Учебная работа. Распространение тепла в пространстве

Учебная работа. Распространение тепла в пространстве

Введение

Круг вопросцев математической физики тесновато связан с исследованием разных физических действий. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при всем этом математические задачки содержат много общих частей и составляют предмет математической физики.

способ исследования, характеризующий эту ветвь науки, является математическим по собственному существу. Но постановка задач математической физики, будучи тесновато связанной с исследованием физических заморочек, имеет специальные черты.

При выводе дифференциальных уравнений с личными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно появляются доп условия, налагаемые на разыскиваемые решения. Принципиально увидеть, что условия задач, которым должны удовлетворять разыскиваемые решения, значительно зависят от типа рассматриваемого уравнения.

В истинной курсовой работе исследуется уравнение теплопроводимости, которое относится к параболическому типу, и при помощи которого математически описывается процесс распространения тепла в среде, заполненной массой с плотностью с при удельной теплоемкости с и коэффициенте теплопроводимости k.

Рассматриваются такие пространственные задачки, как распространение тепла в однородном цилиндре и шаре. В работе приводится также способ разделения переменных Фурье, применительно к уравнению теплопроводимости и законФурье для потока тепла в данном направлении.

1. Уравнение теплопроводимости

1.1 Физический смысл уравнения теплопроводимости

Разглядим физические предпосылки вывода уравнения теплопроводимости на примере линейного варианта. В задачке линейной теплопроводимости стержень предполагается так узким, что в любой момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Вывод дифференциального уравнения теплопроводимости основан на последующих физических предпосылках:

1. количество тепла, которое нужно сказать однородному телу, чтоб повысить его температуру на Дu, равно:

где V — размер тела, с — его плотность, с — удельная теплоемкость.

2. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени Дt (термический поток), пропорционально площади сечения, скорости конфигурации температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени Дt, т.е. равно

(1.1.1)

где S — площадь поперечного сечения, k — коэффициент теплопроводимости.

символ минус в формуле (1.1.1) разъясняется тем, что величину потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Будем считать коэффициент теплопроводимости неизменным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура изменяется в маленьких границах. Заметим еще, что методы экспериментального определения коэффициентов теплопроводимости разный материалов очень сложны и почти во всем опираются на математическую теорию теплопроводимости.

1.2 Вывод уравнения теплопроводимости

Приведем вывод уравнения теплопроводимости в пространственном случае. Разглядим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Физические предпосылки были тщательно рассмотрены на примере вывода уравнения линейной теплопроводимости. Потому ограничимся короткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые появляются в пространственном случае.

В хоть какой момент времени t функция и описывает скалярное поле — поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются исследованием стационарных полей, когда температура и не зависит от времени. Нам же на данный момент придется разглядывать нестационарное поле, так как мы предполагаем, что температура точек тела меняется с течением времени. Если зафиксировать момент времени t, то совокупа точек, в каких температура u (х, у, z, t) воспринимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие oт стационарного варианта, форма и размещение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.

Как понятно, направление большей скорости конфигурации температуры и совпадает с направлением градиента функции и (х, у, z, t) при данном значении t. При всем этом

В точках изотермической поверхности градиент ориентирован по нормали к данной нам поверхности в сторону роста значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

Обобщая формулу (1.1.1), считают, что величина термического потока через малый участок Ду изотермической поверхности за время ?t равна

(1.2.1)

где k — коэффициент теплопроводимости, который мы считаем неизменным.

Обратим особенное внимание. на роль знака «минус» в формуле (1.2.1). Условимся считать величину термического потока положительной, если направление потока тепла совпадает с избранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему обратно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же перебегает от наиболее нагретых участков к наименее нагретым, т.е. как раз в обратную сторону, и, как следует. по определению, ?Q < 0, что и разъясняет символ «минус» в формуле (1.2.1). Изменив направление нормали на обратное, мы получили бы, что но тогда ?Q > 0 и снова-таки символ «минус» сохраняется.

В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох).

