Учебная работа. Реферат: Числа, которые преобразили мир

Учебная работа. Реферат: Числа, которые преобразили мир

Герман Смирнов

Если сопоставить, что ученые различных веков гласили о связи меж арифметикой и физикой, несложно найти некоторую парадоксальную «оборотную пропорциональность»: чем больше фурроров в зании природы достигали исследователи при помощи математических способов, тем большее недоумение у их самих вызывали эти успехи.

В то время как Кеплер и Декарт, на самом деле дела, отождествляли природу с арифметикой, современные ученые ясно поняли, что связь меж беспристрастно имеющимся физическим действием и абстрактной, «придуманной людьми» математической закономерностью есть не наиболее чем интуитивное, ничем не обоснованное предположение, которое почему-либо дает достоверные пророчества. Узнаваемый южноамериканский физик, нобелевский лауреат Е. Вигнер прямо именует эффективность арифметики в естественных науках «непостижимой»…

Какой разительный контраст меж неколебимой уверенностью XVII века и уважительным колебанием XXI. Какое огромное количество драматических событий обязано было произойти до этого, чем стал вероятен этот переход от убежденности к сомнению!

Нужное историческое отступление

Если пристально разглядеть труды величавых естествоиспытателей XVII века – Галилея, Гюйгенса, Паскаля, Ньютона, Якоба и Иоганна Бернулли и др., – несложно убедиться, что это не последовательное, систематическое развертывание следствий и выводов, с математической строгостью вытекающих из начальных аксиом и постулатов, а набор наиболее либо наименее остроумно поставленных и роскошно решенных механических задач. При этом создатели этих решений никогда не упускали из виду, что объект их исследовательских работ состоит из мелких вещественных частиц – корпускул, молекул.

недозволено свести к геометрии, что физическая задачка обязана решаться синтетически – набором разнородных средств. здесь быть может и удачное наблюдение, и логическое рассуждение, и математический анализ, и применение какого-либо не весьма серьезного, но плодотворного и дающего не плохое разъяснение принципа, и смышленый изредка отходили далековато от реальности, и сочинения большинства из их сохранили достоверность и Ценность прямо до наших дней.

Если мы возьмем труды Ньютона, то не найдем в их той теоретической механики, которую мы все привыкли называть ньютоновой. В собственных величавых «Математических началах натуральной философии» он воспользовался синтетическо-геометрическим способом, и мы зря стали бы находить в этом трактате обычные нам с университетской скамьи «ньютоновы дифференциальные уравнения движения». Создав базы механики и способов математического анализа, величавый геометр XVII века не слил их воедино: эта миссия выпала на долю Эйлера.

Эту линию развития довелось окончить П.Далласу и Ж.Лагранжу. 1-ый из их считал, что настоящий мир быть может сведен хотя и к очень сложному, но одному уравнению, которое обхватит движение и самых огромных тел, и мелких атомов. Существо, наделенное довольно большенный памятью, анализируя это уравнение, могло бы, по воззрению Лапласа, «оглядеть одним взором как будущее, так и прошедшее». Что все-таки касается Лагранжа, то в вступлении к собственной известной «Аналитической механике» он в 1788 году писал, что геометрия на сто процентов изгнана со страничек его труда и что в нем нет ни 1-го чертежа, ни 1-го механического рассуждения. Единственное, чего же добивался его способ, – это алгебраические операции, подчиненные планомерному и монотонному ходу.

Чудилось бы, мысль тождественности механики и арифметики торжествовала, но некие современники Эйлера и Лагранжа проницательно указывали на потаенные недостатки в фундаменте их стройных теорий. Так, петербургский академик Даниил Бернулли ясно осознавал, что для составления уравнений движения потребовалось «обезличить» материю и. перевоплотить ее мельчайшую частичку – корпускулу – в математическую точку – носительницу 3-х координат, лишив ее всех физических параметров. Доказывая, что таковая операция неправильна, что законы движения недозволено свести к законам незапятанной геометрии без какой-нибудь физической догадки, Бернулли скорбел по поводу тех ученых, которые предпочитают жонглировать математическими формулами и знаками, не задумываясь о тех допущениях и принципах, при помощи которых математика привязывается, пристыковывается к физическим действиям.

