Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Математика и проблема адекватного описания реальности
Над всем нашим теоретическим мышлением властвует с абсолютной силой тот факт, что наше личное мышление и беспристрастный мир подчинены одним и этим же законам и что потому и они не могут противоречить друг другу в собственных результатах, а должны согласоваться меж собой. [1]
Ф. Энгельс
Должны ли мысли о вещах быть настолько непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по для себя идти иным методом, совсем в стороне от реальности? [2]
Д. Гильберт
Размышления над неуввязками, нарастающими трудностями и все наиболее усложняющимся языком современной теоретической физики неизбежно приводят к подозрению, что не все благополучно в самом фундаменте современного «четкого» естествознания. А таковым фундаментом, непременно, является сложившийся веками математический формализм, служащий для описания действительности. Для теоретической физики он является той аксиоматической базой, с которой должны сообразовываться все ее построения, но которая сама, как жена Цезаря, «выше подозрений».
На фоне превосходных фурроров, достигнутых за крайние полтора столетия «четким» естествознанием на базе сложившегося до него и надстраивавшегося наряду с ним математического аппарата, из рассмотрения совсем выпал вопросец о том, как язык классической арифметики по сути, в собственных принципных основах, адекватен структуре мира, которую он призван и берется обрисовывать.
Но, до этого всего, правомерна ли сама постановка вопросца? Не развивается ли математика по своим своим, автономным, имманентным законам?
Если математика является «незапятнанным порождением разума» (специфичной «игрой в бисер»), то неясно, почему мир должен с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в «аминокислотном» людском сознании присущих миру (либо вероятных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопросец о «адекватности», «изоморфности» математических структур структурам действительности.
«Основная неувязка состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического» — справедливо замечает Н. Бурбаки [3]. Интересно сравнить две последние точки зрения по этому вопросцу:
Ш. Эрмит: «Я верю, что числа и функции анализа не являются случайными созданиями нашего разума: я думаю, что они есть вне нас в силу той же необходимости, как и объекты настоящего мира, и мы их встречаем либо их открываем и изучаем буквально так, как это делают физики, химики и зоологи» [4].
Г. Кантор: «Математика совсем независима в собственном развитии и ее понятия соединены лишь требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введенным ранее средством четких определений» [5].
Н. Бурбаки стремится сохранить нейтралитет в этом споре, оставляя вопросец открытым: «То, что меж экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесноватая связь, — это, как кажется, было совсем нежданным образом доказано недавнешними открытиями современной физики, но нам совсем неопознаны глубочайшие предпосылки этого…» ([3], с. 258). И дальше: «В собственной аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и… оказывается (хотя и непонятно почему), что некие нюансы экспериментальной реальности как как будто в итоге предопределения укладываются в некие из этих форм» ([3], с. 258 — 259). Это перекликается со взорами Е. Вигнера, согласно которым «непостижимая эффективность арифметики в естественных науках» есть «нечто таинственное, не поддающееся оптимальному разъяснению» ([6], с. 183; иной перевод см. [7]).
Меж тем, при наиболее пристальном рассмотрении неадекватность на 1-ый взор настолько совершенного математического языка, при всей его «непостижимой эффективности», выступает довольно ясно. Потому, до этого чем пробовать строить «новейшую физику», о чем уже практически четверть века идут непрекращающиеся дискуссии (и споры), может быть, нужно навести порядок в ее математическом фундаменте, а дальше «дело пойдет само собой» (а споры также «сами собой» стихнут).
Но речь идет не только лишь о физике, «старенькой» либо «новейшей». Речь идет о устранении неких «неадекватностей» в самой арифметике, которая, как ни кощунственно звучит такое заявление, невзирая на свою «невероятную эффективность» оказывается построенной на неких неверных предпосылках. Как показано в истинной работе, переформулирование неких ее базовых начальных положений «с лицом, обращенным к действительности», приводит к логически идеальной схеме, сходу ставящей «все на свои места», объясняющей почти все загадки (в том числе и упомянутую выше) и открывающей новейшие перспективы развития не только лишь перед теоретической физикой, да и перед «незапятанной» арифметикой.
тут недозволено не отметить, что по разным поводам не один раз высказывались сомнения в том, как обычная математика, невзирая на всю свою «непостижимую эффективность», правильно обрисовывает действительность. «Непонятно, в которой мере объект исследования в арифметике правильно соответствует действительности» — прямо, без обиняков, утверждают А. Колмогоров и А. Драгалин ([8], с. 114). А, касаясь неких проблем теоретико-множественного формализма, они высказываются еще наиболее точно: «…Такового рода следствия вызывают подозрение, что ряд фактов, приобретенных в рамках определенной математической теории, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого дела к физической действительности и является результатом очень далековато зашедшей экстраполяции!» ([8], с. 112).
Так возникает кажущаяся сначала безвыходной задачка «адекватизации» арифметики, решению которой и посвящен наш труд (см. сноску на с. 61); естественно, что для этого потребовалось, отрешившись от устоявшихся догм, посмотреть на издавна известные вещи свежайшим и непредубежденным взором.
