Учебная работа. Реферат: Математическая интуиция

Учебная работа. Реферат: Математическая интуиция

Введение.

Еще старых заинтересовывали вопросцы: как создается новое, откуда берется то, чего же еще не было вчера, кто либо что является его источником? И уже античные пробовали на него ответить, создавая превосходные мифологические, позже религиозно-философские, а потом и научные картины мира. Но в отношении творений человека этот вопросец приобретал необыкновенную остроту. Ибо, во-1-х, пути поиска новейшего, даже в одной области, часто весьма очень разнятся, а во-2-х, способность создавать новое присуща далековато не многим людям.

деятельность человека, порождающая отменно новое, оригинальное и неповторимое, получила заглавие творчество. По-видимому, 1-ые пробы рациональной реконструкции творческого процесса начались в античности, при этом тогдашние мыслители имели в собственном распоряжении довольно развитую арифметику. Потому фактически все их исследования так либо по другому касались ее. Уже древние создатели увидели специфика арифметики, которая заключалась в воплощении принципов логической последовательности выводов из принятых постулатов. В таком подходе они узрели эталон, к которому необходимо было привести другие области познания — философию, физику, астрономию и др. Но в последствии от этого отказались и на замену математическому эталону пришли остальные.

Последующие исследования лишь выделили обособленность арифметики, неповторимость ее способов и выводов, что дозволяет гласить нам о особенном виде творчества — математическом творчестве. Нас будет заинтересовывать вопросец, как осуществляется это творчество, т.е. возникает новое в арифметике, и какова роль интуиции в возникновении этого новейшего. Не считая того, мы разглядим некие вопросцы отношений математической интуиции и гуманитарного познания.

Интуиция в математическом творчестве.

“Незапятнанная ничего новейшего…”

А. Пуанкаре [17, стр.210]

Виды интуиции.

Во внедрении мы отметили, что процесс открытия 1-го и такого же может протекать у различных людей по-разному. Это не умопомрачительно, т.к. в любом таком случае мы имеем дело с творческой индивидуальностью, которая почти во всем определяется работой неповторимого органа – людского мозга (центральный отдел нервной системы животных и человека). Раскрытие устройств его работы могло бы отдать четкий ответ на наши вопросцы. Но до сего времени эти механизмы остаются загадкой. Наиболее того, современные исследования подчеркивают сложность их раскрытия. Так, И. Пригожин и И. Стенгерс приводили последующие достойные внимания сведения: “В стадии глубочайшего сна в <электронной> активности головного мозга (центральный отдел нервной системы животных и человека) находится детерминистический хаос с фрактальным аттрактором в шестимерном пространстве<…> С иной стороны, в состоянии бодрствования конечномерный аттрактор не был идентифицирован. Исходя из убеждений электронной активности мы имеем дело с настоящей случайностью” [16, стр. 78]. Это гласит о том, что исследование процесса творчества через исследование функционирования головного мозга (центральный отдел нервной системы животных и человека) не может сейчас значительно посодействовать в достижении наших целей. Чудилось бы, на этом можно ставить точку в попытке исследования творчества совершенно и математического – а именно, объявив эту задачку пока неразрешимой. Таковая негативная реакция полностью естественна. Но, там где мы доходим до границ специального познания, где мы понимаем принципную ограниченность этого познания и где у нас возникает Потребность перескочить эти границы, там у нас остается одно средство – это догадка и философский анализ препядствия. Тут мы встаем на этот путь. Его сущность заключается в исследовании свидетельств субъектов творчества и его товаров. Как мы увидим, таковой путь дозволит хотя бы отчасти ответить на заявленные вопросцы.

Исследователи издавна увидели два совсем разных магистральных пути в осознании арифметики: геометрический (либо топологический) и алгебраический. Геометрический метод осознания содержит в себе оперирование приятными мыслями, вербование чертежей и рисунков, отказ, хотя бы на шаге самого творения, от формул и вычислений, огрубляя, можно сказать так: геометрическое осознание – это поначалу приятное задачка быть может сведена лишь к геометрии либо лишь к алгебре. Заметим, что в истории были пробы такового сведения.

В VI в. до н. э. пифагорейцы выдвинули философский принцип – “есть все число”. И попробовали все известные им закономерности свести к числовым соотношениям. Но открытие препядствия несоизмеримости отрезков привело к отказу от этого принципа и переходу к геометрическому способу рассуждений. Таковой подход просуществовал достаточно длительно. К примеру, Д. Кардано (1501-1576) при выводе собственных именитых формул рассуждал приблизительно так: “… если куб со стороной β=α+х
разрезать плоскостями, параллельными граням, на куб со стороной α и куб со стороной х,
выходит, не считая 2-ух кубов, три прямоугольных параллелепипеда со сторонами α, α, х
и три – со сторонами α, х, х;
соотношение меж размерами дает

х
3
+3х
2
α+ 3х
α2
+α3
= β3
;

для перехода к

х
3
+3αβх
= β3
-α3

параллелепипеды различных типов попарно соединяются воединыжды.” [9, стр. 27]

Т. о. смотрелась обычная нам выкладка 3х
2
α +3х
α2
=3х
α (х+
α)= 3х
αβ (с учетом того, что х
+α=β).

