(5 оценок, среднее: 4,80 из 5)
Загрузка...
Учебная работа. Реферат: Математика в средние века
Большая часть богословов Средневековья не одобряло древнюю мудрость; о ученых-исследователях гласили, что они » обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»> обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»>мозг собственный ставят в Бога пространство«. Но в монастырях сохранилось почтение к старым рукописям: монахи переписывали их дословно, не вникая в смысл того, что написано. Таковым методом почти все заслуги ученых эллинов либо римлян сохранились в течение веков и достигнули новейших мыслителей, пройдя через огромное количество невежд.
Пытливые представители всякого новейшего народа, включаясь в мировую культуру, были обязаны осваивать древнейшую мудрость без помощи других — без помощи старших коллег. Эта работа занимала века и всасывала все силы новейших ученых. Потому в большинстве государств новейшего мира дело не дошло до уникальных открытий вроде тех, которые сделали эллины. В средневковом мире нехватало городов-республик, схожих полисам Эллады; пока они не возникли, наука развивалась весьма медлительно.
Из всех ойкумен Земли Индия оказалась менее затронута переселением народов. Не умопомрачительно, что конкретно тут в 6 веке н.э. расцвела самобытная математическая школа. Познакомившись с достижениями эллинов, индийцы были удивлены: какая совершенная у их геометрия, и какая неловкая математика! Ужаснее всего греческая система записи чисел: при помощи букв, без всякой связи с обычным счетом на пальцах. нужно связать обозначения чисел с процедурой счета! Индийские ученые сделали это, создав позиционную десятичную систему счисления.
1-ый шаг к данной для нас цели сделал около 500 года юный математик Ариабхата из городка Кусумапура. Он начал изображать любой разряд в десятичной записи целого числа парой букв. Согласная обозначала цифру, а гласная — номер разряда, так что знак ВА означал В*10.. Эти пары букв записывались по возрастанию степеней числа 10. Но различить такое слово-число в обыкновенном тексте было не попросту; потому скоро начертания букв-цифр были изменены, и возникли 1-ые десятичные числа. Нуля посреди их еще не было — но скоро пришлось его ввести, для удобства чтения десятичной записи. Через 100 лет опосля Ариабхаты его соотечественник Брахмагупта уже свободно оперировал с отрицательными числами и нулем и решал целочисленные уравнения с таковым же искусством, как Диофант.
Оставалось разнести эту полезную новинку по всему свету. здесь самую важную роль сыграл современник Брахмагупты — пророк Мухаммед из Мекки. Он сам и почти все его сподвижники были в равной мере вояками и негоциантами. Потому как арабы сразили Иран и вторглись в Индию (в 660-е годы), они сходу оценили индийскую систему счета и переняли ее. Скоро позиционная система счисления распространилась во всем арабском Халифате — от Индии до Андалузии (будущей Испании), от Египта до Поволжья. С того времени во всем мире (не считая Индии) десятичные числа именуют «арабскими». Но, естественно, скорость усвоения данной для нас новинки различными народами зависела от их экономического развития.
В конце 8 века мировое научное первенство перебежало из Индийского мира в Исламский мир, центром которого стал Багдад, расположенный на Тигре — поблизости развалин Вавилона. Основоположник Багдада — халиф Мансур (707-775) — желал, чтоб его столица затмила великолепием и ученостью Александрию и Константинополь. Но ученых арабов в ту пору было еще не достаточно; ведомую роль в новеньком «Доме Мудрости» в Багдаде игрались сирийцы и персы, согдийцы и греки, принявшие Ислам.
Больших фурроров в арифметике достигнул согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (другими словами, родом из Хорезма — с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимчиком ученейшего из халифов — Маамуна (отпрыска известного Гаруна ар-Рашида). Основная книжка Хорезми названа робко: «учение о переносах и сокращениях», другими словами техника решения алгебраических уравнений. По арабски это звучит «Ильм аль-джебр ва»ль-мукабала»; отсюда вышло наше слово «алгебра». Другое известное слово — «метод», другими словами точное правило решения задач определенного типа — вышло от прозвания «аль-Хорезми». 3-ий узнаваемый термин, введенный в арифметику известным согдийцем — это «синус», хотя в этом деле не вышло без курьеза.
