(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Научная контрреволюция в математике
«Левополушарная преступность» вот уже больше века правит бал во владениях «царицы всех наук»
Не так издавна в официальном печатном органе Русской академии («Вестник ран«, 1999, №6, с. 553-558) была размещена статья известного математика, вице-президента Интернационального математического союза, академика Владимира Игоревича Арнольда. Заглавие этого материала было достаточно непривычным, я бы произнес, провокационным — «Антинаучная революция и математика». У обыденных людей, привыкших относиться к науке, а тем наиболее к арифметике с практически прирожденным пиететом, уже одно это заглавие вызывает «легитимное чувство» волнения и недоумения.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855):
«Я возражаю… против потребления <животрепещуще> нескончаемой величины как чего-либо завершенного, что никогда не дозволительно в арифметике…»
Ситуация вправду не совершенно рядовая. один из ведущих математиков винит арифметику в небезопасной склонности к абстрактному мышлению, либо в так именуемом левополушарном абстракционизме. «Посреди ХХ столетия, — пишет, а именно, Владимир Арнольд, — обладавшая огромным воздействием мафия «левополушарных математиков» смогла исключить геометрию из математического образования (сначала во Франции, а позже и в остальных странах), заменив всю содержательную сторону данной нам дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями… Схожее «абстрактное» описание арифметики непригодно ни для обучения, ни для каких-то практических приложений» и, наиболее того, делает «современное резко отрицательное отношение общества и правительств к арифметике».
диагноз (медицинское заключение об имеющемся заболевании), непременно, верный, но устрашающий и… не новейший. Наиболее 3-х веков вспять известный (в бывшем СССР (Союз Советских Социалистических Республик, также Советский Союз — руки» В.И. Ленина был включен в «темный перечень» классовых противников диалектического и исторического материализма) епископ Дж.Беркли писал: «Если обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»>человека с детских лет погружен в абстракции, то в зрелом возрасте он теряет способность правильно реагировать на окружающую его реальность». Наиболее того, один из создателей конкретно абстрактно-теоретических, формальных основ современной информатики, Дж. фон Нойман, еще полста лет тому вспять предупреждал, что «излишняя формализация и символизация математической теории небезопасна для здорового развития математической науки».
Так что все-таки выходит: если никак не неиндивидуальные представители математической науки в протяжении 3-х веков ставят один и этот же неутешительный диагноз (медицинское заключение об имеющемся заболевании), то болезнь неизлечима? Не совершенно так.
Дело в том, что математика появилась конкретно как инструмент более общего и беспристрастного, а означает, и более абстрактного и формального описания законов природы. Довольно вспомянуть геометрию Евклида с ее древней аксиоматической системой, которая без существенных конфигураций дошла до наших дней и стала образцом для всех современных формально-аксиоматических, вправду научных, построений. Потому возражать против естественного рвения арифметики к очень общему, абстрактно-теоретическому описанию «беспристрастной действительности» означает, пользуясь известным сопоставлением Гильберта, пробовать запретить «проф боксерам воспользоваться на ринге своими кулаками».
Тем не наименее тяжело спорить с этим же Арнольдом и почти всеми иными математиками, которые считают, что сверхабстракционизм («бурбакизм», по терминологии Арнольда) современной арифметики привел к тому, что два математика, работающих в примыкающих комнатах, уже не в состоянии осознать друг дружку.
Лет 30 тому вспять ради спортивного энтузиазма я начал собирать разные «логики», применяемые в современных логико-математических трактатах. Когда их количество перешагнуло вторую сотку, сделалось ясно: если логику можно выбирать «по вкусу» (либо даже конструировать «по потребности»), то такое понятие, как «наука», становится тут просто неприемлимым.
Пожалуй, ситуация в неком смысле припоминает известную «Вавилонскую» эпопею: звуки-символы абстрактных речений практически схожи, а смысл, если такой имеется, у всякого — собственный. Чем завершился 1-ый Вавилон — описано в Библии…
На мой взор, выход из создавшейся ситуации один…
Требуется контр-контр-революция!