Переход на алгебраическую символику, а именно открытие аналитической геометрии, значительно упростили рассуждения. И дозволил студентам-первокурсникам просто решать задачки, почти все из которых востребовали бы значимых усилий у величавых математиков древности.

Как лицезреем, применение геометрического подхода в данной задачке затрудняло ее решение, а алгебраическая символизация значительно упростила ее осознание.

Наиболее того, в хоть какой содержательной задачке можно выделить как геометрическую, так и алгебраическую составляющие, при этом составляющие независящие. Обычный пример – это понятие реального числа. Вот, что пишет по этому поводу Г. Вейль [8]: “Система реальных чисел подобна двуликому Янусу: с одной стороны – это совокупа алгебраических операций “+” и “” и им оборотных, с иной – континуальное обилие, части которого соединены друг с другом безпрерывно. 1-ый лик чисел алгебраический, 2-ой топологический.”

нужно отметить, что сочетание обоих подходов актуально нужно для развития арифметики. Мы отчасти показали это на примере вывода формул Кардано. Приведем еще несколько свидетельств в пользу нашего вывода. Так, понятно, что основную аксиому алгебры нереально обосновать чисто алгебраическими способами. На каком-то шаге нам непременно будет нужно свойство непрерывности в той либо другой геометрической интерпретации.

Либо возьмем понятие группы Ли. Как отмечает выдающийся спец в области группового анализа дифференциальных уравнений П. Олвер [12]:

“На 1-ый взор группа Ли смотрится каким-то ненатуральным сочетанием алгебраического понятия группы, с одной стороны, и дифференциально- геометрического понятия обилия <…>, но <…> композиция алгебры и анализа приводит к сильной технике для исследования симметрии … ” [12, стр. 37-38].

Итак, мы выделили два направления в осознании арифметики. При этом указали на их принципную взаимодополняемость либо на то, что Г. Вейль называл “предустановленной гармонией меж геометрией и алгеброй”. исследование творчества реально работающих математиков указывает, что крайние постоянно тяготеют к какому-то одному из направлений. Традиционным примером является школа теории функций К. Вейерштрасса с формально-алгебраической направленностью и топологическая теория алгебраических функций Г. Римана. Такое разделение быстрее всего является не только лишь действием окружающих причин. Так, те же К. Вейерштрасс и Г. Риман творили в одно и то же время, в одной и той же культурной среде. Потому с большенный толикой вероятности можно утверждать, что в базе такового пристрастия лежат личные мотивы, основой которых является, при иных равных критериях, физиологические индивидуальности головного мозга (центральный отдел нервной системы животных и человека) определенного ученого. В доказательство сошлюсь на открытие, изготовленное доктором Калифорнийского технического института Р. Сперри. Р. Сперри изучил нездоровых с перерезанным “мозолистым телом”, соединяющим два полушария мозга (центральный отдел нервной системы животных и человека) и обосновал, что функции этих полушарий владеют определенной несимметричностью. За свои исследования Р. Сперри получил Нобелевскую премию по биологии и медицине в 1981 году. Кратко сущность открытия Р. Сперри определил академик В. И. Арнольд: “Наш жизни” [2, стр. 49].

Т. о., можно принять разделение математиков на “правополушарных” и “левополушарных”. “Левополушарных” будем еще именовать аналитиками либо алгебраистами. Разглядим наиболее тщательно “правополушарных” математиков. Эту категорию именуют еще геометрами. Но в силу того, что “правополушарные” арифметики черпают свои идеи не только лишь из пространственных представлений, такое заглавие кажется очень узеньким. Не считая, фактически, геометрических представлений к математическому открытию могут вести представления из смежных областей познания. Более ярко это проявляется во отношениях арифметики и физики. При этом физика не только лишь ставит задачки, она так же является поставщиком новейших понятий и способов. Так, главные факты теории обобщенных функций возникли исходя из чисто физических абстракций и были сформулированы и применены за длительное время до серьезных математических обоснований. А упоминавшийся выше В. И. Арнольд совершенно показывает на “базовое единство арифметики и физики” [6, стр. 10].

Физика длительное время была монопольным поставщиком задач, мыслях и способов в арифметику, и даже сейчас пробы отнять эту преимущество иными науками довольно слабы на ее фоне. Потому математиков, исходящих в собственном творчестве из представлений смежных наук, мы условно будем именовать “физиками”.

Не считая этих 2-ух типов, посреди “правополушарных” математиков следует выделить математиков — “философов”, которые в собственных исследовательских работах обращаются к философским представлениям. Потребность в таком подходе обычно проявляется в переломные моменты истории науки, за которыми лежат новейшие теории и целые направления в науке. История арифметики изобилует примерами такового рода. Философскими установками в собственном творчестве воспользовались И. Ньютон, Г. Лейбниц, Н.И. Лобачевский, Л. Брауэр, Д. Гильберт и др.

