(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Задачи линейной алгебры
Министерство науки и образования Украины
ДГМА
Краматорск
2003
При решении разных задач арифметики весьма нередко приходится иметь дело с таблицами чисел, именуемых матрицами. При помощи матриц комфортно решать системы линейных уравнений, делать почти все операции с векторами, решать разные задачки компьютерной графики и остальные инженерные задачки.
Матрицей именуется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некое количество m строк и некое количество п столбцов. Числа т и п именуются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица именуется квадратной, а число m = n — ее порядком.
В предстоящем для записи матриц будут применяться или сдвоенные черточки, или круглые скобки:
либо
Для лаконичного обозначения матрицы нередко будет употребляться или одна большая латинская буковка (к примеру, A), или знак || a ij
|| , а время от времени с объяснением: А = || a ij
|| = ( a ij
), где (i = 1, 2, …, т, j=1, 2, …, n).
Числа a ij
, входящие в состав данной матрицы, именуются ее элементами. В записи a ij
1-ый индекс і значит номер строчки, а 2-ой индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы
(1.1)
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) именуется диагональ а11
а12
… ann
идущая из левого верхнего угла данной матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы именуется диагональ аn1
а(n-1)2
… a1n
, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Главные операции над матрицами и их характеристики.
До этого всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют схожие порядки и все их надлежащие элементы совпадают.
Перейдем к определению главных операции над матрицами.
Сложение матриц. Суммой 2-ух матриц A = || a ij
|| , где (i = 1, 2, …, т, j=1, 2, …, n) и В = || b ij
|| , где (i = 1, 2, …, т, j=1, 2, …, n) одних и тех же порядков т и п именуется матрица С = || c ij
|| (і =1,2, …, т; j = 1, 2, …., п) тех же порядков т и п, элементы сij
которой определяются по формуле
, где (i = 1, 2, …, т, j=1, 2, …, n) (1.2)
Для обозначения суммы 2-ух матриц употребляется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц именуется их сложением. Итак, по определению:
+ =
Из определения суммы матриц, а поточнее из формул (1.2) конкретно вытекает, что операция сложения матриц владеет теми же качествами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а конкретно:
1) переместительным свойством: А + В = В + А,
2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
Эти характеристики разрешают не хлопотать о порядке следования слагаемых матриц при сложении 2-ух либо большего числа матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij
|| , где (i = 1, 2, …, m, j=1, 2, …, n) на вещественное число l, именуется матрица С = || c ij
|| (і =1,2, …, m; j = 1, 2, …., n), элементы которой определяются по формуле:
, где (i = 1, 2, …, т, j=1, 2, …, n) (1.3)
Для обозначения произведения матрицыі на число употребляется запись С = l A либо С = А l. Операция составления произведения матрицы на число именуется умножением матрицы на это число.
Конкретно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число владеет последующими качествами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A
Замечание. Разностью 2-ух матриц А и В схожих порядков т и п естественно именовать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности 2-ух матриц употребляется естественная запись: С = A — В.
Весьма просто убедиться в том, что разность С 2-ух матриц А и В быть может получена по правилу С = A + (–1) В.
Произведение матриц либо перемножение матриц.
Произведением матрицы A = || a ij
|| , где (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b ij
|| , где (i = 1, 2, …, n , j=1, 2, …, р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, именуется матрица С = || c ij
|| (і =1,2, …, m; j = 1, 2, …., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле:
где (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p) (1.4)
Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В употребляют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В именуется перемножением этих матриц.
Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно помножить не на всякую матрицу В, нужно, чтоб число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.
Формула (1.4) представляет собой правило составления частей матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сконструировать и словесно: элемент ci j
стоящий на пвресечении і-й строчки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответственных частей і-й строчки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
В качестве примера внедрения обозначенного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.
× =
Из формулы (1.4) вытекают последующие характеристики произведения матрицы А на матри-цу В:
1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );
2) распределительное относительно суммы матриц свойство:
( A + B ) С = А С + В С либо A ( В + С ) = A В + А С.
вопросец о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить только для квадратных матриц A и В схожего порядка.
Приведем принципиальные личные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.
Посреди квадратных матриц выделим класс так именуемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Любая диа-гональная матрица порядка п имеет вид
D = (1.5)
где d1
, d2
, …, dn
—какие угодно числа. Просто созидать, что если все эти числа равны меж собой, т. е. d1
= d2
= … = dn
то для хоть какой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.
Посреди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1
= d2
= … = dn
= = d особо важную роль играют две матрицы. 1-ая из этих матриц выходит при d = 1, именуется единичной матрицей n-го порядка и обозначается эмблемой Е. 2-ая матрица выходит при d = 0, именуется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается эмблемой O. Таковым образом,
E = O =
В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Наиболее того, просто показать, что
А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)
1-ая из формул (1.6) охарактеризовывает необыкновенную роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что все-таки касается особенной роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только лишь 2-ая из формул (1.7), да и тривиально проверяемое равенство
А + 0 = 0 + А = А.
