(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Распространение ограниченных волновых пучков, дифракция
Контрольная работа
Распространение ограниченных волновых пучков, дифракция
1. способ Кирхгофа
Способ Кирхгофа основан на интегральной аксиоме, выражающей значения решения уравнения Гельмгольца в случайной точке М(x, y, z) через значения функции u и ее первой производной на поверхности S, обхватывающей точку М. Можно считать, что способ Кирхгофа является обобщением принципа Гюйгенса-Френеля, который разглядывает волновое возмущение в точке М как интерференцию вторичных волн от источников, расположенных на поверхности S.
Пусть u(М) и G(М) — комплекснозначные функции координат точки М, имеющие непрерывные 1-ые и 2-ые личные производные как снутри размера V, содержащего точку М, так и на ограничивающей этот размер поверхности S. В силу аксиомы Грина
. (1)
Если функция u является решением уравнения Гельмгольца (7.1), другими словами
u + k2u = 0,
а функция G удовлетворяет уравнению
G + k2G = -4(|r — r1|), (2)
то, подставляя соотношения (7.1) и (2) в уравнение (1), получим:
,
— (3)
2. Интегральная аксиома Кирхгофа-Гельмгольца
Одним из решений уравнения (2) является сферическая волна от источника в точке r1 (функция Грина для вольного места):
. (4)
Разглядим волну, прошедшую экран с отверстием. Пусть поверхность S состоит из плоской поверхности экрана S1 и сферы S2 с центром в точке наблюдения М (рис. 1). На поверхности S2 производная по наружной нормали совпадает с производной по радиусу сферы r = |r — r1|, и при rk >> 1, другими словами в далекой зоне, для функции G вида (4) получаем
.
Пусть функция u удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда
. (5)
Отметим, что функции вида (4) этому условию удовлетворяют. Тогда при увеличении радиуса сферы интеграл по ее поверхности стремится к нулю, другими словами
.
Так как излучение, идущее от отверстия в экране, можно разглядывать как суперпозицию сферических волн от точечных источников на поверхности отверстия, то для него условие (5) производится. Как следует, интеграл по поверхности S2 в правой части уравнения (2) равен нулю, и поле в точке М, лежащей в далекой зоне, определяется лишь значениями поля и его производной в отверстии и на теневой стороне экрана.
Для приближенного решения задачки дифракции употребляются граничные условия Кирхгофа, надлежащие догадкам:
1) функции u и u/n равны нулю везде вне отверстия экрана;
2) функции u и u/n снутри отверстия такие же, как и при отсутствии экрана.
Приближенный нрав критерий Кирхгофа проявляется в том, что если функция u, удовлетворяющая уравнению (7.1), равна нулю совместно со собственной производной на теневой поверхности экрана, то она обязана быть равна нулю во всем пространстве. Потому оба эти догадки производятся, когда размеры отверстия значительны в сопоставлении с длиной волны.
Рис. 1. Условие Зоммерфельда
Рис. 2. Дифракция плоской волны
Если на тонкий экран с отверстием падает квазиплоская волна
u(x, y, z) = u0(x, y, z)exp[i(kxx + kyy + kzz)] (рис. 2),
то
,
x1, y1 — текущие координаты в отверстии. Из формулы (3) в предположении, что kr >> 1, получаем
. (6)
Отметим, что, в силу приближенного нрава граничных критерий Кирхгофа и догадки о далекой зоне, поле, рассчитанное по формуле (6), не обрисовывает волновое поле поблизости экрана и в плоскости отверстия. Убрать математическую нестрогость можно, по другому определив вспомогательную функцию G. Пусть она не только лишь является решением уравнения (2), но к тому же удовлетворяет одному из граничных критерий: 1) либо 2) . Функция G1 именуется первой функцией Грина, а функция G2 — 2-ой функцией Грина, либо характеристической функцией Неймана.
