Учебная работа. Контрольная работа: Анализ стационарных и динамических объектов

(Пока оценок нет)

Загрузка...

Учебная работа. Контрольная работа: Анализ стационарных и динамических объектов

Контрольная работа

по дисциплине “Базы системного анализа объектов и действий компьютеризации ”

анализ стационарных и динамических объектов

Вариант № 5

Задание 3

Задание на контрольную работу

1) Анализ динамических объектов

Цель работы
: изучить характеристики и средства пакета MathCAD.

Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы избрать из табл.3.1. систему уравнений (1-ое и 2-ое уравнение), описывающую исследуемый динамический объект.

Выстроить структурную схему для исследуемого динамического объекта, аналогичную приведенной на рис. 3.1.

Составить и отладить программку решения системы дифференциальных уравнений согласно Приложению 3.1.

Примечание
. Интегрирование систем уравнений проводится на интервале от 0 до 2.Исходные значения для в уравнениях, содержащих , равны 0; в уравнениях, содержащих , равны 1. Исходные значения для для всех вариантов равны 0. количество точек на интервале для первого расчета принять равным 8, для второго – 32.

Выстроить графики поведения динамического объекта для 2-ух случаев (расчетов).

Сопоставить

2-ое уравнение

2. Объяснительная записка

1) Исполняем пункт №1

2) Исполняем пункт №2. Анализируем структуру объекта, которая определяется интеграторами И1

и И2

, сумматорами S1,
S2

, S3,

и S4,

линейно– усилительными блоками а11

, а12

, а21

,а22

и системой связей меж ними. Лицезреем, что в нашем задании отсутствуют элементы а12
и f2
.
Другими словами отсутствуют один линейно– усилительный блок а12

и наружное (входное) действие f2

на объект.

Структурная схема для исследуемого динамического объекта показана в файле 3zad_struktura.bmp.

3) Исполняем пункт №3.

Запускаем программку “Mathcad v11.0a.

Сохраняем сделанный программкой файл под именованием 5_3_8.mcd (File->Save As…), в каком будем создавать листинг программки для выполнения 3 задания, где количество точек расчёта на интервале (t0, t1) равно восьми .

Ориентируясь на эталон (приложение 3.1) начинаем с клавиатуры вводить нужные выражения, также пользуясь манипулятором (мышь) для зрительного выбора установок в нашей программке “Mathcad v11.0a”.

Чтоб ввести знак производной по времени, к примеру, в выражении

нужно надавить пиктограмму 6 (см. рис. 1) в файле для задания №1 и опосля в окне избрать обозначенный элемент.

Потому что интегрирование систем уравнений проводится на интервале от 0 до 2, то задаём конечное

Изначальное значения для в уравнении, содержащем , равны 0, другими словами .

При изменении содержания листинга программка автоматом пересчитывает все промежные результаты и ответ. Чтоб задать пересчёт всех формул на страничке листинга избираем команду в программке (Tools->Calculate-> Calculate Worksheet).

4) В этом же файле создаём таблицу S и графики.

Чтоб вставить таблицу S нужно просто набрать её имя и надавить кнопку Enter.

В выражении цифра в угловых скобках значит массив данных 1-го столбца таблицы (S).

Чтоб сделать область для отображения графиков жмем пиктограмму 3 (см. Рис. 1) либо вводим имя зависимой переменной (x1 либо x2), а позже жмем знак @, другими словами вводим выражение x1@ либо x2@. В первом случае слева вводим имена зависимых переменных (x1 либо x2), а снизу вводим независимую переменную (t). Также предвидено задание числового интервала по осям ОХ и OY для отображения графиков.

Аналогично проводим вычисления для N=32 и сохраняем листинг с плодами в другом файле 5_3_32.mcd.

5) При увеличении точности (N) гладкость графиков улучшается, но общее области программки для N=8 и сохранили в файле 5_3_8.mcd можно просмотреть в файле 5_3_8.rtf.