История показала, что Бернулли был прав. «Обезличение» материи не прошло даром: к началу XIX века даже в границах механики математически приобретенные результаты иногда так очень расползались с реальностью, что физики и инженеры стали флегмантично и даже воинственно относиться к математическим исследованиям. Положение усугублялось тем, что величавые геометры XVII…XVIII веков, ставившие в центр собственных исследовательских работ механические задачки и рассматривавшие математические способы как средство, а не как цель, не уделяли достаточного внимания серьезному обоснованию начал самой арифметики, потому сначала XIX века часть сил была отвлечена на внутренние нужды, самой математической науки. В конце концов в первой половине XIX века возникли новейшие, не механические разделы физики – термодинамика и электромагнетизм, которые очевидно выпадали из рамок, очерченных уравнениями традиционной механики.

И вот в XIX веке все переменилось. Заместо величавого требования – выводить ход глобальных явлений – германский физик Г.Кирхгоф выдвинул требование еще наиболее скромное: задачка арифметики – обрисовывать физические явления более полным и обычным методом. Таковой взор лишил то либо другое математическое описание единственности и преобразовал эту науку в мастерскую, занятую созданием некоторых сеток, калек, которые при наложении на настоящий физический процесс показывали наиболее либо наименее много его значительные черты. В итоге один и этот же физический объект сейчас мог быть представлен десятками идиентично правильных математических описаний, и выбор того либо другого из их определялся не его корректностью, а удобством использования.

При схожей множественности идиентично правильных интерпретаций 1-го и такого же физического объекта либо процесса никого уже не беспокоило возникновение таковых математических образов и миров, «следа которых недозволено отыскать меж небом и Землей».

XIX век, доказав, что математика быть может обширнее известной в реальный момент действительности, что не многим придуманным ею образам и понятиям сходу обязано находиться соответствие в реальности, сделал математиков терпеливее и выдержаннее.

«Все явления мира могут быть сведены к механическим представлениям, – утверждал в XVII веке французский философ и математик Р.Декарт. – А поэтому все вокруг нас совершается математическим методом!»

Если новенькая закономерность не отыскала для себя незамедлительного практического внедрения, это совсем не означает, что она не заслуживает признания. История науки изобилует примерами, подтверждающими загадочный «закон», открытый французским математиком Эрмитом: «Все математически правильное рано либо поздно выходит из собственных узеньких пределов и приобретает наиболее обширное значение». Вправду загадочный закон, не правда ли? Ведь, в сути, он утверждает, что выдумка, составленная по неким правилам, рано либо поздно обнаружится в окружающем нас мире!

Поглядим, но, так ли уж загадочен этот закон?

«Гвозди», которыми математика «приколочена» к физике

Посреди бессчетных определений арифметики есть и такое, которое представляет ее как «цепочку тавтологий». Что это значит?

Согласно современным представлениям все содержательные утверждения можно поделить на две группы: те, которые констатируют факты, поддающиеся экспериментальной проверке, и те, которые не зависят от опыта и могут быть верны либо неверны, как словесные утверждения. Итак вот, утверждения второго рода именуются «тавтологиями», и они-то как раз и составляют содержание арифметики. «Утверждение является тавтологическим, – писал австрийский математик Р.Мизес, – если оно независимо от всех тестов, поэтому что оно ничего не гласит о реальности совершенно и представляет собой лишь переформулировку либо пересказ произвольно установленных логических правил».

Таковым образом, прав был Ч.Дарвин, когда утверждал: «Математика подобно жернову перемалывает только то, что под него засыплют». И почаще всего математическая «засыпка» представляет собой разные совокупы чисел, а содержание фактически арифметики – их перемалывание, другими словами такие операции, которые меняют форму, не меняя существа. Если ясно осознать это, эффективность арифметики в естественных науках не станет быть загадкой: ведь обработка чисел не привносит в их ничего новейшего, и если они соответствуют физической действительности, то и все, приобретенное из их при помощи умозрительных операций, тоже соответствует реальности, Таковым образом, все «секреты» и «потаенны» сосредоточены там, где непрерывные, континуальные физические величины преобразуются в ряды чисел. А это происходит не тогда, когда вычисляют, а тогда, когда определяют, другими словами «экспериментально при помощи меры ассоциируют данную величину с иной, однородной с нею величиной, принятой за единицу измерения». Требование однородности играет тут принципную роль, ибо лишь в границах 1-го рода, 1-го свойства может быть суммирование величин.

