Учебная работа. Реферат: Решение математических задач в среде Excel

(8 оценок, среднее: 4,75 из 5)

Загрузка...

Учебная работа. Реферат: Решение математических задач в среде Excel

2. Решение математических задач в среде Excel

2.1. Численное дифференцирование

Понятно, что численными приближенными способами производная функции в данной точке быть может вычислена с внедрением конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции 1-го переменного имеет вид:

Для вычисления производной в Excel будем употреблять приведенную зависимость.

Разглядим методику вычисления производной на примере упражнения.

Упражнение 1

Допустим требуется отыскать производную функции Y= 2×3
+ x2
в точке x=3. Производная, вычисленная аналитическим способом, равна 60.

Для вычисления производной сделайте последующие деяния:

—

табулируйте заданную функцию в округи точки х=3 с довольно малым шагом, к примеру 0,001 (см рис.)

—
в ячейку С2 введите формулу вычисления производной. тут ячейка В2 содержит

— буксировкой скопируйте формулу до строчки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Для значения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.

2.2. Численное вычисление определенных интегралов

Для численного вычисления определенного интеграла способом трапеций употребляется формула:

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с внедрением приведенной формулы разглядим на примере.

Упражнение 2

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с внедрением приведенной формулы сделайте последующие деяния:

— табулируйте подинтегральную функцию в спектре конфигурации значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

— в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2,
которая реализует подинтегральную функцию.

—

Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной данного интеграла — 9.

2.3. Нахождение экстремумов функций при помощи инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет снутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно отыскать используя надстройку Excel Поиск решения
.

Разглядим последовательность нахождения экстремума функции на примере последующего упражнения.

Упражнение 3

Пусть задана неразрывная функция Y= X2
+X +2. Требуется отыскать ее экстремум (малое

Для решения задачки сделайте деяния:

— В ячейку А2 рабочего листа введите хоть какое число принадлежащее области определения функции, в данной ячейке будет находиться

— В ячейку В2 введите формулу, определяющую заданную функцию. Заместо переменной Х в данной формуле обязана быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

— Сделайте команду меню Сервис/Поиск решения;

— Настройте характеристики инструмента Поиск решения
: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

— в поле
укажите адресок ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключатель Минимальному значению, в поле
введите адресок ячейки, содержащей Х (А2);

— Щелкните на кнопочке Выполнить. В ячейке А2 будет помещено

Обратите внимание, что в окне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целенаправлено употреблять, если функция многоэкстремальна, а необходимо отыскать экстремум в данном спектре конфигурации аргумента.

2.4. Решение систем линейных уравнений

2.4.1. Интегрированные функции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами (табл.1.1).

Таблица 1.1

Русифицированное имя функции

Английское имя функции

Выполняемое действие

МОБР (параметр)

MINVERSE (parametr)

воззвание матрицы

МОПР (параметр)

MDETERM (parametr)

вычисление определителя матрицы

МУМНОЖ (перечень характеристик)

MMULT (parametrlist)

Умножение матриц

Параметрами функций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы, содержащие значения матриц, либо имена диапазонов и выражения, к примеру

МОБР (А1: B2) либо МОПР (матрица_1).

2.4.2. Решение систем линейных уравнений

Понятно, что система линейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение таковой системы записывается в виде

X=A-1
B,

Где A-1 –матрица, оборотная по отношению к А.

2.4.3. Пример решения системы линейных уравнений:

Пусть система уравнений задана матрицами:

Для решения задачки сделайте деяния:

· Выделите спектр размерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А
;

· Выделите спектр размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В
;

· Выделите спектр размерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х
;

· Используя перечень имен выделите спектр А и введите в него значения частей матрицы А;

· Используя перечень имен выделите спектр В и введите в него значения частей вектора В;

· Используя перечень имен выделите спектр Х для помещения результата решения системы;

· В выделенный спектр Х введите формулу

=МУМНОЖ(МОБР(А);В);

· Укажите Excel, что производится операция над массивами, для этого нажмите комбинацию кнопок <Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках спектра Х будет получен итог: х1=2,16667, х2= — 1,33333

Чтоб выполнить проверку приобретенных результатов довольно перемножить начальную матрицу на вектор результата, итогом данной операции является вектор вольных членов.