Итак, мы разделили всех работающих математиков на четыре типа – аналитики, геометры, физики и философы. И впритирку подошли к ответу на вопросец, что все-таки лежит в базе акта творения?

А. Пуанкаре как-то увидел: “… для того, чтоб сделать геометрию либо какую бы то ни было науку, необходимо нечто другое, чем незапятнанная слова, не считая слова “интуиция” [17, стр. 210]. Принимая эту точку зрения, попытаемся показать, что любому из 4 типов математиков присуща своя интуиция.

Сейчас под интуицией принято осознавать способность мышления к конкретным умозаключениям методом мысленного схватывания (“озарения”) без промежных обоснований и доказательств. По-видимому, ей принадлежит решающая роль в творчестве, потому остановимся на этом парадоксе и его роли в математическом открытии.

Обратимся опять к нашей систематизации математиков. Мы разделили их по способу появления у их новейших представлений, т. е. по способу осознания арифметики. Резонно представить, что этот метод диктуется особенным видом интуиции, присущим тому либо иному типу математиков, т. е. существует четыре типа интуиции – аналитическая, геометрическая, физическая и философская.

Начнем с аналитиков. Обычно им отказывают в использовании интуиции в творчестве, полагая, что они идут к открытию искусно оперируя логическим выводом и формулами. Тщательно изучая этот вопросец, А. Пуанкаре отмечает, что оставаясь “качественными мастерами силлогизмов”, они “не смогли бы расширить границы науки” [17, стр. 216]. И для их он вводит особенный вид интуиции – интуиции незапятнанного числа, которая лежит в базе аналогий. Таковая интуиция дозволяет не выходить за рамки логического познания и потому устраняет его носителя от логических ошибок. К математикам, которые владеют таковым видом интуиции А. Пуанкаре отнес Ш. Эрмита. Но, наверняка, самым броским представителем аналитиков был Сринивада Рамануджан. С. Рамануджан родился в 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Собственный путь в арифметике он начал с двухтомного управления по тригонометрии Лони, которое он получил от студента из Мадраса в 14 лет. Потом в 16 лет он начал осваивать двухтомное управление британского математика Карра. В данной нам книжке было собрано 6165 теорем и формул, практически без доказательств и с минимальными пояснениями. Эта книжка оказала большущее воздействие на его стиль творчества. Не имея представления о том, как проводить строгие подтверждения, он формулировал совсем нетривиальные утверждения. Ряд из их он выслал в Великобританию доктору Кембриджского института Г.Г. Харди, который получил их в самом начале 1913 года. Увидев присланные формулы, Харди считал, что человек, написавший их, обладает весьма сильной техникой доказательств и может обосновывать наиболее общие результаты. Но, когда по ходатайству такого же Харди Рамануджан приехал в Лондон, оказалось, что никаких доказательств нет, есть лишь совсем туманные разъяснения. Оказалось, что Рамануджан просто “живет в мире формул”. При этом каждое, практически, каждое число было его “другом”! Показателен вариант, описанный Ч.П. Сноу: “Харди нередко навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в поликлинике в Патни. Конкретно в одно из таковых посещений произошел “инцидент” с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим любимым транспортным средством. Он вошел в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди было мучительно тяжело, и он произнес свою первую фразу: “Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это кислое число”. На что Рамануджан тотчас же дал ответ: “Нет, Харди! О нет! Это увлекательное число. Это самое маленькое из чисел, представимых в виде суммы 2-ух кубов 2-мя разными методами”. [22, стр. 26].

Будучи в Великобритании и работая в тандеме с Г. Харди, С. Рамануджан определил свои самые мощные результаты. При этом почти все из их отыскали свое подтверждение уже опосля его погибели. Как видно, С. Рамануджан владел неповторимым даром. Совершенно, возникновение математика с интуицией незапятнанного числа весьма редчайшее явление. И большинству математиков необходимо завлекать к решению собственных задач воображение, т. е. наиболее приятные виды интуиции. Разглядим их.

Геометрические интуиции завлекают к решению задач пространственные представления – непрерывность места, его связность, замкнутость, открытость и т. д. Замечательно, что воспитание (целенаправленное формирование личности в целях подготовки её к участию в общественной и культурной жизни) геометрической интуиции начинают с демонстраций макетов фигур, чертежей, преобразующихся компьютерных рисунков. Это направление в преподавании арифметики обычно именуют приятной геометрией. Снутри нее, как мне кажется, уже сложилась некая система требований к подбору материала, методами и приемами его изображения. При этом освоение геометрии как такой фактически нереально без этого базиса. Более соответствующим примером тут является книжка В. В. Прасолова “Приятная топология”.

Физические интуиции берут свое начало в видах окружающей реальности. Нередко этот тип интуиции соединяют с геометрической, но есть основания делить их. Так, А. Пуанкаре, как пример геометрической интуиции, разглядывает решение Р. Клейном задачки о том, существует ли на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. При решении данной нам задачки Р. Клейн “подменяет поверхность Римана железной поверхностью, электропроводность которой изменяется по известным законам, и соединяет две точки ее с 2-мя полюсами элемента. ток, гласит он, обязательно пройдет, и распределение этого тока по поверхности обусловит функцию, особенными качествами которой будут конкретно те, которые предусмотрены условием.”[17, стр. 206]. Как видно, Р. Клейн пользуется физическими представлениями, лежащими за пределами просто пространственного воображения.