Предлагаемая теория, ведущая к пересмотру неких устоявшихся и казавшихся доныне незыблемыми представлений в арифметике и теоретической физике, естественно, не может не опираться на некие общеметодологические, философские суждения, тем наиболее, что, как верно увидел В. Вернадский, «граница меж философией и наукой — по объектам их исследования — исчезает, когда дело идет о общих вопросцах естествознания» [9]. Попытаемся сконструировать их в — как это в человечьих силах — короткой, но вкупе с тем довольно ясной форме, не ставя для себя при всем этом, вообщем, задачку серьезного определения применяемых понятий, а полагаясь на подразумеваемую общность главных интуитивных представлений у всех, размышляющих о «устройстве» мира и методах его описания. Итак, «о догадках, лежащих в основании…».
1. Онтологический нюанс
«мир» — на очень высочайшем уровне абстракции — мыслится как некоторая система, существующая, совершенно говоря, вне и независимо от отражающего ее «сознания», которое само образует только одну из подсистем Мира (специфическую аминокислотную подсистему, способную как часть отражать целое). При всем этом система «мир» предполагается наделенной некоторой структурой, обладающей последующими базовыми качествами.
а) Имеет смысл гласить о состояниях системы как о разных вероятных реализациях ее структуры. По отношению к «интенсивным» структурным чертам системы ее «состояния» выступают в неком смысле как «экстенсивные», либо «фазовые», свойства системы и ее частей.
б) При всех вероятных состояниях системы и переходах меж ними сохраняется свойство консервативности Мира в смысле сохранения главных структурообразующих отношений, обеспечивающих, что мир остается Миром, а не преобразуется в нечто другое, принципно по-иному организованное (теория «Невзрывающегося мира») [10].
в) Это подразумевает наличие определенных ограничений, наложенных самой структурой Мира на его вероятные состояния. (Можно представить, что эти ограничения обязаны иметь очень общий, быстрее всего, теоретико-групповой нрав и быть соединены с абстрактными критериями симметрии и т.п.) В Мире не все может быть, а есть правила «внутреннего распорядка», которые и принято именовать Законами Природы. С иной стороны, это приводит к существованию в Мире (и его подсистемах) некоторых инвариантов, которые и гарантируют сохранение Мира как Мира при всех его вероятных внутрисистемных преобразованиях («автоморфизмах» Мира).
г) Консервативность Мира значит консервативность его структуры, а не состояний. В границах упомянутых ограничений «элементы Мира» (что бы под сиим ни предполагалось!), а, сделалось быть, и разные его подсистемы и мир в целом, способны принимать очень обеспеченный диапазон разных состояний.
По другому говоря, в Мире что-то может происходить и происходит (мир как «нежесткая», динамическая система со «степенями свободы», «Незамороженный мир«), в нем вероятны и осуществляются разные преобразования, сохраняющие, но, неразрушимым мир как целое. Все эти преобразования сводятся к изменению состояний его частей (под действием остальных частей системы либо «спонтанных», природа которых в значимой степени неясна), и сиим исчерпывается диапазон имеющихся в системе способностей. При всем этом, по-видимому, действует принцип: «Все, что может быть (т.е. совместимо с наложенными ограничениями), где-нибудь и когда-нибудь происходит» [11 — 13].
д) законы природы, обусловленные структурными ограничениями системы, носят, таковым образом, по существу, не предписывающий, а, быстрее, только запрещающий нрав, чем и разъясняется наблюдаемое в разных подсистемах Мира обилие форм.
«Субатомный зоопарк» [14] насчитывает к истинному времени (включая «резонансы») выше 200 «простых» (в кавычках, очевидно) частиц [14, 15], а таблица Менделеева — 105 «частей» (при бессчетном количестве изотопов). Число био видов на нашей планетке, по оценкам [16], превосходит 2 o 106 (не считая бессчетных подвидов) и даже число «естественных» языков в границах вида Homo Sapiens превосходит 2000 [ 17], а по неким данным добивается 5000 [18] (не считая бессчетных диалектов). Все это, видимо, разные реализации вероятных состояний, совместимые с наложенными ограничениями.
е) Миру как системе присущи характеристики замкнутости и полноты: все вероятные и реализуемые в нем состояния и преобразования подчиняются структурным ограничениям системы и не выводят элементы Мира за ее пределы; по другому говоря, в «естественном» мире нет места для «сверхъестественных» явлений.
2. Эпистемологический нюанс
Так как в Мире как системе, совершенно говоря, «все соединено со всем», всякая задачка описания состояний Мира и их преобразований, т.е. перехода его частей из одних допустимых состояний в остальные по существу и принципно является задачей почти всех (в принципе, нескончаемо огромного числа) «тел» — задачей всеобщего взаимодействия. Но при мысленном вычленении (и «фиксировании» в сознании) какого-то «элемента» (либо подсистемы) Мира и сосредоточении на нем «внимания», т.е. при «рассмотрении» какого-то «элемента», мы можем свести задачку к «дилемме 2-ух тел», производя дихотомию Мира на «рассматриваемый элемент» (вычлененный фрагмент Мира) и «весь остальной мир«. Тогда хоть какое «преобразование» рассматриваемого элемента (т.е. изменение его состояния) быть может описано уже не как следствие всеобщего взаимодействия, как итог действия остального мира на данный элемент. (Что при всем этом происходит с «остальным миром» — нас в рамках такового рассмотрения не интересует!) По условиям задачки рассмотрения (и с учетом «порядков малости» входящих в рассмотрение величин) нередко можно пренебречь действием всех частей, не считая 1-го, тогда и «остальной мир» (в рамках данного «рассмотрения»!) редуцируется до 1-го элемента и мы говорим о действии 1-го элемента на иной.