Выбор функции G1 направляет в нуль в формуле (3) слагаемое, содержащее u/n, потому довольно знать лишь значение функции u, а выбор функции G2 направляет в нуль в формуле (3) слагаемое, содержащее u, и необходимо задать лишь u/n. Заметим, что выстроить эти функции можно лишь для довольно обычной геометрии. Для плоского экрана первой функцией Грина G1 полупространства z > 0 может служить функция
,
где
, .
В плоскости экрана при z1 = 0 получаем G1 = 0, , тогда
. (7)
В качестве 2-ой функции Грина можно взять . При z1 = 0 получаем G2/n = 0, , тогда
. (8)
3.Угловой диапазон плоских волн
Кандидатурой решению дифракционной задачки при помощи интеграла Кирхгофа (3) и соответственной функции Грина является разложение волнового поля в плоскости экрана по плоским волнам:
, (9)
— (10)
угловой (пространственный) диапазон. Аналогично, в случайном сечении z
. (11)
Подставляя соотношение (11) в уравнение Гельмгольца (7.1), получим:
d2F/dz2 + (k2 — kx2 — ky2)F = 0. (8.12)
Изначальное условие для уравнения (12) имеет вид: F(kx, ky, 0) = F0(kx, ky). Тогда решение (12), соответственное волне, распространяющейся в направлении возрастания z, имеет вид плоской волны с волновым вектором
:
. (13)
Угловой диапазон волны изменяется по мере удаления точки наблюдения от плоскости экрана z = 0.
Пусть функция пропускания непрозрачного экрана с отверстием имеет вид: g(x, y) = 1 — в отверстии, g(x, y) = 0 — вне отверстия. Тогда поле в плоскости экрана можно записать в виде u0(x, y) = uп(x, y) g(x, y), где uп(x, y) — поле падающей волны в плоскости z = 0. Угловой диапазон поля за экраном будет равен свертке углового диапазона падающей волны со спектральным коэффициентом пропускания экрана
.
Для плоской волны uп = exp(ikzz), нормально падающей на экран, получаем: Fп = (kx)(ky). Спектральный коэффициент пропускания щели шириной а, края которой параллельны оси у, равен
.
Соответственно,
.
Ширина углового диапазона, отысканная из условия Ф(kx) = 0, составляет
kx = 2/а, другими словами для угла меж вектором k и осью z получаем sin() = /a. Несложно показать, что если плоская волна падает в плоскости xz на экран со щелью под углом 0 к оси z, то
.
Тогда ширина углового диапазона обусловится из условия a(sin() — sin(0))/ = 1. Для широкой щели /a << 1 получаем
.
4. Интеграл Кирхгофа, способ стационарной фазы
Разглядим вновь тонкий экран z = 0 с отверстием случайной формы. Поле в точке M(x, y, z), довольно удаленной от плоскости экрана, так что , описывается интегралом (7). Если поле падающей волны u(x1, y1) довольно медлительно изменяется в границах отверстия, то подынтегральная функция в соотношении (7) представляет собой произведение медлительно меняющейся функции zu(x1, y1)/r2 и стремительно осциллирующей функции exp(ikr).
Для приближенного вычисления таковых интегралов употребляется способ стационарной фазы, основанный на том, что интеграл от произведения неспешной функции на стремительно осциллирующий сомножитель мал везде, не считая той области, где показатель экспоненты имеет стационарное x1, y1) = ikr в ряд Тейлора до второго либо третьего члена и вынести за символ интеграла х1 = х. Аналогично из условия получаем у1 = у. Тогда
,
. (14)
Найдем на плоскости z = 0 границы областей, окружающих точку стационарности х1 = х, у1 = у, в границах которых фаза подынтегральной функции в соотношении (7) изменяется на /2, другими словами (x — x1)2/(z) + (y — y1)2/(z) = m/2, либо — семейство окружностей с центром в точке х1 = х, у1 = у и радиусами , где m — целые числа. Плоскость экрана z = 0 разбивается этими окружностями на концентрические кольца, именуемые зонами Френеля.
