Учебная работа. Реферат: Замечательные кривые в математике

Учебная работа. Реферат: Замечательные кривые в математике

Ровная и окружность

Ровная и окружность — две более обыкновенные и совместно с тем более примечательные по своим свойствам кривые. Хоть какой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с иными кривыми. Но пусть он не задумывается, что ему отлично известны все важные характеристики прямых и окружностей. понимает ли он, к примеру, что если верхушки 2-ух треугольников АВС и A’B’C’ лежат на 3-х прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К., L пересечения соответствующих сторон треугольников АВ с А’В’, ВС с В’С’ и АС с А’С’ должны находиться на одной и той же прямой?

Рис. 1. Рис. 2.

Читателю, естественно, понятно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от 2-ух недвижных точек F1
и F2
той же плоскости, т. е. так, что MF1
= MF2
; обрисовывает прямую (рис. 2). Но, возможно, он затруднится ответить, какую кривую обрисует точка М, если ее расстояние до точки F1
будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F2
(к примеру, в два раза, как на рис. 3). Оказывается, что данной нам кривой является окружность. Как следует, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из 2-ух недвижных точек F1
и F2
плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до иной точки:

Рис. 3.

MF1
= kMF2
,

то М будет обрисовывать или прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице), или окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы).

Рис. 4.

Разглядим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний данной нам точки до 2-ух недвижных точек F1
и F2
остается постоянной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя поначалу нить ненатянутой. Если оттянуть сейчас нить при помощи вертикально поставленного карандаша и потом передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтоб нить была натянутой (рис. 4), то острие М карандаша обрисует кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг); она именуется эллипсом.

Чтоб получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, опосля того как будет описана одна половина эллипса. Разумеется, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F1
и F2
остаётся постоянной во все время движения; эта сумма равна длине нити.

Рис. 5.

Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, именуемые фокусами эллипса. слово фокус в переводе с латинского значит «очаг», «огнь»; оно оправдывается последующим восхитительным свойством эллипса.

Если искривить неширокую полоску отлично отполированного сплава по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огнь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полосы, соберутся в другом фокусе; потому и во 2-м фокусе будет также виден «огнь» — изображение первого (рис. 5.).

Циклоида

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч либо круг (картонный либо древесный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу либо кругу кусочек мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел бу­дет вычерчивать кривую (рис. 37), именуемую циклоидой (что по-гречески означает «кругообразная»). Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM’M»N’, если обруч будет катиться далее, то будут получаться к тому же еще арки той же циклоиды.

Рис. 6.

Чтоб выстроить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча поперечником, равным, к примеру, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.

.Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности поперечником в три сан­тиметра. Разделим дальше этот отрезок на некое число равных частей, к примеру на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его поло­жении, когда он опирается конкретно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Чтоб перейти из 1-го положения в примыкающее, обруч должен оборотиться на одну шестую полного оборота ^потому что расстояние меж примыкающими точками деления равно 6-ой части окружности). Потому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0
, то в положении 1 он будет лежать в точке M1
— на одной 6-ой окружности от точки касания, в положении 2 — в точке М2
— на две шестых от точки касания и т. д. Чтоб получить точки M1
, M2
, М3
и т.д., необходимо только создавать зарубки соответственной окружно­сти, начиная от точки касания, радиусом, равным

Рис. 7.

1,5 см, при этом в положении 1 нужна одна зарубка, в положении 2 — две зарубки, выполненные одна за иной, в положении 3 — три зарубки и т. д. сейчас для вычерчивания циклоиды остается соединить точки

М0
, M1
, М2
, М3
, M4
, M5
, M6

плавной кривой (на глаз).

Кривая кратчайшего спуска

Посреди почти всех восхитительных параметров циклоиды от­метим одно, из-за которого она заслужила звучно звучащее замысловатое заглавие: «брахистохрона». Это заглавие составлено из 2-ух греческих слов, значащих «кратчайший» и «время».

Разглядим таковой вопросец: какую форму следует придать отлично отшлифованному железному желобу, соединяющему две данные точки А и В (рис. 8.), чтоб полированный железный шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На 1-ый взор кажется, что необходимо тормознуть на прямолинейном желобе, так как вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Но речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только лишь от длины пути, да и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по

Рис. 8.