То, что мы набрали (листинг программки) в рабочей области программки для N=32 и сохранили в файле 5_3_32.mcd можно просмотреть в файле 5_3_32.rtf.

Вывод: из приобретенных результатов лицезреем, что вышеупомянутые зависимости нелинейны, что представлено графически.

Задание на контрольную работу

по дисциплине “Базы системного анализа объектов и действий компьютеризации ”

анализ стационарных и динамических объектов

Этапы выполнения работы:

изучить теоретические положения, раскрывающие структуру линейных и нелинейных стационарных и динамических объектов, математическое описание и решение задачки анализа такового рода объектов;

выполнить личное задание согласно предусмотренной последовательности выполнения работы;

оформить описание контрольной работы.

Список документов, входящих в контрольную работу

1. Задание на контрольную работу

2. Объяснительная записка

3. Приложения

Содержание объяснительной записки

Структуры исследуемых стационарных линейного, нелинейного и динамического объектов, их характеристики, характеристики и математическое описание. Решение задачки анализа объектов. Способы и методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, обычных дифференциальных уравнений и систем уравнений. Описания программ решения в системе MathCAD. Выводы.

Примечание
: размер объяснительной записки должен быть не наименее 15 стр.

Состав приложений

приложение 1. Листинг программки решения задачки анализа стационарного линейного объекта с графиками и комментами, поясняющими внедрение в программке констант, переменных, массивов, векторов, матриц, функций и т.д.

приложение 2. Листинг программки решения задачки анализа стационарного нелинейного объекта с графиками и комментами, поясняющими внедрение в программке констант, переменных, массивов, векторов, матриц, функций и т.д.

приложение 3. Листинг программки решения задачки анализа динамического объекта с графиками и комментами, поясняющими внедрение в программке констант, переменных, массивов, векторов, матриц, функций и т.д.

1. анализ линейных стационарных объектов

Цель работы
: изучить характеристики линейных стационарных объектов, описываемых системами линейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства матричной алгебры и особые функции системы математических расчетов MathCAD.

Содержание работы
:

1) изучить теоретические положения (раздел 1.1), раскрывающие структуру линейных объектов, их математическое описание и решение задачки анализа такового рода объектов;

2) выполнить личное задание согласно предусмотренной в разд.1.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела по контрольной работе согласно требованиям задания.

1.1. Короткие теоретические сведения

1.1.1. Иерархические уровни описания объектов

Описания технических объектов должны быть по трудности согласованы с способностями восприятия человеком и способностями оперирования описаниями в процессе их преобразования при помощи имеющихся средств проектирования. Но выполнить это требование в рамках некого одного описания, не разделяя его на некие составные части, удается только для обычных изделий. Как правило, требуется структурирование описаний и соответственное разделение представлений о проектируемых объектах на иерархические уровни и нюансы.

Разделение описаний по степени детализации отображаемых параметров и черт объекта лежит в базе
и приводит к возникновению
в представлениях о проектируемом объекте.

На любом иерархическом уровне употребляются свои понятия системы и частей.

На уровне 1 (верхнем уровне) подлежащий проектированию непростой объект S рассматривается как система S из n взаимосвязанных и взаимодействующих частей

Посреди параметров объекта, отражаемых в описаниях на определенном иерархическом уровне, различают характеристики систем, частей систем и наружной среды, в какой должен работать объект. Количественное выражение этих параметров осуществляется при помощи величин, именуемых
. Величины, характеризирующие характеристики системы, частей системы и наружной среды, именуют соответственно
к примеру, для электрического усилителя выходными параметрами являются полоса пропускания, коэффициент усиления; внутренними параметрами – сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов; наружными параметрами – сопротивление и емкость перегрузки, напряжение источников питания.