Необыкновенную делему составляет вопросец о способности и причинах спонтанных, т.е. не обусловленных действием «остального мира», конфигураций частей Мира. На самом деле дела, это «нескончаемая» неувязка «Детерминизм — индетерминизм». Тут укажем только, что на современном уровне познаний мы в состоянии формально обрисовывать такие конфигурации с помощью вероятностных операторов, делая упор, по существу, на «Принцип Мэрфи» и на лейбницевский «закондостаточного основания». Симметричность способностей по отношению к некой данной ситуации обязана, по-видимому, приводить к «равновероятности» их воплощения, а численное понятие «вероятности», а понятие «равновероятности», как некоторой симметрии, мерой отличия от которой и служит «возможность.»
Иным камнем преткновения является вопросец о происхождении необратимостей. Тут укажем только на правдоподобность догадки, что необратимости являются значительно «макро»-феноменом. На каком-то простом (базовом) «микро»-уровне все преобразования, по-видимому, должны быть обратимы, и таковы должны быть и описывающие их простые операции. Необратимость же, по-видимому, является чертой коллективных действий, которые вкупе с тем в каком-то смысле локальны. На самом высочайшем «мега»-уровне, по-видимому, опять царит обратимость, обеспечивающая неизменность («консервативность») не подверженных преобразованиям (и «эволюции») самых общих «Законов природы».
Вообщем, вся эта проблематика в значимой степени неясна и, возможно, превосходит способности сколько-либо точного осмысления на современном уровне познаний.
Но, если верна общая высказанная выше теория, она сходу приводит к ряду базовых следствий:
а) Само выделение «частей'» в системе — а, сделалось быть, и структурирование Мира в нашем сознании — является функцией рассмотрения, т.е. зависит не только лишь от параметров рассматриваемого фрагмента Мира, да и от параметров рассматривающей его «аминокислотной подсистемы», называемой «человечьим сознанием».
По правде. Этот же фрагмент Мира, который для нас при «обыденных» критериях представляется состоянием, скажем, из совокупы нескольких «тел», для созданий других размеров и конструкции, ну и для нас при рассмотрении с других расстояний и т.п. может оказаться «одним телом» либо даже «немыслимым обилием тел». А меж тем, фрагмент — один и этот же (если принять за теорему, что мир существует вне нас и независимо от нашего — либо чьего-то еще — сознания)! Там, где мы лицезреем (и «чувствуем») дискретную границу тела, другое существо (ну и мы с помощью устройств, изменяющих пороги чувствительности наших органов восприятия), может быть, увидело бы (и «почувствовало») непрерывный переход от «тела» к «не-телу». То, что для нас является «непроницаемым», для созданий (и объектов) других размеров и конструкции может оказаться «проницаемым», и напротив. Визуально мы воспринимаем мир лишь в узеньком интервале «видимого» спектра электромагнитных волн. Остальные существа с иными чертами (и органами) «зрения» лицезрели бы (и «лицезреют»! — хотя бы пчелы, змеи, дельфины, летучие мыши и т.д.) совершенно иной мир, состоящий из совсем других «объектов» либо «частей» (т.е. по другому «структурированный») и так дальше.
Не только лишь выделение «частей», да и сами понятия «дискретности» и «непрерывности» имеют, по-видимому, только условный, относительный смысл, зависящий не только лишь (а, быть может, и не столько) от параметров Мира, да и от параметров «рассматривающего» мир «субъекта», также от критерий и задач такового «рассмотрения». Это группы, присущие не Миру, а его описанию.
К такому выводу прямо подводят и задачи квантовомеханического описания Мира, философский нюанс которых активно дискуссируется в связи с возобновившейся дискуссией по поводу феномена Эйнштейна — Подольского — Розена [19-22]. Создатель крайней из упомянутых работ гласит о необходимости «понимания относительности представления о мире как о огромном количестве каких-либо «тел» (либо остальных «частей» в всех местах настоящего физического опыта)» ([22], с. 50) и приходит к выводу, что «природа в конечном счете неразложима на огромного количества каких-то частей и существует как нечто единое целое» (там же).
б) Уже на «эмпирическом» (либо «прагматическом») уровне мы сталкиваемся с наличием конкретно не наблюдаемых, чувственно не воспринимаемых объектов (хотя бы «инфра»- и «ультра»-излучения, радиоактивность, магнитное поле и т.д.) Для нашей аминокислотной системы не все наблюдаемо!
Можно сделать возражение, что то, что ненаблюдаемо для человека, наблюдаемо для устройств (т.е. опять-таки для нас через посредство тех либо других перекодирующих устройств). Да и приборы, как ни обидно, являются только личными и ограниченными подсистемами Мира. Какими устройствами можно зарегистрировать квантово-механическую функцию состояния *Р? Либо релятивистский «интервал»? Если они не являются случайными конструкциями разума, а владеют каким-то статусом действительности, то следует признать, что эти «реалии» в нашей аминокислотной системе восприятия, равно как и в системе восприятия наших устройств, принципно ненаблюдаемы.
