Учебная работа. Шпаргалка: Математический анализ

Учебная работа. Шпаргалка: Математический анализ

(шпаргалка)

Определение функции нескольких переменных.

Переменная u именуется f(x,y,z,..,t), если для хоть какой совокупы значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие полностью определенное

Огромное количество совокупностей значение переменной именуют областью определения ф-ции.

G — совокупа (x,y,z,..,t) — область определения .

Функции 2-х переменных.

Переменная z именуется функцией 2х переменных f(x,y), если для хоть какой пары значений (x,y) ÎG ставится в соответствие определенное

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.

Опр. Округой точки р0 именуется круг с центром в точке р0 и радиусом r. r = Ö(х-х0)2+(у-у0)2Ø

Число А именуется пределом функции |в точке р0, если для хоть какого

Lim f(x,y)

p-p0

сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r производится неравенство: ½f(x,y) — А½<e, т.е. для всех точек р, попадающих в округа точки р0, с радиусом r, означает, что когда точка р приблизится к точке р0 по хоть какому пути,

Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) именуется непрерывной в т. р0, если производятся 3 условия:

1)функция определена в данной точке. f(р0) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в данной точке.

Lim f(р) = b

p-p0

3)Предел равен значению функции в данной точке: b = f(x0,y0);

Lim f(x,y) = f(x0,y0);

p-p0

Если хотя бы 1 из критерий непрерывности нарушается, то точка р именуется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые полосы разрыва.

понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию 3-х переменных нереально изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, полосы и поверхности разрыва.

Личное производной.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р1(х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:

Dхz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) — f(x,y) — личное приращение функции соответственное приращению аргумента х.

Опр. Личное производной функции z=f(x,y) по переменной х именуется предел дела личного приращения данной функции по переменной х к этому приращению, когда крайнее стремится к нулю.

¶z = Lim Dxz

¶x Dx®0 Dx

-¶z = Lim f(x+Dx,y) — f(x,y)

¶xDx®0 Dx

Аналогично определяем личное производной по переменной у.

Нахождение личных производных.

При определении личных производных всякий раз меняется лишь одна переменная, другие переменные рассматриваются как неизменные. В итоге всякий раз мы рассматриваем функцию лишь одной переменной и личная производной совпадает с обыкновенной производной данной функции одной переменной. Отсюда правило нахождения личных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как рядовая производнаяфункции одной данной переменной, другие переменные расстатриваются как неизменные величины. При всем этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, личного).

(Лекция № 2)

Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных.

z=f(x,y) в области D.

p(x,y) ÎD — рассматриваемая точка. Дадим х приращение Dх, у — Dу. Получим р1(х+Dх, у+Dу). Вычилим

Dz = f(p1)-f(p)

Dz = f(x+Dx,y+Dy) — f(x,y)

Опр. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) именуется основная линейная часть приращения данной функции, если приращение можно конвертировать к виду:

Dz = ADx + BDy + a

А, В — не зависят от Dх, Dу;

a — зависит от Dх и Dу и при всем этом

Lima = 0

r®0 r

r — расстояние меж точками р и р1

S = рр1 = ÖDх2 +Dу2Ø

a является нескончаемо малой, наиболее высочайшего порядка, чем r

При ументшении Dх и Dу a®0 резвее, чем r. Из определения следует, что полный дифференциал функции равен

z = ADx + BDy

При малых Dх и Dу имеет пространство равенство Dz»dz.

Опр. Если функция z=f(x,y) имеет полный дифференциал в точке р, то она именуется дифференцируемой в данной точке.

Аксиома. Нужные условия дифференцируемости функции.

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р, то она имеет личные производные в данной точке и при всем этом выражение поного дифференциала А = ¶z/¶xB = ¶z/¶y, т.е. полный дифференциал быть может записак в виде:

dz = ¶z/¶x Dx + ¶z/¶y Dy

Док-во: По определению дифференцируемости приращение функции быть может записано в виде:

Dz = ADx+BDy +a при любом Dх и Dу.