В теории теплопроводимости доказывается, что формула (1.2.1) для величины термического потока справедлива для всех поверхностей (не только лишь для изотермических). Производная по направлению нормали к избранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т.е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:

Потому поток тепла через участок Ду хоть какой поверхности за время Дt будет равен

Ради сокращенности назовем вектор — k grad u вектором термического потока и обозначим через А:

Тогда ?Q есть поток вектора А через простую площадку Ду за время Дt:

Если сейчас выделить в теле некую часть, ограниченную замкнутой поверхностью — S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время Дt будет равен произведению потока вектора A на ?t:

(1.2.2)

Рис. 1.2.1

где Ап — часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.

Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) аксиому Гаусса-Остроградского, запишем, что

теплопроводимость уравнение переменная разделение

где V — часть тела, ограниченная поверхностью S, и

где — оператор Лапласа.

Таковым образом, количество тепла Q, обретенное выделенной частью тела за счет прохождения термического потока, будет равно (оно обратно по знаку величине Q)

Представим, дальше, что в теле имеются термо источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за просвет времени (t, t +? t) в избранной части тела выделится тепло Q2, равное (с точностью до нескончаемо малых высшего порядка)

Общее количество тепла, сообщенного выделенному размеру V, будет равно сумме Ql+-Q2. Подсчитаем сейчас это тепло по другому, беря во внимание изменение температуры в точках тела, лежащих снутри поверхности S. В точке (х, у, z) за просвет времени Д t температура поменяется на величину

Потому простому размеру ?v для такового конфигурации температуры будет нужно количество тепла, равное , где с — удельная теплоемкость, — плотность, а всему размеру — количество

которое обязано быть равно сумме Ql+-Q2. Как следует,

Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству

(1.2.3)

Равенство (1.2.3) обязано соблюдаться для хоть какой части тела V. Это может быть лишь тогда, когда в каждой точке снутри тела

(1.2.4)

Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (1.2.4) — непрерывные функции. Вправду, если представить, что в точке М (х, у, r) равенство (1.2.4) нарушается, т.е., к примеру, , то в силу непрерывности это неравенство будет соблюдаться и в некой области ?, окружающей точку М. Но тогда интеграл по данной нам области, вопреки условию (1.2.3), был бы величиной положительной.

Переписав равенство (1.2.4) в виде

(1.2.5)

получим основное уравнение теплопроводимости (а= — коэффициент температуропроводности). Если термо источники снутри тела отсутствуют, то F= 0 и уравнение становится однородным:

(1.2.6)

Снова отметим, что уравнения (1.2.5) и (1.2.6) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие характеристики тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводимости), постоянны.

ясно, что уравнение линейной теплопроводимости является личным случаем уравнения (1.2.6).

Изначальное и краевые условия. Перейдем сейчас к исходному и краевым условиям. Изначальное условие для уравнения теплопроводимости состоит в задании температуры во всех точках тела в некий данный момент, от которого ведется отсчет времени. В этот исходный момент потому считают t = 0, так что изначальное условие воспринимает вид

(1.2.7)

где f (x, у, z) — данная функция, определенная и непрерывная во всех точках тела.

Краевое условие обязано производиться на поверхности Г, ограничивающей тело. Вдоль Г тело граничит с окружающей средой, имеющей в каждой точке о, з, ж границы Г свою температуру u = u (о, з, ж, t). Разность u (о, з, ж, t) — u (о, з, ж, t) меж температурой тела в точке границы и температурой окружающей среды в данной нам точке именуется перепадом температур в точке о, з, ж границы. Существует физический закон, устанавливающий, что поток тепла изнутри тела через всякую часть поверхности Г пропорционален перепаду температур на данной нам части границы.

