Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Позиционные системы счисления
Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления
Системой счисления именуется совокупа приемов наименования и записи чисел. В хоть какой системе счисления для представления чисел выбираются некие знаки (их именуют цифрами), а другие числа получаются в итоге каких-то операций над цифрами данной системы счисления.
Система именуется позиционной, если
Число единиц какого-нибудь разряда, объединяемых в единицу наиболее старшего разряда, именуют основанием позиционной системы счисления. Если количество таковых цифр равно P, то система счисления именуется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, применяемых для записи чисел в данной для нас системе счисления.
Запись случайного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + … + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + … + a-mP-m
Арифметические деяния над числами в хоть какой позиционной системе счисления выполняются по этим же правилам, что и десятичной системе, потому что они все основываются на правилах выполнения действий над надлежащими многочленами. При всем этом необходимо лишь воспользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P>1 обычно употребляют последующий метод:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, опосля что запоминается остаток от деления. Приобретенное личное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура длится до того времени, пока личное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, оборотном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она множится на P, опосля что целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь приобретенная дробная часть множится на P и т.д. Процедура длится до того времени, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются опосля двоичной запятой в порядке их получения. Результатом быть может или конечная, или повторяющаяся двоичная дробь. Потому, когда дробь является повторяющейся, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и наслаждаться приближенной записью начального числа в системе с основанием P.
Примеры решения задач
1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить 5 символов опосля запятой в двоичном представлении).
Решение.
464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94
232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88
116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76
58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52
а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04
14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08
7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16
3 | 1 2 | 0
1 | 1 1 | 1
а) 464(10)=111010000(2); б) 380,1875(10)=101111100,0011(2); в) 115,94(10)»1110011,11110(2) (в реальном случае было получено 6 символов опосля запятой, опосля что итог был округлен).
Если нужно перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, довольно соединить числа двоичного числа в группы по столько цифр, каковой показатель степени, и употреблять приведенный ниже метод. к примеру, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три числа (8=23). Итак, в целой части будем создавать группировку справа влево, в дробной — слева вправо. Если в крайней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Потом любая группа заменяется соответственной цифрой новейшей системы. Соответствия приведены в таблицах.
P
2
00
01
10
11
4
0
1
2
3
P
2
000
001
010
011
100
101
110
111
8
0
1
2
3
4
5
6
7
P
2
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).
0011 1101 0101,1100(2)=3D5,C(16).
При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления нужно пронумеровать разряды целой части справа влево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сходу опосля запятой слева вправо (исходный номер -1). Потом вычислить сумму произведений соответственных значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть нужно иметь надлежащие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.
+
0
1
0
0
1
1
1
10
´
0
1
0
0
0
1
0
1
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16
´
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
´
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
2
0
2
4
6
8
A
C
E
10
12
14
16
18
1A
1C
1E
3
0
3
6
9
C
F
12
15
18
1B
1E
21
24
27
2A
2D
4
0
4
8
C
10
14
18
1C
20
24
28
2C
30
34
38
3C
5
0
5
A
F
14
19
1E
23
28
2D
32
37
3C
41
46
4B
6
0
6
C
12
18
1E
24
2A
30
36
3C
42
48
4E
54
5A
7
0
7
E
15
1C
23
2A
31
38
3F
46
4D
54
5B
62
69
8
0
8
10
18
20
28
30
38
40
48
50
58
60
68
70
78
9
0
9
12
1B
24
2D
36
3F
48
51
5A
63
6C
75
7E
87
A
0
A
14
1E
28
32
3C
46
50
5A
64
6E
78
82
8C
96
B
0
B
16
21
2C
37
42
4D
58
63
6E
79
84
8F
9A
A5
C
0
C
18
24
30
3C
48
54
60
6C
78
84
90
9C
A8
B4
D
0
D
1A
27
34
41
4E
5B
68
75
82
8F
9C
A9
B6
C3
E
0
E
1C
2A
38
46
54
62
70
7E
8C
9A
A8
B6
C4
D2
F
0
F
1E
2D
3C
4B
5A
69
78
87
96
A5
B4
C3
D2
E1
3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).
10000000100 223,2 3B3,6
+ 111000010 + 427,54 +38B,4
———— ——- ——
10111000110 652,74 73E,A
4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) — 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) — 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) — 191,2(16) = EC,B8(16).
1100000011,011 1510,2 27D,D8
— 101010111,1 -1230,54 -191,2
————— ——- ——
110101011,111 257,44 EC,B8
5. Выполнить умножение:
а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).
100111 1170,64 61,A
*1000111 * 46,3 *40,D
————- ————— ———-
100111 355 234 4F 52
+ 100111 + 7324 70 + 1868
100111 47432 0 ———-
100111 ————- 18B7,52
————- 57334,134
101011010001
задачки по позиционным системам счисления
Контрольные вопросцы и задания
Отдать определение системы счисления. Именовать и охарактеризовать характеристики системы счисления.
Какие знаки употребляются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?
Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?
Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?
Зашифруйте последующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.
Дешифрируйте последующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.
Дешифрируйте последующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.
Дешифрируйте последующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.
]]>