Несложно осознать, что конкретно в единицах измерений и укрыта потаенна необыкновенной эффективности арифметики в естественных науках, ибо эти единицы представляют собой, образно говоря, «гвозди», которыми математика «приколачивается» к физическим явлениям. И не случаем, что разработкой единиц измерений и их систем занимались самые выдающиеся и чуткие ученые мира.

Первым из их следует именовать величавого германского математика, физика, астролога и топографа К.Гаусса. В 1832 году он опубликовал работу «Напряжение земной магнитной силы, приведенное к абсолютной мере», в какой показал, что, выбрав независящие друг от друга единицы измерений нескольких главных физических величин, можно при помощи физических законов установить единицы измерений всех физических величин, входящих в тот либо другой раздел физики. совокупа единиц, образованных таковым методом, получила заглавие «системы единиц», и первой из их стала предложенная Гауссом система СГС, в какой в качестве главных фигурировали единицы длины, массы и времени – сантиметр, гр и секунда. Все таки остальные просто выводились из их. Скажем, скорость – путь, пройденный за единицу времени, – обязана измеряться в см/с; убыстрение – изменение скорости в единицу времени – в см/с2
. Сила, определяемая по второму закону Ньютона как произведение массы на убыстрение, – в см·г/с2
; работа – произведение силы на путь – в г·см2
/с2
; а мощность – работа в единицу времени – в г·см2
/с2
и т.д.

Ясно, что совокупа главных и всех мыслимых производных единиц системы СГС представляет собой не что другое, как сверхкраткий курс механики, закодированный в размерностях. Возникает естественный вопросец: может ли отдать ценных для науки результатов их математический анализ?

В «перекрестиях» длины и времени

Сложность цивилизации, как в зеркале, отражается в трудности, применяемых ею единиц измерения.

потребности древнего мира просто удовлетворялись считанными единицами – угла, длины, веса, времени, площади, размера, скорости. А в наши деньки Интернациональная система единиц измерений, кроме 7 главных единиц (длина, масса, время, количество вещества, температура, сила тока и сила света), содержит две доп (тонкий и телесный угол) и около 200 производных, применяемых в механике, термодинамике, электромагнетизме, акустике, оптике. Не считая Интернациональной системы, употребляется на практике и ряд остальных систем; СГС – сантиметр, гр массы, секунда; британская FPS – фут, фунт, секунда и т.д. Хотя с 1963 года Интернациональная система является предметом законодательных актов в почти всех странах, посреди ученых длятся споры о более обоснованном выборе числа и вида главных единиц.

По правде, почему в свое время Гаусс принял в качестве главных конкретно три единицы, а, скажем, не 5 либо одну? Почему их число потом пришлось прирастить до 7? Есть гарантии, что в дальнейшем не придется расширять этот перечень далее? Имеется ли серьезное обоснование у всех имеющихся систем, либо в базе их лежат не поддающиеся серьезному определению суждения удобства использования? Идея о том, что для построения всей системы единиц измерений довольно всего 2-ух величин – длины и времени, – не нова; в 1873 году о этом гласил Дж. Максвелл, а с 1941 года ее пропагандировал и отстаивал британский ученый Б.Браун. В 1965 году опубликовал свою первую работу в данной для нас области узнаваемый русский авиаконструктор Р. ди Бартини, который позже получил ряд принципиальных и увлекательных результатов вместе с кандидатом хим наук П.Кузнецовым.

Разработанная ими кинематическая система физических величин состоит из нескончаемых вертикальных столбцов, представляющих из себя ряд целочисленных степеней длины (на рисунке их количество ограничено интервалом от L–3
до L+6
) и нескончаемых горизонтальных строк – целочисленных степеней времени (в нашем случае от Т–6
до Т+3
). Пересечение всякого столбца и каждой строчки автоматом дает размерность той либо другой физической величины.

