(8 оценок, среднее: 4,75 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Доклад: Аксиоматический метод в геометрии
Аксиоматический способ построения научной теории заключается в последующем : выделяются главные понятия, формулируются теоремы теории, а все другие утверждения выводятся логическим путём, делая упор на их.
Главные понятия выделяются последующим образом. Понятно, что одно понятие обязано разъясняться при помощи остальных, которые, в свою очередь, тоже определяются при помощи каких-либо узнаваемых понятий. Таковым образом, мы приходим к простым понятиям, которые недозволено найти через остальные. Эти понятия и именуются главными.
Когда мы доказываем утверждение, аксиому, то опираемся на предпосылки, которые числятся уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их необходимо было доказать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без подтверждения. Эти утверждения именуются теоремами. Набор аксиом должен быть таковым, чтоб, делая упор на него, можно было обосновать последующие утверждения.
Выделив главные понятия и сформулировав аксимы, дальше мы выводим аксиомы и остальные понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Теоремы и главные понятия составляют основания планиметрии.
Потому что недозволено отдать единое определение главных понятий для всех геометрий, то главные понятия геометрии следует найти как объекты хоть какой природы, удовлетворяющие теоремам данной геометрии. Таковым образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некой системы аксиом, либо аксиоматики. В этих теоремах описываются характеристики главных понятий геометрической системы, и мы можем представить главные понятия в виде объектов хоть какой природы, которые владеют качествами, обозначенными в теоремах.
Опосля формулировки и подтверждения первых геометрических утверждений становится вероятным обосновывать одни утверждения (аксиомы) при помощи остальных. Подтверждения почти всех теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого периодического курса геометрии, основанного на определениях и теоремах. Этот курс и его следующие обработки назывались «Элементы».
Позже, в III в. до н.э., в Александрии возникла книжка Евклида с этим же заглавием, в российском переводе «Начала». От латинского наименования «Начал» произошёл термин «простая геометрия». Невзирая на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некое Мировоззрение о этих сочинениях по «Началам» Евклида. В «Началах» имеются разделы, логически очень не достаточно связанные с иными разделами. Возникновение их разъясняется лишь тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида.
«Начала» Евклида состоят из 13 книжек. 1 — 6 книжки посвящены планиметрии, 7 — 10 книжки — о математике и несоизмеримых величинах, которые можно выстроить при помощи циркуля и линейки. книжки с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. 1-ые 5 аксиом — «общие понятия», другие именуются «постулатами». 1-ые два постулата определяют деяния при помощи безупречной линейки, 3-ий — при помощи безупречного циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны меж собой», является лишним, потому что его можно вывести из других аксиом. Крайний, 5-ый постулат говорил : «Если ровная падает на две прямые и образует внутренние однобокие углы в сумме меньше 2-ух прямых, то, при неограниченном продолжении этих 2-ух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше 2-ух прямых».
5 «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : «равные одному и тому же равны меж собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны меж собой», «если от равных отнять равные, остатки равны меж собой», «совмещающиеся друг с другом равны меж собой», «целое больше части».
Дальше началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он разглядывал лишь такие геометрические величины, которые можно выстроить при помощи циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и математику и обосновывал для целых чисел то, что уже обосновал для геометрических величин, и, в конце концов, за теоремы Евклида. Более очень критиковали 5-ый постулат, самый непростой постулат Евклида. Почти все считали его излишним, и что его можно и необходимо вывести из остальных аксиом. Остальные считали, что его следует поменять наиболее обычным и приятным, равносильным ему : «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не наиболее одной прямой, не пересекающей данную прямую».
Критика разрыва меж геометрией и математикой привела к расширению понятия числа до реального числа. Споры о 5-ом постулате привели к тому, что сначала XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс выстроили новейшую геометрию, в какой производились все теоремы геометрии Евклида, кроме 5-ого постулата. Он был заменён обратным утверждением : «В плоскости через точку вне прямой можно провести наиболее одной прямой, не пересекающей данную». Эта геометрия была настолько же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.
Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.
На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. набросок 1). Эта ровная именуется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского именуется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре — это дуги окружностей с центром на абсолюте либо отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского — фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из их неевклидовым движением можно перевести в иной. Таковы главные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.
Все теоремы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой последующее : «Неевклидова ровная — это полуокружность с концами на абсолюте либо луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту». Таковым образом, утверждение теоремы параллельности Лобачевского производится не только лишь для некой прямой a и точки A, не лежащей на данной прямой, да и для хоть какой прямой a и хоть какой не лежащей на ней точки A
За геометрией Лобачевского появились и остальные непротиворечивые геометрии : от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, появилась риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 — 50 лет перевоплотился в совокупа различных теорий, только в чём-то схожих со собственной прародительницей — геометрией Евклида.
]]>