Почти все, естественно, слышали и помнят о революционных открытиях в арифметике, к примеру, аксиоматика такого же Евклида, либо открытие дифференциального и интегрального исчислений Ньютоном и Лейбницем, либо, в конце концов, недавнешнее решение известной задачи Ферма. Известны также историко-революционные потрясения и обратного типа — величавые кризисы в основаниях арифметики, связанные с открытием иррациональных чисел, бесконечно-малых и именитых парадоксов теории множеств. «Но чтоб контрреволюция! И где? В арифметике?!» — изумятся почти все.
Что есть общего меж величавыми кризисами в основаниях арифметики, хотя их и делят тысячелетия? Если быть коротким, то — неистребимое рвение математиков осознать суть нескончаемого. Желаю сходу же увидеть, что ранее все арифметики, так либо по другому вовлеченные в эти кризисы, были сразу и выдающимися философами. Но, как говорят ученые богословы, Нескончаемое есть атрибут Божий, а для конечного человека посягательство на «святыни» постоянно чревато опасными последствиями.
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований арифметики? Решительная попытка в то время не много кому известного германского математика Георга Кантора актуализировать (по-русски — оконечить) Нескончаемое.
Напомню, что со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т.е., взаимоисключающих) понятия Нескончаемого. А конкретно, если вы начинаете считать:
1, 2, 3,… (1),
и утверждаете, что окончить этот процесс нереально в принципе, то таковой тип «отсутствия конца» у ряда (1) именуется его возможной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет крайнего, большего элемента, но тем не наименее, следуя Кантору, полагаете, что, вроде бы это ни показалось противоречивым, — нет ничего несуразного в том, чтоб обозначить («вообразить для себя» — в канторовском оригинале) этот ряд (1) некоторым эмблемой, к примеру, греческим эмблемой w (омега), именовать этот знак целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет дальше:
w, w + 1, w + 2, w + 3, и т.д., (2),
то такое очень вольное воззвание с (1) именуется его актуализацией, а его бесконечность «становится» завершенной (?!), законченной (?!) либо животрепещущей бесконечностью.
Как понятно, еще величавый понятие животрепещущей бесконечности является внутренне противоречивым», а поэтому его внедрение в науке — неприемлимо. Как показала очень длительная, практически 2200-летняя историческая практика, в вопросцах «высшего логического и философского порядка» Аристотелю не только лишь можно, да и необходимо веровать!
Но в самом конце XIX века нашлись некие, достаточно известные в то время, арифметики, которые приняли приведенное выше практически дословно и с математической точки зрения — возмутительно доверчивое рассуждение Георга Кантора (в каком «хотимого» еще больше, чем «реального») за серьезное математическое «подтверждение» правомерности введения в арифметику актуально-бесконечных множеств. Начался триумфальный процесс «всеобщей актуализации» нескончаемых множеств в арифметике.
Патологический случай
Но трагические последствия такового, достаточно скоропостижного шага не замедлили сказаться. Сначала сам Кантор (1893 г.), а скоро Бертран Рассел (1902 г.) открывают целую серию парадоксов (т. е. неразрешимых противоречий), связанных конкретно с актуализацией нескончаемых множеств. Начался 3-ий Величавый кризис оснований арифметики, который, по воззрению почти всех узнаваемых математиков и философов, «длится и по сей денек«.
Очередной, уже чисто психический, случай заключается в том, что открытие хоть какого подобного противоречия в хоть какой иной науке означало бы ее полную дискредитацию и незамедлительное закрытие «на все времена». Но целая плеяда выдающихся математиков и философов первой половины двадцатого века (таковых, как Рассел, Гильберт, Брауэр и др.) предназначили всю свою жизнь «спасению» канторовской теории множеств, а как следует, его идеи актуализации бесконечности. Жертвуя при всем этом приличными «кусочками» здорового тела математической науки: Рассел, к примеру, принес в жертву животрепещущей бесконечности самоприменимость математических понятий; Брауэр — фундаментальнейший законлогики — закон исключенного третьего; а Гильберт в собственной известной программке формализации всей арифметики практически призывал совершенно отрешиться от семантики, другими словами от содержательного смысла, математических конструкций. Иными словами, от всякой связи математических теорий с физическим миром.
