(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Математические понятия
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и дела реальности, абстрагированные от настоящих ситуаций.
Каждое понятие соединяет воединыжды внутри себя класс объектов (вещей, отношений) — размер этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и лишь им, — содержание этого понятия. к примеру, понятие «треугольник» соединяет внутри себя класс .различных треугольников (размер этого понятия) и характеристическое свойство — наличие 3-х сторон, 3-х вершин, 3-х углов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет внутри себя класс различных уравнений (размер понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну либо несколько переменных (содержание понятия).
Содержание понятия раскрывается при помощи определения, размер — при помощи систематизации. Средством определения и систематизации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Формирование понятий — непростой психический процесс, начинающийся с образования простых форм зания — чувств — и протекающий нередко по последующей схеме: чувства — восприятие — представление — понятие.
Обычно делят этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании чувств, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию при помощи обобщения и абстрагирования.
Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому шагу пути зания совершенно, т. е. «живому созерцанию», и потому ее воплощение просит широкого внедрения наглядности. Если ученику никогда не демонстрировали модель куба либо предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а как следует, и понятия куба.
процесс формирования понятий будет действенным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического характеристики) создаваемого понятия.
Разглядим процесс формирования понятий на примере понятия куба.
Детям (6-7лет) демонстрируют много предметов, различающихся формой, размерами, расцветкой, материалом, из которого они изготовлены, при этом таковых, что одни из их имеют форму куба, а остальные нет. Малыши, опосля того как им демонстрируют на одно из этих тел и молвят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, расцветки, материала. тут выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел делается по одному еще недостаточно проанализированному признаку — наружной форме. Малыши еще не знают параметров куба, они распознают его лишь по форме.
Предстоящая работа по формированию понятия куба состоит в анализе данной формы с целью выяснения ее параметров. Учащимся дают методом наблюдения отыскать, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они различаются от других. Устанавливается, что у всякого куба 8 вершин, 6 граней. Но у неких тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани — квадраты (эта работа обычно проводится опосля аналогичной работы по выделению класса квадратов из огромного количества плоских фигур).
Остается один шаг к образованию понятия куба — переход от представления к понятию методом абстрагирования, т. е. отделения общих параметров от г^рочих, несущественных. Очевидно, на исходном шаге обучения недозволено еще гласить о полном абстрагировании этих параметров, у малышей еще не создается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с разными измерениями. В предстоящем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках периодического курса геометрии), учащиеся выяснят, что куб — это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом — Диалектика развития понятий.
Приведенный пример указывает, что процесс формирования понятий, обычно, долгий процесс, содействующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятель учащихся.
Но формирование математических понятий не постоянно протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с чувств. А именно, когда создаваемое понятие соединено, в той либо другой форме, с группой бесконечности (как, к примеру, понятия прямой, плоскости, плотности огромного количества оптимальных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет наименьшую роль, потому что мы не в состоянии принимать нескончаемое (ни в которой форме), и наглядность из средства, содействующего формированию понятия, время от времени становится тормозящим фактором.
к примеру, бесконечность огромного количества оптимальных чисел, лежащих меж хоть какими 2-мя оптимальными числами, не подкрепляется, а, напротив, «опровергается» определенным восприятием конечного отрезка, содержащего это огромное количество. Свойство плотности огромного количества оптимальных чисел недозволено найти опытным методом, оно не подтверждается приятными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и остальные бессчетные примеры подтверждают выводы наших психологов о том, что восприятие приятного материала в силу беспристрастных особенностей этого материала может играться не только лишь положительную, да и отрицательную роль.
Заключительным шагом формирования понятия, как правило, является его определение.
В арифметике и в обучении арифметике используются разные методы определения понятий.
Более нередко, в особенности в обучении геометрии, встречается определение «через ближний род и видовое отличие». Примером такового определения является последующее: Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом. Как видно, это определение состоит из 2-ух частей: «прямоугольник» — определяемое понятие и «параллелограмм с прямым углом» — определяющее понятие. Связка «есть» (время от времени заместо «прямоугольник есть…» молвят «прямоугольником именуется…») значит тут, что термин «прямоугольник» (вновь введенный) обозначает то же понятие, что и выражение «параллелограмм с прямым углом», составленное из ранее уже узнаваемых определений («параллелограмм», «прямой угол»).
