Учебная работа. Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Учебная работа. Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Полугруппой наз. огромное количество объектов, если для его частей определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. огромное количество объектов, если для его частей определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо — огромное количество объектов с 2-мя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по 2-ой операции, при этом для частей кольца справедлив законассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы хорошие от нуля, для всякого из которых определен оборотный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. огромное количество объектов именуемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, таковыми, что это огромное количество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Алгеброй нам кольцом скаляров с единицей наз. огромное количество объектов с определенными над ними 3-мя операциями сложения, умножения и умножения на элементы из кольца скаляров, что оно является кольцом по первым двум операциям и линейным векторным пр-вом над кольцом скаляров.

Факторгруппой именуется огромное количество объектов, являющиеся собой классами эквивалентности некой данной группы G
по подгруппе Н,
любой из которых выходит поочередным сложением частей из группы G с данным элементом из подгруппы Н.
Факторгруппа обозначается G/H.

Отображением 1-го огромного количества в другое наз. набор правил сопоставляющих любому объекту из первого огромного количества объект из второго огромного количества, именуемого образом отображения.

Мономорфизмом именуется отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие меж образом и прототипом.

Эпиморфизмом именуется такое отображение, что для каждой точки вида существует элемент из прообраза, который в него перебежал.

Система координат есть отображение некого места в числовые последовательности фиксированной длины, именуемые координатами.

Дифференциалом отображения из огромного количества с системой координат u, v
во огромное количество с системой координат x, y
наз. отображение касательных пр-в Vu
в Vv
, задаваемое матрицей D(x, y)/D(u, v).

Рангом квадратной матрицы порядка n наз. число ее линейно независящих строк.

Ранг наз. наибольшим, если он совпадает с порядком матрицы.

Метрическим пр-вом наз. такое огромное количество объектов, именуемых точками, что для каждой упорядоченной пары точек этого огромного количества определено неотрицательное действительное число, удовлетворяющее правилом треугольника и называемое расстоянием либо метрикой.

Округой радиуса R
точки метрического места наз. огромное количество точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит радиуса.

Предельной точкой огромного количества в метрическом пространстве наз. таковая точка, что в хоть какой сколь угодно малой округи данной нам точки найдется, по последней мере, одна точка из этого огромного количества не считая ее самой.

Открытым наз. такое огромное количество, что для каждой его точки существует округа, полностью лежащая в этом огромном количестве.

Замкнутым обилием наз. такое огромное количество, дополнение к которому открыто.

Малогабаритным наз. ограниченное замкнутое огромное количество.

Связанным наз. огромное количество, которое недозволено представить в виде непересекающихся множеств, таковых, что одно огромное количество не содержит предельную точку другого.

Областью наз. открытое связанное огромное количество.

n-мерным мн-зием наз. метрическое пр-во M
, если любая точка Р
которого содержится в округи U
из M,
гомеоморфной некой области евклидова места Rn
размерности n.

Атлас карт — система открытых множеств {Ui
}
покрывающих мн-зие М.

Непрерывным в точке а отображением ¦ топологического места С в С’ наз. такое отображение , что для каждой округи U’ точки ¦(a) в С’ существует таковая округа точки a в С, образ которой содержится в U’.

Непрерывным отображением наз. отображение, непрерывное в каждой точке.

Гладким отображением наз. непрерывное отображение.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее оборотное отображение.

Координатный гомеоморфизм – отображение карты атласа М
в подобающую область V
из Rn
.

Диффеоморфизмом ¦ наз. гомеоморфизм являющийся гладким отображением, таковой, что оборотное отображение тоже является гладким.

Локальной системой координат наз. система координат в области V
евклидова места Rn

, где V
– образ некой карты мн-зия M
.

Функциям перехода от координат {} к {}именуются функции, модифицирующие одну в другую части 2-ух карт на месте их пересечения = .

Гладким мн-зием наз. мн-зие, если на неком его атласе функции перехода от координат {}к {}безпрерывно дифференцируемы для хоть какой пары карт.

Погружением наз. такое гладкое отображение из 1-го мн-зия в другое, что во 2-м мн-зии выделяется некоторая подобласть, для которой имеет пространство взаимно однозначное соответствие с точками начального мн-зия.

Вложением наз. такое погружение, если образом погружения является замкнутое огромное количество.

Подмн-зием наз. образ мн-зия при вложении.

Ориентируемым мн-зием наз. такое мн-зие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан.