Обозначим количества выходных Si
. Любой из частей в описании уровня 1 представляет собой непростой объект, который, в свою очередь, рассматривается как система Si
на уровне 2. Элементами систем Si
являются объекты Sij
, где j=1,2…, mi
(mi
– количество частей в описании системы Si
). Схожее разделение длится прямо до получения на неком уровне частей, описания которых предстоящему делению не подлежат. Такие элементы по отношению к объекту S именуют
.

1.1.2. систематизация характеристик объектов

внутренних и наружных характеристик через m, n, l, а векторы этих характеристик соответственно через Y=(y1
,y2
,…,ym
), X=(x1
,x2
,…,xn
), Q=(q1
,q2
,…,ql
). характеристики системы зависят от внутренних и наружных характеристик, т.е. имеет пространство многофункциональная зависимость:

Y=F(X,Q). (1.1)

1.1.3. структура и математическая модель объекта

– это список типов частей, составляющих объект, и метода связи частей меж собой в составе объекта.

это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений меж ними, отражающая некие характеристики технического объекта. наличие ММ дозволяет просто оценивать выходные характеристики по известным значениям векторов X и Q. Таковая система соотношений (1) является примером математической модели объекта. Но, существование зависимости (1.1) не значит, что она известна разрабам и быть может представлена конкретно в таком очевидном относительно вектора Y виде. Как правило, ММ в виде (1.1) удается получить лишь для весьма обычных объектов. Обычной является ситуация, когда математическое описание действий в проектируемом объекте задается моделью в форме системы уравнений. Ряд технических объектов в установившемся (стационарном) состоянии (режиме) быть может описан системами линейных алгебраических уравнений.

Такового рода объекты (к примеру, объект, показанный на рис 1.1) относятся к классу линейных стационарных объектов.

в2

в1

х2

Рис. 1.1. структура линейного стационарного объекта

Структура данного объекта определяется 2-мя сумматорами S1

и S2

, 4-мя линейно– усилительными блоками а11

, а12

, а21

, а22

и системой связей меж ними.

Математическая модель такового рода объекта представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и имеет вид:

а11
х1
+а12
х2
=в1
;

а21
х1
+а22
х2
=в2
;

1.1.4. анализ объектов

Задачка анализа объектов состоит в определении параметров и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

При
задаются значения внутренних и наружных характеристик, требуется найти значения выходных характеристик объекта.

При одновариантном анализе задается также некая точка в пространстве внутренних характеристик и требуется в данной для нас точке найти значения выходных характеристик. Схожая задачка обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что и обусловливает заглавие этого вида анализа.

заключается в исследовании параметров объекта в некой области места внутренних характеристик. Таковой анализ просит неоднократного решения систем уравнений (неоднократного выполнения одновариантного анализа).

задачка, ставящаяся при анализе (исследовании) такового рода объектов (рис 1.1), может иметь последующий вид: нужно найти значения входных действий х1

и х2

при данной структуре объекта, определяемой системой связей, и данных значениях внутренних характеристик, при которых выход объекта имел бы требуемые выходные значения в1

и в2

.

1.1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

1.1.5.1. Постановка задачки.
Система
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с
неведомыми имеет вид:

(1.2)

– неведомые числа, подлежащие определению;

– коэффициенты системы;

– вольные члены.

1-ый индекс коэффициента показывает номер уравнения, в каком бытует данный коэффициент (номер строчки), а 2-ой – номер неведомого, при котором этот коэффициент поставлен (номер столбца). Коэффициенты системы, как и вольные члены, предполагаются известными.

Решением системы (либо ее корнями) именуется всякая совокупа чисел, , которая, будучи подставлена в систему заместо неведомых
, направляет все уравнения системы в тождества. Отметим, что совокупа чисел составляет одно решение системы, а не
решений.