Геометрический смысл синуса — это половина длины хорды, стягивающей данную дугу. Хорезми именовал эту вещь прекрасно и буквально: «тетива лука»; по арабски это звучит «джейяб». Но в арабском алфавите есть лишь согласные буковкы; гласные изображаются «огласовками» — черточками, вроде наших кавычек и запятых. Не много сведущий человек, читая арабский текст, часто путает огласовки; так случилось с переводчиком книжки Хорезми на латынь. Заместо «джейяб» — «тетива» — он прочитал «джиба» — «бухта»; по латыни это пишется «sinus». С того времени европейские арифметики употребляют это слово, не заботясь о его изначальном смысле.
В следующие века ученые Близкого и Среднего Востока продолжали развивать наследство Эллады, стараясь соединить его с новеньким алгебраическим учением. При всем этом индийские арифметики больше уклонялись в математику, следуя по стопам Диофанта. Напротив, арабские ученые следовали по пути Архимеда. Они пробовали разобраться в новеньком мире кубических уравнений: систематизировали их, выделяя те, которые решаются так же просто, как квадратные уравнения.
Наивысших фурроров в данной для нас области достигнул ученый поэт Омар Хайям из Нишапура (1048-1131). Стихи он писал по персидски, научные трактаты по арабски, а в служебных делах воспользовался тюркским языком. В 11 веке тюрки-сельджуки захватили огромную часть Ирана и византийсих владений в Малой Азии. На этих землях новейшие народы осваивали и развивали наследство всех предшественников — от вавилонян до арабов.
Потерпев беду в прямом поиске корней случайного кубического уравнения, Омар Хайям открыл несколько методов приближенного вычисления этих корней. Это была блестящая мысль: добраться до неизвестных чисел, используя отлично знакомые кривые! Как (в 17 веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею — обрисовать всякую кривую при помощи чисел — родилась аналитическая геометрия, в какой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с приятной геометрией. Предчувствуя эту связь, Омар Хайям поставил много увлекательных вычислительных опытов. Он отыскал приближенные методы деления окружности на 7 либо 9 равных частей; составил подробные таблицы синусов и с большенный точностью вычислил Пи.
Хайям додумался, что это число и ррациональное, и даже не квадратичное — но обосновать эту догадку не сумел. Не удались Хайяму и пробы обосновать 5-ый постулат Евклида о параллельных прямых. Не умопомрачительно, что на отдыхе от таковых трудов Омар Хайям писал достаточно печальные стихи…
Тем временем на далеком востоке Евразии остальные арифметики и астрологи пробовали понять те же потаенны природы на собственном научном языке. В Элладе этот язык состоял, в главном, из чертежей — а в Китае из иероглифов. В сути, иероглиф — это тоже чертеж особенного рода, составленный из обычных значков: любой значок изображает одно обычное понятие. К примеру, символ Шу значит «число», а символ Сюэ — «учение«. Но их сочетание — Шу Сюэ — обозначает не только лишь учение о числах (другими словами, математику), да и всю математическую науку. Как в таком случае именовать геометрию» Весьма просто: Цзи Хэ Сюэ — «учение о том, сколько чего же». Другими словами, геометрию китайцы принимали как науку, рассчитывающую характеристики фигур — и лишь!
С данной для нас точкой зрения наверное согласился бы ученый из старого Вавилона; но Пифагор либо отвечал на таковой вопросец коротко и просто: ничего не надо выяснять! Вся сущность природы и науки уже выражена в иероглифах. Небо дарило их нашим праотцам 20 веков вспять — и ничего здесь ни убавить, ни прибавить. Можно сочетать известные иероглифы в новеньком порядке; но изменять их смысл недозволено — это противоречит законам природы и воле Неба!