Итак, в Мире не все наблюдаемо, и необычным (даже в некий степени таинственным) свойством «сознания» является его способность экстраполировать за границы «наблюдаемого», способность вычленять «ненаблюдаемые» элементы Мира, уместно (непротиворечиво и с предсказательной силой!) оперировать ими и заключать от ненаблюдаемого к наблюдаемому и напротив, связывая все в единую картину мира.
Так естественным образом возникает уже издавна независимо вскрытая квантовой механикой (и арифметикой — надуманные числа!) неувязка существования и описания «ненаблюдаемых».
в) Но, наиболее того. Раз всякое описание состояний и преобразований тех либо других частей и подсистем зависит не только лишь от того, что описывается, да и от того, кто, когда, где,
из какой точки, под каким углом зрения (физическим и ментальным), в которых критериях и т.д. их обрисовывает, естественным образом возникает общеметодологическая неувязка «наблюдающего», «систем отсчета», «относительности». Величавая эйнштейновская теория релятивизма, ведущая через эпистемологически Относительное к онтологически Абсолютному, имеет, как можно судить, не только лишь физическое, но конкретно общеметодологическое, гносеологическое
г) Со всем сиим тесновато связана неувязка языка описания. Мы, подобно вычислительной машине, по существу способны конкретно принимать и обрисовывать мир только на языке нашего «аминокислотного» кода, т.е. на языке подмножеств огромного количества вероятных состояний нашей нервной системы. Иным языком мы «не владеем». естественно, можно воспользоваться и промежными «языками-ретрансляторами», но в конечном счете они все перекодируются в наш, единственно понятный нам, «аминокислотный язык«. Мы вроде бы накладываем на мир наш «априорный аминокислотный растр» и через него смотрим и описываем мир. Так приобретает оптимальный смысл превосходный гипотеза Канта о «априорных формах созерцания».
д) Но если все обилие Мира в целом конкретно не дано нам в восприятии, а мы «лицезреем» только то, что возникает на нашем «перцептивном экране» (стенка пещеры у Платона либо, в наиболее близких нам видах, что-то вроде экрана радиолокатора), т.е. воспринимаем только какую-то проекцию Мира на нашу аминокислотную перцептивную систему, то несложно впасть в «птолемеев грех», оперируя заместо планетных орбит с «эпициклами» и «дифферентами» и сообразно с сиим «структурируя» мир. Ведь эпициклы Птолемея тоже были языком описания и по-своему хорошо служили делу зания мира, что длительное время создавало иллюзию их адекватности. Но их слабенькая степень изоморфности онтологии Мира обнаруживалась, а именно, в том, что системе Птолемея недоставало общности (единства), простоты и … красы.
е) Эвристическая Ценность принципов «единства», «симметрии», «простоты» и «красы» при описании Природы становится все наиболее тривиальной. «Чем проще наша картина наружного мира и чем больше фактов она обхватывает, тем посильнее отражает она в наших мозгах гармонию Вселенной», — считал А. Эйнштейн ([23], т. 4, с. 493).
О разных качествах эвристических принципов «простоты» и «красы» существует уже широкая литература ([24 — 28] и обзор литературы в работе [29]). Не последнюю роль оба эти принципа сыграли, меж иным, при установлении структуры молекулы «наследного вещества» — ДНК (Дезоксирибонуклеиновая кислота — макромолекула, обеспечивающая хранение, передачу из поколения в поколение и реализацию генетической программы развития и функционирования живых организмов), как о том свидетельствует один из создателей этого известного открытия [30]. Единство, симметрия, простота, краса, как проявления гармонии природы, — на этом сходятся и «физики», и «лирики».
«В одном мгновенье созидать вечность: большой мир — в зерне песка, в единой горсти — бесконечность и небо — в чашечке цветка» [31]. «Есть тонкие, властительные связи меж контуром и запахом цветка» [32]. «В родстве со всем, что есть, уверясь и знаясь с будущим в быту, недозволено не впасть к концу, как в ложь, в невиданную простоту» [33]. «Краса есть 1-ый пробный гранит для математической идеи; в мире нет места уродливой арифметике»’ [34]. чувство внутренней гармонии Природы, проявляющейся в «простоте» и «красе» описывающих ее «уравнений», даже побудило П. Дирака решиться на такое феноминальное утверждение: «Краса уравнений важнее их согласия с тестом» (!) ([35], с. 129). «По-видимому, — объясняет он свою идея, — если глубоко просочиться в суть задачи и работать, руководствуясь аспектом красы уравнений, тогда можно быть уверенным, что находишься на верном пути. Если же нет полного согласия меж плодами теории и тестом, то не стоит очень разочаровываться, ибо это расхождение быть может вызвано второстепенными факторами, верный учет которых будет ясен только при предстоящем развитии теории. Конкретно так была открыта квантовая механика… » (там же). «Вся простота открытия Шредингера обоснована конкретно поисками уравнения, владеющего математической красотой» (там же, с. 139).