Если выделить некую часть границы, то поток тепла через нее за время ? t будет равен

где Г1 — рассматриваемая часть границы Г, a h — коэффициент термообмена, зависящий от физических параметров тела и окружающей среды. Совершенно говоря, h может изменяться от точки к точке границы, т.е. h = h (о, з, ж), но в случае однородности тела и среды h = const, так как поток тепла, уходящий в окружающее место, должен приравниваться сгустку тепла, пригодному изнутри, то, применяя формулу (1.2.2) к участку Г1 получим

Потому что Г1 — неважно какая часть границы, то, повторяя рассуждения, обосновывающие равенство (1.2.4), придем к условию на границе Г:

Памятуя, что — производная и в точке границы по направлению наружной нормали к ней, запишем крайние равенство так:

(1.2.8)

тут черта подстановки |г значит, что имеется в виду,

Общее краевое условие (16.12) может в личных вариантах иметь наиболее обычный вид.

1-ый личный вариант h =0. Это значит, что переход тепла через границу тела исключен, т.е. что, как молвят, граница тела теплоизолирована. В этом случае краевое условие воспринимает вид

(1.2.9).

2-ой вариант соответствует весьма большенному коэффициенту наружной теплопроводимости h. Тогда условие (1.2.8), записанное в виде

В пределе при h приводит к равенству

(1.2.10)

выражающему тот факт, что на границе тело имеет температуру наружной среды.

Необходимо подчеркнуть, что различные части границы тела могут находиться в задачках теплопроводимости в различных критериях, выраженных различными значениями h. Так, к примеру, одна часть границы быть может теплоизолирована, а на иной температура тела может совпадать с температурой окружающей среды.

Подводя итоги, мы можем последующим образом сконструировать математическую задачку теплопроводимости (для однородного тела без термических источников): ищется температура и=и (х, y, z, t) снутри тела, удовлетворяющая там уравнению (1.2.6), исходному условию (1.2.7) и краевому условию (1.2.8) (либо условиям (1.2.9) либо (1.2.10)). В теории дифференциальных уравнений в личных производных показывается, что эта задачка имеет одно и лишь одно решение (при неких довольно общих требованиях к данным функциям f и u, последующих из критерий (1.2.7) и (1.2.8)].

2. Распространение тепла в пространстве

процесс распространения тепла в пространстве быть может характеризован температурой u (x, y, z, t) являющейся функцией x, y, z и t.

Если температура непостоянна, то появляются термо потоки, направленные от мест с наиболее высочайшей температурой к местам с наиболее низкой температурой.

Пусть dу — некая площадка в точке P (о, з, ж) с нормалью п. количество тепла, протекающее через dу в единицу времени, согласно закону Фурье, равно

где k коэффициент теплопроводимости, дu/дn — производная по направлению нормали n к dу, равная

законФурье нередко записывают в форме

где W — вектор плотности термического потока.

Если среда изотропная, то k есть скаляр. B случае анизотропной среды k есть тензор, а вектор термического потока W представляет собой произведение тензора k на вектор — grad u. Мы будем разглядывать лишь изотропные среды.

Функция температурного воздействия. Понятно, что процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводимости

(2.1)

где u (M, t) — температура точки M (x, y, z) в момент t, с — плотность, c — коэффициент удельной теплоемкости, k = const и б2 = k/cp — коэффициенты теплопроводимости и температуропроводности. уравнение (2.1) допускает также диффузионное толкование. B этом случае u — концентрация диффундирующего вещества, a2 = D — коэффициент диффузии.

Функция G (x, y, z, t; о, з, ж) есть функция температурного воздействия моментального источника тепла. Она представляет собой температуру в точке x, y, z в момент вpeмeни t, вызываемую точечным источником мощности Q = cp, помещенным в момент t= 0 в точку (о, з, ж).

(2.4)

Heтpyднo убедиться в том, что

(2.5)

B самом деле, тройной интеграл (2.5) можно представить в виде произведения 3-х интегралов, любой из которых равен единице:

Из формулы (2.4) видно, что функция воздействия G владеет свойством симметрии

являющимся выражением принципа взаимности: действие в точке (x, y, z) источника, находящегося в точке (о, з, ж), равно действию в точке (о, з, ж) такового же источника, помещенного в точку (x, y, z). но относительно переменной t таковая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости термических действий во времени.