Сравнивая этот консерватизм китайцев с новшеством эллинов либо индийцев, невольно изумляешься: как почти все зависит от успешной системы обозначений! Переход от смысловых иероглифов к звуковому алфавиту освободил Элладу от груза мертвых традиций Египта либо Двуречья. Эллинам пришлось многому обучаться поновой — зато они смогли усвоить древнейшую мудрость без огромного количества сопутствующих заблуждений. Китайцам не выпало это тяжелое Счастье. Их иероглифическая культура устояла даже под напором переселения варварских народов — опосля крушения империи Хань. В итоге мудрецы средневекового Китая остались в плену древней натурфилософии из всех, сохранившихся на Земле. Потому заочное соперничество меж математиками Запада и Китая припоминает состязание 2-ух бегунов — 1-го в легком платьице, а другого — в кольчуге. Финал соревнования ясен: в древнюю эру эллины вырвались далековато вперед. В Средние века разрыв меж китайцами и арабами приметно сократился, но в Новое время западные европейцы решительно обогнали собственных ближневосточных (и тем наиболее — дальневосточных) коллег.
В течение всего Средневековья медлительно развивавшаяся наука Исламского мира служила вроде бы «холодильником открытий». тут высшие заслуги Эллады дожидались дерзких и опытных юзеров и продолжателей. Напротив, застывшая ученость имперского Китая стала в ту пору «холодильником интеллигенции». Лишь в 18 веке, когда новейшие дерзкие европейцы прорвались в Китай, они вызвали там просыпание величавых природных сил. К 20 веку китайские ученые вновь вошли в число передовых мозгов населения земли: это выразилось и в нобелевских премиях, и в математических открытиях.
Вернемся в Европу, где опосля распада Римской империи наступили «Черные века». недозволено сказать, что в эту пору пропала государственность либо закончилась торговля. Напротив, они процветали в Восточной Римской державе, сделанной новенькими грекоязычными христианами — ромеями. Их нередко именуют и византийцыми — в честь старого городка Византия на Босфоре, который был тогда переименован в Константинополь и прозван «Вторым Римом». Умением плавать по морю и строить городка ромеи не уступали своим предкам-эллинам; в муниципальных делах они подражали своим предшественникам — римлянам.
Но любви к натурфилософии либо к четким наукам ромеи от эллинов не унаследовали; для их основным видом умственного спорта сделалось Богословие. Монахи и цари косо смотрели на «языческую премудрость» эллинов. Не случаем самый прославленный правитель Византии — Юстиниан 1 (483-565) начал свое правление с того, что закрыл в 529 году Академию в Афинах. Закончилась научная работа и в Александрийском Музее. В следующие века христианские и исламские богословы гневно спорили меж собой, но сходились во мировоззрении, что «из увлекшихся арифметикой только немногие не сделались вероотступниками и не скинули с голов собственных узду благочестия». Чудилось, что золотой век греческой науки никогда не повторится в Европе.
Но всему приходит конец — даже темным векам. Через 6 веков опосля победы христианства — в 10 веке — в Западной Европе началась еще одна культурная революция. Как до этого в Элладе, она охватила юные народы: французов и германцев, бургундцев и чехов, которым от роду было не наиболее 100 лет. Вновь опорой культурного взлета стал новейший образ жизни — но в сей раз не городской, а феодальный. Заместо былых республик-полисов в Европе плодились республики-монастыри и рыцарские замки. В тех и остальных властвовали серьезный утомившись и трудовая дисциплина; но во всех вопросцах, не охваченных Священным Писанием, допускалась большая свобода мысли. «Мы наш, мы новейший мир построим» — такой стал настрой мысли диковатых западных европейцев, не стесненных ни царской, ни папской властью.
Рыцари стремились в крестовые походы, чтоб помериться силой с язычниками либо мусульманами и разбогатеть. Почти все монахи стремились крестить иноверцев, перевоплотить их в свое подобие. Но остальные желали о богатствах другого рода — тех, которые питают пытливый обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»> обычно расположенный в головном отделе тела и представляющий собой компактное скопление нервных клеток и их отростков»>мозг. Вот, лежит за Пиренеями таинственный Исламский мир, обильный ремеслами и ученостью. Как отлично, что Карл Величавый отвоевал у мусульман пограничную Барселону! сейчас в этом городке с католиками живет много ученых мусульман и иудеев. Пытливый христианин может многому у их научиться.