Разбиением единицы , подчиненному покрытию U
a

для обилия M
именуется таковая система действительнозначных функций j
a

, что supj
a

достигается на U
a

, сумма j
a

(x)=1
на M
.

Аксиома. Пусть X – случайное подпр-во Rn

и U
a

—
его покрытие. Тогда существует Разбиением единицы , подчиненному покрытию U
a

Касательным пр-вом в точке a мн-зия М наз. совокупа касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.

Производной функции ¦ по направлению V (
x
1

,…,
x
n

)
в точке А
именуется число . Производная по направлению линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Пусть функция ¦ равна нулю в окр-ти т. A
и {
¶
} –
набор формальных операция, ставящих функции в соотв. Нек-рое число и удовл. пр-лу Лейбница.
Тогда ¶
¦
(A)=0.

Лемма. ¶
(Const)=0.

Лемма Адамара.
Пусть ¦ — дифференцируема в окр-ти т. A тогда для т. B из окр-ти А справедливо соотношение : ¦
(B)=
¦
(A)+(—).

Аксиома. Сравнение касательному вектору в т. A производной по направлению этого вектора VA

®
{
¶
}
– изоморфизм.

Гладким расслоением именуется составной объект, состоящий из пр-ва расслоения (гладкое мн-зие Е
), базы расслоения (гладкое мн-зие М), проекции расслоения (гладкое отображение из места расслоения в базу, дифференциал которого имеет наибольший ранг), слоя (гладкое мн-зие F
), структурной группа G
гладких преобразований слоя F
.

структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые любому прямому произведению слоя F
на некую область из базы ставят в соответствие прототип данной нам области на расслоении а так же функциями перехода меж прямыми произведениями слоя F
и областями базы, где эти области пересекаются, при этом функции клейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F
.

Касательным расслоением гладкого мн-я M
наз. объединение всех касательных пространств мн-зия.

Аксиома. Размерность касательного расслоение n-мерного гладкого мн-я M – 2n.

Аксиома. Пусть ¾ гладкое сюръективное отображение с малогабаритными прообразами точек, N ¾ связное и все точки f регулярны. Тогда f ¾ расслоение. (А именно, все прототипы ¾ однообразные обилия).

Векторное поле определено на мн-зии, если каждой точке мн-зия сопоставлен некий вектор, координаты которого изменяются безпрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное пр-во.

Аксиома. На Mn
(UА
)
есть такие гладкие кривые x1
(t),…, xn
(t)
, что касательные вектора к ним образуют касательно пр-во в точке А
.

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей x
и h
в системе координат x1
,…,xn

наз. векторное такое поле [
x
,
h
],
что [x
,h
]i

=—i
=1,…,n
. Коммутатор – гладкое векторное поле, владеющее св-вами антикоммутативности ([u,v]=-[v,u]),
дистрибутивности и линейности в т.ч. [gv,hw]=gh[v,w] .

Неособой точкой векторного поля v(x),
наз. точка, в некой округи которой векторное поле безпрерывно и не обращается в нуль.

Особенной точкой векторного поля v(x),
наз. точка, в некой округи которой нарушаются хотя бы одно из 2-ух критерий:1).в некой округи точки векторное поле безпрерывно и 2) векторное поле не обращается в нуль в данной нам точке.

Невырожденной наз. таковая особенная точка векторного поля, что детерминант в данной нам точке отличен от нуля, где x
i

— координаты векторного поляx
в системе координат (x1
,…, xn
).

Индексом особенной точки векторного поля v(x),
наз. символ детерминанта , где x
i

— координаты векторного поля x
в системе координат (x1
,…, xn
).

Базовым наз. такое векторное поле на мн-зии, что вектора, надлежащие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на данной нам карте.

Голономными именуются такие векторные поля v
и w
, что [v,w]=0.

Аксиома. Пусть a1
,…,an

– голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базовыми.

Правильной для отображения ¦ из мн-зия M1

в M2

наз. точка из начального мн-зия M1

, таковая, что матрица Якоби в данной нам точке имеет наибольший ранг.

Постоянной точкой отображения из мн-зия M1

в M2

наз. таковая точка из мн-зия M2

, что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в постоянной точке, прототип которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма символов детерминантов отображений из прообразов постоянной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особенной точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей необыкновенную точку в единичную окружность по формуле ¦x

(x
1

,…,x
n

)=, где x
— векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особенной точки.