Анализируя определяющее понятие «параллелограмм с прямым углом», выделяем понятие «параллелограмм» (ближний род) и свойство «наличие прямого угла» (видовое отличие). Заглавие «ближний род» оправдано тем, что не выделено другое понятие, размер которого врубается в огромное количество параллелограммов и включает огромное количество прямоугольников. Если б мы обусловили прямоугольник как четырехугольник, у которого обратные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, наиболее громоздкое определение конкретно поэтому, что понятие «четырехугольник» не является наиблежайшим родом для прямоугольника (имеется понятие «параллелограмм», размер которого врубается в огромное количество четырехугольников и включает огромное количество прямоугольников), и потому усложнилось характеристическое свойство (видовое отличие).
Общая схема определения «через ближний род и видовое отличие» быть может записана на языке множеств (классов).:
В= х 
А и Р(х)
(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — наиблежайшему роду — и владеющих свойством Р — видовым различием).
В нашем примере В — определяемый класс прямоугольников (либо свойство «быть прямоугольником»), А — класс параллелограммов (либо свойство «быть параллелограммом»), Р — свойство «наличие прямого угла».
Такое определение является очевидным определением, в каком верно (очевидно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно дозволяет нам поменять по мере необходимости одно понятие иным. Весьма нередко таковой подменой пользуемся в подтверждениях теорем.
Но не все математические понятия могут определяться таковым образом. процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения 1-го понятия к другому, с наиболее широким объемом, второго — к третьему, с еще наиболее широким объемом, и т. д. процесс сведения не быть может нескончаемым. Должны быть некие начальные, начальные понятия, которые неопределяемы через остальные понятия данной теории, потому что им не предшествуют никакие остальные понятия данной теории. В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые посодействовали бы учащимся открыть соответствующую изюминка системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для данной цели можно употреблять разный определенный материал. к примеру, можно выстроить такую последовательность определений:
П1: квадрат — ромб с прямым углом;
П2: ромб — параллелограмм с равными смежными сторонами;
П3: параллелограмм — четырехугольник, у которого обратные стороны попарно параллельны;
П4: четырехугольник — многоугольник с 4-мя сторонами;
П5: многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией;
П6: фигура — огромное количество точек.
Как видно, этот процесс сведения одних понятий к иным доходит до понятий «огромное количество» и «точка», которые принимаются за начальные и конкретно потому не определяются через остальные понятия.
Итак, начальные, начальные понятия не определяются очевидным образом через остальные понятия данной теории. Это, но, не значит, что они никак не определяются. В теоремах выражаются главные характеристики начальных понятий и отношений меж ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при подтверждении теорем и определении остальных (определяемых) понятий. Потому системы аксиом можно разглядывать как неявные, косвенные определения начальных понятий. Таковым образом, когда молвят, к примеру, что понятия «точка» и «ровная» — начальные понятия и потому не определяются, нужно это осознавать поточнее: «не определяются очевидно через остальные понятия».
один и этот же раздел школьного курса арифметики может строиться при помощи разных систем понятий, различающихся меж собой порядком введения понятий либо самими понятиями. Выбор начальных понятий не описывает совершенно точно последовательность исследования понятий системы. Система понятий оказывается только отчасти упорядоченной. к примеру, в классической системе понятий стереометрии такие понятия, как «угол скрещивающихся прямых» и «перпендикулярность прямых и плоскостей», могут изучаться в любом порядке. В учебнике А. П. Киселева угол скрещивающихся прямых изучался опосля перпендикулярности и потому перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и плоскости, аксиома о 3-х перпендикулярах формировались только в личных вариантах. В итоге такового расположения материала учащиеся изучали аксиому о 3-х перпендикулярах только для варианта, когда ровная на плоскости проходит через основание наклонной, и не могли созидать ее применение в задачках, где ровная на плоскости не проходит через основание наклонной. В большинстве же случаев конкретно таковая ситуация наблюдается в задачках.
