(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
Столичный муниципальный институт им. М.В. Ломоносова
1996
В работе изложены соответствующие индивидуальности теории дифференциальных уравнений. Эта теория появилась из приложений и в истинное время самым тесноватым образом связана с приложениями. Она оказывает огромное воздействие на развитие остальных областей арифметики.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых огромных разделов современной арифметики. Чтоб охарактеризовать ее пространство в современной математической науке, до этого всего нужно выделить главные индивидуальности теории дифференциальных уравнений, состоящей из 2-ух широких областей арифметики: теории обычных дифференциальных уравнений и теории уравнений с личными производными.
1-ая изюминка — это конкретная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя арифметику как способ проникания в потаенны природы, можно сказать, что главным методом внедрения этого способа является формирование и исследование математических моделей настоящего мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь до этого всего делает его математическую идеализацию либо, иными словами, математическую модель, другими словами, пренебрегая второстепенными чертами явления, он записывает главные законы, управляющие сиим явлением, в математической форме. Весьма нередко эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Таковыми оказываются модели разных явлений механики сплошной среды, хим реакций, электронных и магнитных явлений и др.
Исследуя приобретенные дифференциальные уравнения вкупе с доп критериями, которые, обычно, задаются в виде исходных и граничных критерий, математик получает сведения о происходящем явлении, время от времени может выяснить его прошедшее и будущее. исследование математической модели математическими способами дозволяет не только лишь получить высококачественные свойства физических явлений и высчитать с данной степенью точности ход настоящего процесса, да и дает возможность просочиться в сущность физических явлений, а время от времени предсказать и новейшие физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления дает подсказку и подходы, и способы математического исследования. Аспектом корректности выбора математической модели является практика, сравнение данных математического исследования с экспериментальными данными.
Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений необходимо, обычно, знать лишь локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность учить явление в целом, предсказать его развитие, созодать количественные оценки конфигураций, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на базе анализа дифференциальных уравнений так были открыты электромагнитные волны, и лишь опосля экспериментального доказательства Герцем фактического существования электромагнитных колебаний сделалось вероятным разглядывать уравнения Максвелла как математическую модель настоящего физического явления.
Как понятно, теория обычных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке сразу с появлением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, другими словами отыскивать линии движения движений, в свою очередь, явилась толчком для сотворения Ньютоном новейшего исчисления. Органическая связь физического и математического ясно проявилась в способе флюксий Ньютона. Законы Ньютона представляют собой математическую модель механического движения. Через простые дифференциальные уравнения шли приложения новейшего исчисления к задачкам геометрии и механики; при всем этом удалось решить задачки, которые в течение долгого времени не поддавались решению. В небесной механике оказалось вероятным не только лишь получить и разъяснить уже известные факты, да и создать новейшие открытия (к примеру, открытие Леверье в 1846 году планетки Нептун на базе анализа дифференциальных уравнений).
Простые дифференциальные уравнения появляются тогда, когда неведомая функция зависит только от одной независящей переменной. Соотношение меж независящей переменной, неведомой функцией и ее производными до некого порядка составляет дифференциальное уравнение. В истинное время теория обычных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, обширно разветвленную теорию. Одними из главных задач данной для нас теории являются существование у дифференциальных уравнений таковых решений, которые удовлетворяют доп условиям (исходные данные Коши, когда требуется найти решение, принимающее данные значения в некой точке и данные значения производных до некого конечного порядка, краевые условия и остальные), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения соображают малые конфигурации решения при малых конфигурациях доп данных задачки и функций, определяющих само уравнение. Необходимыми для приложений являются исследование нрава решения, либо, как молвят, высококачественного поведения решения, нахождение способов численного решения уравнений. Теория обязана отдать в руки инженера и физика способы экономичного и резвого вычисления решения.
Уравнения с личными производными начали изучаться существенно позднее. необходимо выделить, что теория уравнений с личными производными появилась на базе определенных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений с личными производными, которые получили заглавие главных уравнений математической физики. исследование математических моделей определенных физических задач привело к созданию посреди XVIII века новейшей ветки анализа — уравнений математической физики, которую можно разглядывать как науку о математических моделях физических явлений.
