Учебная работа. Реферат: Об основаниях теории множеств

Учебная работа. Реферат: Об основаниях теории множеств

П. Дж. Коэн

Высказываться о философских дилеммах теории множеств, — очевидно, не совершенно то, что высказываться о самой теории множеств. Я, по последней мере, в этом положении чувствую себя не по привычке и неудобно. Я остро ощущаю тщетность попыток сконструировать позицию, приемлемую для всех либо хотя бы для почти всех, и сразу сознаю непоследовательность и трудности моей своей точки зрения. естественно же, те, кто до меня совершали этот рискованный переход от арифметики к философии, обычно шли на это на наиболее позднем шаге собственной научной карьеры. В конце концов, к довершению проблем, практически невообразимо добавить чего-нибудть новое к этому старенькому спору. По правде, я склонен мыслить, что на такие фундаментальные вопросцы любые технические заслуги практически не проливают света — хотя, естественно, они могут воздействовать на распространение той либо другой точки зрения.

Но вот, несмотря на все эти обмолвки, я чувствую некое одушевление от способности высказать свои мысли, надеюсь, не очень догматично, и указать на происшествия, на которые, пожалуй, следует указать. Фундаментальные открытия в логике были изготовлены так не так давно, что мы ещё в состоянии делить глубочайшее волнение от этих поисков втемную. Всплеск исследовательской активности в теории множеств, о котором свидетельствует сегоднящая встреча, может быть, увеличивает наш Интерес. Тон нынешних философских обсуждений, но, как как будто поменялся. Может быть, арифметики стопроцентно выложились в исступленных спорах прошедшего, либо их аудитория утомилась от полемики, — вроде бы то ни было, на данный момент принято формулировать свою точку зрения, но не пробовать здесь же обращать слушателя в свою веру. В этом духе собираюсь выступить и я, чистосердечно уверив слушателей в собственной терпимости к чужим взорам.

Хотя я не представляю для себя, что можно было бы именовать «настоящим» прогрессом в основаниях арифметики, весьма любопытно проследить исходя из убеждений историка, как высказывались на данную тему различные поколения, и попробовать угадать, как окрашивал их представления дух времени. Сам я предпочитаю разглядывать математическую деятельность как чисто человеческое предприятие, а никак не как безличное пришествие науки, вольной от всех человечьих слабостей. Так, позиция по вопросцам оснований, которую занимает тот либо другой математик, в большенный мере определяется его воспитанием и окружением. Мне кажется, что желание принять принципы, ведущие к увлекательной и прекрасной арифметике, в прошедшем непременно преодолело различную и серьёзную критику. В этом докладе я желал бы указать на подобные тенденции, которые есть сейчас.

До этого в центре споров находились почти все вопросцы, о которых я без особенных на то обстоятельств высказываться не стану, к примеру, закон исключённого третьего. Хотя он и связан с неуввязками теории множеств, скажем, через внедрение непредикативных определений, сам по для себя он не относится к теории множеств и тут дискуссироваться не будет. Я не хочет заниматься также всеми остальными неуввязками законности внедрения исчисления предикатов, вопросцами о природе формализации арифметики и чисто философскими вопросцами, не достаточно связанными со специфичностью математического познания. Для меня важной неувязкой представляется существование безграничных совокупностей. Отношение к нескончаемым огромным количествам по традиции было аспектом размежевания математиков. Именитые логические антиномии никогда не игрались приметной роли в арифметике просто поэтому, что они не имели ничего общего с обычно применяемыми рассуждениями. Никогда не рассматривались все мыслимые объекты универсума, длины описаний и т.п. Все эти трудности принадлежат, фактически, истории развития понятия формальной системы. Подобно этому, парадоксы Зенона совсем не создают на нас воспоминания демонстрации серьёзных проблем, ради чего же они и были выдуманы. В общем, я склонен считать, что почти все из этих заморочек исторически соединены с переходным периодом от традиционной философии к сегодняшней арифметике.