О определении не имеет смысла гласить, поистине оно либо неверно. Определение может лупить правильным (корректным) либо неверным (неправильным) зависимо от того, удовлетворяет оно либо нет определенным требованиям.
Важным требованием, предъявляемым к определениям, является отсутствие грешного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (очевидно либо неявно) в определяющем. к примеру, фразы: «Решение уравнения — это то число, которое является его решением», «Схожими именуются фигуры, которые меж собой подобны» — не могут служить определениями решения уравнения и схожих фигур соответственно, потому что в любом из этих предложений содержится грешный круг.
Грешный круг может относиться не к отдельному определению, а к двум либо нескольким определениям. к примеру, в 2-ух определениях: «Угол именуется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны» и «Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол» — имеется грешный круг, потому что в одном понятие прямого угла определяется через перпендикулярные прямые, а в другом это 2-ое понятие определяется через 1-ое.
Другое принципиальное требование, выполнение которого нужно для правильности определения, — это отсутствие омонимии: любой термин (знак) должен повстречаться не наиболее 1-го раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и этот же термин (знак) обозначает разные понятия, т. е. нарушается один из принципов потребления знаков либо определений в качестве имен.
Определенные языковые выражения (знаки искусственного языка либо определения, слова либо группы слов естественного языка) делают функцию обозначения. Они сопоставляются определенным классам объектов (вещей, отношений) либо их мысленным образам (понятиям) в качестве заглавий, имен.
Связь имен с их значениями (с обозначаемыми ими объектами) отражает связь мышления с речью. Формирование понятий может быть только при условии их именования, т. е. приписывания им определенных имен. Потому принципиально напомнить принципы корректного потребления имен.
1) Принцип предметности: предложение гласит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не о их именах). к примеру, предложение «3 < 5» гласит о том, что число, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, т. е. гласит о числах, а не о их именах, встречающихся в этом предложении; предложение «Треугольник — многоугольник» гласит о том, что класс объектов, обозначаемых термином «треугольник», является подклассом класса объектов, обозначаемых термином «многоугольник», т. е. гласит о объектах, имена которых встречаются в этом предложении, а не о самих этих именах.
2) Принцип однозначности: любой знак (термин), применяемый в качестве имени, обозначает не наиболее 1-го объекта, другими словами, каждое имя имеет не наиболее 1-го значения. Почему не говорим, что каждое имя имеет буквально одно значение, а говорим: «не наиболее 1-го значения«? К примеру, утверждая, что число а недозволено разделять на 0, мы не утверждаем, что невозможна запись «а: 0»; эта запись настолько же допустима, как, к примеру, запись «о: 2». Утверждается только отсутствие объекта, имя которого есть языковое выражение «а: 0», т. е. это выражение не является именованием какого-нибудь числа, либо это имя без значения.
Нарушение принципа однозначности имеет суровые последствия, в особенности в обучении, потому что это значит применение имен с наиболее чем одним значением, приводящее к неурядице и смещению понятии.
3) Принцип подмены имен: предложение не меняет собственного истинностного значения, когда одно из входящих в него имен заменяется иным именованием, имеющим то же самое
Разные имена 1-го и такого же предмета нередко поразному охарактеризовывают его, при помощи различной инфы о нем. В таком случае молвят, что имена имеют одно и то же имя, произвольно закрепляемое за прямой (мы можем обозначить эту же прямую буковкой b ), рассматриваемое как неразделимое. 2-ое имя «AB» — составное имя, содержащее остальные имена («A», «В») в качестве собственных частей и владеющее строением, отражающим тот метод, которым оно обозначает предмет (прямую, проходящую через точки А и В). Полностью понятно, что 2-ое, составное имя владеет большей познавательной ценностью. Оно докладывает нам, что обозначаемая сиим именованием ровная проходит через точки А и В.