Базы данной для нас науки были заложены трудами Д’Аламбера (1717 — 1783), Эйлера (1707 — 1783), Бернулли (1700 — 1782), Лагранжа (1736 — 1813), Лапласа (1749 — 1827), Пуассона (1781 — 1840), Фурье (1768 — 1830) и остальных ученых. Любопытно то, что почти все из их были не только лишь математиками, да и астрологами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании определенных задач математической физики идеи и способы оказались применимыми к исследованию широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.
Важными уравнениями математической физики являются: уравнение Лапласа, уравнение теплопроводимости, волновое уравнение.
тут мы предполагаем, что функция u зависит от t и 3-х переменных x1 , x2 , x3. Уравнение с личными производными — это соотношение меж независящими переменными, неведомой функцией и ее личными производными до некого порядка. Аналогично определяется система уравнений, когда имеется несколько неведомых функций.
Разве не необычным является тот факт, что такое обычное по форме уравнение, как уравнение Лапласа, содержит внутри себя большущее достояние восхитительных параметров, имеет самые различные приложения, о нем написаны почти все книжки, ему посвящены почти все сотки статей, размещенных в течение крайних веков, и, невзирая на это, осталось еще много тяжелых связанных с ним нерешенных заморочек.
К исследованию уравнения Лапласа приводят самые различные физические задачки совсем разной природы. Это уравнение встречается в задачках электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и почти всех остальных разделах физики, также в теории функций всеохватывающего переменного и в разных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является простым представителем широкого класса так именуемых эллиптических уравнений.
тут, быть может, уместно вспомянуть слова А. Пуанкаре: «Математика — это Искусство давать различным вещам одно наименование». Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним способом, при помощи математической модели, разные явления реального мира.
Так же как и уравнение Лапласа, принципиальное пространство в теории уравнений с личными производными и ее приложениях занимает уравнение теплопроводимости. Это уравнение встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и почти всех остальных разделах физики, также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является более обычным представителем класса так именуемых параболических уравнений. Некие характеристики решений уравнения теплопроводимости напоминают характеристики решений уравнения Лапласа, что находится в согласии с их физическим смыслом, потому что уравнение Лапласа обрисовывает, а именно, стационарное распределение температуры. Уравнение теплопроводимости было выведено и в первый раз изучено в 1822 году в известной работе Ж. Фурье «Аналитическая теория тепла», которая сыграла важную роль в развитии способов математической физики и теории тригонометрических рядов.
Волновое уравнение обрисовывает разные волновые процессы, а именно распространение звуковых волн. Оно играет важную роль в акустике. Это представитель класса так именуемых гиперболических уравнений.
исследование главных уравнений математической физики отдало возможность провести систематизацию уравнений и систем с личными производными. И.Г. Петровским в 30-е годы были выделены и в первый раз исследованы классы эллиптических, параболических и гиперболических систем, которые сейчас носят его имя. В истинное время это более отлично изученные классы уравнений.
Принципиально отметить, что для проверки корректности математической модели весьма важны аксиомы существования решений соответственных дифференциальных уравнений, потому что математическая модель не постоянно адекватна определенному явлению и из существования решения настоящей задачки (физической, хим, био) не следует существование решения соответственной математической задачки.
В истинное время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электрических вычислительных машин. исследование дифференциальных уравнений нередко упрощает возможность провести вычислительный машина — комплекс технических средств, предназначенных для автоматической обработки информации в процессе решения вычислительных и информационных задач) за может быть наименьшее машинное время адекватного количественного описания изучаемого физического явления. В базе такового опыта весьма нередко лежит численное решение системы уравнений с личными производными. Отсюда происходит связь теории дифференциальных уравнений с вычислительной арифметикой и, а именно, с таковыми ее необходимыми разделами, как способ конечных разностей, способ конечных частей и остальные.
Итак, 1-ая черта теории дифференциальных уравнений — ее тесноватая связь с приложениями. Иными словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом собственном разделе — теории дифференциальных уравнений — математика до этого всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и осознание количественных и высококачественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.