Нет сомнения, что в ряде всевозможных случаев нескончаемыми огромными количествами можно воспользоваться без особенных опасений. Разумеется, всё равно, сказать ли, что неким свойством владеют все целые числа либо все элементы огромного количества целых чисел. Буквально также, сказать, что n принадлежит огромному количеству четных чисел, всё равно, что сказать «n чётное». Другими словами, можно поменять внедрение неких множеств заглавием соответственных параметров. Если б это удавалось создать постоянно, у нас осталось бы не достаточно оснований для беспокойства. В теории чисел, желая избежать апелляции к понятию случайного огромного количества целых чисел, мы должны формулировать принцип индукции раздельно для всякого характеристики, которое можно выразить. Но чрезвычайная сложность теории множеств, в особенности её непредикативный нрав, мешают просто представлять для себя огромного количества как стенограмму параметров. Всё же самые массивные и соответствующие теоремы теории множеств — теоремы степени и подстановки — обрисовывают огромного количества качествами, а гёделевская теория конструктивных множеств указывает, что некую модель теории множеств можно получить, рассматривая совершенно лишь огромного количества, в неком смысле отвечающие свойствам. То событие, что теорема подстановки есть по сути нескончаемая схема аксиом, в определённых отношениях является недочетом. Вправду, создаётся воспоминание, что мы позволяем разглядывать только некие характеристики, заместо того чтоб указать базовое описание методов построения множеств. естественно, всё это соединено с аксиомой Гёделя о неполноте, согласно которой никакая естественно аксиоматизируемая система не быть может полной. Эта аксиома является величайшим препятствием для хоть какой пробы стопроцентно осознать природу безграничных множеств. сразу, демонстрируя, что высшие бесконечности отражаются в теории чисел, ибо разрешают нам обосновывать недоказуемые без их утверждения, аксиома Гёделя очень затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно просто отторгнуть. Наша далековато идущие последствия, чем независимость личных утверждений вроде догадки континуума. Конкретно это лежит в базе моего пессимистического представления о том, что хоть какое техническое достижение и в дальнейшем не прольёт света на главные философские трудности.

Рядовому арифметику, желающему только увериться в том, что его дело стоит не на песке, самым симпатичным методом избежать проблем может показаться программка Гильберта. С данной нам точки зрения математика есть формальная игра, в какой следует хлопотать только о непротиворечивости. С течением времени, когда операционный подход распространился на остальные области, скажем, физику, привлекательность данной нам позиции, может быть, возросла. Можно работать только с конкретно данными объектами, а в арифметике к таковым относятся быстрее формальные языки, чем нескончаемые огромного количества. Вправду, гильбертовская программка формализации как и раньше остаётся единственной полностью четкой (мы не говорим правильной) точкой зрения в этих вопросцах. Вот убедительный пример того, как {само по себе} течение времени не достаточно воздействовало на возникновение новейших и уникальных концепций в основаниях. Но, очевидно, формализму присущи свои трудности, и до этого чем возвратиться к нему, мы разглядим его главную кандидатуру, точку зрения, которую можно именовать платонизмом, а мы предпочтём именовать реализмом.

Приверженец реалистической философии стопроцентно воспринимает ценности классической арифметики. Все вопросцы типа догадки континуума допускают положительный либо отрицательный ответ в настоящем мире безотносительно к их независимости от той либо другой системы аксиом. Возможно, большая часть математиков предпочли бы эту точку зрения. В ней начинают колебаться только опосля понимания неких проблем теории множеств. Если эти трудности в особенности смущают математика, он торопится под прикрытие формализма, предпочитая, но, в спокойное время обретаться кое-где меж 2-ух миров, наслаждаясь наилучшим, что есть в обоих. основное преимущество реализма заключается в том, что он устраняет от необходимости доказывать теоремы теории множеств. Нет нужды устанавливать их непротиворечивость и, что кажется мне настолько же принципиальным, нет нужды разъяснять, почему конкретно эти теоремы оказались так успешными и достойными специального внимания. Соответственно наибольшая слабость формализма состоит в невозможности разъяснить, почему теоремы теории множеств, предположительно не отражающие никакой действительности, способны обосновывать арифметические утверждения, не доказуемые при помощи наиболее финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, обязан будет признать хоть какой реалист, состоит в неспособности разъяснить вечную последовательность новейших аксиом, вроде высших аксиом бесконечности. Непременно, самый застарелый реалист содрогнётся, рассматривая кардиналы довольно недосягаемого типа. А есть ещё теоремы, как теорема о измеримом кардинале, которые посильнее всех предложенных аксиом бесконечности и относительно которых, по-видимому, нет ни мельчайших интуитивно убедительных свидетельств в пользу принятия либо отвержения. Недавнешние результаты о независимости также кидают вызов реалистической позиции. Хотя некие ощущают, что какая-то интуитивно применимая теорема сумеет в конце концов разрешить делему континуума и подобные ей вопросцы, нет ни мельчайшей надежды на таковой финал для теоремы о измеримом кардинале, которую ревностные теоретико-множественники, возможно, обязаны будут признать в качестве теоремы, ни к чему не сводимой. Но даже тут позиция реалистов завиднее, чем формалистов, поэтому что для крайних есть даже неразрешимые теоретико-числовые предложения, скажем, Consis (ZF). Жизнеутверждающая точка зрения реалиста может состоять в том, что утверждение Consis (ZF + измеримый кардинал) как-нибудь сведётся к вопросцу о непротиворечивости довольно мощных предложений такого же типа, что теоремы бесконечности. Самая жизнеутверждающая точка зрения заключается в надежде, что хоть какой вопросец теории чисел решается при помощи пригодной теоремы бесконечности.