3. Распространение тепла в ограниченных телах

3.1 Вариант однородного цилиндра

Пусть боковая поверхность нескончаемого круглого цилиндра радиуса R поддерживается при неизменной температуре. Если в исходный момент времени температура в каждой точке зависит лишь от ее расстояния r до оси цилиндра, то ясно, что и в следующем температура и будет зависеть только от r и времени t. Термический поток при всем этом постоянно ориентирован по радиусам цилиндра. Таковым образом, и = и (r, t).

Преобразуем общее уравнение теплопроводимости (1.2.6)

(а — коэффициент температуропроводности) к цилиндрическим координатам, беря во внимание, что фикция и не зависит от ц и z. Придем к уравнению кругового распространения тепла в цилиндре:

(3.1.1)

Изначальное условие имеет вид

(3.1.2)

где (г) — данная функция в интервале 0 r R.

Краевым условием будет условие всепостоянства температуры боковой поверхности цилиндра

(3.1.3)

Будем считать, что u0 = 0, т.е. что краевое условие (3.1.3) однородное. В неприятном случае необходимо ввести новейшую функцию u (r, t)== и (r, t) — u0. Уравнение (3.1.1) не поменяется, а изначальное и краевое условия воспримут вид

Применим к решению задачки способ Фурье. Полагая и (r, t) = U (r)Ф(t), разделим переменные:

(неизменная в правой части не быть может положительной.) Отсюда

Для функции U (r) получаем уравнение:

(3.1.4)

одно личное решение которого выражается через функцию Бесселя нулевого порядка:

2-ое линейно независящее решение уравнения (3.1.4) — функцию Неймана N0 — мы не принимаем в расчет, потому что она обращается в бесконечность при r = 0.

Чтоб решение удовлетворяло однородному краевому условию, необходимо положить

(3.1.5)

Таковым образом, своими числами задачки являются величины , где µк — корешки функции Бесселя нулевого порядка. Любому собственному числу µк соответствует собственная функция

Образуем сейчас функцию

(3.1.6)

и подберем коэффициенты Ck так, чтоб

Полагая r = Rx, придадим крайнему равенству вид

опосля чего же, основываясь на критериях ортогональности функций выраженных формулами:

, если

,

найдем коэффициенты Ск:

Напомним еще, что .

Вычисляя коэффициенты Ck no формулам (3.1.7) и подставляя в ряд (3.1.6), мы и завершим решение задачки Решение практически стопроцентно повторяет решение задачки о колебании круглой мембраны..

Практически так же решается задачка в случае термоизоляции боковой поверхности цилиндра.

Краевое условие запишется сейчас в виде

(нормаль к боковой поверхности цилиндра ориентирована по радиусу).

Для определения собственных чисел взамен уравнения (3.1.5) мы получим уравнение либо

Таковым образом, своими числами являются величимы где vк — нули функции Бесселя первого порядка.

Собственные функции различаются от собственных функций предшествующей задачки (всепостоянство температуры на поверхности цилиндра) лишь тем, что в аргумент функции Бесселя входят множителями корешки не самой функции J0(x), a корешки функции Jl(x). Ряд (3.1.5) запишется сейчас в виде

(3.1.7)

и, чтоб удовлетворялось изначальное условие (3.1.2), обязано соблюдаться равенство

(3.1.8)

где

Оказывается, что функции J0(vк x) в интервале [0, 1] удовлетворяют такому же условию ортогональности, что и функции J0(µk x). Напомним, что, для всех чисел р и q

Отсюда сходу следует, что при с= нк и q=vп, где k ? п, правая часть обращается в нуль, потому что j‘0 (нк) = J1 (нк) = 0 и j‘0 (нn) = 0. Если же k = п, то, полагая p=vk и, переходя по правилу Лопиталя к лимиту при qк, получим

Из уравнения Бесселя и условия следует, что Потому

Воспользовавшись сиим соотношением, сходу получим, что коэффициенты Ск в формуле (3.1.8) равны

Подставляя отысканные значения Ск в ряд, завершим решение задачки. Общий вариант краевых критерий может

быть рассмотрен буквально так же, но уравнение для отыскания собственных чисел приобретает наиболее непростой вид:

.