нему, приобретет скорость огромную, чем на участке таковой же длины прямолинейного желоба. Но если сде­лать исходную часть весьма крутой и сравнимо длинноватой, то тогда часть, примыкающая к точке В, бу­дет весьма пологой и также сравнимо длинноватой; первую часть шарик пройдет стремительно, вторую весьма медлительно и шарик может опоздать с приходом в точку

Рис. 9.

В. Итак, желобу, по-видимому, необходимо придавать вогнутую форму, но созодать выгиб не очень значимым.

Итальянский физик и астролог Галилей (1564 — 1642) задумывался, что желоб кратчайшего времени необходимо выгибать по дуге окружности. Но швейцарские арифметики братья Бернулли около трехсот лет тому вспять обосновали четким расчетом, что это не так и что желоб необходимо выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 9.). С того времени циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а подтверждения Бернулли послужили, началом новейшей отрасли арифметики — вариационного исчисления. Крайнее занимается оты­сканием вида кривых, для которых та либо другая интересующая нас величина добивается собственного меньшего (а в неких вопросцах — большего) значения.

Спираль Архимеда

Вообразим нескончаемо длинноватую секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит небольшой жучок с неизменной скоростью v см/с. Через минутку жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две — 120v и т.д. Совершенно, через t секунд опосля начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка оборотится на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает оборотиться на угол 360°:60 = 6°). Потому положение жучка на плоскости циферблата через хоть какое число t секунд опосля начала движения находится так. необходимо отложить от исходного положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль новейшего положения стрелки расстояние r = vt см. здесь мы и настигнем жучка (рис. 10.).

Рис. 10.

Разумеется, что соотношение меж углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:

r = (va)/6

Другими словами, r прямо пропорционально a, при этом коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну небольшую, но неистощимую баночку с темной краской и допустим, что краска, вытекая через крохотное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого совместно со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет равномерно вырисовываться кривая, в первый раз изученная Архимедом (287 — 212 до н.э.). В его честь она именуется спиралью Архимеда. необходимо лишь сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (и тогда часов с пружиной не было: их изобрели лишь в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их тут для наглядности.

Рис. 11. Рис. 12.

Спираль Архимеда состоит из нескончаемо почти всех витков. Она начинается в центре циферблата, и все наиболее и наиболее удаляется от него по мере того, как вырастает число оборотов. На рис. 42 изображены 1-ый виток и часть второго.

Вы, наверняка, слышали, что при помощи циркуля и линейки нереально поделить на три равные части наудачу взятый угол (в личных вариантах, когда угол содержит, к примеру, 180°, 135° либо 90°, эта задачка просто решается). А вот если воспользоваться аккуратненько на­черченной архимедовой спиралью, то хоть какой угол можно поделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, к примеру, угол АОВ на три равные части (рис. 12.). Если считать, что стрелка оборотилась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был в три раза меньше, то и жучок был в три раза поближе к центру О. Чтоб отыскать это его положение, разделим поначалу отрезок ON на три равные части. Это можно создать при помощи циркуля и линейки. Получим отрезок ON1
, длина которого в три раза меньше, чем ON. Чтоб возвратить жучка на спираль, необходимо создать зарубку данной нам кривой радиусом ON1
(опять циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет в три раза меньше угла AON.

задачки Архимеда

Самого Архимеда занимали, но, остальные, наиболее трудные задачки, которые он сам поставил и решил: 1) отыскать площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить метод построения касательной к спирали в какой-нибудь ее точке N.

Замечательно, что обе задачки представляют собой самые ранешние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур рассчитываются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся при помощи производных. Потому Архимеда можно именовать предшественником математического анализа.

Для первой из нареченных задач мы просто укажем итог, приобретенный Архимедом: площадь фигуры составляет буквально 1/3 площади круга радиуса О А. Для 2-ой задачки можно показать ход ее решения, несколько упростив при всем этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок обрисовывает спираль, в каждой точке N ориентирована по касательной к спирали в данной нам точке. Если будем знать, как ориентирована эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из 2-ух разных движений (рис. 13.): одно — по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое — вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтоб представить крайнее, допустим, что жучок застыл на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься совместно со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость крайнего вращательного движения ориентирована по касательной к окружности. А какова ее величина? Если б жучок мог обрисовать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он сделал бы путь, равный 2л ON [см]. Потому что скорость при всем этом оставалась бы неизменной по величине, то для ее отыскания необходимо поделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = ( л ON)/30

[см/с] т. е. немногим наиболее, чем:

0,1ON [см/с] ( л /30 3,14/30 0,105).