Так рассуждал французский монах Герберт из Орильяка — 1-ый проф ученый церковной Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем в мире. Астрономия и математика, изготовка бумаги и музыкальных инструментов — во всем этом обитатели Андалузии превосходили наилучших мастеров Франции либо Италии, и все это Герберт старался перенять. Через 5 лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии — Кордову — и три года обучался у местных мудрецов. Ему не раз давали принять Ислам и стать цивилизованным человеком. Но Герберта заинтересовывало лишь 2-ое из этих предложений. Соединить арабскую мудрость, ученость старых греков и римлян с христианским богословием; создать этот сплав достоянием всех католиков — такую цель поставил перед собою отважный и упрямый Герберт из Орильяка.
Возвратившись во Францию, Герберт устроил в городке Реймсе училище по собственному вкусу. В нем юношей учили латыни и греческому, а желающих — также арабскому и древнееврейскому языкам. Не считая этого, преподавались астрономия и музыка, математика на базе арабских цифр. Все нужные приборы строил сам Герберт при помощи учеников. А какую библиотеку он привез из-за Пиренеев! В ней были учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев сделался владыкой Франции Робертом 2; тогда Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году иной ученик Герберта — Оттон 3 — стал правителем Римско-Германской империи. Здесь уж Герберту пришлось стать римским отцом — Сильвестром 2.
В Риме новейшего папу почти все восприняли, как колдуна. Ведь он умопомрачительно стремительно считает при помощи арабской доски — абака — не пользуясь римскими цифрами! Да еще умеет предсказать финал бросания костей в игре! Он сам смотрит за движением звезд, строит благозвучные органы — хотя богословских споров избегает. Вприбавок, папа вкупе с молодым царем раздает царские короны новокрещеным варварам Европы — норвежцам, мадьярам. Необычный человек на престоле святого Петра!
Вообщем, Политика Сильвестра 2 была успешна, и римляне начали понемногу привыкать к ученому отцу. Но опосля погибели о нем пустили смешной рассказ: как будто в полночь на папском надгробии сами собой подпрыгивают игральные кости! Пятнадцатью веками ранее эллины сочинили много схожих историй о Фалесе из Милета…
В отличие от Фалеса, пример Герберта не сходу сделался для европейцев предметом подражания. Нехватало широких контактов меж Католическим и Исламским мирами. Они начались лишь в эру Крестовых походов — в конце 11 века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнейшую столицу — Толедо. Скоро туда потянулись почти все последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Великобритании, Герардо из Кремоны в Италии. Они все стремились перевести на общедоступную латынь с арабского либо с греческого языка труды старых ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел «Начала» Евклида и ряд книжек Хорезми; Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.
Длинноватое заглавие книжки Птолемея («Мегале Арифметике Синтаксис») арабы уменьшили до первого слова: вышло «Величие» — Аль-Магест. Новеньким европейцам понравилось 2-ое слово — «Учение» (Математика). И вот с 12 века все европейцы именуют так науку о числах и фигурах.
1-ое столетие крестовых походов расширило кругозор весьма почти всех европейцев. В особенности отличились обитатели приморских городов Италии: Венеции, Генуи, Пизы. Местные мореплаватели переправляли крестоносцев и паломников в Святую землю, а негоцианты наживались, продавая добычу крестоносцев и другие «восточные» продукты по всей Европе. Равномерно почти все городка церковной Италии перевоплотился в торговые республики, похожие на полисы древней Эллады. С начала 13 века в этих республиках видна научная самодеятельность не только лишь церковников, да и мирян — до этого всего, негоциантов.
В 1202 году возник 1-ый «самодельный» учебник математики для широкого читателя — «Книжка Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180-1240), с юношества причастный к торговым делам собственного отца. Математике он научился в Алжире у местных мусульман, а сейчас сам учил единоверцев новенькому десятичному счету. Позже Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «книжку квадратов». В их в первый раз были изложены (на латыни) правила действий с нулем и отрицательными числами, также возникли именитые числа Фибоначчи.