Уж весьма смелой и заманчивой представлялась для почти всех мысль выйти «в открытый Космос» трансфинитного канторовского «зазеркалья», за границы обыденных конечных натуральных чисел, которые, по весьма глубочайшему замечанию Леопольда Кронекера, «сделал Господь Бог«. Я думаю, поближе всех к оптимальному разъяснению настолько нетрадиционного для традиционной арифметики «поведения» оказался Брауэр, который в конечном счете был обязан «диагностировать» всю канторовскую теорию в целом как «патологический случай в истории арифметики, от которого будущие поколения математиков просто придут в кошмар».
Но бесспорная историческая награда Кантора заключается в том, что он 1-ый от спекулятивных рассуждений о способности либо невозможности животрепещущей бесконечности перебежал к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это означает, что благодаря Кантору понятие животрепещущей бесконечности в первый раз сделалось доступно для серьезного, формально-логического (естественно, в смысле традиционной логики Аристотеля) и математического анализа.
Акупунктура мета-математики
С что же следует начинать таковой анализ? Вспомним, что уже наши дальние праотцы в совершенстве обладали таковым неповторимым и действенным терапевтическим способом, который сейчас именуется способом акупунктуры. Сущность этого способа, как понятно, заключается в практическом использовании последующего всепригодного, практически кибернетического принципа. А конкретно: в хоть какой сложной системе (к примеру, в человеке либо социуме) имеются так именуемые узенькие места, либо аттракторы, либо акупунктурные точки, владеющие тем неповторимым свойством, что даже самые слабенькие воздейстия на их способны вызывать значительные, а часто (при неквалифицированном вмешательстве) и трагические конфигурации в состоянии и поведении всей сложной системы (жив, технической, денежной, социальной, политической и т.д.) в целом.
Вот сиим старым способом мы и воспользуемся. Что является акупунктурной точкой современной метаматематики? Непременно — именитая аксиома Георга Кантора о несчетности огромного количества всех реальных чисел. Эта аксиома является единственным «законным» поводом, который дозволяет современным метаматематикам широкомысленно вещать о существенном различии нескончаемых множеств по их мощности, другими словами по количеству содержащихся в их частей (а всем остальным, реально «практикующим» математикам — покорливо внимать и не наименее широкомысленно поддакивать). Уберите-запретите всего только одну эту аксиому Кантора, и разговор о различении бесконечностей станет беспредметным, а сама метаматематика растеряет всякую привлекательность даже для собственных собственных, самых «отпетых» сторонников.
Метаматематика (либо, по-русски, «теория подтверждения») занимается тем, что учит доверчивых математиков, как необходимо верно обосновывать их математические аксиомы.
Как понятно, Кантор обосновал свою аксиому в 91-м году уже практически позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая подтверждение не имеют никакого дела к устрашающим образом «бурбакизированным» способам «рассуждений», практикуемых сейчас в рамках упомянутых дисциплин.
Остается подозрение, что подтверждение аксиомы Кантора представляет собой чисто математическое, но страшно сложное сочинение, которое доступно далековато не любому владельцу красноватого математического диплома. Как досадно бы это не звучало, в реальности, не у всякого проф математика оборотится язык именовать математической работу, в какой, как, к примеру, в аксиоме Кантора, употребляются всего только три понятия простой (школьной, другими словами доступной любому образованному гуманитарию) арифметики — понятия натурального числа, реального числа и последовательности таковых чисел.
Что все-таки остается? Быть может канторовское подтверждение представляет собой трактат аж на 100 страничек, как, к примеру, решение известной математической задачи 4 красок? Либо на 1000 страничках, как известное подтверждение Величавой аксиомы Ферма, не так давно анонсированное южноамериканским математиком Вайлсом? ничего подобного! Подтверждение известной аксиомы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего… 10 строчек! Я не обмолвился, всего 10 строчек, написанных на языке полубытовой квазилогики позапрошлого, XIX века!