В матричной форме система быть может записана как

(1.3)

либо в обобщенной форме: (1.4)

1.1.5.2. систематизация способов решения.
На практике используют два типа способов:

–

– это способы, которые дают решение задачки при помощи конечного числа простых арифметических операций. Число нужных для решения задач вычислительных операций зависит лишь от вида вычислительной схемы и от порядка матрицы. К четким способам относится способ Гаусса. Решение СЛАУ
выходит как предел поочередных приближений, вычисляемых неким единообразным действием. Число арифметических операций в данном случае зависит от вычислительной схемы, порядка матрицы и от требуемой точности. Примером итерационных способов является способ обычной итерации. На практике почаще всего используются прямые способы (способ Гаусса). Но, при решении на ЭВМ систем высочайшего порядка (наиболее 200 уравнений в системе), желательными являются итерационные способы. Реализация решения задачки анализа линейного стационарного объекта быть может осуществлена при помощи средств матричной алгебры пакета MathCAD.

1.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру варианта (две крайние числа номера зачетной книги) избрать из табл.1.1. значения характеристик для линейного объекта.

По формулам

в1і
= в1
+h(і-1) ;

в2і
= в2
+h(і-1) ;

для
найти значения коэффициентов, определяющих выходные значения объекта для 5 рассматриваемых случаев.

3. Составить и отладить программку решения системы линейных уравнений согласно Приложению 1.1 и для приобретенных в пт 2 значений выхода отыскать 5 наборов значений входных переменных х1

и х2

.

4. По результатам просчета на ПЭВМ выстроить таблицы значений входа (х1

и х2

) при данных значениях выхода ( в1

и в2

).

5. Выстроить графики конфигурации значений х1

и х2

зависимо от значений в1

и в2.

Таблица 1.1

Номер

варианта

Задания

Коэффициенты системы уравнений

a11
a12
a21
a22
b1
b2
h

1
1
2
3
4
1
2
0,1

2
2
1
4
3
2
1

3
1
1
3
2
3
1

4
3
2
1
1
3
1

5
2
1
1
2
3
2

6
1
2
2
1
2
3

7
4
3
1
2
3
3

8
1
3
3
5
2
2

9
2
3
1
4
1
1

10
2
3
3
2
4
1

11
1
2
2
5
4
3

12
6
3
4
7
4
2

13
1
5
2
3
4
4

14
1
2
3
4
1
4

15
2
3
4
1
2
4

16
3
2
1
4
3
4

17
2
3
1
4
5
1

18
3
1
4
2
5
2

19
1
4
2
3
5
3

20
2
3
2
5
5
4

21
3
2
5
3
4
5

22
4
1
6
2
3
5

23
5
3
4
1
2
5

24
1
4
5
2
1
5

25
1
4
6
2
3
1

26
2
4
5
3
3
2

27
3
4
3
5
1
6

28
3
5
2
1
2
6

29
4
5
1
3
3
6

30
5
4
3
2
6
1

2. анализ нелинейных стационарных объектов

Цель работы
: изучить характеристики нелинейных стационарных объектов, описываемых системами нелинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы
:

1) изучить теоретические положения (раздел 2.1), раскрывающие структуру нелинейных стационарных объектов, их математическое описание и пример решения систем нелинейных алгебраических уравнений средствами пакета MathCAD, применяемый для анализа такового рода объектов;

2) выполнить личное задание согласно предусмотренной в разд.2.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела по контрольной работе согласно требованиям задания.

Короткие теоретические сведения

структура и математическая модель объекта

Структурная схема нелинейного стационарного объекта имеет вид:

х1

х2

Таковой объект представляет собой систему, которая имеет два входа х1

и х2

спостоянными значениями в установившемся режиме и два выхода в1

и в2.

структура объекта определяется сумматором S1

, умножителем М1

, 2-мя линейно– усилительными блоками а1

, а2

и системой связей меж ними.

В отличие от линейных стационарных объектов нелинейные описываются системами нелинейных алгебраических уравнений.