Природа в собственных базовых основах, по-видимому, не может не быть «обычный» и «логичной», «гармонической» и «симметричной»! Но все это — если обрисовывать ее на языке, изоморфном конструкции Мира! Даже если при всем этом придется выйти за границы «конкретно воспринимаемого» и поступиться кое-какими обычными понятиями и представлениями.
ж) В связи со произнесенным возникает мощное подозрение, что почти все присутствующие в нашей классической арифметике массивные, кривобокие, негармоничные, равно как и, напротив, очень «вырожденные» либо чисто «компонентизованные» конструкции тоже являются только «проекциями», только «косноязычными» образованиями, не отражающими полнокровной и в то же время логически и эстетически экономичной действительности. Чуть ли «Природа» способна, к примеру, иметь дело с таковыми «структурами», как всякие полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра, как различные «бета»-, «эта»-, «тета»- и «дзета»-функции, как (хотя и владеющие специфичной симметрией и «красотой») тензоры и спиноры и т.д. Громоздкость и вычурность либо, напротив, патологическую «вырожденность» и принципную «компонентизованность» таковых структур, видимо, следует отнести на счет несовершенства, неадекватности, некомпактности языка.
Но следы данной нам неадекватности просто найти и на еще наиболее простом (а поэтому и еще наиболее базовом) уровне.
3. язык арифметики как «аминокислотный код»
Из произнесенного выше навязывается вывод, что наиболее либо наименее адекватное описание совершающихся в Мире (и вероятных в нем) преобразований, значащих изменение состояний выделенных для рассмотрения «частей», подразумевает введение каких-либо «структур» (в смысле Бурбаки), описывающих действие остального мира на рассматриваемый элемент. На нашем символическом «аминокислотном» языке такие структуры выступают в роли операторов, действие которых и принуждает элемент поменять свое состояние. А все, что происходит в Мире, остающемся в каком-то смысле равным себе, и сводится, по-видимому, к изменению состояний его частей!
Как следует, чтоб эпистемология была изоморфна онтологии в арсенале арифметики, в ее концептуальном базисе, в числе ее первичных объектов, либо «структур», должны находиться «состояния» и «преобразования»; 1-ые на символическом математическом языке выступают в качестве операндов, 2-ые — в качестве «операторов», действие которых на операнды делает из них остальные операнды той же природы, но находящиеся в другой «фазе», отражая изменение «состояния» выделенного элемента системы.
Язык арифметики, а, сделалось быть, и теоретической физики, должен быть, таковым образом (от этого не уйти!), языком операторов.
Меж тем, хотя уже в первой трети нашего века физика в лице квантовой механики пробилась к уяснению данной нам правды, классическому аппарату нашей арифметики в его принципных основах (не в надстройках!), как ни удивительно, чуждо понятие оператора!
Укажем тут, хотя бы лишь на то, что в аппарате нашей классической арифметики отсутствуют естественные операторы для описания даже таковых простых преобразований, как поворот вектора в трехмерном пространстве вокруг перпендикулярной к нему оси! Это простое преобразование, ибо все, что может происходить с вектором, сводится к его растяжению (сжатию) и повороту — ни изгибаться, ни «закручиваться», ни завязываться узлом вектор «не умеет»! Меж тем для описания такового простого акта обычная математика пользуется массивными искусственными конструкциями, содержащими (нелинейные и неаддитивные!) тригонометрические функции (с которыми «Природа» чуть ли может иметь дело!).
Зато, заместо естественного понятия оператора, в первичном арсенале математических средств находится несуразное (как будет показано ниже) понятие «умножения» (в том числе два различных умножения для векторов), владеющее в общем случае гнусным, противным (а, просто говоря, неестественным!) свойством неассоциативности.
Меж тем, преобразования и их естественные математические («аминокислотные») представители — операторы — по самой собственной природе, очевидно, должны быть ассоциативны — применение 2-ух поочередных преобразований равнозначно применению перевоплощенного преобразования либо преобразования к уже перевоплощенному объекту!
Неассоциативность «скалярного» и «векторного» умножений векторов приводит к неисчислимым бедствиям для всей арифметики (и физики): здесь и незамкнутость векторной «алгебры», и трагическая вырожденность пестрящих «нулями» таблиц умножения для векторов, и странноватая аннигиляция векторов при умножении, и воспрещение деления на векторы, приводящее к страшенной необратимости простых операций над векторами, и почти все другое.
Но основное, пожалуй, в том, что понятия «умножения» и «произведения» сущностей совершенно никаким образом не адекватны и не изоморфны структуре Мира! По существу, понятию «произведения» в Мире ничего не соответствует. Это чисто «птолемеевская» система, некоторая искаженная, развращенная значит просто последовательное их применение. Но что может, к примеру, означать «яблоко, умноженное на яблоко»? Можно сделать возражение, что яблоко не является «математическим объектом». Отлично. Тогда, что такое шар, умноженный на шар («произведение 2-ух шаров»), либо круг на круг, либо треугольник на треугольник, либо кривая на кривую, либо угол на угол и т.д. Можно опять сделать возражение, что это, дескать, чисто геометрические объекты, а для их понятие умножения не имеет смысла. Но тогда обязано быть глупым и умножение «направленного отрезка» на «направленный отрезок» (а их целых два, что уже {само по себе} подозрительно)!
