в пространстве, мы задаём положение всех вершин. Любая верхушка представляется как вектор.

Чтоб конвертировать объект,(повернуть, удалить, приблизить, сжать, растянуть и т. п.) нужно любой вектор каждой грани объекта помножить на матрицу преобразования, к примеру на матрицу поворота вокруг оси Y.

Ах так эта матрица будет смотреться:

1.2 Графы

Хоть какое объемное тело, как уже было сказано выше, можно выстроить при помощи треугольных граней, любая из которых имеет хотя бы одну общую верхушку с примыкающей гранью. Схематично каждую грань можно изобразить как совокупа вершин, соединенную контурными линиями. Контурные полосы — это полосы описывающие контур. Контур — это замкнутый путь. Таковым образом, грань, содержащая верхушки упорядоченно соединённые рёбрами представляет собой направленный граф либо Орграф.

Граф G
как математический объект – это совокупа 2-ух множеств: непустого огромного количества вершин V
и огромного количества ребер E
, элементы которого представляет собой неупорядоченные (для нацеленного графа – упорядоченные) пары частей из огромного количества V
.

G (V,E) = áV; Eñ, n(V) > 0, E Ì V ´ V,

где для неориентированного графа E
=
E
–1

(бинарное отношение E
симметрично).

Малый граф состоит из одной верхушки.

Любому неориентированному графу можно поставить в соответствие направленный граф, в каком каждое ребро заменено 2-мя обратно нацеленными ребрами, инцидентными этим же верхушкам.

Пусть v
1

и v
2

– верхушки, e
1

= (v
1

, v
2

) – соединяющее их ребро.

Тогда верхушка v
1

и ребро e
1

инцидентны, верхушка v
2

и ребро e
1

также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной верхушке, именуются смежными; две верхушки, инцидентные одному ребру, также именуются смежными.

Обычно граф изображают на плоскости в виде диаграммы: верхушки – точками, ребра – линиями, соединяющими инцидентные верхушки.

Огромное количество вершин и огромное количество рёбер для конечных графов задаются, как правило, перечислением. Может быть задание графа описанием дела инцидентности.

1 Отношение инцидентности задано матрицей смежности:

– столбцы и строчки матрицы – верхушки графа;

– для смежных вершин элемент матрицы равен1, для других – 0;

– для неориентированного графа эта матрица постоянно симметрична;

– число рёбер равно числу единиц выше либо ниже главной диагонали матрицы ( включая элементы на диагонали).

2 Отношение инцидентности задано матрицей инцидентности:

– столбцы матрицы соответствуют верхушкам графа, а строчки – рёбрам;

– если ребро ei

инцидентно верхушке vj

, то элемент матрицы eij
=1, в неприятном случае – eij
= 0.

Таковым образом, в каждой строке одна либо две единицы, другие нули (для петли две единицы).

Для нацеленного графа при заполнении матрицы:

eij
= –1,если vj

– начало ребра;

eij
=1,если vj

–конец ребра;

eij
= a (где a – хоть какое число, не считая –1,1,0),если ребро – петля в верхушке vj

;

в других вариантах eij
= 0.

3 Граф задан перечнем ребер.

vi,
vj

1
a, b

2
b, d

…

Примечание. тут ei

–ребро, vi

,

vj

– пара вершин, соединяемых сиим ребром.

Граф связан, если неважно какая пара его вершин связана ребром.

Граф без кратных ребер именуют полным, если любая пара вершин соединена ребром.

Граф H
именуют частью графа G
, если огромное количество вершин графа H
принадлежит огромному количеству вершин графа G
и огромное количество рёбер графа H
принадлежит огромному количеству рёбер графа G
, т.е.:

V(H) ÌV(G); E(H) ÌE(G).

часть графа H
именуется суграфом, если она содержит все верхушки графа G
.

Суграф H
для неориентированного графа G
именуется покрывающим суграфом, если неважно какая верхушка крайнего инцидентна хотя бы одному ребру из H
.

Подграф G
(
U
)
графа G
на огромном количестве вершин U
(
U
Ì
V
)
– это часть графа, которой принадлежат все ребра с обоими концами из U
.

Звёздный граф для верхушки v
(
v
Î
G
)
состоит из всех рёбер с началом и концом в верхушке v
. Огромное количество вершин звёздного графа состоит из верхушки v
и остальных смежных с ней вершин.

Маршрутом в единичном связном графе G
именуется таковая конечная последовательность ребер (e
1,

e
2….

en

), в какой любые два примыкающих ребра имеют общую инцидентную верхушку.

Верхушка v
о

, инцидентная ребру e
1

и не инцидентная ребру e
2

, именуется началом маршрута в графе G
.

Верхушка vn

, инцидентная ребру en

и не инцидентная ребру en

-1

, именуется концом маршрута.

Число ребер маршрута именуется его длиной.

Если верхушки v
о

и vn

совпадают, то маршрут именуется повторяющимся (либо просто циклом).

Отрезок конечного либо нескончаемого маршрута сам является маршрутом.

Маршрут в графе G
именуется цепью
, если все ребра в последовательности различны, и обычной цепью
, если все верхушки, через которые проходит маршрут (а означает и ребра) различны.

Иными словами, в цепи ребро может повстречаться не наиболее 1-го раза, а в обычной цепи верхушка – не наиболее 1-го раза.