Математическая модель, соответственная таковой схеме, имеет вид:

а1
х1
+а2
х2
=в1
;

х1
х2
=в2

2.1.2. анализ объектов

Исследование такового рода объектов состоит в определении значений входных действий х1
,х2

зависимо от значений выходов в1

ив2

при данных параметрах объекта а1

иа2

.

Реализация решения задачки исследования нелинейного стационарного объекта в таковой постановке быть может осуществлена при помощи средств системы символьной арифметики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических и непознаваемых уравнений

2.1.3.1. Постановка задачки.
Пусть дано уравнение

, (2.1)

где функция определена и непрерывна на неком интервале (А,В). Всякое , обращающее функцию в нуль, другими словами такое, при котором , именуется корнем уравнения (2.1), а процесс нахождения именуется его решением.

Если функция представляет собой многочлен относительно , то уравнение именуется нелинейным алгебраическим (к примеру, ); если в функцию входят простые (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение именуется непознаваемым (к примеру, ).

2.1.3.2. Черта способов.
Способы решения нелинейных алгебраических и непознаваемых уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. 1-ые разрешают отыскать решение конкретно при помощи формул и постоянно обеспечивают получение четкого решения. Но прямые способы имеются лишь для ограниченного круга уравнений, потому на практике наиболее обширно употребляются итерационные способы.

В итерационных способах процедура решения задается в виде неоднократного внедрения некого метода. Приобретенное решение постоянно является приближенным, хотя быть может сколь угодно близким к четкому.

В общем случае задачка решается в 2 шага:

определение приближенных значений корней уравнения;

уточнение корней до данной степени точности при помощи 1-го из итерационных способов.

Для определения приближенных значений корней уравнения употребляются:

1) Построение графика функций и приближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения в виде и построение графиков 2-ух функций: и . Точка их пересечения и есть корень начального уравнения (5.1).

На втором шаге происходит уточнение корня с внедрением аспекта окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следует оканчивать, когда < , т.е. при близости 2-ух поочередных приближений к корню.

Одним из итерационных способов для уточнения корня является способ Ньютона.

2.1.3.3.Способ Ньютона

2.1.3.3.1. Геометрическая интерпретация способа Ньютона.
Геометрическая интерпретация способа Ньютона показана на рис 2.1.

Рис. 2.1. способ Ньютона

Приняв в качестве исходного приближения к корню некое , восстанавливаем перпендикуляр в точке к оси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции , для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Х дает новое приближение к корню. Опосля этого процесс повторяем для точки , получаем точку и т.д.

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона.
Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня способом Ньютона.

Уравнение касательной в точке можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей угловой коэффициент :

В точке пересечения касательной с осью Х, величина приравнивается нулю:

Отсюда

В общем случае для вычисления следующего приближения к корню по известному предшествующему формула Ньютона имеет вид:

К такому же результату можно прийти, используя разложение в ряд Тейлора:

Члены, содержащие во 2-ой и наиболее больших степенях, отбрасываются; употребляется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает т.е. точка выбирается таковой, что

Приобретенная точка является точкой пересечения касательной в точке с осью Х. Так как кривая отлична от прямой, то быстрее всего не будет в точности равно нулю (это итог отбрасывания членов высшего порядка в ряде Тейлора). Потому вся процедура повторяется, при этом заместо употребляется .

Одно из преимуществ способа Ньютона – это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со почти всеми переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и непознаваемых уравнений

2.1.4.1. Постановка задачки.
Система
нелинейных уравнений с
неведомыми имеет вид:

(2.2)

где – неведомые;

– данные функции
переменных.

Решением системы НАТУ именуется совокупа чисел , которые, будучи поставлены на пространство неведомых ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является существенно наиболее сложной задачей, чем решение 1-го уравнения. Для систем НАТУ не существует каких–или приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В неких вариантах в итоге построения графиков с следующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней постоянно используются итерационные способы, почаще всего способ Ньютона.

