Учебная работа. Реферат: Математика бесконечности

Учебная работа. Реферат: Математика бесконечности

Юрий Лебедев

Аш-функция Хевисайда

Все происходит по ступеням,

Как жизнь сама.

Я чувствую, что равномерно

Схожу с разума.

Н. Глазков, 1943 г.

В один прекрасный момент вечерком Серафим Серафимович Аралов, директор музея истории МХТИ им. Д.И. Менделеева, позвонил мне и произнес, что в связи с реконструкцией дома у метро «Смоленская» под опасностью находятся остатки архива известного химика Петра Петровича Будникова. необходимо было попробовать спасти документы. Последующий денек у меня был занят, и мы условились поехать за бумагами послезавтра. Как досадно бы это не звучало! Мы запоздали. Конкретно назавтра весь «хлам» из будниковской квартиры был выброшен строителями на помойку. С того времени я не могу проходить тихо мимо куч строительного мусора – мне все кажется, что посреди этих палок, битого кирпича и клочков бумаги могут валяться чьи-то рукописи, утрата которых приведет в отчаяние будущих историков науки.

И, представьте для себя, эти опаски оказались не напрасными! Спустя некое – достаточно длительное – время вариант опять поманил меня к архивным изысканиям. В заброшенной деревне Копьево Костромской области, где я проводил лето, упал от ветхости дом, и я, смотря не еще пылящую кучу старенькых бревен, травы, ободранных обоев, вспомянул историю будниковского архива. А вдруг?!

Когда у меня в руках оказалась древняя картонная много усилий. Ни имени создателя, ни даты написания на листках не было. Скорее всего, папку запамятовал кто-то из «дикарей» прошедших лет. Не имея способности объясниться с создателем, я решил предложить вашему вниманию собственный вариант расшифровки одной из этих до крайности небережно написанных неудобочитаемым почерком статей.

Я длительно не мог осознать, к какому жанру относится отысканная мною рукопись, чего же желал неведомый создатель? сейчас, как мне кажется, я отыскал ответ. Право претендовать на внимание читателя, отысканные мною тексты попробуют воплотить это свое Право. Как оно легитимно, судите сами.

Отказ от исключения

…одни сотрудники все время занимались делением нуля

на нуль на настольных «мерседесах», а остальные отпрашивались

в командировки на бесконечность…

А. и Б. Стругацкие. Пн начинается в субботу

Листок 1-ый

Весь предыдущий опыт утверждает нас

в вере, что природа представляет собой реализацию

простых математически мыслимых частей.

А. Эйнштейн. О способе теоретической физики.

Спенсеровская лекция, 10 июля 1939 г.

Что означает «простых»? когда в летнюю пору 1966 г. я задумался над необычным запретом математики – запретом деления на нуль, мне чудилось, что простым элементом, альфой и омегой всей теории чисел является нуль. сейчас ясно, что и он также сложен, как и все на свете. Как буквально произнес о этом Леонардо да Винчи: «Посреди величавых вещей, который находятся меж нас, существование Ничто – вещь величайшая!»

на данный момент не принципиально, откуда взялась уверенность в том, что нуль – полноправное число, ну и не принципиально строго математическое осознание термина «число». Все предстоящее – не наиболее чем интуитивная гипотеза, из которой мастера (если захочут!) могут извлечь «научную компоненту», а другие, смею возлагать, порадуются тем ассоциациям, которые возникнут при чтении.

К слову, скажу для экспертов, что и о работах индийского математика и астролога VI…VII вв. Брахмагупты, который разглядывал употребление нуля во всех арифметических действиях, я тогда, в летнюю пору 1966 г., полностью ничего не знал.

Основное, по-моему, все-же то, что мысль появилась. Прав Эйнштейн, «открытие не является делом логического мышления, даже если конечный продукт связан с логической формой».

Итак, утверждение: нуль есть число.