Разглядим 2 личных варианта

1)Dх¹0 Dу = 0

При всем этом Dz=ADx+a /Dx и перейдем к лимиту. Полное приращение функций преобразуется в личное приращение.

Lim Dxz/Dx = Lim A+a/Dx

Dx®0 Dx®0

¶z/¶x= A+Lim(Dx®0)a/Dx =0 т.к. r=Dх

В итоге получаем А=¶z/¶x

2)Dx=0 Dy¹0

При всем этом аналогичным образом получим, что В=¶z/¶y

Аксиома подтверждена. Как следствие — полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:

dz=¶z/¶x·Dx+¶z/¶y·Dy, если при всем этом учитывать, 100 приращение независящих переменных х и у равны их дифференциалам Dx=dx, Dy=dy, то совсем получим:

dz=¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy

Аксиома 2. Достаточное услови дифференцируемости функции.

Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные личные производные, то она дифференцируема в данной точке, т.е. она имеет полный дифференциал.

Полный дифференциал для функций нескольких переменных.

Для функций почти всех переменный полный дифференциал определяется аналогично, при всем этом:

u=f(x,y,z,…,t)

du=¶u/¶x·dx+¶u/¶y·dy+¶u/¶z·dz+…+¶u/¶t·dt

Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть задана функция z=f(x,y) разглядим ее полное приращение.

Dz=f(x+Dx,y+Dy) — f(x,y)

При малых Dх и Dу -Dz»dz-

f(x+Dx,y+Dy) — f(x,y) »¶z/x¶·Dx+¶z/¶y·dy®

f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy — формула для приближенных вычислений.

Эта формула дозволяет вычислять приближенное

Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) — именуется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] — непростая функция от t.

Аксиома. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то непростая функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt+ ¶x/¶y·dy/dt [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение Dt, при всем этом х=х(t) получит приращение Dх, а у=у(t) -Dу, в итоге переменная z=f(x,y) получит приращение Dz, т.к. z(х,у) — дифференцируемая функция, то это приращение быть может представлено в виде:

Dz=¶z/¶x·Dx + ¶z/¶y·Dy + a

разделим на Dt и перейдем к лимиту

Lim(Dt®0)Dz/Dt = ¶z/¶x·Lim(Dt®0)Dx/Dt +

+ ¶z/¶y·Lim(Dt®0)Dy/Dt + Lim(Dt®0)a/Dt

dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt + ¶z/¶y·dy/dt + Lim(Dt®0) a/r·r/Dt — 0

r=ÖDx2+Dy2Ø

Lim(Dt®0)a/r=0 — по определению дифференциала.

Lim(Dt®0)r/Dt = Lim(Dt®0)Ö(Dx/Dt)2+(Dy/Dt)2Ø=

=Ö(dx/dt)2+(dy/dt)2ع¥

Формула [**] подтверждена.

Разглядим личный вариант сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] заместо t-х, получим

dz/dx= ¶z/¶x·dx/dx+ ¶z/¶y·dy/dx

dz/dx= ¶z/¶x+ ¶z/¶y·dy/dx [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t) -z=z(r,s,..,t) — cложная функция.

При всем этом формула [**] воспринимает вид:

¶z/¶r=¶z/¶x·¶x/¶r+¶x/¶y·¶y/¶r

¶z/¶s=¶z/¶x·¶x/¶s+ ¶z/¶y·¶y/¶s [****]

Лекция №3

Дифференцирование функций, данных неявно.

Опр. Функция z=f(x,y) наз. Данной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=ez — это равенство задаем некую функцию z=f(x,y), которую недозволено выразить в полном виде.

x2+y2+z2=0 — не задает никакой функции.

Аксиома: Если ф-я F(x,y,z) — непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по zFz(x,y,z)¹0, то равенство F(x,y,z)=0 совершенно точно описывает в неявном виде функцию z=f(x,y), при всем этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

¶z/¶x=- F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

¶z/¶y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz

F(x0,y0,z0)=0-dF=0-

¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz=0

dz=-(¶F/¶x)/(¶F/¶z)*dx-(¶F/¶y)/(¶F/¶z)*dy

С иной стороны:

z=f(x,y), dz=¶z/¶x*dx+¶z/¶y*dy

Сравнивая

и —

¶z/¶x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)

¶z/¶y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)

Личные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее личные производные.