2.1.4.2. Способ Ньютона для решения систем НАТУ.
Представим все
уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

задачка сводится к отысканию таковой совокупы приращений , при которой близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены наиболее больших порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

(2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из личных производных функций по всем переменным, а вектор вольных членов (В) – из функций с обратным знаком. Матрица в левой части (2.5) именуется матрицей Якоби либо якобианом.

Отысканные из системы (2.5) значения употребляются как поправки для получения еще одного – го приближения к решению:

(2.6)

Таковым образом, для выполнения одной итерации способом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив (), получим еще одно приближение к корням () (2.6) и т.д. до того времени, пока все получаемые поправки не будут довольно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к настоящему ().

Следует направить внимание на то, что проверку поправок на любом шаге итерации на условие < () нужно делать для значений поправок всех корней (.

Пример:
Отыскать способом Ньютона решение системы уравнений

Решение.
Разумеется,

Для формирования матрицы Якоби получим личные производные:

Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) – личные производные функций и вектора вольных членов (В) – функции с обратным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

(2.7)

Задавшись неким исходным приближением () и, подставив его заместо () в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (к примеру, матричным методом ) и получим . Если поправки не будут довольно малы (т.е. условие < не производится), то рассчитывается еще одно приближение к корням:

С приобретенным потом повторяют те же операции, что и с для получения и, если нужно, и т.д. до того времени, пока все получаемые поправки не будут довольно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к настоящему.

2.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы избрать из табл.2.1 значения характеристик для нелинейного объекта. По формулам

в1і
= в1
–h(і-1) ;

в2і
= в2
–h(і-1) ;

для
найти значения коэффициентов, определяющих выход для 5 рассматриваемых случаев.

2. Составить и отладить программку решения системы нелинейных уравнений согласно Приложению 2.1 и для приобретенных в пт 1 значений выхода отыскать 5 наборов значений входных переменных х1

и х2

.

3. По результатам просчета на ПЭВМ получить таблицы значений входа (х1

и х2

) при данных значениях выхода ( в1

и в2

).

4. Выстроить графики конфигурации значений х1

и х2

зависимо от значений в1

и в2.

.

Таблица 2.1

Номер

по списку

Задания

Коэффициенты системы уравнений

а1
х1
+ а2
х2
=в1
;

х1
х2
=в2
;

а1
а2
в1
в2
h

1
1 2 4 2 0.1

2
2 1 3 1

3
1 2 3 1

4
2 2 4 1

5
2 1 4 2

6
1 3 4 1

7
1 1 5 3

8
1 3 5 2

9
3 3 6 1

10
2 3 7 2

11
3 3 9 2

12
2 2 9 2

13
1 1 9 2

14
1 3 5 2

15
1 1 7 3

16
2 2 7 3

17
2 3 5 1

18
3 1 5 2

19
5 5 10 1

20
6 2 10 2

21
2 2 10 2

22
1 1 10 2

23
1 1 11 2

24
2 2 11 2

25
2 2 11 3

26
2 2 11 4

27
2 2 11 5

28
2 2 11 6

29
2 2 11 7

30
1 1 11 8

3. анализ динамических объектов

Цель работы
: изучить характеристики и средства пакета MathCAD.

Содержание работы
:

1) изучить теоретические положения (раздел 3.1), определяющие структуру динамических объектов, их математическое описание и решение задачки анализа объектов, способы решения обычных дифференциальных уравнений и систем уравнений;

2) выполнить личное задание согласно предусмотренной в разд.3.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание контрольной работы согласно требованиям задания.

3.1. Короткие теоретические положения

3.1.1. структура и математическая модель объекта

В общем случае под динамическими (нестационарными) объектами соображают такие объекты, состояние и поведение которых определяется временными чертами, т.е. является функцией времени.

Такового рода объекты могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений вида

где – функционал, определяющий определенный вид системы уравнений, которая обрисовывает структуру объекта; – вектор переменных, описывающий выходы объекта;
вектор производных; – вектор внутренних характеристик уравнения, определяющий определенную реализацию объекта при данной его структуре;
наружные (входные) действия на объект.