Следствие: 1/0 – тоже число! Но 1/0 > M, где M – сколь угодно велико! И это весьма принципиально – существует число, отменно отличающееся от хоть какого до сего времени известного. Отменно новое число… k-число. Пусть так и обозначается в предстоящем. Интересно отметить, что посреди «безграничных» чисел оно не единственное, оно лишь начало ряда: k, 2k, 3k и т.д. Числовая ось перескочила порог бесконечности.

Листок 2-ой

Дорогу осилит идущий…

Ригведа. Гимн щедрости, X век до н.э.

Снова. Для ясности, k-число так же непосредственно и единственно, как и хоть какое другое число. Просто ранее бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили осколки всех функций, разбившихся при делении на нуль.

(Хм… снова мотив мусорной кучи, в какой и была найдена эта рукопись… Но не в этом дело. Фраза у создателя вышла выразительной, но на самом деле она некорректна, ибо с натяжкой быть может отнесена только к возможной бесконечности, к животрепещущей же и совсем неприменима. Не считая того, в ней предполагается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – многофункциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она быть может и глубока. – Ю.Л.)

Наиболее того, k-числа – продолжение оси реальных чисел:

1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — … — k — 2k — 3k — 4k — 5k — 6k- …

А что такое ∞·k? Быть может, это – k2
? В таком случае – снова высококачественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось воспринимает вид:

0 — 1 — 2 — … — k — 2k — 3k — … — k2
— 2k2
— 3k2
— … — k3
— 2k3
— 3k3
— … — kn
—

Эти отрезки числовой оси имеют высококачественные границы k, k2
, …, kn
. Но они не изолированы друг от друга. Все этот же нуль связывает их. Вправду,

k2
·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,

ибо нуль – число, и его можно сокращать как обыденные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kn
происходит переход в область чисел вида kn–1
. При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kn+1
.

Листок 3-ий

Разбросанным в пыли по магазинам

(Где их никто не брал и не берет!)

Моим стихам, как драгоценным винам,

Настанет собственный черед.

М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель

Как досадно бы это не звучало!.. Все новое – это отлично забытое старенькое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Русской, со почти всеми присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге:

Ǥ83

…Поелику дробь 1/∞ указывает личное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на личное число 1/∞ либо 0, как до этого мы лицезрели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из этого получаем мы новое понятие о бесконечности, а конкретно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего же ради по справедливости сказать можно, что 1, разбитая на 0, значит нескончаемо величавое число, либо ∞…»

Итак, о том, что 1/0 есть конкретно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Но здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость»…

(Быть может, конкретно эта пропыленность и мешает современным математикам принимать ее серьезно? Ведь k-числа не только лишь не вошли в школьные учебники, да и посреди педагогов арифметики не достаточно кто о их понимает. – Ю.Л.)

Но хватит чувств. Продолжу цитату:

Ǥ84

тут надлежит еще опровергнуть достаточно обычное заблуждение: почти все говорят, что нескончаемо величавое количество увеличено уже быть не может; но сие Мировоззрение не согласуется с вышеупомянутыми жесткими основаниями. Ибо когда 1/0 нескончаемо величавое число значит, и 2/0 безоговорочно вдвое больше 1/0, то из этого явствует, что нескончаемо величавое число сделаться может еще в два раза, либо даже в несколько раз больше».

И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это лишь несколько простых утверждений из области чисел, огромных бесконечности, о которых еще в XVIII в. гласил Эйлер.

(Да, Эйлер гласил полностью понятно. Но слушали его почему-либо впол-уха. – Ю.Л.)

Листок 4-ый

Если же есть математические предметы, то нужно,

чтоб они или находились в чувственно воспринимаемом…

или существовали раздельно от чувственно воспринимаемого…

а если они не есть ни тем, ни иным образом, то они или

совершенно не есть, или есть другим методом.

знак k заходит в их один раз), во 2-ой – точками связи второго рода (знак k заходит в их дважды). к примеру, kk
, k2k
, kk^2
, kk+1
и т.д. Да и они не замыкают последовательность! Появляются точки связи третьего рода: kk^k
! А там и 4-ого, 5-ого… Высококачественное обилие числовой оси беспредельно. И беспредельно велико обилие отменно разных безграничных чисел.