Физические интуиции сыграли гигантскую роль в становлении арифметики. Мы уже отмечали, что физика длительное время была монопольным поставщиком содержательных задач для арифметики.

Уже 1-ые пробы открыть законы движения дали арифметике огромное количество задач и определили много ее внутриматематических понятий. К примеру, Г. Галилей, изучая свободное падение, сначала представил, что движение обязано протекать по закону v
=c
·S,
где v
– скорость, S
– путь, а с
– неизменное число. Положив путь равным нулю в исходный момент времени, он нежданно себе нашел, что движение по такому закону происходить не может. И, отбросив этот вариант, он пришел к своим известным уравнениям движения. Но, уравнение v
=c
·S
продолжило свою жизнь в исследовательских работах шотландца Д. Непера, который, посчитав путь в нулевой момент времени хорошим от нуля, получил показательную функцию, число е
и логарифмы.

Предстоящее развитие механики породило дифференциальное и интегральное исчисление, теорию дифференциальных уравнений и топологию. Рождение же неклассической механики стимулировало теорию вероятностей и математическую статистику, многофункциональный анализ и теорию меры.

Любопытно то, что, ставя задачки, физика сразу предлагала арифметике пути их решения. Возьмем хотя бы теорию уравнений в личных производных. Сами наименования и соотношения ее конструкций несут на для себя печать физических представлений (потенциал двойного слоя, интеграл энергии, резонанс и т. д.). Наиболее того, попытка формулировки в данной нам теории чисто математических задач, оторванных от действительности (а именно, попытка выстроить общую теорию уравнений в личных производных) – ведет к “вырождению принципиальной общематематической теории в нескончаемый поток работ “о одном свойстве 1-го решения одной краевой задачки для 1-го уравнения” [3, стр. IX].

Обратимся сейчас к философским интуициям. Как уже отмечалось, они вступают в дело в переломные моменты истории. В силу того, что наличие таковых интуиций фактически не описано, я для большей уверительности приведу два, на мой взор, ярчайших примера из истории арифметики. 1-ый – это попытка сотворения интуиционистской программки обоснования арифметики.

Всего программ обоснования было три – логицизм, интуиционизм и формализм. История сотворения каждой востребовала от разрабов незаурядных возможностей в философии арифметики. Но, по моему воззрению, интуиционизм был более экстравагантной программкой, т. к. в центр ее ставился человек, что согласитесь, было и остается вызовом для математического познания.

Считается, что интуиционизм родился в 1907 году, когда возникла диссертация Л. Брауэра “О основаниях арифметики”. В противовес данной нам точке зрения современный исследователь интуиционизма М. И. Панов считает, что рождение его вышло несколько ранее – в 1905 году. Он связывает эту дату с выходом иной работы Л. Брауэра – “Жизнь, искусство и мистицизм”. На 1-ый взор этот труд весьма далек от арифметики. И если прочесть те немногие отрывки, которые доступны на российском языке и содержатся в нескольких работах М. И. Панова, то такое Мировоззрение лишь укрепляется. Но все это только на 1-ый взор. Вот одна из выдержек: “Ум впрямую связан с языком. жизнь приносит в ум невозможность самому конкретным образом – с помощью жеста либо взора подсознательно (либо наиболее нематериально) через все препятствия – устанавливать дела друг с другом”, и дальше ”<…> никто никогда не сумел с помощью языка передать свою душу <…>” [13] И совместно с сиим вспомним, что в обосновании интуиционизма Л. Брауэр подчеркивал, что математические построения осуществляются на интуитивном уровне в доязыковой форме, при этом “<…> настоящим в арифметике может считаться только то, что является интуитивно ясным.” [14, стр. 144]. А необходимость общения и сохранения результатов, требующая их закрепления в языке вела к вычленению логического каркаса, т. е., иными словами, к возникновению логики, и потом к потребности в конструировании математических объектов.

В собственных исследовательских работах Л. Брауэр обширно употреблял интроспекцию – психический способ, заключающийся в самонаблюдении человека за психическими реакциями собственного сознания. С его помощью он ввел в интуиционизм понятие “безупречного математика” либо “творящего субъекта”.

Так, одним из главных понятий интуиционизма является свободно становящаяся последовательность, которая подразумевает вольный выбор “безупречного математика” и формируется в согласовании со последующими правилами: “а) положение какого-нибудь члена последовательности, определенного актом вольного выбора, не меняется от результатов следующих актов; б) выбор можно оборвать на любом шаге” [14, стр. 133].

Из всего произнесенного видно, что Брауэр–философ предшествовал Брауэру-математику.