Исторически математика как как будто не склонна вытерпеть неразрешимые предложения. Такое предложение быть может возведено в ранг теоремы и стать обширно принятым опосля неоднократного потребления. Такая в общих чертах судьба теоремы выбора. Я склонен оценить эту тенденцию просто как форму оппортунизма. Очевидно, это безличный и очень конструктивный оппортунизм. Тем не наименее, Вера в ценность и значимость арифметики не обязана стопроцентно изглаживать из нашего сознания добросовестную оценку беспокоящих заморочек. В случае с догадкой континуума (КГ) эта тенденция может, хотя и с малым вероятием, привести теорию множеств к расщеплению на несколько веток зависимо от принятой мощности континуума. несколько цинично можно сказать, что оппортунизм решает философские трудности так, чтоб развитие арифметики давало заработок может быть большему числу математиков. В крайнее время много занимались вопросцами независимости в теории множеств. Умопомрачительный эффект заключается в том, что большая лёгкость в воззвании с этими вопросцами привела к бóльшей вере в «действительность» математических объектов теории множеств. Было бы воистину грустно, если б эта волна фуррора завершилась полным пренебрежением к философским дилеммам догадки континуума и смежных вопросцев как непоследовательным. Очевидно, не плохая математика красива, тогда как философские дискуссии по большей части бесплодны и уж, естественно, не красивы.

С реалистической позиции можно гадать о судьбе КГ. Чудилось бы, лишь теоремы типа теоремы конструктивности, ограничивающие природу рассматриваемых множеств, могут разрешить её. С иной стороны, не достаточно надежды, что таковая теорема будет принята в качестве интуитивно тривиальной. Наиболее правдоподобно, что в качестве теоремы будет принято её отрицание. Оправдание этого может состоять в том, что континуум, данный как огромное количество всех подмножеств, не быть может достигнут хоть какими средствами, строящими кардиналы, исходя из наименьших, на базе теоремы подстановки. Таковым образом, континуум следует считать огромным, чем 1
; n
, ω
и т.д. Очевидно, всё это — незапятнанная спекуляция. Технические последствия принятия разных аксиом, связанных с КГ, уже в некий мере завлекли внимание. Хотя эта работа может представлять огромную эстетическую Ценность, в высшей степени неправдоподобно, что она способна привести к прояснению базовых философских заморочек.

К этому моменту обязано быть ясно, что я выбираю формализм. Чуть ли можно именовать этот выбор мужественным, — возможно, большая часть узнаваемых математиков, высказывавшихся на этот счёт, в той либо другой форме отторгали позиции реализма. Сконструировать свою точку зрения совсем очевидно меня побудила речь Абрахама Робинсона в Иерусалиме в 1964г. Она вынуждает принять на себя тяжёлую ношу. Чуть ли не тяжелей остального необходимость допустить, что КГ, — может быть, 1-ый приходящий в голову принципиальный вопросец о безграничных огромных количествах — не имеет внутреннего смысла. жизнь была бы еще приятнее, не будь гильбертовская программка потрясена открытиями Гёделя. Я твёрдо верю, что программка Гильберта ни в котором смысле не быть может восстановлена. Подтверждения непротиворечивости постоянно вызывают острую неудовлетворённость и очевидно сохраняют черты грешного круга.