Конкретно естествознание является для теории дифференциальных уравнений восхитительным источником новейших заморочек, оно в значимой мере описывает направление их исследовательских работ, дает правильную ориентацию сиим исследованиям. Наиболее того, дифференциальные уравнения не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач. И не только лишь поэтому, что природа богаче людской фантазии. Развитая в крайние годы теория о неразрешимости неких классов уравнений с личными производными указывает, что даже весьма обыкновенные по форме линейные уравнения с личными производными с нескончаемо дифференцируемыми коэффициентами могут не иметь ни 1-го решения не только лишь в обыкновенном смысле, но также и в классах обобщенных функций, и в классах гиперфункций, и, как следует, для их не быть может построена содержательная теория (теория обобщенных функций, обобщающая основное понятие математического анализа — понятие функции, была сотворена посреди нашего века трудами С.Л. Соболева и Л. Шварца).
исследование уравнений с личными производными в общем случае — настолько непростая задачка, что если кто-либо наобум напишет какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с личными производными, то с большенный вероятностью ни один математик не сумеет о нем сказать что-либо и, а именно, узнать, имеет ли это уравнение хотя бы одно решение.
задачки физики и остальных естественных наук пичкают теорию дифференциальных уравнений неуввязками, из которых растут богатые содержанием теории. Но бывает и так, что математическое исследование, рожденное в рамках самой арифметики, через существенное время опосля его проведения находит приложение в определенных физических дилеммах в итоге их наиболее глубочайшего исследования. Таковым примером может служить задачка Трикоми для уравнений смешанного типа, которая спустя наиболее четверти века опосля ее решения отыскала принципиальные внедрения в задачках современной газовой динамики при исследовании сверхзвуковых течений газа.
Ф. Клейн в книжке «Лекции о развитии арифметики в XIX столетии» писал, что «математика аккомпанировала по пятам физическое мышление и, назад, получила более массивные импульсы со стороны заморочек, выдвигавшихся физикой».
2-ой индивидуальностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с иными разделами арифметики, таковыми, как многофункциональный анализ, алгебра и теория вероятностей. Теория дифференциальных уравнений и в особенности теория уравнений с личными производными обширно употребляют главные понятия, идеи и способы этих областей арифметики и, наиболее того, влияют на их проблематику и нрав исследовательских работ. Некие огромные и принципиальные разделы арифметики были вызваны к жизни задачками теории дифференциальных уравнений. Традиционным примером такового взаимодействия с иными областями арифметики являются исследования колебаний струны, проводившиеся посреди XVIII века.
Уравнение колебаний струны было выведено Д’Аламбером в 1747 году. Он получил также формулу, которая дает решение этого уравнения: u(t, x) = F1(x + t) + F2(x — t), где F1 и F2 — произвольные функции. Эйлер получил для него формулу, которая дает для него решение с данными исходными критериями (задачка Коши). (Эта формула в истинное время именуется формулой Д’Аламбера.) Появился вопросец, какие функции считать решением. Эйлер считал, что это быть может произвольно начерченная кривая. Д’Аламбер считал, что решение обязано записываться аналитическим выражением. Д. Бернулли утверждал, что все решения представляются в виде тригонометрических рядов. С ним не соглашались Д’Аламбер и Эйлер. В связи с сиим спором появились задачки о уточнении понятия функции, важного понятия математического анализа, также вопросец о критериях представимости функции в виде тригонометрического ряда, который позже разглядывали Фурье, Дирихле и остальные большие арифметики и исследование которого привело к созданию теории тригонометрических рядов. Как понятно, потребности развития теории тригонометрических рядов привели к созданию современной теории меры, теории множеств, теории функций.
При исследовании определенных дифференциальных уравнений, возникающих в процессе решения физических задач, нередко создавались способы, владеющие большенный общностью и применявшиеся без серьезного математического обоснования к широкому кругу математических заморочек. Таковыми способами являются, к примеру, способ Фурье, способ Ритца, способ Галёркина, способы теории возмущений и остальные. Эффективность внедрения этих способов явилась одной из обстоятельств попыток их серьезного математического обоснования. Это приводило к созданию новейших математических теорий, новейших направлений исследовательских работ. Так появилась теория интеграла Фурье, теория разложения по своим функциям и, дальше, спектральная теория операторов и остальные теории.