сейчас, когда мы знаем обе составляющие скоро­сти в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную

( л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к совместно с тем обусловит направление касательной NT к спирали в данной точке.

Логарифмическая спираль

Кривую эту можно было бы именовать по имени Декарта, потому что в первый раз о ней говорится в одном из его писем (1638 г.). Но подробное исследование ее параметров было проведено лишь полста лет спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти характеристики произвели мощное воспоминание. На каменной плите, водруженной на могиле этого известного математика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедову спираль обрисовывает точка, передвигающаяся вдоль луча («нескончаемой стрелки») так, что расстояние от начала луча увеличивается пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если востребовать, чтоб не само расстояние, а его логарифм рос прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п. 25). Таковой логарифм числа r именуют натуральным логарифмом и обозначают Inr. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде lnr = ka

естественно, угол поворота а можно определять как и раньше в градусах. Но арифметики предпочитают определять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности меж сторонами центрального угла к радиусу данной нам окружности. Тогда ловорот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1,57, поворот на величину развернутого угла — числом л 3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28.

Рис. 13.

Из почти всех параметров логарифмической спирали, от­метим одно: хоть какой луч, выходящий из начала, пересекает хоть какой виток спирали под одним и этим же углом. Величина этого угла зависит лишь от числа k в уравнении спирали. При всем этом под углом меж лучом и спиралью понимается угол меж сиим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13).

Аксиома Паскаля

Б. Паскалю (1623—1662) не было к тому же 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. О его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; лишь два из их дошли до нашего времени. Несколько таковых афиш были расклеены на стенках домов и церквей Парижа. Пусть читатель не удивляется этому. Ведь тогда (1640 г.) еще не было научных журналов, на страничках которых можно было бы говорить остальным ученым о собственном открытии. Такие журнальчики возникли только четверть века спустя, практически сразу во Франции и Великобритании. Но вернемся к Паскалю.

Хотя его афиша и была написана на французском языке, а не на латинском, как это было тогда принято, парижане, глазея на нее, навряд ли могли осознать, о чем там речь идет. Так сжато, без доказательств и пояснений излагал юный превосходный создатель свои мысли.

Сначала афиши опосля 3-х определений шла под заглавием «леммы 1» аксиома, которую мы перескажем тут иными словами. Отметим на окружности какие-либо 6 точек, перенумеруем в любом порядке (не непременно в том, в котором они размещены на окружности) и соединим их отрезками пря­мых; крайний из их свяжет шестую точку с первой (рис. 14). Аксиома Паскаля утверждает, что три точ­ки пересечения прямых, приобретенных продолжением этих 6 отрезков, взятых через две: первой с четвертой, 2-ой с пятой и третьей с 6-ой, будут лежать на одной и той же прямой.

Рис. 14.

Попытайтесь сами создать несколько опытов, разбрасывая по-разному точки на окружности (рис. 15).

Рис. 15.

При всем этом может случиться, что какие-либо прямые, пересечение которых мы отыскиваем, к примеру, 1-ая и 4-ая, окажутся параллельными. В этом случае аксиому Паскаля необходимо осознавать так, что ровная, соединяющая две остальные точки пересечения, параллельна обозначенным прямым (рис. 16).

Рис. 16.

В конце концов, если вприбавок окажутся параллельными меж собой и 2-ая ровная с пятой, то в этом особом случае, аксиома Паскаля утверждает, что и прямые крайней пары — 3-я и шестая — окажутся параллельными.

Рис. 17.

С таковым случаем мы встретимся, к примеру, когда точки на окружности являются верхушками правильного вписанного шестиугольника, перенумерованными в порядке следования на окружности (рис. 17). Паскаль не ограничился тем, что определил свою аксиому для окружности. Он увидел, что она обязана оставаться верной, если заместо окружности взять хоть какое коническое сечение: эллипс, параболу либо гиперболу. На рис. 18 дается иллюстрация к аксиоме Паскаля для варианта параболы.

Рис. 18.

Аксиома Брианшона

Французский математик Шарль Брианшон (1783— 1864) нашел в 1806 г., что верна последующая тео­рема, которая, как мы увидим, является собственного рода перевертышем по отношению к аксиоме Паскаля.