Молвят, что две верхушки в графе соединены, если существует соединяющая их цепь. Граф, в каком все верхушки соединены, именуется связным
.

Расстоянием
меж 2-мя верхушками графа именуется малая длина обычной цепи, связывающей эти верхушки (обозначение d(v¢,v²)).

Протяженностью
меж 2-мя верхушками графа именуется наибольшая длина обычной цепи, связывающей эти верхушки (обозначение g(v¢,v²)).

В личном случае расстояние и протяженность меж верхушками могут быть схожими.

2. Справка по работе с программкой

2.1 Предназначение программного продукта

Данный программный продукт предназначен для построения всех больших фигур с следующей их демонстрацией на дисплее монитора. Необходимо подчеркнуть, что фигуры могут быть как выпуклыми, так и вогнутыми, но непременно не обязано нарушаться условие целостности. Это означает, что ни одна часть объекта не обязана существовать раздельно, а обязана быть хоть каким-либо своим элементом присоедененной к объекту. Другими словами два огромного количества: вершин и рёбер, которые получаются, если пройти по контуру, от первой верхушки к крайней, представляют собой, согласно определению, направленный граф и имеют маршрут. Сделанный объект можно сохранить на диске, также загрузить с него, чтоб поглядеть либо отредактировать итог работы. Для построения трехмерных объектов можно применять некие доступные примитивы, а конкретно грань и куб. Любая грань, в создаваемом объекте, имеет собственный цвет, избираемый программкой случайным образом.

2.2 Обучение работе с программным продукт
ом

Опосля загрузки приложения покажется окно опции, в каком нужно установить разрешение цвета, которое непременно обязано совпадать с разрешением цвета текущего графического режима, к примеру 16 бит (рис. 1).

В неприятном случае на форме будет наблюдаться некоторое аномальное графическое изображение, которое будет некорректно отражать итог работы, что, делает всякую работу неосуществимой. Дальше необходимо установить разрешение текущего графического режима в пикселях. Это необходимо для полноэкранного режима просмотра. Опосля установления графического режима покажется рабочее окно, разделённое на четыре части — четверти. Любая четверть является плоскостью проекций, размещение которых соответствует принципам начертательной геометрии: верхняя левая — передная, правая верхняя — вертикальная, нижняя левая — горизонтальная. Нижняя — правая четверть не является плоскостью проекций, по этому там отрисовывать недозволено. Точки задаются нажатиями левой клавиши мыши. Если точек больше одной, то они соединяются линией, если точек три, то они образуют треугольник, где любая точка является верхушкой.

Набросок 1

Набросок 2

Опосля того, как объект спроецирован на плоскости проекций необходимо надавить клавишу «Просмотр», находящуюся на форме (рис. 2), чтоб поглядеть на большой объект в перспективе, и получить возможность сохранить документ. Если объект сотворен, но небыла нажата кнопка «Просмотр», то опосля выбора функции «Сохранить как» информация не будет сохранена. Опосля нажатия клавиши «Просмотр» покажется однотонное окно чёрного цвета в каком будет находиться трёхмерный объект, на который можно поглядеть со всех сторон, вращая вокруг осей X,Y,Z нажатиями соответственных кнопок «X», «Y», «Z», при этом не имеет значения большая кнопка либо нет. Просмотрев итог сотворения объекта, можно его достроить, нажав на форме клавишу «Добавить». Опосля нажатия данной нам клавиши опять покажется окно с 3-мя плоскостями проекций, в каком будут находиться проекции объекта и к которым можно добавить новейшие проекции. Следует увидеть, что вращение трёхмерного объекта в перспективе практически не приводит к изменению его положения в пространстве. Другими словами если опосля вращения объекта перейти к плоскостям проекций, картина не поменяется, и опосля перехода назад к перспективе объект будет находиться в начальном положении: его положение в перспективе будет соответствовать его проекциям на плоскостях проекций.

Добавление примитива: «Куб», осуществляется путём чертежа полосы на одной из плоскости проекций, причём, если на уровне мыслей представить проекции данной нам полосы на абсциссу и ординату, то стороной куба будет наименьшая из проекций.

Если опосля сотворения 1-го трёхмерного объекта загрузить иной объект с диска, то 1-ый объект уничтожится, а на его месте покажется 2-ой, который загружен с диска. Это разъясняется тем, что загруженный объект не добавляется к уже имеющемуся, зато можно напротив, как уже было описано выше, к загруженному объекту добавить примитивы (грани, кубы).

В программном продукте действительны такие многофункциональные клавиши:

Esc — выход из программки в операционную систему;

F1 — справка о программном продукте;

F9 — режим просмотра ;

X — вращение объекта вокруг оси X;

Y — вращение объекта вокруг оси Y;

Z — вращение объекта вокруг оси Z;

В программном продукте есть такие пункты меню «файл«, «Вид», «Помощь».

В пт меню «файл«, содержатся функции для работы с файлами. Выбрав опцию «Сделать», создаётся новенькая форма для сотворения объекта. Если поменять длину либо ширину формы и избрать опцию «Сделать», то рабочее окно воспримет размеры, надлежащие новеньким размерам формы. Причём длина и ширина будут в любом случае схожи.

При помощи функции «Открыть» можно открыть, файл, содержащий трёхмерный объект. Функция «Сохранить как» нужна для того, чтоб записать трёхмерный объект в файл.