В 1-ый период развития теории обычных дифференциальных уравнений одной из главных задач было нахождение общего решения в квадратурах, другими словами через интегралы от узнаваемых функций (сиим занимались Эйлер, Риккати, Лагранж, Д’Аламбер и др.). задачки интегрирования дифференциальных уравнений с неизменными коэффициентами оказали огромное воздействие на развитие линейной алгебры. В 1841 году Лиувилль показал, что уравнение Риккати y’ + a(x)y + b(x)y2 = c(x) не быть может в общем случае разрешено в квадратурах. Исследование непрерывных групп преобразований в связи с задачками интегрирования дифференциальных уравнений привело к созданию теории групп Ли.
Начало высококачественной теории дифференциальных уравнений было положено в работах известного французского математика Пуанкаре. Эти исследования Пуанкаре по обычным дифференциальным уравнениям привели его к созданию основ современной топологии.
Таковым образом, дифференциальные уравнения находятся вроде бы на перекрестке математических дорог. С одной стороны, новейшие принципиальные заслуги в топологии, алгебре, многофункциональном анализе, теории функций и остальных областях арифметики сходу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем находят путь к приложениям. С иной стороны, препядствия физики, сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новейшие направления в арифметике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новеньким математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные препядствия.
В собственных «Лекциях о развитии арифметики в XIX столетии» Ф. Клейн писал: «Математика в наши деньки припоминает оружейное Создание в мирное время. Эталоны восхищают знатока. Предназначение этих вещей отходит на задний план.»
Невзирая на эти слова, можно сказать, что недозволено стоять за «разоружение» арифметики. Вспомним, к примеру, что античные греки изучали конические сечения за длительное время до того, как было открыто, что по ним движутся планетки. Вправду, сделанная старыми греками теория конических сечений не находила собственного внедрения практически две тыщи лет, пока Кеплер не пользовался ею для сотворения теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон сделал механику, являющуюся основой всей физики и техники.
Иным таковым примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в недрах самой арифметики и нашедшая только в конце XIX века плодотворное применение поначалу в кристаллографии, а позже в теоретической физике и остальных естественных науках. Ворачиваясь к современности, заметим, что важные научно-технические задачки, такие, как овладение атомной энергией, галлактические полеты, были удачно решены в Русском Союзе также благодаря высочайшему теоретическому уровню развития арифметики в нашей стране.
Таковым образом, в теории дифференциальных уравнений ясно выслеживается основная линия развития арифметики: от определенного и личного через абстракцию к определенному и личному.
Как уже говорилось, в XVIII и XIX веках изучались в главном определенные уравнения математической физики. Из общих результатов теории уравнений с личными производными в этот период необходимо подчеркнуть построение теории уравнений с личными производными первого порядка (Монж, Коши, Шарпи) и аксиому Ковалевской.
Аксиомы о существовании аналитического (другими словами представимого в виде степенного ряда) решения для обычных дифференциальных уравнений, также для линейных систем уравнений с личными производными были подтверждены ранее Коши (Cauchy, 1789 — 1857). Эти вопросцы рассматривались им в нескольких статьях. Но работы Коши не были известны Вейерштрассу, который предложил С.В. Ковалевской изучить вопросец о существовании аналитических решений уравнений с личными производными в качестве докторской диссертации. (Отмечу, что Коши опубликовал 789 статей и огромное число монографий; его наследство громадно, потому логично, что некие его результаты могли остаться некое время незамеченными.) С.В. Ковалевская в собственной работе опиралась на лекции Вейерштрасса, где рассматривалась задачка с исходными критериями для обычных дифференциальных уравнений. исследование Ковалевской придало вопросцу о разрешимости задачки Коши для уравнений и систем с личными производными в определенном смысле оканчивающий нрав. Пуанкаре высоко ценил эту работу Ковалевской. Он писал: «Ковалевская существенно упростила подтверждение и придала аксиоме окончательную форму».
Аксиома Ковалевской занимает принципиальное пространство в современной теории уравнений с личными производными. Ей, пожалуй, принадлежит одно из первых мест по числу применений в разных областях теории уравнений с личными производными: аксиома Хольмгрена о единственности решения задачки Коши, аксиомы существования решения задачки Коши для гиперболических уравнений (Шаудер, Петровский), современная теория разрешимости линейных уравнений и почти все остальные результаты употребляют аксиому Ковалевской.