При переходе от одной зоны к иной действительная либо надуманная часть подынтегральной функции в соотношении (7) меняет символ, потому интеграл, взятый по конечному числу зон Френеля, — знакопеременный ряд, который стремительно сходится. На физическом уровне это значит, что на поверхности экрана можно выделить область, которая играет более существенную роль в формировании волнового поля. Как правило, это 1-ая зона Френеля.
Если размеры отверстия довольно значительны, другими словами а2 >> z, и точка стационарности совместно с несколькими первыми зонами Френеля лежит в границах отверстия, то интегрирование в соотношении (7) можно делать в безграничных границах. Сделав подмену переменных , , получим
. (15)
Заметим, что формула (15) обрисовывает невозмущенное поле в точке М. Таковым образом, если Введем волновой параметр D — отношение площади первой зоны Френеля к апертуре отверстия:
. (16)
Если D << 1, экран фактически не влияет на распределение поля. При D ~ 1 (дифракция Френеля) размеры первой зоны сравнимы с размером отверстия в экране, и функцию u0(x1, y1) недозволено считать медлительно меняющейся, так как в силу граничных критерий Кирхгофа на краях отверстия u0 = 0. Как следует, к дифракции Френеля способ стационарной фазы неприменим.
Разглядим вариант, когда расстояние от точки наблюдения до экрана много больше размера отверстия, а поле ищется поблизости оси, другими словами |x — x1|/z << 1,
|y — y1|/z << 1, тогда r z + [(x — x1)2 + (y — y1)2]/(2z), и интеграл (7) сводится к выражению, именуемому приближением Френеля:
(17)
где fx = x/(z), fy = y/(z). Сравнивая выражения (17) и (11), лицезреем, что интеграл в соотношении (17) представляет собой угловой диапазон (Фурье-образ) функции по пространственным частотам fx и fy.
При D >> 1 (дифракция Фраунгофера), когда отверстие обхватывает только часть первой зоны Френеля, показатель первой экспоненты в интеграле (17) может принимать лишь малые значения, другими словами , тогда
, (18)
где F0 — угловой диапазон функции u0(x1, y1).
5. Квазиоптическое приближение
Приближение геометрической оптики разглядывает распространение лучей в виде кусочно-плоской волны с нескончаемо широким волновым фронтом. Угловой диапазон таковых лучей является произведением 2-ух дельта-функций, другими словами нескончаемо узенький. Квазиоптическое приближение разглядывает распространение волновых пучков конечной ширины значительно большей, чем длина волны = 2/k. Несложно показать, что угловой диапазон таковых пучков имеет конечную ширину и является узеньким, другими словами отличен от нуля только при |kx| << k, |ky| << k. В этом случае в соотношении (13) выражение в показателе экспоненты можно разложить в ряд, сохранив только квадратичные по kx и ky слагаемые:
.
В согласовании с формулой (11) в сечении z = const пучок будет описываться функцией
.
Подставляя сюда выражение (10) для углового диапазона F0(kx, ky) падающей волны, вычислим внутренний интеграл по dkx:
.
Аналогично рассчитывается и интеграл по dkу. В итоге для амплитуды волны A(x, y, z) получим:
, (19)
где — функция Грина параболического уравнения, . Таковым образом, амплитуда A(x, y, z) удовлетворяет параболическому уравнению с надуманным коэффициентом диффузии:
. (20)
Можно сказать, что по мере распространения волны происходит диффузия ее амплитуды в поперечном направлении, другими словами пучок расплывается из-за дифракции. Пусть в сечении z = 0 размещен точечный источник, другими словами
A(x1, y1) = A0(x1/a)(y1/a).