Я полагаю, что Брауэр незначительно не окончил свою идея (см. выше): вправду, «будущие поколения придут в кошмар».., но лишь от «смущения» за собственных математических предшественников, которые под гипнозом этих, всего-то 10 строчек, на целых 100 лет и добровольно передали свою, по Гауссу, «царицу всех наук» в услужение каверзному «бурбакизму»… прямо-таки, сказочно-научно-фантастический триллер.
10 строчек, которые потрясли математический мир!
Нереально поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного подтверждения, два 10-ка поколений проф математиков не смогли отделить «семечки от плевел»!
Как досадно бы это не звучало, речь-то идет не о ординарном историческом недоразумении, а, согласно Брауэру, о «патологическом казусе» в истории арифметики. Думаю, не последнюю роль тут сыграл доведенный до бреда, в особенности в ХХ веке, пиетет перед так именуемым профессионализмом. прямо до того, что «два раза два» — это моя «земля», где я говорю на собственном языке, а «три раза три» — чужая «епархия», где молвят на другом языке, и в ней мне уже «не обязано сметь свое суждение иметь». Как ни удивительно, эта страшная болезнь является прямым — сейчас уже соц — следствием Величавой Промышленной революции крайних 3-х веков и… современного «бурбакизма».
один величавый ученый открывает совсем абстрактную формулу E=mс2
, иной величавый ученый открывает новейший хим элемент U-238, 3-ий, профессиональный инженер, изобретает технологию обогащения урана и производит из него A-Bomb, 4-ый, политик, воспринимает решение применять эту A-Bomb в самых «больших и человечных» целях, 5-ый, пилот-исполнитель, доставляет этого «Малыша» куда нужно и делает с ним то, что приказано. «Гуманитарные» последствия такового «подарка» напоминают о для себя до сего времени. Кто повинет? вопросец, на который не существует ответа! Так, один из величайших причин промышленного прогресса — принцип разделения труда ради увеличения его эффективности «во благо…» имеет своим следствием сначала разделение ответственности, а потом — и разделение совести.
Если не углубляться в социально-психологические «дебри» этого процесса, то… философы в один прекрасный момент решили, что аксиома Кантора — это проф математика, другими словами зона для философии запрещенная; 99% реально работающих математиков, другими словами таковых математиков, чьи заслуги в конечном счете проверяются числом либо практикой, в один прекрасный момент решили, что аксиома Кантора — это метаматематика, и с того времени в эту область — «ни ногой». Так что математика получила то, что имеет, — аксиому Кантора плюс «сплошная бурбакизация» всякого здравого смысла как науки, так и математического образования. Согласно воззрению почетаемого Владимира Арнольда, к которому и я, и почти все остальные арифметики обязаны с грустью присоединиться.
Но если аксиома Кантора неверна, то в чем все-таки причина таковой поразительной живучести этого «патологического казуса»? Тем наиболее что в метаматематику, как правило, «идут» интеллектуалы, имеющие IQ заранее выше среднего уровня? Дело в том, что 10 строчек канторовского подтверждения содержат 7 (семь!) весьма нетривиальных логических ошибок. Я уверен, что если б таковых ошибок было одна-две, то быстрее всего нам бы не пришлось сейчас и дискуссировать делему «бурбакизма». Но когда на «площади» в 10 строчек «располагаются» семь ошибок, переплетенных в невообразимый клубок практически правдоподобных рассуждений, — нет ничего необычного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной наиболее 100 лет.
Вот одна из таковых ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, известный феномен «Лгуна»: «Я утверждаю, что я — лгун». Лгун ли я? Если я лгун, то я лгу, когда утверждаю, что я — лгун; как следует, я не лгун. Но если я не лгун, то я говорю правду, когда утверждаю, что я — лгун; как следует, я — лгун.