Для загрузки и сохранения файлов в данном программном продукте, нужно и довольно указать имя файла без разширения, либо с разширением, состоящим из всех непременно трёх знаков.

Функция «Выход» создана для выхода из программки в операционную систему.

В пт меню «Вид» можно задать полноэкранный режим формы. Пункт меню «Помощь» содержит опцию «Справка», выбор которой сопровождается открытием документа, содержащего подробную справку о программном продукте.

Так же пункт меню «Помощь» содержит опцию «О программке», в какой можно выяснить короткую информацию о программном продукте и его разрабе.

2.3 Ограничения внедрения

В программке лучше применять 16 битный режим, причём разрешение графического режима, выраженное в пикселях, не имеет значения. Допускаются лишь 8 битные, 16 битные и 32 битные графические режимы. Во всех других режимах, к примеру, 2 битных, 4 битных, 24 битных программка работать не будет.

При использовании различных графических режимов рабочие окна, места на форме, где задаются грани, будут иметь разный вид (различные цвета линий разметки и линий проекций). Это соединено с тем, что цвета в программном продукте не имеют значения. Принципиально чтоб проекции на плоскости проекций были видны, и соответствовали изображаемому объекту. цвета трёхмерного объекта, совершенно выбираются случайным образом, по этому тут важен не цвет, а форма объекта.

При загрузке трёхмерного объекта из файла не непременно указывать разширение файла, либо если уж оно обозначено, то обязано содержать не наименее трёх знаков опосля точки. Это разъясняется тем, что программка сохраняет объект в 2-ух файлах. Один с разширением «Res», а иной «Dat». При всем этом не принципиально какое разширение укажет юзер, оно всё равно отбрасывается программкой.

При открытии файла программка отбрасывает обозначенное юзером разширение, если оно есть, и добавляет к имени файла своё. Когда программка отбрасывает разрешение, она отбрасывает три знака, находящиеся опосля точки. Потому если юзер указал разширение, принципиально, чтоб оно состояло не наименее чем из трёх знаков, по другому при открытии файла произойдёт ошибка.

Проектировать грани необходимо при помощи задания трёх вершин, причём если задание проекций трёх вершин начато в одной плоскости проекций, то все эти три проекции должны быть заданы в данной нам плоскости, а не раздельно: одна проекция точки на передней, иная на горизонтальной, 3-я на профильной. Все три проекции точки должны быть в одной плоскости проекций. Это соединено, как уже говорилось, с тем что проецируются не точки либо полосы, а грани.

Рабочее окно, которое выводит графическую информацию, быть может лишь квадратным, по этому изменяя длину либо ширину рабочего окна, необходимо учесть, что программка уравняет эти оба параметра.

3. Нереализованные способности

Самый основной элемент, который нужно воплотить — это полное отсутствие ошибок. На данном шаге разработки ошибок не выявлено, но гарантии их отсутствия не существует.

Потом следовало бы прирастить количество примитивов: добавить к грани и кубу, возможность сотворения призмы, многоугольника, цилиндра, сферы, диска. наличие этих фигур обеспечило бы лёгкость сотворения всех объёмных тел. Поэтому что, к примеру призма, в базе которой верный восьмиугольник содержит 32 треугольной грани. естественно юзеру вручную весьма проблематично сделать эту фигуру, потому её наличие в коллекции примитивов значительно облегчило бы ему работу.

Так же можно было бы создать способы наложения различных текстур на трёхмерные объекты. Текстуры — это двухмерные графические изображения, которые, наложив как фотографию на грань объекта, превращают обычный куб в телек, дом с окнами, стиральную машинку и остальные кубические объекты.

Текстуры бывают: аффинные, четкие (перспективно — корректные), параболические. Текстуры можно накладывать на все трёхмерные объекты.

Можно было бы воплотить прозрачность трёхмерных объектов. к примеру, если необходимо было бы сделать объёмное тело из стекла. В этом случае нужно было бы применять прозрачность. Трёхмерные объекты, как понятно, создаются двухмерными точками. Потому чтоб сделать прозрачность нужно перед выводом каждой точки объекта в определённом месте получать цвет уже стоящей на этом месте точки, если она есть, потом вывести точку цвет которой будет средним меж цветом точки, которая ставится и которая уже стоит. Таковым образом, за выводимым трёхмерным объектом будет видно размещение другого объёмного тела. Это и есть прозрачность.

4. Основная форма

Основная форма содержит такие составляющие как:

Main
Menu
— Предназначен для прибавления к главной программке головного меню. Является компонентом Standart. Компонент MainMenu не зрительный компонент. Редактор меню вызывается опосля выбора функции Items. В редакторе можно создавать пункты меню проименовывая их с помощь характеристики Caption. Переходя от одной компоненте к иной можно при помощи такого же характеристики Caption отредактировать пункты меню. Чтоб вставить линию разделитель необходимо в свойстве Caption первой позицией указать знак «-» (дефис). Опосля окончания сотворения пт меню редактор меню нужно закрыть.

BitBtn
— Этот компонент предназначен для сотворения клавиши с картинкой. В системе имеется набор готовых шаблонов.