На подобные недоуменные вопросцы арифметики «традиционной» школы обычно отвечают, что понятие «произведения» математических объектов является вольной конструкцией разума и в значимой (если не в полной) мере зависит от нашего произвола. Мы вольны найти (дефинировать) «произведение» как то-то и то-то, и выбор наш диктуется только тем, как получаемые «структуры» будут непротиворечивы, комфортны для нас, полезны, осмысленны, продуктивны и т.д. Совершенно же говоря, таковой выбор произволен.
Сиим на 1-ый взор снимается возникшее затруднение. Но взамен возникает еще наиболее суровая трудность: почему же такие «вольные порождения разума» оказываются совершенно применимыми к наружному миру, к «физической действительности», которая ведь совсем не должна сообразовываться с нашими интеллектуальными изобретениями?
Этот вопросец очень тревожил, посреди иных, и Эйнштейна. Еще в 1920 г. он писал: «В связи с сиим возникает вопросец, который тревожил исследователей всех времен. Почему может быть такое потрясающее соответствие арифметики с настоящими предметами, если сама она является произведением лишь людской мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человечий разум без всякого опыта, методом лишь 1-го размышления осознать характеристики настоящих, вещей?» ([23], т. 2, с. 83).
И вправду, на самом деле находится, что типо «вольный» выбор наш значительно ограничен: в одних вариантах понятие «произведения» таинственным образом оказывается плодотворным и осмысленным, а в остальных — совсем бесплодным и лишенным смысла.
Почему же в одних вариантах «умножение» имеет смысл, а в остальных, даже ценой огромных усилий, ему такового смысла придать не удается? Чем различаются меж собой эти «случаи»?
Проанализировав этот вопросец применительно к иным объектам, кроме векторов, мы безизбежно придем к выводу, что операция «умножения» и понятие «произведения» имеют смысл только по отношению к таковым объектам («структурам»), которые могут быть интерпретированы как операторы.
Явными примерами являются действительные и всеохватывающие числа, матрицы, тензоры (при правильной записи) и т.п. структуры. Что все-таки касается векторов в их классическом представлении, то они этому условию не удовлетворяют. И вправду, оба выдуманные для их «умножения» оказываются совсем глупыми при сравнении с «реальностью». По правде, если математическому «вектору» в «физическом» мире соответствует, скажем, некоторая сила (мы со школьных лет знаем, что «сила есть вектор»), то какие процессы в мире соответствуют «скалярному» умножению 2-ух идиентично направленных сил, при котором обе они «растворяются», превращаясь в «число»? И какие процессы соответствуют умножению 2-ух взаимно перпендикулярных сил, при котором они совершенно «аннигилируют»? А какие процессы в мире принуждают улетучиться две коллинеарные силы в согласовании с их векторным «умножением»?
Таковым образом, оказывается, что, хотя математические векторы имеют «референтов» в физическом мире, математические операции их «умножения», конструкты скалярного и векторного «произведений», не имеют «референтов» в мире.
естественно, можно сделать возражение, что само понятие «вектора» определяется совокупой его параметров, включая упомянутые «произведения». Но тогда выходит, что сам «вектор» не имеет «референта» в Мире, и находится полный разрыв меж арифметикой и физикой!
Таковым образом, понятие «умножения» приобретает смысл только тогда, когда мы имеем дело с операциями, которые могут быть истолкованы как действие некоторых операторов. А такие операции должны во что бы то ни сделалось быть ассоциативными!
В нашем «Мире» за все приходится платить! За сохранение ассоциативности нам придется уплатить возникновением — в ограниченной области — делителей нуля, — недочет, которого, совершенно говоря, алгебраисты стараются всеми силами избежать (возлюбленные их детища — «алгебры без делителей нуля», пусть и не ассоциативные!).
Но конкретно этот «недочет» на самом деле оборачивается величайшим преимуществом, давая ключ к раскрытию более захватывающих загадок теории относительности и квантовой механики (а, нужно считать, и квантовой теории поля)!
Сформулируем снова кратко главные наши «опорные догадки»:
1. мир мыслится как некоторая система, наделенная структурой и, сделалось быть, подчиняющаяся налагаемым данной нам структурой ограничениям. В Мире не все может быть, но все, что может быть, где-нибудь и когда-нибудь происходит.
2. Все, что происходит (и может происходить!) в Мире сводится к изменениям состояния его выделенных для рассмотрения частей, фрагментов либо подсистем — к преобразованиям, совместимым с наложенными ограничениями.
3. По отношению к вероятным и реализуемым преобразованиям мир владеет свойством замкнутости и полноты: в «естественном» мире нет места для «сверхъестественных» явлений.
4. В согласовании со произнесенным, адекватное описание Мира подразумевает введение «структур», отражающих состояния и их преобразования, что на символическом математическом языке выражается как действие операторов на операнды. По отношению к таковым операциям мир должен быть алгебраически замкнутым.
5. В силу естественной ассоциативности преобразований, этим же свойством ассоциативности непременно должны владеть и применяемые в арифметике «настоящие» операторы. Только при всем этом условии «структура описания» оказывается изоморфной «структуре Мира».