¶z/¶x=f¢x(x,y)

¶z/¶y=f¢y(x,y)

В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно находить их личные производные. При всем этом получаем часные производные 2-ого и наиболее порядков.Производные, в каких дифференцирование делается по различным переменным, именуются смешанными.

Аксиома: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные личные роизводные 1-го порядка, отличающиеся лишь порядком диф-я равны.

¶2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x — в следствии этого, при обозначении смешанных личных производных последовательность диф-я не указывается.

¶nz/¶xn-2¶y2

Экстремумы функции 2ух переменных.

Разглядим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р0(x0,y0) — внутренняя точка данной области.

Опр. Точка р0 наз. Точкой max функции, если в некой окресности данной точки производится неравенство:

f(x,y)< f(x0,y0)

min- напротив

Аксиома: Нужное условие существования экстремума функции в точке р0.

Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и имеет в данной точке экстремум, то часные производные функции в данной точке равны нулю.

f¢x(x0,y0)=0

f¢y(x0,y0)=0

Пусть в точке р0 функция добивается max. Разглядим часную производную данной функции по у.

f¢y(x,y)=j¢(у)

При нахождении данной личной производной мы имеем дело с функцией, зависящей лишь от х, при всем этом эта функция в точке р0 добивается max, потому по аксиоме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

j¢( y0)=0 ®f¢y(x0,y0)=0, аналогично по х.

Опр. Точка р0 при всем этом наз. стационарной точкой (в какой часные производные равны нулю).

Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать лишь в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция добивается экстремума, т.к это лишь нужное условие, но недостающее условие.

Аксиома: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка данной функции

r=¶2z/¶x2 s=¶2z/¶x¶y t=¶2z/¶y2

Вычислим в точке р0

При всем этом если r>0 р0 -min; r<0 р0 -max

Если rt-s2<0 — экстремума нет.

rt-s2=0 — экстремум вероятен, требуются доп исследования.

Определение большего и меньшего значения функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0 — уравнение границы Д.

Требуется отыскать наибольшее и меньшее значения ф-ции в данной области.

Эти значения функция может достигать или в экстремальных точках снутри области, или на границе области, потому решение задачки делится на 2 шага:

1.Поначалу находим стационарные точки снутри области. В этих тосках вероятны экстремумы. Вычисляем зачение данной функции в данной точке.

2.Определяем наиб. и наим.

3.Сравниваем приобретенное

Нахождение большего и меньшего значения на границе области Д.

Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 -y=y(x) — на гр. обл. Д

z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) — является сложной функцией.

нужно отыскать min и maxz(x) на границе. Для этого нужно отыскать экстремумы снутри области (довольно отыскать точки, где вероятны экстремумы и вычислить

Леция №4

Определение интеграла по фигуре.

Пусть дана фигура G , р — текущая точка на фигуре.

f(p) — данная на фигуре G

Выполним след. операции:

1.Разобьем G на кусочки: DG1, DG2,…, DGn, — меры кусков.

2.Снутри всякого кусочка выберем по 1 точке р1, р2, р3…

3.Вычисляем

4.Составляем сумму произведений

f(p1)* DG1+ f(p2)* DG2+… +f(pn)* DGn=(n/i=1)åf(pi)*DGi —

эта сумма именуется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n

Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) именуется предел интегральных сумм данной функции, когда n®0

òGf(p)dG=Lim(n®¥)*(n/i=1)åf(Pi)*DGi

Если этот предел существует и независит от методов разбиения при условии, что поперечникы кусков при всем этом стремятся к нулю.

Поперечником кусочка именуется его наибольший линейный размер.

Max dim DG ®0

Cвойства интеграла по фигуре.

1.Итеграл по фигуре от единичной функции равен мере фигуры.

òGdG=G- мера фигуры

Док-во: по определению

òGdG=Lim(n®¥)*(n/i=1)å1*DG=G- как сумма мер всех кусков.

¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥òòòòòòòòåååååå

]]>