Опосля размещения объекта на форме изображение, помещаемое на клавишу, задаётся в свойстве Glyph (Значок). При всем этом вызывается редактор, при помощи которого выбирается подходящая картина (в формате BMP). Любая таковая картина может состоять из 4 частей, равных по ширине. 1-ая часть — изображение клавиши в обыкновенном состоянии, 2-ая — изображение «отключённой» клавиши, 3-я — изображение клавиши опосля щелчка мыши, изображение на нажатой кнопочке. Число составных частей задаётся в свойстве NumGlyph (от 1 до 4). Расстояние от рисунки до границ клавиши (в пикселях) можно указать в свойстве Margin. В свойстве Kind задаётся реакция клавиши на щелчок.

Button
— Компонент предназначен для сотворения клавиш на форме и обработки действия нажатия клавиши. Размещен на панели Standart. имя клавиши указывается в поле Name, а выводимый текст на кнопочке в свойстве Caption.

Combo
Box
— Компонент Поле со перечнем. Представляет собой вариант перечня, с присоединённым доп полем, в каком отображается избранный элемент перечня. Это поле может употребляться для ввода новейших частей либо для резвого поиска частей по исходным символам. Если на дисплее отображается лишь присоединённое поле («раскрывающийся перечень»), то для раскрытия перечня можно применять клавиатурную комбинацию Alt+Вниз.

Open
Dialog
— Компонент предназначен для выбора файла с целью следующего открытия; характеристики класса TOpenDialog приведены в табл. 1

Таблица 1 — характеристики класса TOpenDialog

Параметров
о

Назначен
и
е

DefaultExt
расширение имени, применяемое по дефлоту. Добавляется в конец выбраного юзером имени файла, если расширение не обозначено очевидно.

FileName
Выбранное юзером имя файла вкупе с полным путём поиска

Files
Перечень избранных имён файлов. В свойстве Options должен быть включён флаг ofAllowMultiSelect

Filter
Набор масок, в согласовании с которыми отбираются названия файлов для отображения в диалоговом окне. Любая маска состоит из 2-ух частей: наименования и шаблона, — разделённых эмблемой |. Одному наименованию могут соответствовать несколько шаблонов. Маски отделяются друг от друга эмблемой |

FilterIndex
Номер текущей маски. Нумерация начинается с 1

HistoryList
Перечень ранее избранных файлов (тип Strings)

InitialDir
Текущий каталог, содержимое которого отображается при первом открытии диалогового окна

Options
Набор флагов, определяющих окна выбора файлов.

Title
Заголовок диалогового окна

Save
Dialog
— Этот компонент фактически ничем не различается от компонента OpenDialog кроме нескольких опций, специфичных для процесса сохранения файла.

Label
— Компонент находится на панэле Standart. Предназначен для вывода текста на форме при помощи характеристики Text.

TDXTimer
— Компонент находится на панели DelphiX. В программках, выполняющих деяния, связанные с моделированием либо обработкой графики, созданных для общения с юзером в настоящем режиме времени либо выполняющих длительные вычисления, нужна компонента TDXTimer.

При помощи компонента TDXTimer можно включить генерацию сообщений, поступающих от системного таймера Windows с данной периодичностью (в миллисекундах) и делать определённую часть действий конкретно в обработчике этого действия. Это одна из способностей многозадачности приложений Windows.

TDXDraw
— Этот компонент находится на вкладке DelphiX. Он предназначен для вывода двухмерной и трёхмерной графики, используя DirectDraw и DirectX. Разрешение выводимой графики задаётся в свойстве Display. Вид курсора задаётся в свойстве Cursor. способ DXDraw.Surface.Fill(Color) — заполняет видеостраницу цветом Color. При помощи характеристики DXDraw.Surface.pixels[x, y]:=Color — ставится точка на виртуальной видеостранице. При помощи способа DXDraw.Flip — невидимая видеостраница делается видимой. Схема обрисовки изображения на 2-ух видеостраницах: видимой и не видимой делает вероятной сделать анимацию без мигания изображения.

5. способы сотворения программки

Для сотворения трёхмерных объектов нужно уметь преобразовывать трёхмерную графику в двухмерную. Ведь процедура вывода точки имеет лишь две координаты, задающие положение точки (x, y), как следует, реально имеется дело с двухмерной графикой. Для начала следует принять систему трёхмерных координат:

Набросок 3

тут знаками x, y, z обозначены положительные направления осей Ox, Oy и Oz соответственно. Также предполагается, что камера недвижна и находится в точке с координатами (0,0,-dist), ось зрения камеры ориентирована по оси Oz, а конкретно в точку (0,0,0) (т.е. camera target = (0,0,0)), ось Ox исходя из убеждений камеры ориентирована слева вправо, ось Oy — снизу ввысь, ось Oz — вглубь экрана. Размер экрана — xSize на ySize пикселей.

тут и дальше употребляются обозначения:

sx, sy
координаты проекции точки на дисплее

x, y, z
3D координаты точки,

Dist
расстояние от камеры (она находится в точке (0,0,-dist)) до начала координат,

Для созданя трёхмерных объектов нужны примитивы. Таковыми примитивами являются простые трёхмерные объекты — треугольные грани. У каждой треугольной грани есть три верхушки — три точки, имеющие трёхмерные координаты. Чтоб спроецировать их на плоскость, т. е. из трёхмерных координат x,y,z получить двухмерные sx, sy нужно воспользоваться формулой:

sx = xSize/2+x*dist/(z+dist); sy = ySize/2-y*dist/(z+dist);

5.1 Матричные преобразования

В данной нам главе коротко представлены простые понятия о матричных преобразованиях, являющихся составной частью линейной алгебры, и дискретной арифметики (см. раздел Группы).