6. Операция «умножения» и понятие «произведения», строго говоря, не имеют смысла, потому что им в Мире ничего не соответствует. Но формально ими можно воспользоваться, если они могут быть интерпретированы как действие операторов, а для этого они безизбежно должны владеть свойством ассоциативности.
7. Таковым образом, для построения системы «настоящей» арифметики открываются в принципе два равноправных пути: выявление простых операторов и требование ассоциативности всех применяемых операций «умножения» (оба пути приводят к одним и этим же результатам).
8. От структур, получающихся при адекватном описании действительности, можно ждать высочайшей степени простоты и симметрии, удовлетворяющих нашему эстетическому чувству, что дает мощнейший эвристический аспект для суждения о их истинности.
В XX веке в арифметике воцарилось практически безраздельное господство массивного и плодотворного аксиоматического способа, в большой степени обязанного собственной победой подкупающему стилю мышления и блестящим результатам Давида Гильберта. Успехи аксиоматического способа в упорядочении математического познания и обеспечении логической неуязвимости результатов бесспорны. Но благодаря этому мы нередко подпадаем под автоматом непротиворечивые) следствия были осмысленны и продуктивны, создатель считает, что для самих вводимых аксиом должны существовать достаточные основания. Если уж поклоняться каким-то богам, то, пожалуй, такового поклонения достоин конкретно величавый лейбницевский ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ. А «достаточные основания» мы, по-видимому, можем черпать лишь из действительности (из что еще? Что выше арифметики?).
В связи с сиим снова коснемся узкого вопросца о гносеологической природе базовых конструктов «суммы» и «произведения» математических объектов. Приходится только удивляться, что от внимания исследователей совсем ускользнуло принципное различие этих понятий.
Теория «суммы» опирается на возможность сосуществования дискретных объектов в нашей концептуальной картине мира. Если в нашем концептуальном поле «высвечивается» некоторый объект а (что инициируется соответствующим заклинанием математика: «Пусть имеется!») и сразу (либо вослед потом) «высвечивается» объект b, то отныне в нашем животрепещущем сознании имеются сразу объекты а и b. Их одновременное, либо совместное, присутствие в нем и охватывается понятием суммы: если имеется а и имеется b, то имеется их одновременное присутствие а + b. При всем этом, ввиду симметричности дела одновременного присутствия, сумма, очевидно, постоянно коммутативна: одновременное присутствие а и b есть то же, что одновременное присутствие b и а, т.е. а + b = b + а, «от перестановки слагаемых сумма не изменяется». иной соответствующей индивидуальностью суммы будет то, что в ней сохраняется присутствие всякого из объектов: они не исчезают, а продолжают «иметься» и в «сумме», которая как раз и значит их одновременное присутствие. В конце концов, соответствующей индивидуальностью суммы является и то, что сумма есть единственное вероятное сочетание имеющихся (и продолжающих иметься) объектов: в смысле дихотомии «имеется» — «не имеется» ничего наиболее (и ничего наименее) совместного присутствия присутствующих объектов быть не может!
совсем по другому обстоит дело при образовании сказочного «произведения» 2-ух объектов, скажем, тех же, а и b, которые как бы имеются, но в то же время вроде бы растворяются и исчезают, перестают иметься, уступая пространство чему-то третьему (условно именуемому их «произведением»). Но из имеющихся объектов ничего не считая их суммы образоваться не может! При образовании «произведения» ситуация по сути такая, что имелось нечто (скажем, а), а потом сделалось иметься нечто другое (скажем, с), что значит преобразование а в с под действием некоторого связанного с b оператора b: bа = с. Таковым образом, теория «произведения» по сути опирается на возможность преобразований, т.е. конфигураций состояния, объектов в мире и его концептуальном отражении. Аналогично, если имелось b, которое подверглось преобразованию при помощи связанного с а оператора a’, возникает a’b = с’. Но ниоткуда не следует, что непременно обязано быть с’ = с. Напротив, в общем случае как раз a’b<>bа: тут различные операторы используются к различным операндам, и конкретно потому операция «умножения», в отличие от операции «сложения», в общем случае некоммутативна. Конкретно и лишь по данной нам причине!
Итак, коренное различие 2-ух традиционных «бинарных операций» — сложения и умножения — и соответственных им понятий «суммы» и «произведения» сводится к последующему:
а) «Сумма» значит одновременное присутствие объектов в концептуальном поле и потому, будучи симметричной относительно слагаемых», постоянно коммутативна, тогда как «произведение» быть может понято только как итог преобразования 1-го объекта под действием другого и потому, будучи несимметричным относительно «сомножителей», в общем случае некоммутативно.
б) «Сумма» является единственным образованием, подходящим одновременному присутствию имеющихся (и продолжающих иметься) объектов; хоть какое сочетание имеющихся объектов, хорошее от их суммы нонсенс (разве, что они верхом друг на дружке посиживают. Но тогда и в смысле присутствия ничего, не считая суммы не выходит!). Конкретно потому «произведение» приобретает смысл только как итог преобразования, при котором сначало имевшийся объект перестает «иметься» и начинает «иметься» иной объект.