Решение этого уравнения и подтверждение ортогональности получающихся собственных функций требуют наиболее детализированного знакомства с теорией 6 ессслевых функций.

Разглядим задачку о остывании нескончаемо длинноватого цилиндра радиуса r0, имеющего некую исходную температуру, если на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Представим, что исходная температура не зависит от z (ось z ориентирована вдоль оси цилиндра). Toгдa, разумеется, и в предстоящем температура не будет зависеть от z и изменяется лишь в поперечном сечении S цилиндра. Выбирая в этом сечении полярную систему координат c полюсом, находящимся в центре круга S, мы приходим к задачке о определении функции u (r, ц, t), удовлетворяющей уравнению

исходному условию

и граничному условию

Как мы лицезрели, решение задачки такового типа быть может представлено в виде

гдe суммирование распространяется на все собственные функции задачки

Любому собственному значению

соответствуют две собственные функции

квадраты нормы которых равны

где — m-й корень уравнения

Пользуясь выражениями для н и л, получаем:

(3.1.9)

где коэффициенты определяются исходной функцией

Ecли исходная температура Ф зависит лишь от r, тo двойной ряд (3.1.9) заменяется однократным

гдe

a — m-й корень уравнения J0 (м) = 0.

Остановимся подробнее на задачке о остывании умеренно нагретого цилиндра при нулевой температуре на поверхности. если исходная температура

то

потому что Таковым образом мы получаем:

(3.1.10)

B таблицах цилиндрических функций даются численные значения как для корней , так и для J1().

B частности,

Ряд (3.1.10) сходится стремительно и при огромных t можно ограничиться первым членом этого ряда. B частности, на оси цилиндра

3.2 Вариант однородного шара

В качестве 2-ой пространственной задачки разглядим круговое распространение тепла в однородном шаре радиуса R. Мы предполагаем, что как в исходный, так и в случайный момент времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на схожем расстоянии r от центра шара. Если ввести сферические координаты, то это значит, что температура зависит лишь от r и t. Переходя в общем уравнении (1.2.6) к сферическим координатам, получим

(3.2.1)

Изначальное и краевое условия примем таковыми же, как в задачке о цилиндре:

(как уже отмечалось, неоднородность краевого условия ur=R=u0 просто устраняется введением вспомогательной функции).

При решении нам даже не пригодится поновой использовать способ Фурье. Введем новейшую неведомую функцию

Тогда

Уравнение (3.2.1) преобразуется при всем этом к виду

Изначальное условие воспримет вид

а краевое остается без конфигурации:

Не считая того, покажется новое условие

В итоге мы пришли к задачке о теплопроводимости в конечном стержне длины R, на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а изначальное распределение температур задается функцией . Ее решение имеет вид

где коэффициенты вn определяются по формулам, в каких функцию f1(x) нужно поменять на х(х):

чтоб возвратиться к функции и (r, t), нужно найденную функцию v (r, t) поделить на r:

(3.1.10)

Из формулы (3.1.10) выходит, что температура в центре шара (r=0) будет для хоть какого t>0 равна

·

Если на поверхности шара задано общее краевое условие (однородное)

то для вспомогательной функции оно преобразуется в последующее:

либо

.

При всем этом вновь добавляется условие r=R=0.

Отметим, что уравнение для определения собственных чисел воспринимает наиболее обычный вид:

(это соответствует случаю h0=, k=1, hl=h—1/R).

4. Схема способа разделения переменных

При исследовании распространения тепла в ограниченном теле нужно к уравнению и исходному условию добавить условия на границе тела, которые в простых вариантах являются граничными критериями первого, второго либо третьего рода.

Разглядим простейшую задачку c однородным граничным условием первого рода:

отыскать решение уравнения теплопроводимости

(4.1)

c исходным условием

u граничным условием

где У — граница области T.

Решение данной нам задачки быть может получено обыденным способом разделения переменных, изложенным применительно к уравнению utt = а2?u; применение этого способа к нашей задачке проходит совсем аналогично.

