Учебная работа. Доклад: Математические суждения и умозаключения

Учебная работа. Доклад: Математические суждения и умозаключения

1. В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным методом связываются меж собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В любом суждении устанавливается некая связь либо некое взаимоотношение меж понятиями, и сиим самым утверждается наличие связи либо отношений меж объектами, охватываемыми надлежащими понятиями. Если суждения верно показывают эти беспристрастно имеющиеся зависимости меж вещами, то мы такие суждения называем настоящими, в неприятном случае суждения будут неверными. Так, к примеру, суждение «всякий ромб является параллелограммом» — настоящее суждение; суждение «всякий параллелограмм является ромбом» — неверное суждение.

Таковым образом, суждение — это таковая форма мышления, в какой отображается наличие либо отсутствие самого объекта (наличие либо отсутствие каких-то его признаков и связей).

Мыслить — означает высказывать суждения. При помощи суждений идея, понятие получают свое предстоящее развитие.

Потому что во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений либо отношений меж ними, то всякое суждение можно разглядывать как включение либо невключение (частичное либо полное) 1-го понятия в класс другого понятия. К примеру, суждение «всякий квадрат есть ромб» показывает, что понятие «квадрат» врубается в понятие «ромб»; суждение «пересекающиеся прямые не являются параллельными» показывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат огромному количеству прямых, именуемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку — предложение, но не всякое предложение является суждением.

Соответствующим признаком суждения является непременное наличие истинности либо ложности в выражающем его предложении.

к примеру, предложение «треугольник АВС равнобедренный» выражает некое суждение; предложение «Будет ли АВС равнобедренным?» не выражает суждения.

Любая наука по существу представляет собой определенную систему суждений о объектах, являющихся предметом ее исследования. Каждое из суждений оформляется в виде некого предложения, выраженного в определениях и знаках, присущих данной науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях средством математических либо логических определений либо соответственных им знаков. Математические определения (либо знаки) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические определения (либо знаки) обозначают логические операции, при помощи которых из одних математических предложений строятся остальные математические предложения, из одних суждений образуются остальные суждения, вся совокупа которых и составляет арифметику как науку.

2. Совершенно говоря, суждения образуются в мышлении 2-мя главными методами: конкретно и опосредованно. В первом случае при помощи суждения выражается итог восприятия, к примеру «эта фигура -т- круг». Во 2-м случае суждение возникает в итоге особенной мыслительной деятель, именуемой умозаключением. К примеру, «огромное количество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки идиентично; означает, эта фигура — окружность».

В процессе данной мыслительной деятель обычно осуществляется переход от 1-го либо нескольких связанных меж собой суждений к новенькому суждению, в каком содержится новое познание о объекте исследования. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением именуется процесс получения новейшего суждениявывода из 1-го либо нескольких данных суждений. к примеру, диагональ параллелограмма разделяет его на два конгруэнтных треугольника (1-ое суждение).

Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (2-ое суждение).

Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).

Познавательное наших познаний о объектах и явлениях настоящего мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнимо маленького числа основныхo суждений, которые получены, как правило, методом конкретного опыта и в каких отражены наши более обыкновенные и общие познания о его объектах.

умозаключение различается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными идеями.

Не всякое сочетание суждений меж собой представляет собой умозаключение: меж суждениями обязана существовать определенная логическая связь, отражающая беспристрастную связь, существующую в настоящей реальности.

к примеру, из суждений «сумма внутренних углов треугольника равна 2d» и «2*2=4» недозволено прийти к выводу.

3. Понятно, какое наших математических познаний имеет умение верно строить разные математические предложения либо созодать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо адаптирован для выражения тех либо других суждений, а тем наиболее для выявления логической структуры рассуждений. Потому естественно, что появилась необходимость усовершенствования языка, применяемого в процессе рассуждения. Математический (а поточнее, символический) язык оказался для этого самым пригодным. Появившаяся» в XIX в. особая область науки — математическая исследование законов связи суждений и понятий в умозаключениях и правилах подтверждения. Математическая могли бы появиться при словесном выражении. Таковым образом, для математической логики свойственна формализация логических операций, полнее абстрагирование от определенного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем произнесенное одним примером. Разглядим последующее умозаключение: «Если все растения красноватые и все собаки — растения, то все собаки красноватые».

Каждое из применяемых тут суждений и то суждение, которое мы получили в итоге сдержанного умозаключения, кажется очевидной бессмыслицей. Но исходя из убеждений математической логики мы имеем тут дело с верным предложением, потому что в математической логике истинность либо ложность умозаключения зависит лишь от истинности либо ложности составляющих его посылок, а не от их определенного содержания. Потому если одним из главных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл только гласить, поистине оно либо неверно. Не следует мыслить, что для всякого выражения типично отсутствие «здравого смысла» в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то либо другое выражение, в математической логике отходит на 2-ой план, несущественна для логического построения либо анализа того либо другого вывода. (Хотя, естественно существенна для. осознания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопросца.)

Понятно, что в самой арифметике рассматриваются содержательные выражения. Устанавливая разные связи и дела меж понятиями, математические суждения говорят либо опровергают какие-либо дела меж объектами и явлениями настоящей реальности.

Математические понятия, предложения и подтверждения

Школьная математика включает исходные фрагменты разных математических теорий (математики, алгебры, геометрии, математи-ческого анализа) в содержательном (неформальном) изложении. В обучении арифметике на любом уровне мы имеем дело с понятиями, предложениями и подтверждениями, и усвоение математических зна-ний сводится, в конце концов, к усвоению определенной системы поня-тий, предложений и доказательств крайних. К тому же задачка обучения состоит не только лишь в усвоении учащимися теоретических познаний, да и в привитии им умений и способностей использовать эти познания, не только лишь в усвоении определенных доказательств, да и в приобрете-нии умения рассуждать, обосновывать.

Отличительная черта арифметики заключается в том, что в ней исполь-зуется символический язык как рабочий аппарат. В школьном обу-чении мы применяем, как правило, словесно-символический язык, включающий элементы и символического языка арифметики, и есте-ственного словесного языка.

исследование арифметики включает исследование языка арифметики, но не сводится лишь к нему. иной принципиальной чертой математического зна-ния является его логическая структура. Осознание логической струк-туры определений понятий, предложений теории (аксиом и теорем) и доказательств является нужным условием усвоения этого познания.

В истинной главе и рассматриваются язык и логика арифметики исходя из убеждений обучения арифметике. При всем этом применен логиче-ский аппарат, узнаваемый студентам и нужный будущим учите-лям. Очевидно, этот аппарат не заходит очевидно в школьное обучение (педагогический процесс, в результате которого учащиеся под руководством учителя овладевают знаниями, умениями и навыками) (мы не рассматриваем тут вопросцы углубленного исследования матема-тики). Но он помогает учителю отыскать метод объяснения языка и логики арифметики учащимся без очевидного его использования. Почти все из того, что остается неявным для учащихся в обучении арифметике, обязано быть выявлено в методической подготовке учителя матема-тики.

]]>