в) В согласовании с сиим, в «сумме» слагаемые не исчезают, а продолжают находиться, в то время как в произведении в общем случае не остается никаких следов начальных «сомножителей» — их уже нет (ср. «произведения» векторов либо матриц).
г) Ввиду предшествующего, операция «сложения» постоянно обратима, в то время как операция «умножения» в общем случае необратима: в обычных формализмах операция «деления» нередко оказывается значительно разноплановой и потому нелегальной (ср. отсутствие оборотных операций для скалярного и векторного «умножений» векторов).
д) Будучи отношением одновременного присутствия, «сумма», очевидно, постоянно ассоциативна. «Произведения» же в обычных системах аксиом часто странноватым образом оказываются неассоциативными (оба «произведения» векторов!), хотя лежащие в их базе преобразования по самой собственной природе ассоциативны (и, в принципе, обратимы), что вскрывает принципную неадекватность традиционной концепции «произведения» и соответственной аксиоматики.
Перечень литературы
1. К. Маркс, Ф. Энгельс, Сочинения, т. 20, с. 581.
2. Д. Гильберт, Основания геометрии, Добавление VIII: «О бесконечности», Гостехиздат, Москва — Ленинград (1948).
3. Н. Бурбаки, Очерки по истории арифметики, ИЛ, Москва (1963).
4. С. Hermite, T. Stieltjes, Correspondance, Vol. 2, Paris (1905), p. 398; цит. по [5], с. 29.
5. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (1932), p. 182;цит. по [5], c. 32.
6. E. Вигнер, Этюды о симметрии, мир, Москва (1971).
7. Задачи современной арифметики, сер. Математика, продажная девка империализма, № 10, Познание, Москва (1971).
8. А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин, Математическая имени М. В. Ломоносова), Москва (1984).
9. В. И. Вернадский, Размышления натуралиста. Научная идея как планетное явление, Наука, Москва (1977), с. 76.
10. М. Рис, Р. Руффини, Дж. Уиллер, Темные дыры, гравитационные волны и космология, мир, Москва (1977).
11. Т. Гоббс, Избранные сочинения, Москва-Ленинград (1926), с. 91.
12. G. M. Weinberg, Introduction to General Systems Thinking, Wiley-Intersci. Publ., New York — London — Toronto — Sydney (1975).
13. К. Р. Форд, «Магнитные монополи», Над чем задумываются физики, вып. 9, Простые частички, Наука, Москва (1973).
14. Г. Фрауэнфельдер, Э. Хенли, Субатомная физика, мир, Москва (1979).
15. Н. Ф. Нелипа, Физика простых частиц, Высшая школа, Москва (1977).
16. В. Холличер, Природа в научной картине мира, Зарубежная литература, Москва (1960), с. 311.
17. Народонаселение государств мира, Справочник, Статистика, Москва (1978), с. 366.
18. С. И. Брук, Население мира, Этнодемографиче-ский справочник, Наука, Москва (1981), с. 89.
19. М. В. Кузьмин, «Феномен Эйнштейна — Подольского — Розена и неувязка полноты квантовой механики», Философ, науки, № 4, 66 (1980).
20. В. А. Баженов, «ЭПР-парадокс и основания квантовой физики», Философия и основания естественных наук, Москва (1981), с. 45.
21. Ю. Б. Молчанов, «Феномен Эйнштейна — Подольского — Розена и принцип причинности», Вопр. философ., № 3, 30 (1983).
22. И. 3. Цехмистро, «О финомене Эйнштейна — Подольского — Розена», Философ, науки, № 1, 46 (1984).
23. А. Эйнштейн, Собр. научн. тр. в 4-х томах, Наука, Москва (1965 — 1967).
24. Е. А. Мамчур, неувязка выбора теории, Наука, Москва (1975).
25. Е. А. Мамчур, С. В. Илларионов, «Регулятивные принципы построения теории», синтез современного научного познания, Наука, Москва (1973), с. 355.
26. Б. Г. Кузнецов, «О эстетических аспектах в современном физическом мышлении», Художественное и научное творчество, Ленинград (1972), с. 84.
27. Г. И. Панкевич, «К вопросцу о обоюдном проникновении естественных и эстетических принципов в современном зании», Философские задачи естествознания, Наука, Москва (1971), с. 147.
28. А. И. Сухотин, «Соотношение критериев простоты и истинности познания», Животрепещущие задачи диалектической логики, Наука, Алма-Ата (1971), с. 263.
29. Г. Кайберг, Возможность и индуктивная мир, Москва (1969).
31. В. Блейк, Избранное в переводах С. Маршака, Художественная литература, Москва (1965), с. 167.
32. В. Брюсов, «Сонет к форме», Избранные стихи, Academia, Москва (1933), с. 155.
33. Б. Пастернак, «Волны», Стихотворения и поэмы, Русский писатель, Москва — Ленинград (1965), с. 351.
34. Г. Г. Уарди, «Исповедь математика», Арифметики о арифметике, сер. Математика, продажная девка империализма, № 8, Познание, Москва (1967), с. 4.
35. П. А. М. Дирак, «Эволюция физической картины мира», Над чем задумываются физики, вып. 3, Простые частички, Наука, Москва (1965).
]]>