Удачливость интуиционистской программки обоснования арифметики позднее была поставлена под колебание Д. Гильбертом. Его философская составляющая так же вызывала много споров [см., например: 15, Глава 4]. Но, интуиционизм как математическая теория обосновал свою жизненность и необходимость в трудах ученика Л. Брауэра А. Гейтинга и нашего соотечественника А. А. Маркова.

2-ой пример необходимости философских интуиций в арифметике мы возьмем из несколько иной области, описав возникновение неевклидовой геометрии. Честь сотворения данной нам геометрии принято разделять меж 3-мя учеными в неравной пропорции – меж Н.И. Лобачевским, К. Гауссом, Я. Бойяи. До их главным управлением по геометрии в протяжении 2-ух тыщ лет служили “Начала” Евклида. Естественно, что они были детально исследованы. И в протяжении 2-ух веков геометров завлекала особенная роль 5-ого постулата Евклида. Во-1-х, он формулировался весьма длинно: “если ровная, пересекая две остальные прямые, образует с ними внутренние однобокие углы, сумма которых меньше 2-ух прямых углов, то эти прямые, будучи продолжены неограниченно, пересекаются с той стороны от третьей прямой, с которой лежат упомянутые выше углы”. Во-2-х, Евклид в первый раз пользовался своим постулатом только в 28 предложении.

Все это вело к попыткам обосновать 5-ый постулат, исходя из первых 4, но они все оказывались безуспешными. Первым, кто усомнился в необходимости этого подтверждения, был К. Гаусс. Но повелитель арифметики, боясь за свою репутацию, не высказал собственных мыслях на публике. И в первый раз они были размещены в трудах нашего соотечественника Н.И. Лобачевского, который пришел к ним без помощи других и, не считая того, развил их в довольно стройную теорию.

Сначала, он как и все пробовал обосновать 5-ый постулат. В сохранившихся записях его лекций от 1816-1817 г.г., содержится таковая попытка. Но скоро ученый соображает тщетность усилий в этом направлении.

Последующим шагом к пониманию новейшей геометрии послужил труд «Геометрия». В нем он верно проследил какие утверждения не зависят от 5-ого постулата (их он собрал в первых 5 главах) и какие зависят, т.е. не могут быть получены ни каким образом без его использования. Иными словами он верно выделил то, что сейчас именуют абсолютной геометрией. Такое разделение послужило отправной точкой последующих раздумий. Которые были реализованы в сочинении «Сжатое изложение основ геометрии со серьезным подтверждением аксиомы о параллельных». Оно было представлено научной общественности 11 февраля 1826 года на заседании Отделения физико-математических наук. Основой труда служило допущение, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, плоскости АВС проходит несколько прямых, не встречающих АВ. Это куцее выражение переворачивало все прежние интуитивные представления. И закономерно, что открытие Н.И. Лобачевского было понято только по истечении 12 лет опосля погибели математика. Тот факт, что поворотное допущение настолько просто, но тянет за собой огромные следствия, свидетельствует о глубочайшем философском анализе, которому он подверг предшествовавшею ему геометрию. Разумеется, что этот анализ не мог протекать в рамках самой арифметики и востребовал вербования наружных, по отношению к ней, суждений.

Из приведенных примеров видно, что философские представления, а если угодно, интуиции, являются необходимыми и очень полезными на шаге сотворения новейших теорий, при этом там им принадлежит решающая роль.

Итак, мы выделили четыре типа интуиции. Можно помыслить, что их применение ограничивается лишь теми областями, наименования которых они наследуют в собственных именах. Но это далековато не так! Наиболее того, история арифметики указывает, что как раз вторжение ученых в смежные области быть может весьма продуктивным и для этих областей и для самих ученых.

Ж. Дьедоне [11] именует этот процесс переносом интуиции. В собственном исследовании он разглядывает взаимодействие теории обилий, теории аналитических обилий и теории чисел. И уже на примере работ Римана обосновывает всю не очевидность и в то же время эффективность этого взаимодействия. Так, Риман, применив математический анализ к алгебраической геометрии, сделал новейшую теорию, именуемую бирациональной алгебраической геометрией кривых. Потом, используя учение о мероморфных функциях на римановой поверхности, он перебегает “к понятию из незапятанной алгебры – полю оптимальных функций кривой, которое является просто конечным расширением поля оптимальных дробей над всеохватывающими числами” [11]. Дальше, Ж. Дьедоне разворачивает воистину потрясающую картину взаимодействия 3-х теорий, в которую не считая Римана были вовлечены Дедекинд, Вебер, Куммер, Гендель и др. Такие же процессы наблюдаются не только лишь снутри арифметики (т. е. не только лишь по линиям аналитическая интуиция – геометрия, геометрическая интуиция — алгебра). Так, в уже цитированном интервью В. И. Арнольда, крайний замечает: “топология полезна в квантовой теории, а способы квантовой теории поля приводят время от времени к сложным топологическим результатам” [6]. Т. е. тут мы имеем дело с линиями геометрическая интуиция – физика, физическая интуиция – геометрия.

“Я ложил на ночь (то есть темное время суток) огромные надежды <…>. Правильное решение было сейчас так близко, что мой разум мог совершить крайний шаг и во сне. Я счел полезным снова на уровне мыслей перебрать главные пункты собственных рассуждений.”