Введем несколько определений. n-мерный вектор, он же вектор размерности n, он же вектор размера n: упорядоченный набор n реальных чисел. Матрица размера m на n (будет обозначаться как m*n, mxn): таблица размера m на n, в каждой клеточке которой — действительное число.

Вот вам наглядный пример матрицы 3×3:

[ 15 y*z 0.6 ]

[ 7 -3 91 ]

[ sin(x) 0.123 exp(t) ]

Вектор будем записывать в столбик и разглядывать его как матрицу размера n*1.

Операция скалярного произведения векторов: определена для 2-ух векторов схожих размеров. Итог есть число, равное сумме произведений соответственных частей векторов. Пример:

[ 1 ] [ 4 ]

[ 2 ] * [ 5 ] = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

[ 3 ] [ 6 ]

Операция векторного произведения: определена для (n-1) вектора схожего размера n. Итог — вектор, при этом, перпендикулярный всем множителям.

Замечание:
итог изменяется от перестановки мест множителей!

Формально определяется как определитель матрицы, 1-ая строчка которой все есть базовые вектора, а все следующие — надлежащие координаты всех множителей. Так как она нужна лишь для 3D места, мы определим векторное произведение 2-ух 3D векторов очевидно:

[ Ax ] [ Bx ] | i j k | [ Ay*Bz-Az*By ]

AxB = [ Ay ] x [ By ] = | Ax Ay Az | = [ Az*Bx-Ax*Bz ]

[ Az ] [ Bz ] | Bx By Bz | [ Ax*By-Ay*Bx ]

Операция сложения 2-ух матриц: определена для матриц схожих размеров. Любой элемент суммы (другими словами, каждое число в таблице) приравнивается сумме соответственных частей слагаемых-матриц. Пример:

[ 1 x 500 ] [ 8 a 3 ] [ 9 a+x 503 ]

[ 2 y 600 ] + [ 9 b 2 ] = [ 11 b+y 602 ]

[ 3 z 700 ] [ 10 c 1 ] [ 13 c+z 701 ]

Операция умножения матрицы на число: определена для хоть какой матрицы и хоть какого числа; любой элемент результата приравнивается произведению соответственного элемента матрицы-множителя и числа-множителя.

Операция умножения 2-ух матриц: определена для 2-ух матриц таковых размеров a*b и c*d, что b = c. к примеру, если b = c, но a ¹ d, то при перестановке множителей операция будет совершенно не определена. Результатом умножения матрицы A размером a*b на матрицу B размером b*d будет матрица C размером a*d, в какой элемент, стоящий в строке i и столбце j, равен произведению строчки i матрицы A на столбец j матрицы B. Произведение строчки на столбец определяется как сумма произведений соответственных частей строчки и столбца. к примеру, умножение строчки на столбец (они должны быть равной длины, потому и такие ограничения на размеры матриц):

[ 4 ]

[ 1 2 3 ] * [ 5 ] = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

[ 6 ]

А чтоб перемножить две матрицы, нужно эту операцию сделать для всякого элемента. Вот вам наглядный пример:

[ 1 2 3 ] [ 0 3 ] [ 1*0+2*1+3*2 1*3+2*4+3*5 ]

[ 4 5 6 ] * [ 1 4 ] = [ 4*0+5*1+6*2 4*3+5*4+6*5 ] = …

[ 7 8 9 ] [ 2 5 ] [ 7*0+8*1+9*2 7*3+8*4+9*5 ]

Умножение и сложение матриц владеют практически этим же набором параметров, что и обыденные числа, хотя некие обычные характеристики не производятся (к примеру, A*B ¹ B*A); по сути требуется знать, что произведение вида A*B*C*D*… не зависит от того, как расставить скобки. Либо, что

A*(B*C) = (A*B)*C.

Хоть какое движение (другими словами преобразование места, сохраняющее расстояние меж точками) в трехмерном пространстве, согласно аксиоме Шаля, быть может представлено в виде суперпозиции поворота и параллельного переноса, другими словами поочередного выполнения поворота и параллельного переноса. Потому основная часть информация о поведении объекта — это его смещение, ось поворота и угол поворота. Потому нам довольно знать, как создать два преобразования — перенос и поворот.

Перенос точки (точки будут также рассматриваться как вектора с началом сначала координат и концом в фактически точке) с координатами (x,y,z) на вектор (dx,dy,dz) делается обычным сложением всех координат. Другими словами итог — это (x+dx,y+dy,z+dz). Подобно сложению вектора-точки с вектором-переносом.

Разглядим для примера поворот точки (x,y,z) относительно оси z. В этом случае z не изменяется, а (x,y) изменяются так же, как и при 2D повороте относительно начала координат.

Покажем координаты точки A’ — результата поворота A(x,y) на угол alpha (рис. 4).

