Учебная работа. Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Учебная работа. Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшего проф образования «Самарский муниципальный институт»

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004

Аксиома существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

с исходным условием

Пусть в замкнутой области Rфункции и непрерывны). Тогда на неком отрезке существует единственное решение, удовлетворяющее исходному условию .

Поочередные приближения определяются формулами:

k = 1,2….

Задание №9

Перейти от уравнения

к системе обычного вида и при исходных критериях

, ,

выстроить два поочередных приближения к решению.

Произведем подмену переменных

;

и перейдем к системе обычного вида:

Построим поочередные приближения

Задание №10

Выстроить три поочередных приближения к решению задачки

,

Построим поочередные приближения

Задание №11

а) Задачку

,

свести к интегральному уравнению и выстроить поочередные приближения

б) Указать какой-нибудь отрезок, на котором сходятся поочередные приближения, и обосновать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость поочередных приближений

При помощи способа поочередных приближений мы можем выстроить последовательность

непрерывных функций, определенных на неком отрезке , который содержит снутри себя точку . Любая функция последовательности определяется через предшествующую с помощью равенства

i = 0, 1, 2 …

Если график функции проходит в области Г, то функция определена сиим равенством, но для того, чтоб могла быть определена последующая функция , необходимо, чтоб и график функции проходил в области Г. Этого удается достигнуть, выбрав отрезок довольно маленьким. Дальше, за счет уменьшения длины отрезка , можно достигнуть того, чтоб для последовательности производились неравенства:

, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает последующее:

, i = 1, 2, …,

Разглядим нашу функцию на довольно малом отрезке, содержащим , к примеру, на . На этом промежутке все поочередные приближения являются непрерывными функциями. Разумеется, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от нескончаемо малого наиболее высочайшего порядка, чем предшествующее приближение, то производятся и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

что и является условием равномерной сходимости поочередных приближений.

С иной стороны, на нашем отрезке производится , что также совсем разумеется. А потому что последовательность сходится, то последовательность приближений является умеренно сходящийся на этом отрезке.

Перечень литературы

Л.С. Понтрягин. «Простые дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

О.П. Филатов «Лекции по обычным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский институт», 1999

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998

]]>