Dim.
L–1

L0

L1

L2

L3

L4

L5

L6


T–6

Скорость переноса мощности (мобильность)

T–5

Мощность

T–4

Удельный вес

градиент давления

Давление

Напряжение

Поверхностное натяжение

Твердость

Сила
Энергия
Скорость переноса момента импульса (тран)

T–3

Массовая скорость
Вязкость
Массовый расход
Импульс
момент импульса

T–2

Угловое убыстрение
Линейное убыстрение
Потенциал гравитационного поля
Масса
Динамический момент инерции

T–1

Угловая скорость
Линейная скорость
Скорость конфигурации площади

T0

Кривизна
Безразмерные величины (радиан)
Длина
Площадь
Размер
момент инерции площади плоской фигуры

T1

Период

T2

Становым хребтом таблицы можно считать столбец L0
и строчку Т0
, на перекрестии которых находится типичная опорная точка системы; совокупа всех безразмерных физических констант. (Примером крайних может служить угол, выраженный в радианах.) Идя от данной для нас точки по горизонтали на Право, мы получаем все чисто геометрические величины – длину, площадь, размер, перенос размера вдоль прямой, перенос размера на анизотропной площади и перенос размера в анизотропном пространстве. Перемещение же от нее на лево дает распределение каких-то безразмерных величин на единицу длины, площади и размера. (Простым примером величины L–1
· T0
может служить изменение угла поворота на единицу длины – кривизна.)

Труднее осознать смысл величин, находящихся в клеточках столбца при перемещении по вертикали. Двигаясь ввысь, мы получаем поначалу частоту – изменение безразмерной величины за единицу времени. В простом случае это угловая скорость – изменение во времени угла поворота, выраженного в радианах. Потом следует изменение конфигурации безразмерной величины за единицу времени. В случае вращательного движения это представляет собой изменение угловой скорости, другими словами угловое убыстрение, и т.д.

Перемещение вниз от опорной точки дает «временную длину», другими словами время, в течение которого происходит то либо другое изменение безразмерной величины. В простом случае осциллирующего либо вращательного движения это период. Считая время их, не зависящим от направления перемещения, мы можем ограничиться лишь «временной длиной», которая в совокупы с изотропным трехмерным местом образует всем нам знакомое по учебникам четырехмерное место – время. Но могут существовать и наиболее сложные случаи. Скажем, два скрепленных взаимно перпендикулярных маятника зависимо от направления убыстрения будут давать разные показания. Для учета этого происшествия требуется времени, а на право – переносу величины на единицу длины, несложно заполнить все клеточки кинематической системы. Скажем, в столбце L1
переход на этаж над единицей длины дает линейную скорость, другими словами изменение длины во времени. Поднявшись выше, мы получаем изменение данной для нас величины за единицу времени – другими словами линейное убыстрение. Еще выше размещено логически представимое, но не использующееся в физике понятие – изменение линейного убыстрения за единицу времени, и т.д. Ниже клеточки L1
T0
размещена встречающаяся в физике, но не имеющая специального наименования величина – время, нужное на изменение длины на единицу. Построив буквально таковым же образом все другие столбцы, мы получим таблицу, в какой перемещение на искосок на Право и ввысь эквивалентно умножению начальной величины на линейную скорость.

Не правда ли, стройная и логическая система! Но в ней укрыты два подводных камня. До этого всего: при избранных нами границах в полностью заполненной таблице насчитывается 100 физических величин. По самому умеренному подсчету, наиболее половины из их пока не употребляется в науке. В то же время, как мы уже указывали, в научном обиходе на данный момент применяется не наименее 200 главных и производных единиц измерений, большей части которых мы не лицезреем в нашей разумно построенной системе.

В чем все-таки дело? Почему возникает настолько существенное количественное расхождение?