Шестиугольник. [5, стр. 282]

Механизмы интуиции

Опосля того, как мы выделили главные типы интуиции и доказали их существование, естественным желанием является попытка вскрыть механизмы их работы. Здесь мы должны быть признательны А. Пуанкаре за то, что он оставил неповторимый самоанализ собственного процесса математического открытия в статье “Математическое творчество”. В ней он привел рассказ о том, как был написан мемуар о фуксовых функциях. Кратко эта история смотрится так. В течение 2-ух недель он пробовал обосновать, что функций, схожих тем, которые он потом именовал фуксовыми, не существует. Любой денек он растрачивал один – два часа и безрезультативно перебирал огромное число композиций. Но в один прекрасный момент вечерком он испил чашечку темного кофе и не мог уснуть. И потом с ним вышло последующее: “<…> идеи появлялись во огромном количестве и мне чудилось, что я чувствую, как они сталкиваются меж собой, пока, в конце концов, две из их, вроде бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого объединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса <…> мне оставалось только сконструировать итог, что отняло у меня всего несколько часов”. [17, стр. 404-405] на этом он не обрывает собственного повествования, но для наших целей этого отрывка довольно, тем наиболее что предстоящее только подтверждает общую схему.

В анализе творческого акта А. Пуанкаре показывает на огромную роль безотчетного. Он считает, что в процессе так именуемого “отдыха” меж сеансами сознательной работы (нередко безуспешной) безотчетное делает большущее число композиций, большая часть которых полностью никчемна. Дальше все они пропускаются через решето особого эстетического чувства, знакомого любому реально действующему арифметику. Это чувство отбирает только те математические предметы, “…элементы которых размещены так гармонически, что обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»> обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»>мозг без усилий может охватитьцелое, проникая в то же время и в детали” [17, стр. 410] (вспомним, что интуиция – это способность к свернутым умозаключениям). В особенности принципиально, что это чувство может приводить к заблуждениям, на что также показывает А. Пуанкаре.

Анализируя процесс математического творчества, Ж. Адамар выделил последующий ряд его шагов [1]. (Любопытно сопоставить с приведенным выше рассказом А. Пуанкаре). 1-ый шаг – это “подготовка”, когда происходит сознательное исследование препядствия; 2-ой шаг – “инкубация”, когда неувязка вроде бы вытесняется в подсознание и исследователь может совершенно запамятовать о ней; 3-ий шаг – “озарение”, когда решение препядствия вдруг нежданно “прорывается” в сознание (время от времени этот шаг сопровождается психическим предчувствием); и крайний шаг заключается в проверке и теоретическом оформлении результатов.

Более таинственным из их является 3-ий. Конкретно в этот момент по догадке Пуанкаре в дело вступает некоторое особое Эстетическое чувство. Что все-таки лежит в базе этого чувства? На основании чего же делается вывод о гармонии меж исследуемыми математическими объектами? Эти вопросцы, непременно, сложны (даже само понятие эстетического чувства — гипотетично). Но все таки можно создать некие догадки. По-видимому, в базе эстетического чувства лежат пласты априорного и неявного познания. К априорному познанию как базе арифметики и математического познания обращались почти все философы и арифметики. Так, И. Кант в собственном базовом труде “Критика незапятнанного разума” вопросец о том, как вероятна математика, как наука, сводил к вопросцу: как вероятны синтетические суждения априори? Л. Э. Брауэр положил его в базу собственной программки обоснования. А. Пуанкаре так же обращался к данной нам теме. к примеру, он считал: “<…> все мы обладаем интуицией непрерывности хоть какого числа измерений, ибо мы имеем способность выстроить физическую и математическую непрерывности, что эта способность существует в нас до всякого опыта <…>” [17, стр. 580].

Априорное познание при всем этом у разных философов имеет различные истоки. Так, В.Я.Перминов выводит априоризм и его общезначимость из практической деятельностной ориентации познающего человека. Он считает, что “представления, лежащие в базе математических понятий, — не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, проистекающие из деятельностной ориентации познающего субъекта” [15, стр. 47].

Г.Фоллмер и с ним все последователи эволюционной эпистемологии считают, что априорные структуры – “продукт эволюции [и они] принадлежат к генетическому оснащению, когнитивному “инвентарю” индивидума, они являются унаследованными и прирожденными в широком смысле, потому не только лишь независимы от всякого (личного!) опыта, но имеются до опыта и делают совершенно опыт вероятным ” [20, стр. 157].. Т. о. видно, что вопросец о истоках существования априорного познания просит отдельного исследования. Но нам довольно того, что оно существует.

Не считая априорного мы указали на существование неявного познания. Под ним предполагается то познание, “которым мы пользуемся неосознанно” [19, стр. 68]. Некие исследователи считают априорное познание частью неявного. Но я полагаю, что их следует делить. Так, априорное познание носит ярко выраженный интрсубъективный нрав, тогда как неявное – вначале лично, или зависимо от социокультурных причин. Итак вот, априорное и неявное познание служит тем базисом, с которым мышление соотносит итог работы безотчетного. И если объекты из безотчетного отлично коррелируют с сиим базисом, то это служит сигналом к “прорыву” и “озарению”.