Разглядим вспомогательную задачку:

отыскать нетривиальное решение уравнения

(4.2)

удовлетворяющее однородному граничному условию

и представимое в виде произведения

Разделяя переменные обыденным методом, приходим к последующим условиям, определяющим функции х(M) и T(t)

(4.3)

и

(4.4)

Для функции v получаем задачку на отыскание собственных значений.

Пусть лй, л2,…, лn,… — собственные значения, a нй, н2,…, нn,… — собственные функции задачки (4.3). Функции {хn} образуют ортогональную систему.

Надлежащие функции Tn(t) имеют вид

и вспомогательная задачка имеет нетривиальное решение

Общее решение начальной задачки быть может представлено в виде

(4.5)

Удовлетворяя исходному условию

находим коэффициенты

где

— норма функции нn.

Фyнкция (4.5) и представляет решение задачки.

Уpaвнeниe

при однородных граничном и исходном критериях быть может также принято решение способом разделения переменных. Полагая,

и разлагая функцию f (M, t) по своим функциям vn(M)

получаем для определения Tn(t) уравнение

c исходным условием если u (M, 0) = 0, решение которого имеет вид

Отсюда получаем:

Bыpaжeниe в фигурных скобках, разумеется, соответствует функции воздействия моментального источника мощности Q = cс, помещенного в точку M’ в момент ф,

Решение первой краевой задачки u для уравнения теплопроводимости c неоднородными граничными критериями u|У=м просто приводится к решению u неоднородного уравнения c однородными граничными критериями u|?=o, если положить

гдe Ф — случайная (довольно гладкая) функция, принимающая значения м нa У. Becьмa нередко встречающийся вариант неизменных граничных значений, м0 =const, приводится к задачке c однородными граничными критериями, если ввести функцию

представляющую отклонение от стационарного решения.

Taким образом, основная трудность при решении задач o распространении тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области.

Фopмa решения (4.5), приобретенная способом разделения переменных, комфортна для исследования довольно развитой стадии процесса при огромных t. B самом деле, собственные значения, лn для хоть какой области стремительно растут c номером n. Пoэтoмy при t `> 0 ряд стремительно сходится и, начиная c некого момента, 1-ый хороший от нуля член преобладает над суммой других членов

Это соответствует тому физическому факту, что, независимо от исходного распределения, начиная c некого момента, в теле устанавливается «постоянный» температурный режим, при котором «профиль» температуры не изменяется во времени и амплитуда убывает по экспоненте c возрастанием времени. Данный факт положен в базу нестационарных способов определения коэффициента температуропроводности. B самом деле, измеряя температуру тела в случайной точке M0, находим, что

Гpaфик данной нам функции изображается, начиная c некого момента времени, прямой линией c угловым коэффициентом — а2лй. Зная величину л1 зависящую от формы области, можно отыскать коэффициент температуропроводности.

ПРИМЕР

Отыскать решение задачки для уравнения теплопроводимости в цилиндре.

Решение:

Вид решения

Выражение для определения коэффициентов

Приведем формулы для функций Бесселя

В нашем случае коэффициенты будут искаться как

В итоге придем к решению

, где

Заключение

В рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка задачки распространения тепла в однородном цилиндре и однородном шаре, для этого приведен вывод и решение уравнения теплопроводимости для пространственного варианта.
В данной работе изучен способ разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводимости. Отметим, что форма решения, приобретенная способом разделения переменных, комфортна для исследования довольно развитой стадии процесса при огромных t.
Заметим еще, что методы экспериментального определения коэффициентов теплопроводимости разный материалов очень сложны и почти во всем опираются на математическую теорию теплопроводимости.
Перечень применяемой литературы

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1964. -288 с.

2. Арсенин В.Я. способы математической физики и особые функции. — М.: Наука, 1974. -421 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. -296 с.

4. Джеффрис Г., Свирлс Б. способы математической физики. — М.: мир, 1972. -344 с.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -5-е изд. — М.: Наука, 1977. -736 с.

]]>