Принципиальным достижением теории уравнений с личными производными явилось создание на рубеже XIX века теории интегральных уравнений Фредгольма и решение главных краевых задач для уравнения Лапласа. Можно считать, что главные итоги развития теории уравнений с личными производными XIX века подведены в учебнике Э. Гурса «Курс математического анализа», изданном в 20-е годы нашего века. Необходимо подчеркнуть большенный вклад, который занесли в теорию дифференциальных уравнений и математическую физику труды М.В. Остроградского по вариационным способам, труды А.М. Ляпунова по теории потенциала и по теории стойкости движения, труды В.А. Стеклова по обоснованию способа Фурье и остальные.
Тридцатые и следующие годы нашего века были периодом бурного развития общей теории уравнений с личными производными. В работах И.Г. Петровского были заложены базы общей теории систем уравнений с личными производными, выделены классы систем уравнений, которые в истинное время носят заглавие эллиптических, гиперболических и параболических по Петровскому систем, изучены их характеристики, исследованы соответствующие для их задачки.
В теорию уравнений с личными производными все поглубже стали просачиваться идеи многофункционального анализа. Было введено понятие обобщенного решения как элемента некого многофункционального места. Мысль обобщенного решения систематически проводилась в работах С.Л. Соболева. В связи с исследованием дифференциальных уравнений Соболевым в 30-годы была сотворена теория обобщенных функций, играющая только важную роль в современной арифметике и физике. С.Л. Соболевым была построена теория вложения многофункциональных пространств, которые в истинное время носят заглавие пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория неправильных задач.
Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений занесли русские арифметики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и остальные.
Воздействие на развитие теории уравнений с личными производными в нашей стране оказал семинар, которым в 40-е и 50-е годы правили И.Г. Петровский, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов. Значительную роль в развитии теории уравнений с личными производными сыграла проблемно-обзорная статья И.Г. Петровского «О неких дилеммах теории уравнений с личными производными», размещенная в 1946 году в журнальчике «Успехи математических наук». В ней изложено состояние теории уравнений с личными производными того времени и намечены пути ее предстоящего развития. сейчас, спустя практически 50 лет, можно сказать, что развитие теории уравнений с личными производными шло конкретно по тому пути, который был начертан в данной для нас восхитительной статье.
В истинное время теория дифференциальных уравнений с личными производными представляет собой богатую, очень разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на базе не так давно сделанного новейшего аппарата — теории псевдодифференциальных операторов, решена неувязка индекса, исследованы смешанные задачки для гиперболических уравнений. Важную роль в современных исследовательских работах гиперболических уравнений играют интегральные операторы Фурье, которые обобщают оператор преобразования Фурье на тот вариант, когда фазовая функция в показателе экспоненты, совершенно говоря, нелинейно зависит от независящих переменных и частот. При помощи интегральных операторов Фурье исследован вопросец о распространении особенностей решений дифференциальных уравнений, ведущий начало от традиционных работ Гюйгенса. В крайние десятилетия найдены условия корректной постановки краевых задач, изучены вопросцы гладкости решений для эллиптических и параболических систем. Исследованы нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка и широкие классы нелинейных уравнений первого порядка, изучена для их задачка Коши, построена теория разрывных решений. Глубочайшему исследованию были подвергнуты система Навье-Стокса, система уравнений пограничного слоя, уравнения теории упругости, уравнения фильтрации и почти все остальные принципиальные уравнения математической физики.
Увлекательным примером вербования мыслях и средств из остальных областей арифметики является решение в крайние годы задачки Коши для уравнения Кортевега-де Фриса при помощи оборотной задачки теории рассеяния. На базе появившегося при всем этом способа найдены новейшие классы интегрируемых нелинейных уравнений и систем. При всем этом существенную роль сыграло применение способов алгебраической геометрии, позволившее, а именно, проинтегрировать уравнения Янга-Миллса, играющие важную роль в квантовой теории поля.