“В ”Госпоже Ленин” желал

отыскать “нескончаемо малые”

художественные слова”

В. Хлебников.

Математические интуиции и людская культура.

Нет нужды обосновывать, что математика имеет огромное Космос, вычислительная техника и др. не обходятся без внедрения арифметики. Т. о., опосредованно через нее и математическая интуиция оказывает огромное воздействие на окружающий нас мир. Но тут пойдет речь не о этом полностью тривиальном выводе. Побеседуем о таковых явлениях в людской культуре, когда математическая интуиция становится сама явлением культуры либо порождает таковые.

Современный математик, публикуя результаты собственных исследовательских работ, стремится создать собственный текст как можно наиболее формальным. Основное внимание при всем этом уделяется логической строгости, и из публикуемой работы изгоняются все неявные и интуитивные установки. Таковой подход дозволяет самому арифметику и окружающему его математическому обществу быть уверенными в корректности доказанных результатов. У этого явления есть и иная сторона медали. Часто таковой текст понятен только маленькой группе профессионалов в данном вопросце. Если же его захотит осознать неспециалист, то ему нужно затратить много времени и усилий, чтоб по формальному тексту сформировать нужные интуитивные представления и сопоставить их меж собой, или ему нужно получить эти представления от профессионалов. Этот процесс передачи неформальных представлений можно нередко следить на лекциях и семинарах, когда педагог делает “лирические” отступления. Конкретно в нем по-видимому кроется секрет школы и традиции. Недаром А. Гротендик отметил, что “наука живет связью меж людьми и преемственностью поколений” [10, стр. 137].

Необходимость передавать и сформировывать у обучающихся интуитивные представления привела к рождению целого пласта учебной литературы, создатели которой избегают чисто формальных выкладок и стремятся к наглядности изложения. При этом это сначала книжки по геометрии и математической физики (любопытно, что в школьной программке конкретно геометрия адекватнее всего отражает современный взор на математическую строгость). Посреди создателей таковых учебников необходимо подчеркнуть В.И. Арнольда, В,В, Прасолова, А.Т. Фоменко и др. Пробы же донести математические идеи до наиболее широкой публики ведут к рождению совсем умопомрачительных произведений. человек не способен наглядно представить для себя искривленное место размерностью больше 3-х. Но, в арифметике с большенными размерностями встречаются сплошь и . При всем этом употребляются специальные интуиции, стоящие далековато за рамками наглядности. Пробы доступно обрисовать эти интуиции привели к рождению умопомрачительных по собственному качествупроизведений, далековато выходящих за рамки методики обучения. Я имею ввиду особенный жанр литературы и искусства, основным героем которых является математическая интуиция. К примеру, роман Э. Эбботта “Флатландия” [25] и его продолжение, написанное Д. Бюргером “Сферландия”, хотя и призваны выработать у читающего представления о связности, ориентации, размерности и кривизне пространств, читаются как интереснейшие приключения. А читатели всемирно известного романа Л. Кэрролла “Алиса в Стране Чудес”, совершенно нередко запамятывают о его настоящем назначении.

Не считая попыток обрисовать геометрические интуиции были пробы их нарисовать. Тут, в качестве первого примера я сошлюсь на творчество голландского графика М.Эшера. Индивидуальностью его творчества было виртуозное изображение на плоскости “неосуществимых” конструкций и пространственных построений, также внедрение зрительных иллюзий, при этом большая часть мотивов так либо по другому были взяты из геометрии.

Последующим примером являются графические листы нашего соотечественника известного геометра А.Т. Фоменко. В собственной книжке “Приятная геометрия и топология” [21] он дает сиим изображениям чисто математическую интерпретацию, понятную спецам, но сами изображения сделали бы честь хоть какой выставке современного искусства.

большенный потенциал в данной нам связи имеет компьютерная геометрия. В особенности это проявилось опосля успешных тестов по получению изображений множеств дробной размерности либо по-другому фракталов. Группа западных ученых стала выставлять их на обозрение широкой публике. При этом публика восприняла это с огромным энтузиазмом, и выставки воспользовались постоянным фуррором. Любопытно, что людей не заинтересовывала настоящая природа фракталов, их завлекали и завлекают необыкновенные калоритные разноцветные изображения и лишь они. Т. о., можно гласить о особенном направлении в изобразительном искусстве.

Еще один пример жизни математических интуиций в искусстве дает нам творчество российского поэта Велимира Хлебникова. время его жизни пришлось на конец XIX – начало XX века – время бурных перемен в мировом политическом устройстве, науке, а именно, физике и, естественно, искусстве. И В. Хлебников оказался в этом водовороте. Обширное образование, способность стремительно усваивать и перерабатывать новейшие идеи позволило сделать ему творения, которые тяжело с чем-либо спутать. И не последнюю роль в их игралась математика. Чего же стоит, к примеру, таковая фраза: “В “Госпоже Ленин” желал отыскать “нескончаемо малые” художественного слова” [23, стр. 7]. Он вжился в мир математических абстракций и принудил их жить нематематической жизнью. Ах так он сам обрисовывает процесс осмысления геометрии Лобачевского:

“Мир с непоперечными кривыми”

Во деньки “издавна” и весел

Сел в 1-ые ряды кресел

Думы моей,

Чей занавес уже поднят.” [цит., по: 24].

