(4 оценок, среднее: 4,75 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Шпаргалка: Шпаргалка по математике
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn
-an
=(x-a)(xn-1
+axn-2
+a²xn-3
+…+an-1
)
ax²+bx+c=a(x-x1
)(x-x2
)
где x1
и x2
— корешки уравнения
ax²+bx+c=0
Степени и корешки :
ap
·ag
= ap+g
ap
:ag
=a p-g
(ap
)g
=a pg
ap
/bp
= (a/b)p
ap
×bp
= abp
a0
=1; a1
=a
a-p
= 1/a
p
Öa =b => bp
=a
p
Öap
Öb = p
Öab
Öa ; a = 0
____
/ __ _
p
Ög
Öa = pg
Öa
___ __
pk
Öagk
= p
Öag
p
____
/ a p
Öa
/ ¾¾ = ¾¾¾¾
Ö b p
Öb
a 1/p
= p
Öa
p
Öag
= ag/p
Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a¹0)
x1,2
= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1
¹x2
;D=0® x1
=x2
D<0, корней нет.
Аксиома Виета:
x1
+x2
= -b/a
x1
× x2
= c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1
+x2
= -p
x1
×x2
= q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x1,2
= -k±Ö(k²-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
Ö((x2
-x1
)²-(y2
-y1
)²)
Логарифмы:
loga
x = b => ab
= x; a>0,a¹0
a loga x
= x, loga
a =1; loga
1 = 0
loga
x = b; x = ab
loga
b = 1/(log b
a)
loga
xy = loga
x + loga
y
loga
x/y = loga
x — loga
y
loga
xk
=k loga
x (x >0)
loga
k
x =1/k loga
x
loga
x = (logc
x)/( logc
a); c>0,c¹1
logb
x = (loga
x)/(loga
b)
Прогрессии
Арифметическая
an
= a1
+d(n-1)
Sn
= ((2a1
+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn
= bn-1
× q
b2
n
= bn-1
× bn+1
bn
= b1
×qn-1
Sn
= b1
(1- qn
)/(1-q)
S= b1
/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sin²a + cos²a =1
ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ
tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ
1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2
1+ ctg²a =1/sin²a , a¹pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y — cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y — sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x — y ¹p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos²a — sin²a = 2 cos²a — 1 =
= 1-2 sin²a
tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)
1+ cos a = 2 cos²a/2
1-cosa = 2 sin²a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin²a/2 = (1 — cos a)/2
cos²a/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a¹p + 2pn, n ÎZ
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x — y)
tg x — tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) — cos (x+y))
cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. меж ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2
x/2)
cos x = (1-tg2
2/x)/(1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2
x)
sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)
cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)
ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a
cos3a = 4cos³a-3 cosa=
= cos³a-3cosasin²a
tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)
ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)
sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)
cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)
tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=
sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; aÎ[-p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p]
arcsin(sina)=
1)a — 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]
2) (2k+1)p — a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]
arccos (cosa) =
1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]
2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]
arctg(tga)= a-pk
aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)
arcctg(ctga) = a -pk
aÎ(pk; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =
= arctg a/Ö(1-a²)
arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=
= arc ctga/Ö(1-a²)
arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =
= arcsin a/Ö(1+a²)
arc ctg a = p-arc cctg(-a) =
= arc cos a/Ö(1-a²)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n
arcsin m + pk, kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2pk
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2
); t — tg
cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)
>(<) aа(ч)
1) a>1, то символ не меняеться.
2) a<1, то символ изменяется.
Логарифмы : неравенства:
loga
f(x) >(<) log a
j(x)
1. a>1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
j(x)>0
f(x)<j(x)
3. log f(x)
j(x) = a
ОДЗ: j(x) > 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x — Ö3 cos x = 0
2sin x cos x -Ö3 cos x = 0
cos x(2 sin x — Ö3) = 0
….
2. Решения подменой ….