Таковым образом, в отношении именования участвуют три разных понятия: «имя«, «значение имени», «смысл имени«. Молвят, что имя именует свое
Из произнесенного следует, что нужно различать выражения «Не имеет смысла» и «Не имеет значения«. К примеру, в области натуральных чисел имя «корень уравнения х + 4 = 3» не имеет значения. В то же время это имя имеет ясный смысл: это такое число, что опосля подстановки его заместо х в данное уравнение слева и справа от знака равенства получатся имена 1-го и такого же числа. Буквально так же в области реальных чисел имя «
» не имеет значения, но имеет смысл (такое число, что опосля возведения его в квадрат получится число — 4) либо имя «2 : 0» не имеет значения, но имеет смысл (число, которое, будучи умножено на 0, дает 2).
В школьном преподавании нужно кропотливо смотреть за тем, чтоб употребляемые определения и знаки имели определенные смысл и
Не все очевидные определения можно отнести к определениям через ближний род и видовое отличие. Приведем примеры:
(1) «Ровная перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хоть какой прямой данной плоскости»,
(2) «Число а делится на число b, если существует число с такое, что а = b * с»,
В любом из этих определений новое отношение (определяемое) определяется через ранее известные дела (определяющие): перпендикулярность прямой и плоскости — через перпендикулярность прямых, отношение «делится на» — через отношение «быть произведением». Все эти определения являются очевидными, но в их недозволено выделить ближний род и видовое отличие.
Используемый тут символ «
» читается: «значит по определению» либо «и тогда лишь тогда по определению».
Добавление «по определению» значительно поэтому, что, хотя словесные формулировки очевидных определений имеют вид повествовательных предложений, эти предложения не выражают выражения (в том смысле, в котором термин «выражение» понимается в математической логике), потому что глупо гласить о их истинности либо ложности. Потому, а именно, нет смысла их обосновывать либо опровергать. С логической точки зрения словесные формулировки определений поближе к повелительным, чем к повествовательным предложениям, их можно разглядывать как приказы либо разрешения воспользоваться одним выражением (определяемым) заместо другого, наиболее массивного (определяющего).
Познание определения еще не гарантирует усвоения понятия. один из качеств формализма в математических познаниях состоит конкретно в том, что некие учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в разных ситуациях, где он встречается. Потому методика обучения обязана разрабатывать систему работы с определениями, чтоб преодолеть вероятный формализм в их усвоении.
Принципиальное пространство в данной работе занимает обучение (педагогический процесс, в результате которого учащиеся под руководством учителя овладевают знаниями, умениями и навыками) распознаванию объекта, соответственного данному определению, и построению различного рода контрпримеров. Для данной цели нужно ясно представить для себя структуру определения.
Под структурой определения, построенного по схеме А(х) В(х) соображают структуру его правой части, т. е. предложения «В». В школьной арифметике встречаются определения различной структуры, иногда достаточно сложной, и, чем труднее структура определения, тем наиболее кропотливой обязана быть работа по его объяснению, по предупреждению формального усвоения.
одна из более всераспространенных структур определений — конъюнктивная структура.
Пока индуктивные определения изредка встречаются в школьном обучении, но, беря во внимание их обширное распространение и
Мы уже гласили о том, что содержание понятия раскрывается при помощи определения (очевидного либо неявного), а размер — при помощи систематизации.
Нередко систематизация состоит из многоступенчатого разбиения огромного количества объектов на два класса при помощи некого характеристики (двучленное деление, либо «дихотомия», в определениях традиционной логики).
Методически полезными могут оказаться и схемы без слов.
Для приятного представления систематизации можно пользоваться и так именуемыми диаграммами Эйлера — Венна, в каких разные классы объектов изображаются в виде множеств точек, ограниченных ординарными замкнутыми линиями.
При помощи диаграмм Эйлера — Венна можно выполнить обширное обилие упражнений, содействующих классификации познаний учащихся, правильному осознанию отношений меж разными понятиями. Они служат также аппаратом для анализа неких классов рассуждений (о которых речь пойдет далее).
деятель) далековато выходит за рамки усвоения математических познаний. Необходимость систематизировать возникает в хоть какой области людской деятельности. Этому необходимо учить в школе.
]]>