Найдя огромную значимость в естествознании числа , он придал ему в собственных литературных поисках всеобщий нрав: “Пора обучить людей извлекать вторичные корешки из себя и из отрицательных людей. Пусть несколько искр огромных искусств свалится в разумы современников.” [23, стр. 51]. Творчество Хлебникова не попросту литературная пеленица с математическим уклоном. Исследователи отмечают глубину его проникания в интуитивный мир науки. И фраза “Хлебников – с одной стороны, Вавилов, Планк, Эйнштейн – с иной, поправлялись одной и той же мифологией, почерпая из нее начальные интуиции” [24] не лишена оснований. В заключение предпринятого обзора разглядим проявления математических интуиций во отношениях арифметики и гуманитарных наук. Нас не будет заинтересовывать математическое моделирование в этих науках. Хотя, безусловн, при составлении и исследовании модели употребляется широкий набор математических интуиций. Но, тут они “живут” снутри модели, подчиняются математическим закономерностям. Для нас же на данный момент увлекательна ситуация, когда представления, рожденные в арифметике, отрываются от нее, переносятся в другую науку и начинают жить по законам данной нам науки. При этом переносится само развития…” [7, стр.287]. Итак, в одном предложении мы встречаем по последней мере три математических термина – линия движения, бифуркация, стохастический. 1-ые два взяты из высококачественной теории обычных дифференциальных уравнений, 3-ий является синонимом случайности. Как и указывалось выше, они употребляются сами по для себя, без какого-нибудь соотнесения с породившей их математической теорией. Но самое увлекательное заключается в том, что их определения в данной нам книжке соответствуют тем интуитивным представлениям, которые обычно формируются при исследовании соответственного математического определения. Происходит собственного рода неформальная вербализация интуитивного вида математического объекта. Этот процесс припоминает своеобразную математизацию, лучшую от традиционного ее осознания. Так, традиционная математизация накладывает твердые требования на объект моделирования. По воззрению Г.И. Рузавина, “беспристрастной основой внедрения математических способов <…> служит высококачественная однородность изучаемых <…> классов явлений” [18, стр. 189]. Он же показывает, что “в соц и гуманитарных науках выделение однородного свойства и его математического исследования связаны с огромным числом проблем, потому что при всем этом приходится учесть и такие личные причины, как воля, цели, ценностные ориентировки и мотивации людей” [18, стр. 191]. В нашем же случае условия диктует гуманитарная наука. Она органично вплетает в себя математические представления. При этом необходимость такового “вплетения” определяется на интуитивном уровне. Таковая математизация на данный момент весьма популярна. Почти все работы по философии, социологии, экологии пестрят определениями – нелинейность, бифуркация, флуктуация, диссипативная система, стохастический, фракталы и т. д. О эффективности этого подхода судить еще пока тяжело. Но для нас принципиально, что он есть.

Выводы.

В работе вопросец о механизме математического творчества сведен к исследованию видов математической интуиции и раскрытию ее устройств. Выделяется четыре типа интуиций: аналитическая, геометрическая, физическая и философская. естественно, это разделение условное. В действительности арифметики практически никогда не пользуются лишь одним типом интуиции. Так, “правополушарные” арифметики могут быть сразу геометрами, физиками и философами. Примерами таковых математиков могут служить А. Пуанкаре, Н.И. Лобачевский и др.

нужно также отметить, что важную роль в творчестве играет перенос интуиции. В работе это отлично показано на примере переноса физической интуиции в геометрическую, когда Р. Клейн “…подменяет поверхность Римана железной поверхностью, электропроводность которой изменяется по известным законам… ”.

На мой взор, весьма принципиально выделение философской интуиции. Она проявляется в предельных ситуациях и содействует появлению новейших теорий и направлений в науке.

Математическая интуиция применяется как впрямую, в таковых областях науки, как Экономика, так и косвенно – в искусстве, музыке, литературе и т. д. Потому принципиально развивать математическую интуицию не только лишь у математиков. Это нужный багаж для хоть какого образованного человека. К слову, премьер-министр Рф Витте был по образованию математиком. жизнь его сложилась так, что он не стал заниматься арифметикой, но использовал математическую интуицию в жизни. Вот что пишет о нем В.И. Арнольд [2, стр. 28]: “Естественно, сила Витте заключалась совсем не в применении какой-нибудь арифметики (“исчисления”), а в том методе мышления, который он именует “математикой-философией” и который принуждает человека с математическим образованием мыслить о всех реалиях мира вокруг нас при помощи (сознательного либо безотчетного) мягенького математического моделирования.”

]]>