Причина в том, что одну и ту же размерность могут иметь разные физические величины. Скажем, в метрах измеряется и длина отрезка, и путь, пройденный точкой, и величина радиус-вектора, соединяющего передвигающуюся точку с полюсом. Потому любая клеточка таблицы описывает не одну, а целый набор различных физических величин, имеющих, но, схожую размерность.

2-ой подводный гранит – отсутствие привязки таблицы к физической действительности, выражающееся в том, что в ней есть пока лишь «конфигурации», «скорости» и «убыстрения», но нет таковых базовых величин, как масса, сила, энергия и др. Но способ преодоления данной для нас трудности был подсказан Дж. Максвеллом еще в 1873 году, когда он в собственном трактате «Электричество и магнетизм» установил, что размерность массы – L3
· Т–2
. Основой для этого важного выражения послужил 3-ий законИ.Кеплера, чисто эмпирически установившего: отношение куба радиуса орбиты, по которой планетка обращается вокруг Солнца, к квадрату периода ее воззвания есть величина неизменная. Позже Ньютон растолковал, что значит данный факт: формула обосновывала существование некоторой величины, которую он именовал массой и которая сохраняется неизменной в планетных движениях…

От массы несложно перейти к размерности импульса – количества движения – методом умножения ее на скорость: для этого довольно переместиться в клеточку на искосок ввысь и на Право. Клеточка ввысь по вертикали дает изменение импульса во времени – силу, а клеточка по горизонтали на Право – две величины, получающиеся умножением импульса на длину. Если произведение векторное, мы имеем векторную же величину – момент импульса. А если скалярное – то опять-таки скалярную, нередко применяемую в теоретической физике, – действие.

Умножив силу на путь, другими словами, переместившись по горизонтали на Право, получаем одну и ту же размерность для скалярной величины – работы либо энергии – и для векторной – момента силы. Поднявшись по вертикали ввысь, что значит изменение энергии за единицу времени, получаем размерность мощности, и т.д.

Таблица законов природы

В таком «офизиченном» виде таблица стала наиболее приятной и дозволила Р.ди Бартини и П.Кузнецову создать принципиальное предположение: не является ли она таблицей законов природы? Ведь, в сути, открыть законприроды – означает установить экспериментально круг явлений, в каких сохраняется неизменной одна либо несколько из находящихся в таблице величин. А так как все физические величины, в том числе и способные оставаться в тех либо других действиях неизменными, находятся в ней, то можно утверждать, что в каждой ее клеточке, образно говоря, гнездятся как известные, так и не открытые еще законы природы.

Скажем, в клеточку L2
T–4
ложится законГука, который можно разглядывать как законвсепостоянства модуля упругости, имеющего конкретно эту размерность. А в клеточку L1
T–2
– законосциллирующего движения маятника, сущность которого состоит в всепостоянстве убыстрения силы тяжести, и т.д. Но более важную роль в истории развития науки сыграли так именуемые законы сохранения…

Один из их мы уже знаем – это установленный Кеплером в 1619 году законвсепостоянства массы в планетных движениях. Но он не был первым в истории законом сохранения. Таким стал известный 2-ой законКеплере, датированный 1609 годом: секториальная скорость – площадь, ометаемая в единицу времени радиус-вектором планетки, передвигающейся по орбите, есть величина неизменная.

3-ий в истории закон сохранения – закон сохранения импульса – открыл в 1686 году И.Ньютон, и опосля этого наступил наиболее чем вековой перерыв. Только на переломе веков – в 1800 году – П.Лаплас оповестил о четвертом законе – законе сохранения момента импульса. Спустя 42 года Р.Майер открытием величавого закона сохранения энергии продолжил ряд, а Дж. Максвелл в 1855 году окончил его, доказав законсохранения мощности, нужной для существования неизменного поля.

Несложно убедиться, что таблица Р. ди Бартини и П.Кузнецова дозволяет упорядочено расположить эти 6 законов. Они идут от безразмерных констант на искосок на Право и ввысь, характеризуя тенденцию к включению в физическую картину мира все наиболее сложных понятий. При этом новейшие, наиболее сложные величины включают прежние законы сохранения на правах личных случаев, открывая такие классы явлений, в каких они утрачивают свою силу.