Как уже говорилось, величайшая слабость формализма состоит в необходимости разъяснить удачливость чисто формальных аксиом, составляющих теорию множеств. Моя точка зрения, не один раз выражавшаяся и до этого, заключается в том, что эти теоремы экстраполируют язык наиболее финитистской арифметики. Тенденции к такому расширению весьма сильны. Для пояснения разрешите мне поначалу напомнить ситуацию, в которую рано либо поздно попадает любой логик. Беседуя с квалифицированным математиком, не знающим логики, обнаруживаешь трудность общения, чуть только речь входит о формальных системах и анализе структуры формул. Математик еще охотнее будет гласить о моделях какой-либо системы аксиом, нежели о огромном количестве всех формул, доказуемых исходя из их. Очевидно, согласно аксиоме о полноте обе точки зрения эквивалентны. Но имеется естественная тенденция поменять обсуждение способов и предложений обсуждением пригодных абстракций, рассматриваемых как «объекты» теории. к примеру, развитие вещественного анализа в XIX веке было отмечено конфигурацией дела к понятию функции. Поначалу функция рассматривалась как очевидное правило, сопоставляющее числа числам. В конечном счёте функция стала представляться целостным объектом безотносительно к очевидному заданию метода её вычислять. Непрерывная нигде не дифференцируемая функция Вейерштрасса заполучила те же права на существование, что и sinx. Когда Кантор в первый раз дискуссировал теорию множеств, может быть, значимая часть сопротивления была вызвана просто воззрением, что гласить можно только о тех огромных количествах, которые уже были очевидно определены. Всем нам понятно, что точка зрения Кантора восторжествовала стопроцентно. В конечном счёте главной предпосылкой этого было, может быть, удобство. Еще проще гласить о абстрактных огромных количествах, чем повсевременно хлопотать о их построении. Наиболее свежайший пример той же тенденции — теория категорий. тут молвят, скажем, о группы групп. Можно спросить, в чём преимущество выражения «G есть объект группы групп» перед выражением «G — группа». Обычный ответ заключается в том, что перенос способов из одной группы в другую и даже подтверждение общих теорем о категориях может дать подсказку весьма полезные идеи. И всё же, если я не ошибаюсь по недочету сведений о современных течениях, теоретико-множественные трудности работы с категориями не вдохновили почти всех профессионалов по теории множеств и не оказали серьёзного воздействия на логику в целом. Таковым образом, стопроцентно приняв очень непредикативную теорию множеств, внутреннюю уверительность которой мы осознаем, мы как логики наименее склонны принимать теорию категорий, корешки которой лежат в алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Хотя, может быть, имеющихся аксиом бесконечности было бы довольно для формализации теории категорий, напористый спец по ним мог бы сделать возражение, что сами группы следует считать простыми объектами. В определённом смысле они подобны классам в теории множеств Гёделя—Бернайса. И в этом случае классы, предназначенные всего только для подмены нескончаемой схемы аксиом Цермело—Френкеля, стали обширно приняты как самостоятельные объекты. иной пример того, как возможности, доставляет теорема о недосягаемом кардинале. Её принятие обычно оправдывают чисто отрицательными аргументами; мол, неразумно считать, что хоть какое огромное количество достижимо. тут усматривается аналогия с переходом от конечных множеств к нескончаемым. Совершив по индукции трансфинитную последовательность тех либо других операций замыкания, мы типо всё ещё способны двинуться далее и отыскать за этими пределами недосягаемый кардинал. Мне кажется, но, что это неубедительное рассуждение, так как оно быстрее предназначено оправдать существование обычной модели теории множеств, а эта догадка несоизмеримо слабее. Честнее было бы признать, что недосягаемые кардиналы можно принять, ибо, как показал опыт, это не ведёт к противоречиям, и мы развили некую интуицию, позволяющую надежды, что противоречие не покажется никогда.

Став на позиции формализма, я чувствую себя обязанным разъяснить, почему я не призываю отменить всю инфинитистскую арифметику. Я желал бы высказать последующее Мировоззрение: мы увлечены теорией множеств по той причине, что чувствуем наличие неформального подтверждения её непротиворечивости. Вот на чём основано это чувство: в любом определенном случае мы говорим только о специфичных огромных количествах, определённых качествами и, прослеживая противоречие в оборотном порядке, мы можем в конце концов свести его к теоретико-числовому. Внедрение непредикативных определений усложняет задачку интуиции, поэтому что неограниченная непредикативность определённо ведёт к отлично известным парадоксам. Всё же рядовая теорема подстановки даёт нам возможность начать с какого-то огромного количества упомянутую выше редукцию, ибо во вновь определяемом огромном количестве любой элемент должен быть занумерован пригодным элементом огромного количества, построенного ранее. Уже высказав Мировоззрение, что техническое развитие не приводит к прояснению основ, я не хочет пробовать отдать серьезное подтверждение непротиворечивости, основанное на каком-нибудь массивном высшем принципе, эквивалентном теории Цермело—Френкеля. Я ограничусь только наброском общей схемы, снутри которой развиваются эти интуитивные суждения.