Тем временем на папский престол взошел 2-ой ученый человек: Лотарио ди Конти ди Сеньи (1160-1216), выпускник Парижского института. Потомки запомнили его под суровым именованием Иннокентия 3 — «Раба рабов Божьих», помыкавшего королями и свергавшего баронов либо князей по всей Европе. Лишь повелитель Франции Филипп 2 Август порою осмеливался противоречить суровому отцу — в тех вариантах, когда он мог опереться на авторитет Парижского института. Так 1-ые католические институты заявили о собственной независимости от хоть какой духовной либо светской власти. Вместе с городами-республиками Италии, они сделались рассадником независящей учености в Европе. Процветающий Католический Интернационал начал прогуляться на созвездие полисов Эллады.
Английские институты заявили о для себя посреди 13 века. Тогда британцы, делая упор на свою первую конституцию (Величавую Хартию Вольностей), попробовали взять под контроль ветреного короля Генри 3 и его жадных победителей. Духовным фаворитом этого движения стал ученейший богослов — Роберт Гросетест («Головастый»), епископ Линкольна (1175-1253). Он увлекся оптикой и пришел к мысли, что весь мир появился из света — самой совершенной формы материи. Наиболее грубые тела вышли при застывании света. Таковым образом, Гросетест представил мир как итог игры 2-ух начал — света и порядка, либо (в понятиях 20 века) энергии и симметрии. Ни один современный физик либо математик не станет с сиим спорить!
Подобно древним натурфилософам, Гросетест не мог высчитать свою физическую модель. Зато иная загадочная вещь — бесконечность — поддавалась расчету, и Гросетест увлекся сиим делом. Он начал суммировать нескончаемые ряды чисел, и скоро научился различать сходящийся ряд от расходящегося. Да и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест увидел, что сумма натуральных чисел вырастает еще медлительнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов — медлительнее, чем сумма поочередных степеней двойки. Так 1-ый из христиан просочился в область нескончаемо огромных и нескончаемо малых величин — вослед за Архимедом и на 4 столетия опережая Ньютона. Не плохая компания для богослова!
Подобно Платону и Аристотелю, Гросетест весьма хлопотал о воспроизводстве ученого сословия в Великобритании. Он считал, что древних классиков (в особенности Аристотеля) необходимо учить в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, изготовленным с арабских переводов оригинала. Для этого Гросетест пригласил в Великобританию ученых греков — беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году. Так в Оксфорде и Кембридже возникли 1-ые греческие доктора. Этот посев принес примечательные плоды. Посреди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор — устроитель первого выборного парламента в Великобритании. стал иной богослов — Фома Аквинский (1225-1274). Этот мрачноватый итальянец шел по стопам Аристотеля и Евклида, пытаясь выложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.
В отличие от Гросетеста, Фома не признавал рассуждений о бесконечности. Он был уверен, что у всякой вещи в природе есть исток, в каком она добивается наивысшего совершенства. Первоисток всех вещей — другими словами, более совершенную вещь в природе — Фома отождествил с Богом. А можно ли измерить степени совершенства различных природных объектов и самого Бога» Таковая идея не казалась Фоме ложью — но ответить на этот вопросец он не сумел. Было ясно, что узнаваемых чисел нехватает для такового измерения. Лишь в 19 веке европейские арифметики Эварист Галуа и Феликс Кляйн научились определять совершенство (другими словами, симметрию) природных тел при помощи особенной ветки арифметики — теории групп.
Итак, в 13 веке католические богословы научились задавать природе такие вопросцы, которые востребовали сотворения новейших разделов арифметики. Этот уровень познаний можно сопоставить с уровнем пифагорейцев. Скоро те же богословы достигнули уровня колебаний Зенона из Элеи. с старыми феноменами о Ахиллесе и черепахе и о делении отрезка напополам возникли парадоксы о Буридановом ишаке и о неподъемном камне.