XX век распространил сферу внедрения физических величин на процессы экономической жизни, в какой потребовались надежные аспекты оценки работы промышленных компаний и транспорта. И оказалось, что тут тоже действуют законы сохранения. 1-ый из их был сформулирован Р. ди Бартини и П.Кузнецовым к 1973 году, как законсохранения мобильности – так они окрестили скорость переноса мощности L6
· T–6
. Чтоб осознать смысл данной для нас величины, разглядим работу экскаватора. Приведение в действие его ковша и поворот стрелы характеризуются некой – время от времени очень значимой – мощностью. Но, пока он не у дел, о ней нет и речи, тут требуется иная мощность – на транспортировку авто либо жд платформы, доставляющей экскаватор к месту работы. Это событие и учитывается мобильностью – аспектом с размерностью L6
· Т–6
.

Мобильность наличного парка экскаваторов есть величина неизменная, потому при планировании земельных работ сроки должны назначаться так, чтоб она не оказалась превышенной. В неприятном случае управляющий может оказаться в положении короля из сказки Сент-Экзюпери. «Если я прикажу моему генералу обернуться чайкой, и он не выполнит этого приказания, то кто будет в этом повинет: я либо он?» – допытывался повелитель у Малеханького Царевича. И получал на это совсем справедливый ответ: «Вы, ваше величество!»

Таблица дозволила открыть еще один закон сохранения. Понятно, как принципиально отыскать беспристрастный аспект для оценки эффективности работы транспорта. На данный момент для этого употребляют произведение веса перевозимых грузов на длину пути – так именуемые тонно-километры L4
· Т–2
. Из данной для нас величины разумно выводится размерность часовой производительности транспорта – L4
· Т–3
– произведение веса на скорость. Несложно созидать: в этом аспекты неявно предполагается, что если вес поезда прирастить в 2 раза, то скорость его при той же мощности обязана уменьшиться во столько же раз. В реальности этого не происходит, а скорость миниатюризируется всего в 21/3
, другими словами в 1,26 раза.

Причина такового мощного расхождения – некорректность выбора аспекта для оценки транспортных услуг, и таблица дозволяет предложить для данной для нас цели иную величину. Работа транспортного средства пропорциональна произведению мощности на время – кубу скорости и массе. Потому просто убедиться, что аспектом оценки работы транспорта обязана быть величина

L3
· T–2
· L3
· Т–3
· Т ≈ L6
· Т–4
.

В 1980 году П.Кузнецов и Р.Примерна предложили употреблять в экономических расчетах эту величину, которой они дали заглавие «тран».

Что все-таки новейшего дает применение трана по сопоставлению с тонно-километрами?

Из размерности трана можно усмотреть, что он учитывает массу груза, длину пути и квадрат скорости, в то время как в тонно-километры скорость совершенно не заходит. Потому оплата (выдача денег по какому-нибудь обязательству) труда, скажем, в жд транспорте при оценке при помощи тонно-километров совсем не учитывает скорости доставки грузов и пассажиров, другими словами не поощряет серьезного соблюдения расписания. Применяя траны, мы приходим к таковой системе стимулирования, которая просит четкого выполнения графика движения поездов…

До сего времени все наши рассуждения ограничивались кругом понятий, выводимых из поведения передвигающихся точек, наделенных массами. Введение в рассмотрение представлений о гравитационном поле, о динамике жестких, водянистых и газообразных тел просит включения в таблицу новейших механических величин, не имеющих внедрения в динамике точки. Учтя некие наиболее сложные и тонкие детали, можно включить в таблицу электромагнитные, термо и световые величины.

Вот почему расширение поля физических представлений ведет как к наполнению пустующих клеток таблицы, так и к «разбуханию» уже заполненных. В крайнем случае мы сталкиваемся со типичными, попадающими в одну и ту же клеточку таблицы величинами.

Выработка новейших физических понятий на базе теории размерностей, также понимание глубинных связей меж «размерными изотопами» еще далековато не завершены, и не исключено, что до окончания нашего столетия наука будет обогащена открытием новейших, еще пока не найденных в природе законов сохранения.

]]>