(А почему, фактически, необходимо здесь удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого огромного количества, и было бы наиболее умопомрачительно, если б оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)

Листок 5-ый

Поведали ужасное,

Дали четкий адресок.

Б. Пастернак. Звезды в летнюю пору.

Ну, а сейчас можно кликнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае:

k–2
= 1/k2
= 1/(1/0)2
= 02
!

Это число получено от умножения нуля на нуль. Как следует, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – нескончаемо много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тиши нуля укрыто бесконечное движение Вселенных…

Вглядимся попристальнее в нуль. Поначалу мы увидим:

— –1 — 0 — +1 — либо — –k0
— k–1
— +k0
—

Поглубже:

— –0 — 02
— +0 — либо — –k–1
— k–2
— +k–1
—

И в конце концов, осознав идею сложного строения нуля:

— –0n–1
— 0n
— +0n–1
— либо — –k–(n–1)
– k–n
— +k–(n–1)
—

Таковым образом, нуль беспредельно глубок, а граница меж плюсом и минусом наиболее непроницаема, чем граница меж единицей и бесконечностью, так как во 2-м случае меж единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое огромное количество точек связи как угодно огромного рода.

сейчас весьма принципиальное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не поменяется». По правде, что означает Вселенная плюс атом? Без огромного греха итог такового сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так…

Сумма 2-ух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему уровню, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на узкую структуру линий диапазона. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит внутри себя противоречие – тождественно и нетождественно себе – и, как следует, способно к некий форме движения и развития.

Листок 6-ой

По правде, когда же было по другому, когда это порицалось,

когда запрещалось, когда недозволено было того, что можно?

М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»

Оказывается, k-числа не могут посетовать на отсутствие внимания к для себя. На одну известную мне работу в данной для нас области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по последней мере две критичные заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:

1-ая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книжке «Оснований алгебры…» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:

1/(1 – a) = 1 + a + a2
+ a3
+ … + an
+ an+1
/(1 – a)

и пишет: «Положим, во-1-х, а = 1; наш ряд сделается:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так дальше нескончаемо;

а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже увидели выше, что 1/0 есть число нескончаемо величавое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение

1/(1 – a) = 1 + a + a2
+ a3
+ … + an
+ an+1
/(1 – a).

Когдаположима = 1, товыйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + … + 1/0 либо 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совершенно несуразно…

Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества помножить на нуль, то выйдет

1 = (n + 1)·0 + 1 либо 1 = 1, что очень справедливо; и так то же самое выражение

1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к несуразному и к настоящему заключению; а сие само указывает, что выражение сие само есть несуразное».

Очень серьезно, но… ошибочно! Ошибка Висковатова состоит в том, что из-за отсутствия точного понятия k-числа и его разрядов он не сообразил сути суммы

n + 1 + 1/0.

В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k0
, т.е. сумма k и k0
, каковая быть может записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А тут аналогичное равенство обычно, а поэтому и разумеется: 1 + 0 = 1.

(Создатель вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и создателя – это будет мужественным поступком. естественно, если причина тому не обычное упрямство. – Ю.Л.)

2-ая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «…потому что 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то снова-таки 2/0 = 1/0. С этим же фуррором, как при помощи ряда из единиц вроде

1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + …

можно представить ∞ средством нескончаемого ряда чисел, возрастающих в любом данном отношении. Хотя при всем этом определенная часть 1-го нескончаемого ряда быть может равна 1
/2
, 1
/3
и т.д. определенной части другого нескончаемого ряда, но ни 1-ая, ни 2-ая определенная часть не находится в какой-либо пропорции ко всему нескончаемому ряду, и в этом случае можно сказать лишь, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)

Быть может, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-же рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и внушительно показал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Обосновать же это наиболее строго можно последующим образом:

1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.

Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, потому что 2·0 = 2·k–1
, что совершенно не то же самое, что k–1
.

Интересно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в остальных работах. к примеру, в работе «О дифференциале» он совсем верно поделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совсем разные самостоятельные понятия.

]]>