Упражнение 4

Решите систему уравнений вида AX=B и сделайте проверку решения

2.5. Решение нелинейных уравнений способом подбора параметра

Используя способности Excel можно отыскивать корешки нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней последующая:

1. Уравнение представляется в виде функции одной переменной;

2. Делается табулирование функции в спектре возможного существования корней;

3. По таблице фиксируются наиблежайшие приближения к значениям корней;

4. Используя средство Excel Подбор параметра,
рассчитываются корешки уравнения с данной точностью.

Разглядим последовательность отыскания корней нелинейного уравнения на примере.

Упражнение 5

Требуется отыскать все корешки уравнения X3
-0,01X2
-0,7044X+0,139104=0
на отрезке [-1 ; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, как следует, уравнение может иметь не наиболее 3-х корней.

1. представим уравнение в виде функции

Y = X3
-0,01X2
-0,7044X+0,139104

Понятно, что корешки начального уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.

2. Для локализации исходных приближений нужно найти интервалы значений Х, снутри которых символ. С данной целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из приобретенной таблицы находим, что

3. анализ таблицы указывает, что функция меняет символ в последующих интервалах значений аргумента Х: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8). Потому в качестве исходных приближений возьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .

4. На вольном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите исходные приближения, а надлежащие ячейки столбца В скопируйте формулу.

5.
Сделайте команду меню Сервис/характеристики,
во вкладке Вычисления
установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флаг Итерации.

6. Сделайте команду меню Сервис/Подбор параметра
. В диалоговом окне заполните последующие поля:

: в поле указывается адресок ячейки, в какой записана формула правой части функции;

: в поле указывается значение, которое должен получить полином в итоге вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

: в поле указывается адресок ячейки (где записано изначальное приближение), в какой будет рассчитываться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Опосля щелчка на ОК получим

Выполняя поочередно операции подобные предшествующим, вычислим значения других корней: -0,209991 и 0,720002.

2.6. Решение систем нелинейных уравнений

Применяя надстройку Excel Поиск решения
можно решать системы нелинейных уравнений. За ранее система уравнений обязана быть приведена к одному уравнению. Разглядим последовательность решения на примере упражнения.

Упражнение 6

Дана система 2-ух уравнений:

Требуется отыскать все корешки приведенного уравнения для спектра значений х и y [-3; 3].

.
Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y) является решением системы и тогда лишь тогда, когда она является решением последующего уравнения с 2-мя неведомыми:

(x2
+ y2
– 3)2
+ (2x + 3y – 1)2
= 0

Для решения крайнего уравнения нужно отыскать исходные приближения, для этого табулируем выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x и y. Для табуляции функции сделайте последующие деяния:

— В столбец А введите последовательность значений Х с шагом 0,5, а строчку 3 – последовательность значений У также с шагом 0,5.

— Присвойте спектрам значений Х и У имена Х и У, соответственно.

— Выделите спектр ячеек, в каком будут рассчитываться значения функции (B4:N16).

— В выделенный спектр введите формулу

=(Х^2+Y^2-3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2.

— Нажав комбинацию кнопок [Ctrl]+[Shift]+[Enter] сделайте операцию над выделенным массивом. В выделенном спектре покажутся вычисленные значения функции.

Найдем исходные приближения. Так как табулируемая функция задает поверхность, то исходные приближения следует находить во впадинах, т.е. в точках, где функция воспринимает меньшие значения. На рисунке эти точки затемнены. Исходными приближениями являются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).

Введите значения отысканных приближений в смежные ячейки рабочего листа ( см. рис.). Над столбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут делать в формулах роль меток. Обратите внимание, что мы уже употребляли имена Х и Y, потому имена новейших меток должны различаться.

. В ячейку строчки, в какой записана 1-ая пара Х и У введите формулу, вычисляющую

=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2

и скопируйте ее в последующую строчку.

. Установите курсор на ячейку, в какой записана формула и сделайте команду меню Сервис/Поиск решения
. Сделайте настройку характеристик инструмента Поиск решения: Предельное число итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.

В окне Поиск решения в качестве мотивированной ячейки установите адресок ячейки, содержащей формулу, взведите переключатель
в поле
укажите адресок спектра, содержащего исходные приближения и щелкните на ОК. В ячейках, где хранились исходные приближения будет получена 1-ая пара корней.

Повторите такие же операции для 2-ой пары приближений.

Решением системы являются пары (-1,269; 1,1791) и (1,5764; -0,718).

Задания для самостоятельной работы