Системе уравнений вида:

будет соответствовать структура объекта, изображенного на рис 3.1.

Структура объекта определяется интеграторами И1

и И2

, сумматорами S1,
S2

, S3,

и S4,

линейно– усилительными блоками а11

, а12

,а21

,а22

и системой связей меж ними.

Рис 3.1. структура динамического объекта.

3.1.2. Анализ динамических объектов

задачка анализа динамических объектов состоит в исследовании зависимости выходных значений объекта х1
(t)
и х2
(t)
как функции времени при данных наружных (входных) действиях на объект f1
(t)
и f2
(t)
и внутренних параметрах объекта а11

, а12

,а21

,а22

.

Решение задачки анализа состоит в динамическом моделировании объекта, который описывается системой обычных дифференциальных уравнений, и заключается в решении (интегрировании) системы уравнений на интервале времени. Этот интервал времени (от – исходного до – конечного) именуется интервалом интегрирования. В большинстве практических случаев равно нулю, другими словами моделирование начинается в нулевой момент времени. В описании такового рода систем переменная именуется независящей, а все другие переменные – зависимыми.

3.1.3. Решение обычных дифференциальных уравнений

Дифференциальными именуются уравнения, содержащие одну либо несколько производных. Зависимо от числа независящих переменных, и, как следует, типа входящих в их производных, дифференциальные уравнения делятся на две группы:

простые дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней;

дифференциальные уравнения в личных производных (ДУЧП), содержащие несколько независящих переменных и производных по ним, которые именуются личными производными.

Для решения дифференциальных уравнений могут применяться различного рода аналитические и численные способы. Аналитические способы основаны на прямых преобразованиях системы уравнений, приводящих к четкому аналитическому решению. Но такие способы сложны, не всепригодны исходя из убеждений системы уравнений и приводят к решениям лишь в самых обычных вариантах. Потому они малоприемлемы при решении практических задач.

В крайнее время в связи с бурным развитием вычислительной техники обширное применение получили численные способы решения дифференциальных уравнений. В базе этих способов лежит итерационное повторение однотипных вычислительных операций и потому они довольно просто реализуются на ПЭВМ. Эти способы разрешают с данной точностью отыскивать на интервале интегрирования требуемое количество точек по времени для всех переменных, входящих в систему уравнений.

Посреди этих способов можно выделить очевидные способы (способ Эйлера, способ Рунге–Кутта), обыкновенные в реализации. количество проводимых вычислений для их зависит лишь от количества переменных и данного количества точек определения значений переменных на интервале интегрирования. Точность вычисления результатов для этих способов существенно миниатюризируется при увеличении интервала интегрирования. Лишенной этого недочета является группа неявных способов (способы прогноза и корректировки), но они обычно превосходят очевидные по количеству вычислений.

3.1.3.1. Численные способы решения обычных дифференциальных уравнений

3.1.3.1.1. Решение задачки Коши.
Дано обычное дифференциальное уравнение первого порядка

Требуется отыскать решение этого уравнения, удовлетворяющее исходному условию на интервале .

Численное решение задачки Коши состоит в нахождении значений в точках отрезка , где – шаг интегрирования. Число разработанных способов решения задачки Коши весьма велико. Можно выделить две группы способов:

Одношаговые способы, в каких для нахождения последующей точки на кривой требуется информация только о одном прошлом шаге.

Одношаговыми являются способ Эйлера и способы Рунге–Кутта.

2. Многошаговые способы (способы прогноза и корректировки), в каких для отыскания последующей точки кривой требуется информация наиболее чем о одной из прошлых точек. К числу таковых способов относятся способы Милна, Хемминга, Адамса-Башфорта.

3.1.3.1.2. Способ Эйлера.
способ Эйлера – это простой способ, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Но на базе этого способа легче осознать методы остальных, наиболее действенных способов.