Вычисляя интеграл (19), получим
. (21)
Решение уравнения Гельмгольца (7.1) для точечного источника, описывающее сферически расходящуюся волну, имеет при x/z << 1, y/z << 1 вид
,
совпадающий с выражением (21). Таковым образом, в приближении квазиоптики сферический волновой фронт заменяется параболическим, в параксиальной области эта разница несущественна.
Если в сечении z = 0 пучок имеет тонкий фазовый фронт и гауссово поперечное распределение амплитуды A(z = 0) = A0exp(-r2/a2), где r2 = x2 + y2, a — соответствующая ширина пучка в плоскости z = 0, то интеграл (19) дает
(22)
При z > 0 круговое распределение амплитуды как и раньше гауссово, но ширина пучка при распространении волны вырастает, другими словами, a2(z) = a2(1 + D2), при всем этом амплитуда волны миниатюризируется, а ранее тонкий волновой фронт искривляется.
Разглядим сейчас роль нелинейности среды в квазиоптическом приближении. Пусть диэлектрическая проницаемость среды зависит от интенсивности волны = 0 + нл(|Е|2) = 0 + 2|Е|2 + 4|Е|4 + … . Тогда уравнение Гельмгольца (7.1) воспримет вид:
E + 0E2/c2 + нл(|Е|2)E2/c2 = 0. (23)
Для волновых пучков с узеньким угловым диапазоном и при малой нелинейности среды уравнение (23) можно упростить при помощи способа ММА, положив
(24)
тут принято, что поперек волнового пучка изменение амплитуды происходит резвее, чем вдоль, не считая того, нл ~ 0. Подставляя соотношение (24) в уравнение (23), получим в первом порядке малости по :
. (25)
Уравнение ММА (25) совпадает с уравнением (20) при нл = 0, другими словами является квазиоптическим приближением для нелинейной среды. Для того чтоб перейти в уравнении (25) к реальным величинам, положим
A = A0exp(-ik), (26)
где — эйконал всеохватывающей амплитуды, который является добавкой к эйконалу плоской волны (24). Подставляя соотношение (26) в уравнение (25) и отделяя надуманную и действительную части, получим:
, (27)
. (28)
Отметим, что уравнение (27) можно разглядывать как уравнение эйконала с 2-мя «силами»: нелинейной рефракцией и дифракцией. Уравнение (28) обрисовывает законсохранения энергии в волне, другими словами является уравнением переноса. В отличие от уравнений геометрической оптики (7.4) и (7.5), тут уравнения эйконала и переноса не являются независящими, что отражает самовоздействие волн.
Можно показать, что если ограничиться первым нелинейным слагаемым
нл(|Е|2) = 2А02,
то при 2 < 0 нелинейная рефракция и дифракция действуют в одну сторону и вместе приводят к расфокусировке луча. При 2 > 0 нелинейная рефракция противодействует дифракции, и вероятна самофокусировка луча, когда он сходится в нелинейный фокус, а потом вновь расползается.
Литература
дифракционный аксиома кирхгоф интеграл
1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.
3. Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2008.
4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009
5. Иродов И.Е. задачки по общей физике. М.: Двучлен, 2008.
6. Иродов И.Е. Механика. Главные законы. М.: Лаборатория базисных познаний, 2009.
7. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Главные законы. М.: Лаборатория базисных познаний, 2009.
8.Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 2007.
9. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. М.: Наука, 2007.
10.Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. М.: Высшая школа, 1976-2009.
11. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 2009.
12.Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Статистическая физика. М.: Наука, 2007.
13. Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1-5. М.: Наука, 2007.
14. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1-5. М.: Высшая школа, 2008.
15. Трофимова Т.И. Лаконичный курс физики. М.: Высшая школа, 2009.
16. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. т.т. 1-9. М.: мир, 2007.
17. Хайкин С.Э. Физические базы механики. М.: Наука, 2007.
18. Яворский Б.М., Пинский А.А. Базы физики, т.т. 1-2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
]]>