В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой именуют всякую матрицу, все элементы которой равныї нулю).
Блочные матрицы
Представим, что некая матрица A = || a ij
|| с помощью горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клеточки, любая из которых представляет собой матрицу наименьших размеров и именуется блоком начальной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения начальной матрицы Как некой новейшей (так именуемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A ab
||, элементами которой служат обозначенные блоки. Обозначенные элементы мы обозначаем большенный латинской буковкой, чтоб выделить, что они являются, совершенно говоря, матрицами, а не числами и (как обыденные числовые элементы) снабжаем 2-мя индексами, 1-ый из которых показывает номер «блочной» строчки, а 2-ой — номер «блочного» столбца.
к примеру, матрицу
можно разглядывать как блочную матрицу
элементами которой служат последующие блоки:
Восхитительным является тот факт, что главные операции с блочными матрицами совершаются по этим же правилам, по которым они совершаются с обыкновенными числовыми матрицами, лишь в роли частей выступают блоки.
понятие определителя.
Разглядим произвольную квадратную матрицу хоть какого порядка п:
A = (1.7)
С каждой таковой матрицей свяжем полностью определенную численную характеристику, именуемую определителем, подходящим данной матрице.
Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из 1-го элемен-та аi j
определителем первого порядка подходящим таковой матрице, мы назовем величину этого элемента.
Если дальше порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид
A = (1.8)
то определителем второго порядка, подходящим таковой матрице, назовем число, равное а11
а22
— а12
а21
и обозначаемое одним из знаков:
Итак, по определению
(1.9)
Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответственной ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такая: определитель второго порядка, соответственный матрице (1.8), равен разности произведения частей, стоящих на главной диагонали данной матрицы, и произведения частей, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и наиболее больших порядков находят обширное применение при решении систем линейных уравнений.
Разглядим, как производятся операции с матрицами в системе MathCad. Простые операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу очень приближено к их математическому действию. Любой оператор выражается подходящим эмблемой. Разглядим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются личным случаем матриц размерности n x 1, потому для их справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не обсуждены (к примеру, некие операции применимы лишь к квадратным матрицам n x n). Какие-то деяния допустимы лишь для векторов (к примеру, скалярное произведение), а какие-то, невзирая на однообразное написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
Рис.1 Панель инструментов Матрицы
Для ввода матрицы:
введите имя матрицы и символ присваивания (двоеточие)
щелкните по значку “сделать матрицу” в панели “Матрицы”.
Опосля нажатия клавиши OK раскрывается поле для ввода частей матрицы. Для того, чтоб ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число либо выражение.
Для того, чтоб выполнить какую-либо операцию при помощи панели инструментов, необходимо:
выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопочке операции,
либо щелкнуть по кнопочке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.
Меню “Знаки” содержит три операции — транспонирование, инвертирование, определитель.
Это значит, к примеру, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Знаки/Матрицы/Определитель.
Номер первой строчки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По дефлоту отсчет ведется от нуля. В математической записи почаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтоб MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, необходимо задать
Функции, созданные для работы с задачками линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается клавишей на панели “Обычные”). Главные из этих функций будут описаны позднее.
Транспонирование
Рис.2
Транспонирование матриц
Сложение
Рис.5
Смена знака матрицы
Умножение
При умножении следует держать в голове, что матрицу размерности m x n допустимо множить лишь на матрицу-размерности n x p (р быть может хоть каким). В итоге выходит матрица размерности m х р.
Рис.6
Умножение матриц
Обратите внимание, что попытка перемножить матрицы A и B несоответствующего (схожего 2х3) размера оказалась безрезультативной: опосля введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяется красноватым цветом. При установке курсора на это выражение, возникает сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов 2-ой матрицы.
Рис.7
Умножение вeктopa и строчки
Рис.8
Умножение матрицы на скаляр
Определитель квадратной матрицы
Определитель (Determinant) матрицы обозначается обычным математическим эмблемой. Чтоб ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно надавить клавишу Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (рис. 1) либо набрать на клавиатуре <|> (нажав клавиши <Shift>+<>). В итоге хоть какого из этих действий возникает местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтоб вычислить найти уже введенной матрицы, необходимо выполнить последующие деяния:
Переместить курсор в документе таковым образом, чтоб поместить матрицу меж линиями ввода (напоминаем, что полосы ввода — это вертикальный и горизон-тальный отрезки голубого цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).
Ввести оператор нахождения определителя матрицы.
Ввести символ равенства, чтоб вычислить определитель.
Рис.9
Поиск определителя квадратной матрицы
Модуль вектора
Рис.10
Поиск модуля вектора
Скалярное произведение векторов
Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения знак который является общеупотребительным эмблемой векторного произведения.
Рис.11
Скалярное произведение векторов
умножения см. в листинге на рис.12.
Рис.12
Индивидуальности скалярного произведения векторов
Рис.13
Векторное произведение векторов
Задание 1.
Ответ:
]]>