Набросок 4

Пусть r = sqrt(x*x+y*y). Пусть угол AOx равен phi, тогда из рисунка видно, что cos(phi) = x/r, sin(phi) = y/r. Угол A’OA равен по условию alpha. Отсюда

x’ = r*cos(alpha+phi) = r*(cos(alpha)*cos(phi)-sin(alpha)*sin(phi)) =

= (r*cos(phi))*cos(alpha)-(r*sin(phi))*sin(alpha) =

= x*cos(alpha)-y*sin(alpha)

y’ = r*sin(alpha+phi) = r*(cos(alpha)*sin(phi)+sin(alpha)*cos(phi)) =

= (r*cos(phi))*sin(alpha)+(r*sin(phi))*cos(alpha) =

= x*sin(alpha)+y*cos(alpha)

Для трехмерного варианта, таковым образом

x’ = x*cos(alpha)-y*sin(alpha)

y’ = x*sin(alpha)+y*cos(alpha)

z’ = z

Подобные формулы получатся и для остальных осей поворота (другими словами Ox, Oy). Поворот относительно случайной оси, проходящей через начало координат, можно создать при помощи этих поворотов — создать поворот относительно Ox так, чтоб ось поворота стала перпендикулярна Oy, потом поворот относительно Oy так, чтоб ось поворота совпала с Oz, создать поворот, а потом оборотные повороты относительно Oy и Ox.

Вспомним о матрицах и векторах и пристально поглядим на выведенные формулы для поворота. Можно увидеть, что

[ x’ ] = [ cos(alpha) -sin(alpha) 0 ] [ x ]

[ y’ ] = [ sin(alpha) cos(alpha) 0 ] [ y ]

[ z’ ] = [ 0 0 1 ] [ z ]

Другими словами поворот на угол alpha задается одной и той же матрицей, и при помощи данной нам матрицы (умножая ее на вектор-точку) можно получить координаты повернутой точки. С одной стороны умножение матрицы на вектор просит больше операций, чем расчет x’ и y’ по формулам.

Нос иной удобство матриц для заключается как раз в свойстве

A*(B*C) = (A*B)*C. Пусть делается несколько поворотов попорядку, к примеру, 5 (столько, сколько нужно для поворота относительно случайной оси), и пусть они задаются матрицами A, B, C, D, E (A — матрица самого первого поворота, E — крайнего). Тогда для вектора p мы получаем

p’ = E*(D*(C*(B*(A*p)))) = E*D*C*B*A*p = (E*D*C*B*A)*p = (E*(D*(C*(B*A))))*p = T*p,

где T = (E*(D*(C*(B*A)))) матрица преобразования, являющегося композицией 5 поворотов. Посчитав один раз эту матрицу, можно в предстоящем применить достаточно сложное преобразование из 5 поворотов к хоть какому вектору при помощи всего 1-го умножения матрицы на вектор.

Таковым образом, можно задать хоть какой поворот матрицей, и неважно какая композиция поворотов также будет задаваться матрицей, которую можно достаточно просто посчитать. Но еще есть параллельный перенос и масштабирование.

По сути, эти преобразования тоже просто записываются в виде матриц. Лишь заместо матриц 3×3 и 3-мерных векторов употребляются так именуемые однородные 4-мерные координаты и матрицы 4×4. При всем этом заместо векторов вида

[ x ]

[ y ]

[ z ]

употребляются вектора вида

[ x ]

[ y ]

[ z ]

[ 1 ]

а заместо случайных матриц 3×3 употребляются матрицы 4×4 такового вида:

[ a b c d ]

[ e f g h ]

[ i j k l ]

[ 0 0 0 1 ]

Видно, что если d = h = l = 0, то в итоге внедрения всех операций выходит то же самое, что и для матриц 3×3.

Матрица параллельного переноса сейчас определяется как

[ 1 0 0 dx ]

[ 0 1 0 dy ]

[ 0 0 1 dz ]

[ 0 0 0 1 ]

Матрицу масштабирования можно найти и для матриц 3×3, и для матриц 4×4:

[ kx 0 0 ] [ kx 0 0 0 ]

[ 0 ky 0 ] либо [ 0 ky 0 0 ]

[ 0 0 kz ] [ 0 0 kz 0 ]

[ 0 0 0 1 ]

где kx, ky, kz — коэффициенты масштабирования по подходящим осям.

Таковым образом, получаем последующее. Хоть какое необходимое нам преобразование места можно задать матрицей 4×4 определенной структуры, разной для различных преобразований. Итог поочередного выполнений нескольких преобразований совпадает с результатом 1-го преобразования T, которое также задается матрицей 4×4, вычисляемой как произведение матриц всех этих преобразований. Важен порядок умножения, потому что A*B ¹ B*A. Итог внедрения преобразования T к вектору [ x y z ] считается как итог умножения матрицы T на вектор [ x y z 1 ].

Докажем на примере, что A*B ¹ B*A. Пусть A — матрица переноса, B — поворота. Если поначалу перенести объект, а позже повернем относительно центра координат (это будет B*A), то итог не будет соответствовать результату, при котором поначалу объект поворачивают, а потом переносят (A*B).

5.2 Создание одноцветного треугольника

Изображение треугольника на дисплее — набор горизонтальных отрезков, при этом из-за того, что треугольник — фигура выпуклая, каждой строке экрана соответствует не наиболее 1-го отрезка. Потому довольно обойти все строчки экрана, с которыми пересекается треугольник, (другими словами, от малого до наибольшего значения (y) для вершин треугольника), и нарисовать надлежащие горизонтальные отрезки.