В крайние десятилетия появился и активно развивается новейший раздел теории уравнений с личными производными — теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория появилась под воздействием задач физики, механики сплошной среды и техники, а именно, связанных с исследованием композитов (очень неоднородных материалов, обширно применяемых в истинное время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов. Такие задачки приводят к уравнениям с личными производными с стремительно осциллирующими коэффициентами либо в областях со сложной границей. Численное решение такового рода задач очень проблемно. Нужен асимптотический анализ задачки, что и приводит к задачкам усреднения.
много работ в крайние годы посвящено исследованию поведения решений эволюционных уравнений (другими словами уравнений, описывающих процессы, развивающиеся во времени) при неограниченном возрастании времени и возникающих при всем этом так именуемых аттракторов. Продолжает завлекать внимание исследователей вопросец о нраве гладкости решений краевых задач в областях с негладкой границей, огромное число работ в крайние годы посвящено исследованию определенных нелинейных задач математической физики.
За крайние полтора — два 10-ка лет очень поменялось лицо высококачественной теории обычных дифференциальных уравнений. Одним из принципиальных достижений является открытие предельных режимов, которые получили заглавие аттракторов.
Оказалось, что наряду со стационарными и повторяющимися предельными режимами вероятны предельные режимы совсем другой природы, а конкретно такие, в каких любая отдельная линия движения неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно стабильно. Открытие и подробное исследование для систем обычных дифференциальных уравнений таковых предельных режимов, именуемых аттракторами, потребовало вербования средств дифференциальной геометрии и топологии, многофункционального анализа и теории вероятностей. В истинное время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, к примеру, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. исследование аттракторов предпринято также и для уравнений с личными производными.
Иным принципиальным достижением теории обычных дифференциальных уравнений явилось исследование структурной стойкости систем. При использовании хоть какой математической модели возникает вопросец о правильности внедрения математических результатов к настоящей реальности. Если итог очень чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые конфигурации модели приведут к модели с совсем другими качествами. Такие результаты недозволено распространять на исследуемый настоящий процесс, потому что при построении модели постоянно проводится некая идеализация и характеристики определяются только приближенно.
Это привело А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина к понятию грубости системы обычных дифференциальных уравнений либо понятию структурной стойкости. Это понятие оказалось весьма плодотворным в случае малой размерности фазового места (1 либо 2), и в этом случае вопросцы структурной стойкости были детально исследованы.
В 1965 году Смейл показал, что при большенный размерности фазового места есть системы, в некой округи которых нет ни одной структурно устойчивой системы, другими словами таковой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной начальной. Этот итог имеет базовое задачки топологической систематизации систем обычных дифференциальных уравнений, и быть может сравним по собственному значению с аксиомой Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах.
К принципиальным достижениям можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование способа усреднения для многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, предстоящее глубочайшее исследование характеристик Ляпунова, создание теории рационального управления действиями, описываемыми дифференциальными уравнениями.
Таковым образом, теория дифференциальных уравнений в истинное время представляет собой только обеспеченный содержанием, стремительно развивающийся раздел арифметики, тесновато связанный с иными областями арифметики и с ее приложениями.
Бурбаки, говоря о архитектуре арифметики, так охарактеризовывает ее современное состояние:
«Отдать в истинное время общее 1-го года, составляют почти все тыщи страничек. Не они все, естественно, имеют схожую Ценность; тем не наименее, опосля чистки от неминуемых отбросов оказывается, что любой год математическая наука обогащается массой новейших результатов, приобретает все наиболее различное содержание и повсевременно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Почти все из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они не стремятся выйти и не только лишь практически стопроцентно игнорируют все то, что не касается предмета их исследовательских работ, но не способен даже осознать язык и терминологию собственных братьев, специальность которых далека от их». (Н. Бурбаки, «Очерки по истории арифметики», М.: ИЛ, 1963 г.)
Но недозволено, как мне кажется, опровергать большенный реки, питают до этого всего маленькие ручейки. Большие открытия, прорыв фронта исследовательских работ весьма нередко обеспечиваются и подготавливаются тщательным трудом весьма почти всех исследователей. Все произнесенное относится не только лишь ко всей арифметике, да и к одному из самых широких ее разделов — теории дифференциальных уравнений, которая в истинное время представляет собой тяжело обозримую совокупа фактов, мыслях и способов, весьма нужных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех остальных разделах арифметики.
Почти все разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почтенное пространство в современной науке.
]]>