Проведем 6 касательных к окружности (либо к хоть какому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем поочередные точки

Рис. 19.

пересечения (рис. 19). Аксиома Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих 6 точек пе­ресечения, взятых через две: первой с четвертой, 2-ой с пятой, третьей с 6-ой, пересекаются в одной точке.

Рис. 20.

Чтоб выделить тесноватую связь меж формулировками 2-ух теорем, Брианшон записал обе формулировки в 2-ух столбцах, одну против иной (смотрите за рис. 20, где слева пояснена аксиома Паскаля, а справа — Брианшона).

Аксиома Паскаля

Пусть 1,2,3,4,5,6 — 6 каких-то точек на коническом сечении.

Соединим их по порядку прямыми I,II,III, IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих 6 прямых, взятых через две: I с IV, II с V и III с VI.

Тогда эти три точки будут лежать на одной прямой.

Аксиома Бриаишона

Пусть 1,2,3,4,5,6 — 6 каких-то каса­тельных к коническому сечению.

Найдем по порядку точки их пересечения I,II,III,IV,V и VI и соеди­ним прямыми эти 6 точек, взятых через две: I с IV, II с V, III с VI.

Тогда эти три прямые будут пересекаться в од­ной точке.

Разумеется, что для перехода от одной формулировки к иной довольно произвести такие подмены одних слов и выражений на остальные: заместо точек — касательные, заместо «соединять точки прямыми» — «отыскивать точки пересечения прямых», заместо «три точки лежат на одной прямой» — «три прямые пересекаются в одной точке». Короче можно сказать, что при всем этом переходе прямые и точки изменяются меж собой ролями. В проективной геометрии указываются условия, при которых в итоге схожей подмены из одной верной аксиомы (не непременно аксиомы Паскаля) выходит иная аксиома, также верная. Это так именуемый принцип двойственности, позволяющий обосновывать из 2-ух геометрических теорем лишь одну. Иная будет верной, так сказать, автоматом.

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается постоянным произведение р расстояний данной нам точки до 2-ух определенных точек F1
и F2
той же плоскости. Таковая кривая именуется лемнискатой (лемниската по-гречески означает «ленточ­ная»). Если длина отрезка F1
F2
есть с, то расстоянияот середины О отрезка F1
F2
до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно – с2
/4. Потребуем сна­чала, чтоб величина р постоянного произведения равнялась как раз с2
/4; тогда

Рис. 21

точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 21). Если продолжить отрезок F1
F2
в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1
и А2
. Выразим расстояние меж А1
А2
= х через известное расстояние с:

(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2
/4-с2
/4.

Если величину постоянного произведения р взять не равной с2
/4, то лемниската изменит собственный вид. И при р меньше с2
/4, лемниската состоит из 2-ух овалов, любой из которых содержит точки F1
и F2
, соответственно (рис.22).

Рис. 22

Т.о. задавая разные условия для р и с2
/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).

Рис. 23

Возьмем сейчас на плоскости хоть какое количеств точек. F1
,F2
, …, Fn
и заставим точку М двигаться так, чтоб для нее оставалось постоянным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как размещены точки F1
,F2
, …, Fn
друг относительно друга и какова величина постоянного произведения. Кривая эта именуется лемнискатой с n фокусами.

Выше мы разглядывали лемнискаты с 2-мя фокусами. Беря различное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту либо иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых необычных очертаний. Будем вести острие ка­рандаша из некой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтоб оно в конце возвратилось в начальную точку А. Тогда оно обрисует некую кривую; мы потребуем лишь, чтоб эта кривая нигде не пересекала

Рис. 24

самое себя. Разумеется, что таковым методом могут получиться кривые, имеющие, к примеру, очертания людской головы либо птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и размещение фокусов

F1
,F2
, …, Fn

и назначить такую величину для постоянного произведения расстояний

МF1
МF2
… МFn
= p

что соответственная лемниската на глаз не будет различаться от данной нам кривой. Другими словами, вероятные отличия точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой — не будут превосходить ширину карандашного штришка (карандаш можно заблаговременно отточить как угодно отлично так, что штришок будет весьма узеньким). Этот превосходный факт, говорящий о необыкновенном многообразии н богатстве форм лемнискат с почти всеми фокусами, доказывается совсем строго, нo весьма трудно, с помощью высшей арифметики.

Перечень литературы

1. Маркушевич А.И., Примечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.

]]>