способ Эйлера основан на разложении в ряд Тейлора в округи .

Запишем ряд Тейлора:

При малом членами больших порядков можно пренебречь. Тогда:

Таковым образом, получим при малом смещении от исходной точки . Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

либо

3.1.3.1.3. Измененный способ Эйлера (способ Эйлера – Коши).
Тангенс угла наклона касательной к кривой известен в и равен , но он изменяется с конфигурацией независящей переменной, и в точке наклон касательной уже не таковой, как в, т.е. на интервале вносится погрешность.

Точность способа Эйлера можно значительно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно создать, использовав среднее

В измененном способе Эйлера поначалу рассчитывается

которое употребляется для приближенного вычисления значения производной в конце интервала, т.е.

Вычислив среднее :

Принцип, на котором основан измененный способ Эйлера, можно объяснить по другому. Вернемся к разложению в ряд Тейлора:

Попытаемся сохранить член с ; для этого аппроксимируем конечной разностью:

Подставив это выражение в ряд Тейлора, получим:

Это выражение совпадает с ранее приобретенным.

Данный способ является способом второго порядка, так как в нем употребляется член ряда Тейлора, содержащий .

3.1.3.1.4 способ Рунге – Кутта.
Точность одношаговых способов можно повысить, если выполнить наиболее точную аппроксимацию производной на интервале , т.е. применять члены наиболее больших порядков в разложении Тейлора.

Чтоб удержать в ряде Тейлора член – го порядка, нужно вычислять – ю производную зависимой переменной. При использовании измененного способа Эйлера для получения 2-ой производной в естественно – разностной форме довольно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтоб вычислить третью производную в естественно– разностном виде, нужно иметь значения 2-ой производной по наименьшей мере в 2-ух точках. Для этого нужно добавочно найти наклон кривой в некой промежной точке интервала , т.е. меж и . Разумеется, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше доп вычислений будет нужно снутри интервала.

способ Рунге-Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации данной для нас цели.

метод Рунге-Кутта первого порядка является способом Эйлера.

метод Рунге-Кутта второго порядка является измененным способом Эйлера (способом Эйлера – Коши). Для вычисления получаем формулы:

Более всераспространенный вариант способа – способ 4-ого порядка точности. Для вычисления получаем формулы:

3.1.3.1.5 Автоматический выбор шага.
В приведенных выше способах величина шага конфигурации предполагалась неизменной. Разумеется, что при интегрировании с малой величиной шага мы будем получать наиболее четкое решение.

Но, указать заблаговременно приемлемую величину шага трудно. Если шаг избрать большенный, то будет недостаточной точность результатов. Если же шаг избрать весьма малый, то это наращивает число шагов и время решения.

Потому некие программки интегрирования, используемые на практике, снабжены процедурой автоматического выбора шага. В итоге этого на участках плавного конфигурации интегральной кривой шаг автоматом возрастает, а при резких конфигурациях функции шаг миниатюризируется.

3.1.3.1.6. Общая черта одношаговых способов.
Чтоб получить информацию в новейшей точке, необходимо иметь данные о предшествующей точке.

В базе всех одношаговых способов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в каком сохраняются члены, содержащие степени до включительно. Целое число именуют порядком способа. Погрешность на шаге имеет порядок .

Все одношаговые способы не требуют реального вычисления производных – рассчитывается только сама функция (правая часть уравнения). Могут потребоваться значения функции в промежных точках, что тянет доп Издержки времени.

3.2. Последовательность выполнения работы

Согласно номеру по списку группы избрать из табл.3.1. систему уравнений

(1-ое и 2-ое уравнение), описывающую исследуемый динамический объект.

Выстроить структурную схему для исследуемого динамического объекта, аналогичную приведенной на рис. 3.1.

Составить и отладить программку решения системы дифференциальных уравнений согласно Приложению 3.1.