необходимо отсортировать верхушки так, чтоб верхушка A была верхней, C — нижней, тогда min_y = A.y, max_y = C.y, и нужно обойти все полосы от min_y до max_y. Разглядим какую-то линию sy, A.y <= sy <= C.y. Если sy < B.y, то она пересекает стороны AB и AC; если sy >= B.y — то стороны BC и AC. Известны координаты всех вершин, потому можно написать уравнения сторон и отыскать пересечение подходящей стороны с прямой y = sy. Получим два конца отрезка. Потому что не понятно, какой из их левый, а какой правый, необходимо сравним их координаты по x и обменяем значения, если необходимо. Рисуя этот отрезок, повторяя функцию для каждой строчки — получаем треугольник.

Рассматривая наиболее тщательно пересечения прямой

y = sy (текущей строчки) и стороны треугольника, к примеру AB, Получим уравнение прямой AB в форме x = k*y+b:

x = A.x+(y-A.y)*(B.x-A.x)/(B.y-A.y)

сейчас нужно подставить известное для текущей прямой

x = A.x+(sy-A.y)*(B.x-A.x)/(B.y-A.y)

Для остальных сторон пересечение ищется совсем буквально так же. к примеру:

// …

// тут сортируем верхушки (A,B,C)

// …

for sy = A.y to C.y begin

x1 = A.x + (sy — A.y) * (C.x — A.x) / (C.y — A.y);

if (sy < B.y)Then

x2 = A.x + (sy — A.y) * (B.x — A.x) / (B.y — A.y);

else

x2 = B.x + (sy — B.y) * (C.x — B.x) / (C.y — B.y);

if (x1 > x2) Then

begin

tmp = x1; x1 = x2; x2 = tmp;

end;

drawHorizontalLine(sy, x1, x2);

end;

нужно защититься от варианта, когда B.y = C.y — в этом (и лишь этом, поэтому как если C.y = A.y, то треугольник пустой и отрисовывать его не необходимо, либо можно отрисовывать горизонтальную линию; а если B.y = A.y, то sy >= A.y и до деления на B.y — A.y не дойдет) случае произойдет попытка деления на ноль.

// …

// тут сортируем верхушки (A,B,C)

// …

for sy = A.y to C.y begin

x1 = A.x + (sy — A.y) * (C.x — A.x) / (C.y — A.y);

if (sy < B.y)

x2 = A.x + (sy — A.y) * (B.x — A.x) / (B.y — A.y);

else begin

if (C.y == B.y)

x2 = B.x;

else

x2 = B.x + (sy — B.y) * (C.x — B.x) / (C.y — B.y);

end;

if (x1 > x2)Then

begin

tmp = x1; x1 = x2; x2 = tmp;

drawHorizontalLine(sy, x1, x2);

end;

// …

тут drawHorizontalLine(sy, x1, x2) — горизонтальная линия. Её создание не представляет трудности и код будетвыглядеть так.

//…

For i:=x1 to x2 do

PutPixel(i,sy,Color);

//…

6. программка

unit graph3;

interface

uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

DXClass, DXDraws, StdCtrls,graph, Menus,graph3D,figures, Buttons;

const Mode:Word=0;

type TLab = class(TForm)

Vid: TDXDraw;

Timer: TDXTimer;

Enter: TButton;

Menu: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

N5: TMenuItem;

N6: TMenuItem;

N7: TMenuItem;

N8: TMenuItem;

N9: TMenuItem;

OpenDialog: TOpenDialog;

SaveDialog: TSaveDialog;

N10: TMenuItem;

Space: TButton;

Box1: TComboBox;

Label1: TLabel;

OK: TButton;

Cancel: TButton;

Label6: TLabel;

BCube: TBitBtn;

BSide: TBitBtn;

Box6: TComboBox;

Label7: TLabel;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure TimerTimer(Sender: TObject; LagCount: Integer);

procedure VidMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure EnterClick(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

procedure N4Click(Sender: TObject);

procedure N2Click(Sender: TObject);

procedure N9Click(Sender: TObject);

procedure N10Click(Sender: TObject);

procedure SpaceClick(Sender: TObject);

procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure FormKeyUp(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure CancelClick(Sender: TObject);

procedure OKClick(Sender: TObject);

procedure N8Click(Sender: TObject);

procedure BCubeClick(Sender: TObject);

procedure BSideClick(Sender: TObject);

procedure N6Click(Sender: TObject);

private

public

end;

var Lab: TLab;

implementation

{$R *.DFM}

const ScreenX:Word=640;

ScreenY:Word=480;

x1:integer=0;

y1:integer=0;

White=$FFFFFF;

View:Boolean=False;

Figure:Word=1;

Accept:Boolean=True;

sv:Word=0;

var c:char;S,SS,TMP:PPl;t:PTexture;

CS,CO,CC,CSc,CL:Word;Rot:TRot;

x0,y0,x2,y2:integer;r:Single;

Blue,Red,Yelow,M,N,SC:Word;

Keys:array[1..255]of Boolean;

Input:array[1..12]of procedure (x,y:integer;var E:Boolean);

Bol:Boolean;Option:array[1..5] of String;

o:array[1..MaxSide]of TPoint;

w:array[1..2]of TPoint;tmp_o:TPoint;

cx,cy:Word;oc:TPoint;ClicCub:array[0..MaxSide]of Boolean;

procedure LoadObject(Name:String;var Obj:PObj);

var f1:file of TPoint; a:TSides;

f2:file of Word;

