Учебная работа. Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Учебная работа. Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4
+ TX2
+ PX + Q = 0
(1)

имеет четыре корня X1
, X2
, X3
, X4
.

Понятно, что:

X1
+ X2
+ X3
+ X4
= 0,
(2)


X1
X2
+ X1
X3
+ X1
X4
+ X2
X3
+ X2
X4
+ X3
X4
= T,
(3)


X1
X2
X3
+ X1
X2
X4
+ X1
X3
X4
+ X2
X3
X4
= –P,
(4)


X1
X2
X3
X4
= Q.
(5)

Методом обычных алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1
X2
+ X3
X4
= T + (X1
+ X2
)2
,
(6)


(X1
+ X2
)(X1
X2
– X3
X4
) = P.
(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2
– (X1
X2
+X3
X4
)Y + X1
X2
X3
X4
= 0,
(8)

где Y1
= X1
X2
, Y2
= X3
X4
.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1
+ X2
)2
перепишем уравнение (8) в виде:

Y2
– (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1
X2
= 1
/2
(T + A2
+ ([T + А]2
– 4Q)1/2
),
(9)


X3
X4
= 1
/2
(T + A2
– ([T + A]2
– 4Q)1/2
).
(10)

Таковым образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1
X2
– X3
X4
= ([T + A]2
– 4Q)1/2
.
(11)

Беря во внимание, что A1/2
= X1
+ X2
перепишем формулу (7) в виде:

X1
X2
– X3
X4
= Р/А1/2
.
(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2
= ([T + A]2
– 4Q)1/2
.
(13)

Методом обычных алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3
+ 2TA2
+ (T2
– 4Q)A – P2
= 0.
(14)

Таковым образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1
+X2
)2
и 2-ух квадратных уравнений:

X2
– (X1
+ X2
)X + X1
X2
= 0,
(15)


X2
– (X3
+ X4
)X + X3
X4
= 0.
(16)

Используя ф-лы (9), (10) и беря во внимание, что X1
+ X2
= – (X3
+X4
) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2
– A1/2
X + 1
/2
(T+A + ([T + A]2
– 4Q)1/2
) = 0,
(17)


X2
+ A1/2
X + 1
/2
(T+A – ([T + A]2
– 4Q)1/2
) = 0.
(18)

Полное уравнение четвертой степени X4
+ KX3
+ TX2
+ PX + Q = 0 сводится уравнению (1) методом подмены переменной X на переменную Y = X + K/4.

]]>