3.
sin² x — sin 2x + 3 cos² x =2
sin² x — 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x
Далее пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое нереально, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin a³ m
2pk+a1
=a=a2
+ 2pk
2pk+a2
=a= (a1
+2p)+ 2pk
Пример:
I cos (p/8+x) < Ö3/2
pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk
2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;
II sin a= 1/2
2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk
cos a³(=) m
2pk + a1
< a< a2
+2 pk
2pk+a2
< a< (a1
+2p) + 2pk
cos a³ — Ö2/2
2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk
tg a³(=) m
pk+ arctg m =a= arctg m + pk
ctg ³(=) m
pk+arcctg m < a< p+pk
Производная:
(xn
)’
= n× xn-1
(ax
)’ = ax
× ln a
(lg ax
)’= 1/(x×ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = — 1/sin²x
(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)
(arccos x)’ = — 1/ Ö(1-x²)
(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)
(arcctg x)’ = — 1/ Ö(1+x²)
Св-ва:
(u × v)’ = u’×v + u×v’
(u/v)’ = (u’v — uv’)/ v²
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0
)+ f ’(x0
)(x-x0
)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Отыскать производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0
, f(x0
), f ‘ (x0
), выразим х
Интегралы :
ò xn
dx = xn+1
/(n+1) + c
ò ax
dx = ax/ln a + c
ò ex
dx = ex
+ c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = — cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cos² x = tg x + c
ò 1/sin² x = — ctg x + c
ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö(1-x²) dx = — arccos x +c
ò 1/1+ x² dx = arctg x + c
ò 1/1+ x² dx = — arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Аксиома синусов
a² = b²+c² — 2bc cos a
b² = a²+c² — 2ac cos b
c² = a² + b² — 2ab cos g
Медиана разделяй треуг. на два равновеликих. Медиана разделяет
противопол. сторону пополам.
Биссектриса — угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
_____________
S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)
S = Ѕab sin a
Sравн
.
=(a²Ö3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pR²
Sсектора
=(pR²a)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн
×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.
×H
Sполн.
= Sбок.
+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1
+S2
+ÖS1
S2
)
S1
и S2
— площади осн.
Sполн
.
=Sбок
.
+S1
+S2
Конус
V=1/3 pR²H
Sбок.
=pRl
Sбок.
= pR(R+1)
Усеченный
Sбок.
= pl(R1
+R2
)
V=1/3pH(R1
2
+R1
R2
+R2
2
)
Призма
V=Sосн.
×H
ровная: Sбок.
=Pосн.
×H
Sполн.
=Sбок
+2Sосн.
наклонная :
Sбок.
=Pпс
×a
V = Sпс
×a, а -бок. ребро.
Pпс
— периметр
Sпс
— пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pR²H ; Sбок.
= 2pRH
Sполн
.
=2pR(H+R)
Sбок.
= 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pR³ — шар
S = 4pR³ — сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pR³H
H — высота сегм.
Шаровой сектор
V=pH²(R-H/3)
S=2pRH
град
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
a
-p/2
-p/3
-p/4
-p/6
0
p/6
p/4
p/3
p/2
2p/3
3p/4
3p/6
p
sina
-1
-Ö3/2
-Ö2/2
— Ѕ
0
Ѕ
Ö2/2
Ö3/2
1
— Ѕ
0
cosa
1
Ö3/2
Ö2/2
Ѕ
0
— Ѕ
-Ö2/2
— Ö3/2
-1
tga
Ï
-Ö3
-1
-1/Ö3
0
1/Ö3
1
Ö3
Î
-Ö3
-1
0
ctga
—
Ö3
1
1/Ö3
0
-1/Ö3
-1
—
n
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
9
16
25
36
49
64
81
3
8
27
64
125
216
343
512
729
4
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
5
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
6
64
729
4096
15625
46656
7
128
2181
8
256
6561
-a
p-a
p+a
p/2-a
p/2+a
3p/2 — a
3p/2+a
sin
-sina
sina
-sina
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
cosa
-cosa
-cosa
sina
-sina
-sina
sina
tg
-tga
-tga
tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
ctg
-ctga
-ctga
ctga
tga
-tga
tga
-tga
]]>