Вот один из методов размышлять о подтверждениях непротиворечивости. Начнём с конечного числа аксиом, скажем, S1
. Для всякого огромного количества, существование которого постулируется, выберем по символу и подставим его в соответственное утверждение. Получится новенькая система утверждений S2
. Чтоб перейти к Sk
, мы избираем новейшие знаки для всех множеств, существование которых утверждалось ранее; не считая того, для всякого утверждения вида x A(x) и всякого уже введённого знака c мы добавляем A(c). Представим, что на неком шаге покажется противоречие меж суждениями без кванторов. Для удобства мы можем на неких стадиях расщепить вывод на две ветки, добавляя в одной из их A, а в иной ~A. Представим, что к противоречию приводит и то и это. Положение дел ещё можно упростить, не добавляя всех суждений, а только нужные. Наша цель — накидать метод уменьшения трудности противоречия. Начнём с знаков  и ω. Допустим, что на неком шаге мы повстречались с обилием x1
, которое определяется личным случаем теоремы подстановки, отвечающим некому свойству. Если другое огромное количество x2
в конца концов возникает в формуле x2
 x1
, мы можем попробовать исключить x1
, заменив его подходящим свойством x2
, и расщепить вывод на две ветки, предположив, что x2
им владеет либо нет. Если само огромное количество x1
возникает позднее, мы попытаемся поменять его конечным обилием тех его частей, которые возникают в процессе вывода. Очевидно, чтоб уточнить всё это, нужен анализ непредикативных определений и упорядочение степеней непредикативности. Зная, что аксиома о неполноте делает эту задачку по существу безнадёжной, мы не станем ею заниматься. Главный пункт заключается в том, что всякий элемент новейшего огромного количества должен быть связан с неким элементом огромного количества, построенного ранее, так что редукцию можно продолжать. В финомене Рассела этому мешает круг. Общеизвестно, что Гентцен провёл такое подтверждение для теории чисел в границах ординала ε0
. В случае Цермело—Френкеля непонятно, можно ли найти аналогичный ординал. Если ответ положителен, было бы любопытно изучить его связь с иными известными инвариантами, к примеру, счётным ординалом малой модели. Это таковой меньший ординал α, что Mα
, огромное количество Гёделя на α-м шаге, является моделью для аксиом Цермело—Френкеля. Ординал из теории вывода должен быть меньше, ибо он «строит» меньшую неординарную модель аксиом.

Даже в самом рациональном случае схема, которую я накидал, дозволила бы совладать только с неуввязками, связанными с теоремой подстановки. Наша интуиция о недосягаемых либо измеримых кардиналах ещё недостаточно развита либо по последней мере не поддаётся передаче в разговоре. Мне кажется, тем не наименее, что полезно развивать наше загадочное чувство, позволяющее судить о приемлемости тех либо других аксиом. тут, очевидно, мы должны стопроцентно отрешиться от научно обоснованных программ и возвратиться к практически подсознательному уровню, сродни тому, на котором человек в первый раз начинал мыслить о арифметике. Лично я, к примеру, не в состоянии отрешиться от этих заморочек теории множеств просто поэтому, что они отражаются в теории чисел. Я сознаю, что моя позиция в прагматическом плане не достаточно чем различается от позиции реализма. Всё же я чувствую себя обязанным сопротивляться величавому эстетическому соблазну без околичностей принять огромного количества как существующую действительность.

Читатель непременно ощутит горечь пессимизма в моих заметках. Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в самом для себя зерно разрушающего сомнения. К Счастью, мы изредка останавливаемся, чтоб оглядеть положение дел и пошевелить мозгами о этих глубочайших вопросцах. Всю остальную жизнь в арифметике мы смотрим блестящую процессию и, может быть, сами участвуем в ней. Величавые задачки теории множеств, казавшиеся неодолимыми, падают. Изучаются новейшие теоремы, всё огромные и огромные кардиналы стают доступнее интуиции. Маяк теории чисел светится над данной нам зыбью. Когда сомнения начинают одолевать нас (что, я надеюсь, происходит нечасто), мы отступаем под неопасные своды теории чисел, откуда, собравшись с духом, опять бросаемся в неправильные воды теории множеств. Такая наша судьба — жить, сомневаясь; преследовать цель, в абсолютности которой мы не убеждены; короче, осознавать, что наша единственная «настоящая» наука имеет всё ту же смертную, может быть, опытную природу, что и все остальные людские компании.

]]>