Сопряженным к пр-ву векторов V именуют пр-во V*
линейных вектор-функций, именуемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К иной является матрица, оборотная к якобиану.

Гладкой гомотопией отображения ¦
из M в N наз. такое отображение цилиндра, приобретенного как итог прямого произведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0)
совпадает с ¦
(x).

Гомотопией либо действием гомотопии именуются все огромное количество гладких гомотопий.

Гомотопными именуются отображения ¦
t

(x),
такие, что существует таковая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными именуют такие два обилия, что есть гладкие отображения, переводящие одно в другое и напротив, что их композиции гомотопны подходящим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q)
ранга p+q
наз. полилинейная ф-я от p векторов и q
ковекторов. У него np+q

координат =T(e1
,…,ep
,E1
,…,Eq
).

Тензором типа (p, q)
ранга p+q
наз. объект, задаваемый в каждой система координат набором чисел, преобразующихся при подмене систем координат (x)
®
(x’)
по закону:

=.

Тензором типа (p, q)
ранга p+q
наз. полилинейный функционал, данный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.

Аксиома. Эти определения тензора эквивалентны.

Аксиома. Значение тензора на p
векторах и q
ковекторах инвариантно относительно системы координат.

Сложение тензоров: =1
+2
.

Умножение Тензоров. =
×

.

Свертка Тензора.

Симметрирование. .

Альтернирование. .

Симметричным (Кососимметричным) именуется таковой тензор j
, что j
s
=
j
(
j
s
=(-1)
s

j
).

Аксиома. j
alt

–
кососимметричный.
j
sym

–
симметричный. (
j
s
)alt
=(-1)
s

j
s
.

(
j
s
)sym
=
j
sym

.
Еслиj
—
симметричный,
чтоj
=
j
sym

.

Аксиома. Пр-во кососимметричных тензоров типа (p,0)
имеет размерность 0, если p>n
и 1 по другому.

Операцией опускания индексов наз. операция, ставящая в соответствие тензору тензор =, где aij

— невырожденное тензорное поле типа (0, 2) (другими словами $ A-1
(aij
)).

Аксиома. Симметричность инвариантна относительно подмены координат.

.

Знаками Кристоффеля наз. функция либо в коорд. .

Аксиома. .

Тензором Ковариантного дифференцирования Ñ либо связностью наз. тензор:

Ñ= + — .

Тензор кручения наз. тензор, задаваемый в каждой системе координат равенством:

Симметричной наз. связность Ñ, тензор кручения которой равен нулю.Ñ линейна и удовлетворяет правилу Лейбница.

Аксиома. Связность симметрична титт, когда .

Согласованной с Римановой связностью на мн-ии M именуется таковая Метрика G, что Ñ
G=0
везде на мн-ии.

Аксиома. На римановом мн-ии существует единственная риманова связность, согласованная с метрикой.

Тензором кривизны Римана данной связности Ñ наз. последующий тензор:

=.

Аксиома. Пусть задано обилие M
и пусть тензор кривизны R
на этом обилии отличен от нуля во всех точках, тогда на обилии M
недозволено ввести локально-евклидовы координаты, т.е. такие, в каких матрица gij

постоянна.

Аксиома. На двумерном Римановом мн-ии R=2K
, где K
– гауссова кривизна, а R =gkl
.

R(X,Y)Z=
Ñ
x

Ñ
y

(z)-
Ñ
y

Ñ
x

(z)-
Ñ
[x,y]

(z).

Кривизной по двумерному направлению X
,
Y
именуется число R
(
s
)=(
R
(
X
,
Y
)
X
,
Y
),
где X
,
Y
– данные векторные поля.

Аксиома. Пусть M
– двумерное риманово обилие и K
(
P
)
– гауссова кривизна, тогда R
(
s
)=
K
(
P
).

Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор [
Ñ
k,

Ñ
l

](Ti
)=Tq
,
где [
Ñ
k,

Ñ
l

] =(
Ñ
k

Ñ
l

—
Ñ
l

Ñ
k

),
и T=(Ti
)
– тензорное поле на данном мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле , что его составляющие меняют символ при транспонировании всех 2-ух примыкающих индексов 1-го типа.

Дивергенцией векторного поля по определению именуют тензор

Div(Ti
)=.

Наружным умножением кососимметричных тензоров j
1

иj
2

именуется тензор j
1

^
j
2

=(
j
1

Ä
j
2

)alt

. Оно линейно, антикоммутативно.