Как свидетельствует объективная наша историческая наука, совокупный разум населения земли, включая, естественно, и его науку, вот уже наиболее 2600 лет не может отыскать ответа на этот «детский» вопросец: «Кто же я, в конце концов, Лгун либо не-Лгун?»
Кратко и символически это рассуждение можно записать так (тут Л=»Лгун»): ЕСЛИ «Л», ТО «не-Л», но ЕСЛИ «не-Л», ТО «Л».
Итак вот, оказывается, что подтверждение Кантора представляет собой… половину феномена, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ «Л», ТО «не-Л».
У хоть какого обычного человека, не лишенного чувства юмора и «лево-правой» симметрии, сходу возникает вопросец: а недозволено ли эту половину достроить до полного феномена? Оказывается можно! И мы приходим к достаточно нежданному для современной метаматематики выводу: известное подтверждение Кантора просто… не закончено создателем. А если его окончить, как полагается по законам традиционной логики и традиционной арифметики, то мы получаем новейший феномен типа «Лгуна»! Таковым образом, подтверждение аксиомы Кантора, а совместно с ним и вся современная метаматематика… построены на «Лгуне». Очень непонятное основание для «науки», которая претендует на роль «теории подтверждения» современной (также всей традиционной) арифметики. будто бы бы доверчивые арифметики до сего времени и представления не имели о том, как им следует обосновывать свои аксиомы.
В чем все-таки, но, заключается смысл будущей контрреволюции в арифметике?
Неважно какая революция, как мы все отлично знаем, разрушает то, что было сотворено до нее. Как следует, контрреволюция призвана вернуть наилучшее из того, что не успела повредить крайняя революция. Революция, сплетенная с внедрением трансфинитных мыслях Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла повредить здравого смысла традиционной арифметики и традиционной логики Аристотеля. Вот их и надлежит вернуть в освященном тысячелетней практикой праве служить крепким основанием для размеренного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятель населения земли. Лишь и всего.
Еще есть один феномен, связанный с теорией Кантора. Естественно, ни один метаматематик, по определению, просто не допустит подобного «покушения на устои» и не смотря вышлет всякую работу, опровергающую аксиому Кантора, в корзину. Тем не наименее мои главные результаты размещены, при этом не в самых неиндивидуальных научных журнальчиках. Математикам (метаматематиков требуют не волноваться — у их было наиболее 100 лет, чтоб в этом разобраться) я рекомендую мою статью «Принцип разделения времени и анализ 1-го класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере аксиомы Кантора о несчетности)», размещенную в журнальчике «Доклады ран» (1997 год, том 356, номер 6, стр. 733-735). А философам — наиболее пользующееся популярностью, но не наименее серьезное изложение в работе «Ошибка Георга Кантора», размещенной в журнальчике «Вопросцы философии» (2000 год, номер 2, стр. 45-48).
Упоминавшаяся выше статья академика Арнольда, к огорчению, содержит один значимый недочет. Она неконструктивна, так как в ней не содержится аспект, по которому было бы может быть отличить обычный, здоровый, естественный «абстракционизм» арифметики от метаматематического «бурбакизма». думаю, указать таковой аспект нереально в принципе.
Потому я лично вижу два метода профилактики «левополушарной преступности», о которой гласит Арнольд. 1-ый путь — радикально-юмористический: искоренение обстоятельств, порождающих этот вид «преступности». 2-ой путь — не наименее конструктивный: правдаобязана быть нарисована и предъявлена «неограниченному кругу» зрителей. Если это вправду Правдаи если мой сосед не дальтоник, то мы (и все вокруг) будем созидать одно и то же. И никто при всем желании уже не сумеет, прикрываясь камуфляжем «бурбакизма», выдать ересь за истин, а пустое пространство — за выдающееся научное достижение.
И в заключение — давайте не будем забывать, что математика все-же — «царица всех наук, а теория чисел — царица арифметики», также и о том, что обыденные натуральные числа «сделал Господь Бог, все другое — дело рук человечьих».
]]>