Жан Буридан (1300-1358) был доктором Парижского института (Сорбонны) в тяжкие годы Столетней войны меж Англией и Францией и раскола в церковной церкви. Повелитель Франции попал в плен к британцам; в Риме и в Авиньоне правили двое пап, не признающих и проклинающих один другого. В этих критериях «Святая Сорбонна» сделалась высшим авторитетом церковной мысли: ее ученый совет не раз выносил приговоры в спорах меж графами либо кардиналами.
к примеру, Буриданов ишак стоит меж 2-ух схожих кормушек с сеном. Какую из их он изберет, не зная понятий «правое» и «левое»» Либо всевластный Бог: может ли он сделать таковой гранит, который он сам не сумеет поднять» возможно, эти вопросцы родились из студенческих шуток — но отвечать пришлось докторам, и это было совершенно не попросту. Ведь спор шел не в тиши монашеской кельи, а в пылу ученого диспута — в присутствии сотен остроумных болельщиков. Согласно преданиям, Буридан был непобедим в схожих спорах; за это его избрали ректором Сорбонны. Но окончательное решение таковых парадоксов арифметики отыскали только сначала 20 века — в рамках сделанной Георгом Кантором теории множеств, которую один из ее врагов именовал «не ветвью арифметики, а разделом богословия». Тяжело привыкнуть к нежданным новинкам в той области, где ты давно ощущаешь себя знатоком и мастером!
Современники больше всего уважали Буридана за то, что он переспорил папу Иоанна 22 в споре о Ужасном суде: когда человек попадает в рай либо в ад — сходу опосля погибели, либо лишь в конце света» Для ученых 20 века важнее то, что Буридан переспорил Аристотеля: он 1-ый открыл принцип инерции в прямолинейном либо вращательном движении. Позже этот постулат Буридана называли или первым законом Ньютона, или законом сохранения импульса, или описанием меньшей группы симметрий в традиционной механике. слова могут быть различными, но сущность одна: был изготовлен 1-ый шаг далее того рубежа, на котором тормознули либо спотыкнулись древние мыслители.
иной шаг в ту же сторону сделал еще один доктор Сорбонны: Раймонд Луллий с острова Мальорка (1235-1315). Он не собирался спорить с Аристотелем либо Евклидом — но он прочитал их книжки («Органон» и «Начала») очами инженера и пошевелил мозгами: можно выстроить машинку, которая будет автоматом делать все арифметические деяния с числами и логические операции над хоть какими утверждениями! Так сначала 14 века в Европе родился 1-ый проект механического компа. Выстроить его Луллию не удалось: очень низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире. Но из книжки Луллия «Величавое Искусство» видно, что создатель сознавал вероятные последствия компьютерной революции.
Раймонд Луллий вырос в Каталонии — отвоеванной у мусульман приморской части Андалузии. Он был разочарован прекращением крестовых походов: ведь юг Пиренейского полуострова все еще находится во власти мусульман, и Святая Земля вырвана ими из рук католиков. Но если мы не смогли победить иноверцев клинком — нужно победить их разумом! стремительно затмит все заслуги мусульман, и на земле наступит королевство Христа!
Эти мечты католического мыслителя до странности напоминают мечты Аристотеля: стоит эллинам покорить всех варваров, как на Земле наступят общий мир и благодать. Но Аристотель лицезрел только один путь к этому счастью — политический, через всемирную монархию Александра Македонского либо другого просвещенного завоевателя. Воображению Луллия открылся иной путь — через научно-техническую революцию. Ее зарю возвестил гром пушек: они возникли в Европе еще при жизни Луллия.
Но решающий прорыв из Средневековья в Новое время европейцы сделали, когда изобрели печатный станок с подвижным железным шрифтом. В 1454 году Иоганн Гутенберг напечатал в Майнце 1-ые 300 экземляров Библии и положил начало информационной революции — настолько же принципиальной, как возникновение алфавита в Элладе в 8 веке до н.э., либо возникновение электрических компов посреди 20 века. В 1482 году в Венеции была впрервые написана (по латыни) книжка Евклида «НГачала». Отныне для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.
]]>