Св-во. Пусть j1
и j2
кососимметричные тензоры типа (p,0)
и (q,0),
тогда j
2

^
j
1

=(-1)pq

j
1

^
j
2

.

Алгеброй дифференциальных форм Ù
(Mn
)
наз. алгебра, представителями которой являются линейные композиции w
(k)

=
и композиции где – кососимметричное тензорное поле ранга q
и индексы j1…jq
упорядоченные в порядке возрастания.

Наружными дифференциальными формами именуются элементы алгебры дифференциальных форм w(k)
. Они инвариантны относительно подмены координат т.е.

.

Аксиома. Обилие ориентируемо титт, когда на нем задана диф. форма w
, хорошая от нуля во всех точках мн-я.

Аксиома. Размерность дифференциальных форм степени k
равна .

Rot(¦):=; Div(¦ ):=.

Градиентом наружной формыw
наз. наружная д.ф. d
w
, составляющие которой в локальной системе координат (x1
,…,xn
)
имеют вид:

=. Grad(¦)
:=.

градиент наружной формы линеен и владеет последующими качествами:

1) d(
w
1

Ù
w
2

)=d
w
1

Ù
w
2

+
w
1

Ù
d
w
2

.

d(d
w
)=0.

Замкнутой наружной дифференциальной формой наз. наружная д.ф. с нулевым градиентом.

Четкой наружной дифференциальной формой наз. наружная д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание огромного количества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно данной точки, дифференциальной формой наз. таковая д.ф., что она отлична от нуля в довольно малой округи данной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. таковая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна начальной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. таковая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна начальной дифференциальной форме на подмн-зии К.

Аксиома. Пусть y
— отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y
*

—
отображение диф. форм из M в N, тогда

.

d
y
*

(w)=
y
*

(dw).

Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм — инвариант.

Интегралом диф. формы w
по карте D
ориентируемого мн-ия M
именуется выражение , где S
x

ровно знаку ориентации карты D
.

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется таковая диф. форма w=
S
x

¦
(x),
где S
x

ровно знаку ориентации карты D
, а G
– метрика, что их интегралы равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого обилия с краем M и диф. формы w .

Группой когомологий де Рама наз. фактор — пр-во замкнутых наружных дифференциальных форм степени k по подпространству четких форм размерности k мн-зия M и обозначается через Hk
(M)
либо (M)
если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая четкая форма является замкнутой, потому что d(d
w
‘) = dd(
w
¢
)=0.

Кольцо всех замкнутых наружных дифференциальных форм случайной степени мн-я M
обозначается через H*
(M)
.

Оборотным образом ¦*(w) наружной дифференциальной формы w на M2

наз. таковая наружная д.ф. на мн-зии M1

, задаваемое формулой: ¦
*(
x
1

,…,
x
k

)=
w
(d
¦
(
x
1

),…,d
¦
(
x
k

)),
где x
1

,…,
x
k

принадлежат касательному месту точки Р
из M2

и являются видами отображения ¦, где ¦ — гладкое отображение мн-зий .

Аксиома. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вдоль кривой g
наз. выражение: Ñ
g

=
x
k

Ñ
k

(),
где

g
(t)
– поле скоростей с координатами {
x
k

}
в некой системе координат и Ñ
— аффинная связность на Mn
, задаваемая в системе координат набором личных дифференцирований Ñ
k

.

Уравнением параллельного переноса наз. уравнение

=0.

Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mn

c аффинной связностью Ñ, если
(
g
)=0,
где
— векторное поле скоростей линии движения g
(t).

Аксиома. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением =0.

Аксиома. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со обычной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и лишь они.

Аксиома. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре со обычной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на Абсолют под прямым углом и лишь они.

Аксиома. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.

Лагранжианом именуют функцию , зависящую от 3-х групп переменных 1
£
b
£
n
, 1
£
a
£
n, 1
£
i
£
k.

Стационарной для функционала J
именуется таковая ф-я ¦, что по хоть какому направлению h
.

Системой многофункциональных уравнений Эйлера именуется система .

Аксиома. Функция ¦ является экстремальной для функционала J
титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Аксиома. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала E
являются геодезические линии движения g
(t),
параметризованные параметром, пропорциональным натуральному.

Аксиома. Функция ¦ является экстремальной для функционала J
титт, когда она удовлетворяет системе ф. ур-й Эйлера.

Аксиома. Пусть дана кривая g и функционал . Тогда экстремалями функционала L
являются линии движения получающиеся из геодезических методом гладких замен характеристик на их.

]]>