S,Tmp:TPoint;i,j:word;Name2:String;

B:Boolean;

begin

For i:=1 to Length (Name)-4 do begin

Name2:=Name2+Name[i];

end;

Name:=Name2;

Assign(f2,Name+’.res’);

Reset(f2);

Read(f2,Obj^.Count);

close(f2);

Assign(f1,Name+’.dat’);

Reset(f1);

Read(f1,Obj^.o);

For i:=1 to Obj^.Count do

New(Obj^.Side[i],Create(Obj^.o.x,Obj^.o.y,Obj^.o.z,0,0,0,a));

For i:=1 to Obj^.Count do begin

inc(CS);

if(i mod 2<>0)Then

T:=ColorText(RGB(100+Random(155),100+Random(155),100+Random(155)),GMT)

else T:=T;

Obj^.Side[i]^.Texture:=T;

Obj^.Side[i]^.Mode:=Mode;

Obj^.Side[i]^.Alpha:=0;

Read(f1,S);

For j:=1 to 3 do

begin

Read(f1,S);

Obj^.Side[i]^.S[j]:=S;

SS^[i,j]:=S;

end;

close(f1);

end;

procedure SaveObject(Name:String;var Obj:PObj);

var f1:file of TPoint;

f2:file of Word;B:Boolean;

S:TPoint;i,j:word;Name2:String;

begin

B:=False;

For i:=1 to Length(Name) do

if(Name[i]=’.’)Then B:=True;

if(B=True)Then begin

For i:=1 to Length(Name)-4 do begin

Name2:=Name2+Name[i];

end;

Name:=Name2;

end;

Assign(f2,Name+’.res’);

Rewrite(f2);

Reset(f2);

Write(f2,Obj^.Count);

close(f2);

Assign(f1,Name+’.dat’);

Rewrite(f1);

Reset(f1);

Write(f1,Obj^.o);

For i:=1 to Obj^.Count do begin

Obj^.Side[i]^.o:=tmp_o;

S:=Obj^.Side[i]^.o;

Write(f1,S);

For j:=1 to 3 do

begin

S:=Obj^.Side[i]^.S[j];

Write(f1,S);

end;

close(f1);

end;

procedure CreateTMP(var Obj:PObj);

var i,j,k:Word;

begin

Obj^.o.x:=0;Obj^.o.y:=0;Obj^.o.z:=100;

For i:=1 to Obj^.Count do

begin

tmp_o:=Obj^.Side[i]^.o;

Obj^.Side[i]^.o:=o[i];

For j:=1 to 3 do

Obj^.Side[i]^.S[j]:=S^[i,j];

end;

procedure ShowSide;

var i,j,k,cx,cy:Word;tmp:TPoint;

begin

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

For i:=1 to CS do begin

Line(Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].y),Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].y),Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].z),Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,1].z*r),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].z*r),Trunc(SS^[i,2].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].z*r),Trunc(SS^[i,2].y),Trunc(SS^[i,3].z*r),Trunc(SS^[i,3].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].z*r),Trunc(SS^[i,3].y),Trunc(SS^[i,1].z*r),Trunc(SS^[i,1].y),White);

if(ClicCub[i]=True)Then begin

Line(Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,1].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,3].y),White);

end;

S[CS]:=SS[CS];

cx:=GMX div 2;

cy:=GMY div 2+1;

For i:=1 to 3 do

begin

S^[CS,i].x:=S^[CS,i].x-cx+dF;

S^[CS,i].y:=cy-S^[CS,i].y-dF;

S^[CS,i].z:=S^[CS,i].z-cx-dF;

end;

procedure CreateSide(var Obj:PObj);

var cx,cy,i,j,k:Word;

begin

r:=1;

For i:=1 to Obj^.Count do

S[i]:=Obj^.Side[i]^.S;

TMP:=S;

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

cx:=GMX div 2;

cy:=GMY div 2+1;

For j:=1 to CS do

For i:=1 to 3 do

begin

TMP^[j,i].x:=TMP^[j,i].x-cx+dF;

TMP^[j,i].y:=cy-TMP^[j,i].y-dF;

TMP^[j,i].z:=TMP^[j,i].z-cx-dF;

end;

For i:=1 to CS do begin

Line(Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].y),Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].y),Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].y),Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].z),Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].z),Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].z),Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,1].z*r),Trunc(TMP^[i,1].y),Trunc(TMP^[i,2].z*r),Trunc(TMP^[i,2].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].z*r),Trunc(TMP^[i,2].y),Trunc(TMP^[i,3].z*r),Trunc(TMP^[i,3].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].z*r),Trunc(TMP^[i,3].y),Trunc(TMP^[i,1].z*r),Trunc(TMP^[i,1].y),White);

end;

Flip(Lab.Vid);

end;

procedure LoadSide(var Obj:PObj);

var i,j,k:Word;TMP:PPL;

begin

r:=1;

For i:=1 to Obj^.Count do

S[i]:=Obj^.Side[i]^.S;

SS^:=S^;

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

For j:=1 to CS do

For i:=1 to 3 do

begin

SS^[j,i].x:=SS^[j,i].x+cx-dF;

SS^[j,i].y:=cy-SS^[j,i].y-dF;

SS^[j,i].z:=SS^[j,i].z+cx+dF;